2025屆湖南省湘潭市湘機中學高三調研測試題

2025屆湖南省湘潭市湘機中學高三調研測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為等差數列，若，，則()A．1 B．2 C．3 D．62．在中，在邊上滿足，為的中點，則（）.A． B． C． D．3．若不相等的非零實數，，成等差數列，且，，成等比數列，則（）A． B． C．2 D．4．如圖，在三棱錐中，平面，，，，，分別是棱，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為A．0 B． C． D．15．設a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關系是（）A． B． C． D．6．盒子中有編號為1，2，3，4，5，6，7的7個相同的球，從中任取3個編號不同的球，則取的3個球的編號的中位數恰好為5的概率是（）A． B． C． D．7．陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，但陀螺這個名詞，直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現.如圖所示的網格紙中小正方形的邊長均為1，粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的表面積為（）A． B．C． D．8．已知復數，則（）A． B． C． D．29．下列判斷錯誤的是()A．若隨機變量服從正態(tài)分布，則B．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的充分不必要條件C．若隨機變量服從二項分布：，則D．是的充分不必要條件10．已知是偶函數，在上單調遞減，，則的解集是A． B．C． D．11．由曲線圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．12．為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關關系，統(tǒng)計兩科成績得到如圖所示的散點圖(兩坐標軸單位長度相同)，用回歸直線近似地刻畫其相關關系，根據圖形，以下結論最有可能成立的是()A．線性相關關系較強，b的值為1.25B．線性相關關系較強，b的值為0.83C．線性相關關系較強，b的值為－0.87D．線性相關關系太弱，無研究價值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，滿足條件，則的最大值為__________.14．已知函數在處的切線與直線平行，則為________.15．已知函數，則的值為____16．的展開式中常數項是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量，.（1）求的最小正周期；（2）若的內角的對邊分別為，且，求的面積.18．（12分）在平面直角坐標系中，已知拋物線C：（）的焦點F在直線上，平行于x軸的兩條直線，分別交拋物線C于A，B兩點，交該拋物線的準線于D，E兩點.（1）求拋物線C的方程；（2）若F在線段上，P是的中點，證明：.19．（12分）在中，．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，，求的值．20．（12分）設函數，是函數的導數.（1）若，證明在區(qū)間上沒有零點；（2）在上恒成立，求的取值范圍.21．（12分）2018年反映社會現實的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動，治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當務之急．為此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費用（百萬元）和銷量（萬盒）的統(tǒng)計數據如下：研發(fā)費用（百萬元）2361013151821銷量（萬盒）1122.53.53.54.56（1）求與的相關系數精確到0.01，并判斷與的關系是否可用線性回歸方程模型擬合？（規(guī)定：時，可用線性回歸方程模型擬合）；（2）該藥企準備生產藥品的三類不同的劑型，，，并對其進行兩次檢測，當第一次檢測合格后，才能進行第二次檢測．第一次檢測時，三類劑型，，合格的概率分別為，，，第二次檢測時，三類劑型，，合格的概率分別為，，．兩次檢測過程相互獨立，設經過兩次檢測后，，三類劑型合格的種類數為，求的數學期望．附：（1）相關系數（2），，，．22．（10分）在直角坐標系中，曲線的參數方程是（是參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）在曲線上取一點，直線繞原點逆時針旋轉，交曲線于點，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用等差數列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出．【詳解】∵{an}為等差數列，,∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+11＝1．故選：B．【點睛】本題考查等差數列通項公式求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2、B【解析】

由，可得，，再將代入即可.【詳解】因為，所以，故.故選：B.【點睛】本題考查平面向量的線性運算性質以及平面向量基本定理的應用，是一道基礎題.3、A【解析】

由題意，可得，，消去得,可得，繼而得到，代入即得解【詳解】由，，成等差數列，所以，又，，成等比數列，所以，消去得，所以，解得或，因為，，是不相等的非零實數，所以，此時，所以．故選：A【點睛】本題考查了等差等比數列的綜合應用，考查了學生概念理解，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.4、B【解析】

根據題意可得平面，，則即異面直線與所成的角，連接CG，在中，，易得，所以，所以，故選B．5、D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點睛】比較不同數的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．6、B【解析】

由題意，取的3個球的編號的中位數恰好為5的情況有，所有的情況有種，由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意，取的3個球的編號的中位數恰好為5的情況有，所有的情況有種由古典概型，取的3個球的編號的中位數恰好為5的概率為：故選：B【點睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應用，考查了學生綜合分析，概念理解，數學運算的能力，屬于中檔題.7、C【解析】

根據三視圖可知，該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構成，由此計算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為，底面周長為，側面積為，下面圓錐的母線長為，底面周長為，側面積為，沒被擋住的部分面積為，中間圓柱的側面積為.故表面積為，故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數學文化，考查三視圖還原為原圖，考查幾何體表面積的計算，屬于基礎題.8、C【解析】

根據復數模的性質即可求解.【詳解】,,故選：C【點睛】本題主要考查了復數模的性質，屬于容易題.9、D【解析】

根據正態(tài)分布、空間中點線面的位置關系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質等知識，依次對四個選項加以分析判斷，進而可求解.【詳解】對于選項，若隨機變量服從正態(tài)分布，根據正態(tài)分布曲線的對稱性，有，故選項正確，不符合題意；對于選項，已知直線平面，直線平面，則當時一定有，充分性成立，而當時，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項正確，不符合題意；對于選項，若隨機變量服從二項分布：，則，故選項正確，不符合題意；對于選項，，僅當時有，當時，不成立，故充分性不成立；若，僅當時有，當時，不成立，故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項不正確，符合題意.故選：D【點睛】本題考查正態(tài)分布、空間中點線面的位置關系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質等知識，考查理解辨析能力與運算求解能力，屬于基礎題.10、D【解析】

先由是偶函數，得到關于直線對稱；進而得出單調性，再分別討論和，即可求出結果.【詳解】因為是偶函數，所以關于直線對稱；因此，由得；又在上單調遞減，則在上單調遞增；所以，當即時，由得，所以，解得；當即時，由得，所以，解得；因此，的解集是.【點睛】本題主要考查由函數的性質解對應不等式，熟記函數的奇偶性、對稱性、單調性等性質即可，屬于?？碱}型.11、A【解析】

先計算出兩個圖像的交點分別為，再利用定積分算兩個圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點睛】本題考察定積分的應用，屬于基礎題.解題時注意積分區(qū)間和被積函數的選取.12、B【解析】

根據散點圖呈現的特點可以看出，二者具有相關關系，且斜率小于1.【詳解】散點圖里變量的對應點分布在一條直線附近，且比較密集，故可判斷語文成績和英語成績之間具有較強的線性相關關系，且直線斜率小于1，故選B.【點睛】本題主要考查散點圖的理解，側重考查讀圖識圖能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

作出可行域，由得，平移直線，數形結合可求的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示由得，則是直線在軸上的截距.平移直線，當直線經過可行域內的點時，最小，此時最大.解方程組，得，..故答案為：.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，屬于基礎題.14、【解析】

根據題意得出，由此可得出實數的值.【詳解】，，直線的斜率為，由于函數在處的切線與直線平行，則.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數的切線與直線平行求參數，解題時要結合兩直線的位置關系得出兩直線斜率之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.15、4【解析】

根據的正負值，代入對應的函數解析式求解即可.【詳解】解：.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數函數值的求解，是基礎題.16、-160【解析】試題分析：常數項為.考點：二項展開式系數問題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】

（1）利用平面向量數量積的坐標運算可得，利用正弦函數的周期性即可求解；（2）由（1）可求，結合范圍，可求的值，由余弦定理可求的值，進而根據三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）∴最小正周期.（2）由（1）知，∴∴，又∴或.解得或當時，由余弦定理得即，解得.此時.當時，由余弦定理得.即，解得.此時.【點睛】本題主要考查了平面向量數量積的坐標運算、正弦函數的周期性，考查余弦定理、三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想和分類討論思想，屬于基礎題．18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據拋物線的焦點在直線上，可求得的值，從而求得拋物線的方程；（2）法一：設直線，的方程分別為和且，，，可得，，，的坐標，進而可得直線的方程，根據在直線上，可得，再分別求得，，即可得證；法二：設，，則，根據直線的斜率不為0，設出直線的方程為，聯立直線和拋物線的方程，結合韋達定理，分別求出，，化簡，即可得證.【詳解】（1）拋物線C的焦點坐標為，且該點在直線上，所以，解得，故所求拋物線C的方程為（2）法一：由點F在線段上，可設直線，的方程分別為和且，，，則，，，.∴直線的方程為，即.又點在線段上，∴.∵P是的中點，∴∴，.由于，不重合，所以法二：設，，則當直線的斜率為0時，不符合題意，故可設直線的方程為聯立直線和拋物線的方程，得又，為該方程兩根，所以，，，.，由于，不重合，所以【點睛】本題考查拋物線的標準方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．19、(1);(2).【解析】試題分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以．進而得到角A；（2）結合三角形的面積公式，和余弦定理得到，聯立兩式得到．解析：（I）因為，所以，由正弦定理，得．又因為，，所以．又因為，所以．（II）由，得，由余弦定理，得，即，因為，解得.因為，所以.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）先利用導數的四則運算法則和導數公式求出，再由函數的導數可知，函數在上單調遞增，在上單調遞減，而，，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上沒有零點；（2）由題意可將轉化為，構造函數，利用導數討論研究其在上的單調性，由，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）若，則，，設，則，，，故函數是奇函數．當時，，，這時，又函數是奇函數，所以當時，.綜上，當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減.又，，故在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上沒有零點.（2），由，所以恒成立，若，則，設，.故當時，，又，所以當時，，滿足題意；當時，有，與條件矛盾，舍去；當時，令，則，又，故在區(qū)間上有無窮多個零點，設最小的零點為，則當時，，因此在上單調遞增.，所以.于是，當時，，得，與條件矛盾.故的取值范圍是.【點睛】本題主要考查導數的四則運算法則和導數公式的應用，以及利用導數研究函數的單調性和最值，涉及分類討論思想和放縮法的應用，難度較大，意在考查學生的數學建模能力，數學運算能力和邏輯推理能力，屬于較難題．21、（1）0.98;可用線性回歸模型擬合．（2）【解析】

（1）根據題目提供的數據求出，代入相關系數公式求出，根據的大小來確定結果；（2）求出藥品的每類劑型經過兩次檢測后合格的概率，發(fā)現它們相同，那么經過兩次檢測后，，三類劑型合格的種類數為，服從二項分布，利用二項分布的期望公式求解即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，由公式，，∴與的關系可用線性回歸模型擬合；（2）藥品的每類劑型經過兩次