八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)：專題12 勾股定理的逆定理【八大題型】（舉一反三）（人教版）（解析版）

專題L2勾股定理的逆定理【八大題型】

【北師大版】

?題型梳理

【題型1判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】...........................................................1

【題型2圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】..................................................3

【題型3在網(wǎng)格中判斷直角三角形】..............................................................6

【題型4勾股數(shù)的探究】.........................................................................9

【題型5利用勾股定理的逆定理證明］...........................................................13

【題型6利用勾股定理的逆定理求解】...........................................................16

【題型7勾股逆定理的應(yīng)用】....................................................................19

【題型8勾股定理及其逆定理的綜合】...........................................................23

?舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)勾股定理的逆定理】

如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

【題型1判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】

【例1】（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校┯删€段人從c組成的三角形是直角三角

形的是（）

A.a=5,b=3,c=3B.a=^,b=^,c=-

354

C.a=6,b=4,c=5D.a=7,b=24,c=25

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解:A、32+32=18*52,故不能組成直角三角形，故不合題意；

B、GY+GY=益工（!）?故不能組成直角三角形，故不合題意；

C、42+52=41662,故不能組成直角三角形，故不合題意；

D、72+242=625=252,故不能組成直角三角形，故不合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

【變式1-11（2023春?湖北孝感?八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且滿足（Q+b）（a-h）=

c2,則這個(gè)三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.不確定

【答案】B

【分析】將原式整理為〃=b2+c2f即可判斷.

【詳解】解：:,（a+b）（a—b）=

Aa2—b2=c2,

/.a2=b2+c2,

???這個(gè)三角形是直角三角形；

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟練掌握勾股定理逆定理、得出。2=廿+。2是解題

的關(guān)鍵.

【變式1-2]（2023春?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，以△4ZJC的兩邊3C、AC分別向外作正方形，它們的面積分

2

別是Sr52，若Si=2,S2=3,AB=5,則△4BC的形狀是________三角形.

【答案】直角

【分析】根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理的逆定理即可得出答案.

【詳解】解：/Si=2,S2=3,

：.BC2=2,AC2=3,

'：AB2=5,

：.AC2十BC2=AB2,

???A718。是直角三角形，

故答案為：直角.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和正方形面積的應(yīng)用，理解勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3]（2023春?廣東惠州?八年級(jí)校考期中）有四種說(shuō)法：①三個(gè)內(nèi)角之比為5:6:1；②三邊形長(zhǎng)分別

為：V2,V7,V5；③三邊之長(zhǎng)為9、40、41；④三邊之比為1.5：2：3.其中層直角三角形的有

（填序號(hào)）.

【答案】①②③

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???三角形三個(gè)內(nèi)角之比為5:6:1,

???三角形最大的內(nèi)角為180。x=90°,

5+6+1

?.?該二角形為直角三角形，故①正確；

???（a）2+（伺2=（⑺2,

???該三角形為直角三角形，故②正確；

V92+402=412,

???該三角形為直角三角形，故③正確；

V1.52+22工32,

???該三角形不是直角三角形，故④錯(cuò)誤；

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，勾股定理得逆定理，熟知三角形內(nèi)角和為180度和勾股定理的

逆定理是解題的關(guān)鍵.

【題型2圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】

【例2】（2023春.全國(guó).八年級(jí)專題練習(xí)）同一平面內(nèi)有4R,C三點(diǎn),A,B兩點(diǎn)之間的距離為5cm.點(diǎn)C到

直線48的距離為2cm,且△ABC為直角三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)C有個(gè).

【答案】8

【分析】該題存在兩種情況；（1）A8為斜邊，MzC=90°；（2）A8為直角邊，AC=2cm^C=2cm：

【詳解】（1）當(dāng)4B為斜邊時(shí)，點(diǎn)C到直線48的距離為2cm,即AB邊上的高為2cm,符合要求的。點(diǎn)有4

個(gè)，如圖：

（2）當(dāng)A8為直角邊時(shí)，AC=2cm或BC=2cm,符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，如圖;

而可得出m=0：當(dāng)NOBA=90。時(shí)，點(diǎn)B在x軸上，進(jìn)而可得出m=5；當(dāng)NAOB=90。時(shí)，利用勾股定理

可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得Him的值.綜上，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：分三種情況考慮（如圖所示）：

當(dāng)NOAB=90。時(shí)，m=0；

當(dāng)NOBA=90。時(shí)，m-5=0,解得：m=5；

當(dāng)NAOB=90。時(shí)，AB2=OA2+OB2,即25=4+m2+4+m2Tom+25,

解得：mi=1,012=4.

綜上所述：m的值可以為0,5,I,4.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及勾股定理，分NOAB=90。，ZOBA=90°,NAOB=90。三種情況

求出m的值是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3】（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,8在小正

方形的頂點(diǎn)上，在圖中畫(huà)ZL4BC（點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上），使ZL4BC為直角三角形，并說(shuō)明理由.（要求

畫(huà)出兩個(gè)，且兩個(gè)三角形不全等）

1..

【答案】小WC為直角三角形，理由詳見(jiàn)解析?.

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理和勾股定理進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解；如圖所示.

如圖I,在中，

AC=5,BC=3,

AB2=32+52=34

因?yàn)樾?BC2=52+32=34=AB2f

所以乙ACB=90°,

即/ABC為直角三角形.

如圖2,在RSACD中,

AC2=CD2+AD2=I24-l2=2.

在AM8CE中，CB2=CE2+BE2=42+42=32.

在/中，AB2=AF2+BF2=32+52=34.

所以4c2+c/2=AB21

所以2cB=90%即2MBe為直角三角形.

【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：根據(jù)勾股定理逆定理畫(huà)直角三角形.掌握勾股定理逆定理并會(huì)運(yùn)用是關(guān)鍵

【題型3在網(wǎng)格中判斷直角三角形】

【例3】（2023春?北京西城?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,△力BC的

三個(gè)頂點(diǎn)A,8,。都在格點(diǎn)上，，1。是BC邊上的中線，那么力。的長(zhǎng)為（）

A.2.5B.3C.2V2D.V5

【答案】A

【分析】由勾股定理可得4。2=5,8。2=25,482=20,則4。2+432=8。2,即△A8C是直角三角形，然后

由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答.

【詳解】解：由勾股定理可得4。2=5,8。2=25,力”=20,

：.AC2+AB2=BC2,即△力BC是直角三角形,

,?MD是BC邊上的中線,

：.AD=^BC=2.5.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考行了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)勾股定理逆定理判定

是直角三角形是基礎(chǔ)，掌握斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023春?廣東湛江?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為I,A、B、。是小正方

形的頂點(diǎn)，則乙4BC的度數(shù)為.

【答案】45°

【分析】根據(jù)勾股定理得到48,BC,4。的長(zhǎng)度，再判斷△ABC是等腰宜角三角形，進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】解:如圖，連接4C，

C

2222

由題意，AC=V2+I=V5,BC=&2+12=75,AB=Vl+3=VW,

：.AC=BC,AB2=AC2+BC2,

???A/IBC是等腰直角三角形，且乙4CB=90。，

：.LABC=乙CAB=45°.

故答案為：45°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出△48C是等腰直角三

角形是解決本題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023春?廣東惠州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.

（1）求四邊形43C0的面枳與周長(zhǎng)；

⑵求證：乙BCD=90°.

【答案】（1）周長(zhǎng)為：8&+2舊；面積為：32

⑵見(jiàn)解析

【分析】（1）借助正方形的小格，根據(jù)勾股定理分別計(jì)算四邊形的各邊的長(zhǎng)，從而求得四邊形的周長(zhǎng);

（2）在△4BC中，根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判定.

【詳解】（1）解：根據(jù)勾股定理可知48=3V2,BC=V34.CD=V34,AD=5

???四邊形48CD的周長(zhǎng)為3&+5V2+V34+V34=8V2+2734；

面積為：8x8--x3x3--x5x5--x5x3--x3x5=32.

2222

（2）證明：連接8D,

???BC=V34,CD=V34,DB=倔,

?.BC2+CD2=BD2.

是直角三角形，即48CD=90°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用以及勾股定理逆定理的之用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3】(2023春?八年級(jí)單元測(cè)試)如圖所示的是2x5的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)4B,P都在網(wǎng)格點(diǎn)上，則

乙4PB=.

【答案】135°

【分析】根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理可得aPCB是等腰直角三角形，可得48PC=45。，即可求解.

【詳解】解?：延長(zhǎng)AP至C,連接BC,

CP=CB=V22+I2=V5,

BP=V32+I2=V10,

?.?(匹)2+(V5)2=(V10)2,即CP?+CB2=BP2,

??.△PC8是等腰直角三角形，

Z.BPC=45°,

：.LAPB=180°-45°=135°,

故答案為:135°.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是得到APCB是等腰直角三角形.

【題型4勾股數(shù)的探究】

【例4】(2023春?安徽阜陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬早在17世紀(jì)就研究過(guò)形如/+/=z2的方

程，顯然，這個(gè)方程有無(wú)數(shù)組解.我們把滿足該方程的正整數(shù)的解(x,y,z)叫做勾股數(shù).如(3,4,5)就是一組

勾股數(shù).

(1)請(qǐng)你再寫(xiě)出兩組勾股數(shù)：(),();

(2)在研究直角三角形的勾股數(shù)時(shí)，古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出：如果n表示大于1的整數(shù)，％=2⑶y=

n2-l,z=n2+l,那么，以％,y,z為三邊的三角形為直角三角形（即，y,z為勾股數(shù)），請(qǐng)你加以證

明.

【答案】（1）5,12,13：7,24,25

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)/+y2=z2,即可得出5,12,13、7,24,25是勾股數(shù)：

（2）根據(jù)勾股定理的逆定理，可得答案.

【詳解】（1）???52+122=169,132=169,

AS2+122=132,

A5,12,13是勾股數(shù)；

V72+24Z=625,25Z=625,

A72十242=252,

???7,24,25是勾股數(shù)；

故答案為：5,12,13；7,24,25；

（2）證明：Vx=2n,y=n2—1,

工/+y2

=（2n）2+（n2-I）2

=4n2+n4-2n2+1

二小+2n2+1

=（n2+l）2

=z2,

即北y,z為勾股數(shù).

???以x,y,z為三邊的三角形為直角三角形.

【點(diǎn)睛】此題考查勾股逆定理的證明，勾股數(shù)的規(guī)律探究，掌握勾股逆定理的證明，根據(jù)勾股定理得出勾股

數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2023春?四川達(dá)州?八年級(jí)?？计谥校┮韵铝懈鹘M數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，其中是勾股數(shù)的是（）

A.V3,Ax^5B.6,8,10C.1,AV3D.2,3,4

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析，從而得到答案.

【詳解】解:A、V32+V42=7,V52=5,7/5,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B、62+82=100,102=100,且100=100,故此選項(xiàng)正確;

C、12+V22=3,V32=3,3=3,V2,百不是整數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤:

D、22+32=13,42=16,13R16,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股定理的逆定理和勾股數(shù)的定義，滿足a2+/=c2.

[變式4-2]（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)直角一角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整

數(shù)直角三角形”，這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)''老師給出了下表（其中〃?，〃為正整數(shù)，且m>〃）：

m23344???

n11212???

222222

a2+I3+I32+2242+124+2???

b4612816???

22222222

c22-123-l3-24-l4-2???

（1）探究a，b,。與機(jī)，〃之間的關(guān)系并用含〃1,〃的代數(shù)式表示：a=,b=,c=

⑵以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是否一定為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（Dm?+2mn,m2-n2

（2）以小力，c?為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)給出的數(shù)據(jù)總結(jié)即可；

（2）分別計(jì)算出a?、b\c2,根據(jù)勾股定理逆定理進(jìn)行判斷.

【詳解】（1）解：觀察可得〃二h2+力2,h=2rnn,「二.2—”2,

2222

故答案為：m+nf2mn,m-n；

（2）以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形，理由如下：

a2=（m2+*）2=m4+2m2n24-n4,

22444224

bc=m—27n2n2+n+4m2n2=m4-2mn+n?

.'?a2=b2+c2,

???以a,b,c,為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理的逆定理，熟練掌握：如果三角形的三邊長(zhǎng)Q,b,C滿足o2+垓=c2,

那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023春?重慶北倍?八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谥?勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，早在我國(guó)

西漢時(shí)期算書(shū)《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載.如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直

角三角形叫“整數(shù)直角三角形這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”,如：3,4,5：5,12,13；7,24,25；8,

15,17；9,40,41等等都是勾股數(shù).

(I)小李在研究勾股數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)，某些整數(shù)直角三角形的斜邊能寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)的平方和，有一條直角邊能寫(xiě)

成這兩個(gè)整數(shù)的平方差.如3,4,5中，5=22+/,3=22-產(chǎn)；5,12,13中，13=32+22,5=3?-2?；請(qǐng)

證明：〃?，〃為正整數(shù)，且〃?>〃，若有一個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)為楸2+若,有一條直角長(zhǎng)為機(jī)2_則該直角

三角形一定為“整數(shù)直角三角形”；

(2)有一個(gè)直用三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為舊廠7和"150-30b,斜邊長(zhǎng)4質(zhì)，且“和”均為正整數(shù)，用

含3的代數(shù)式表示內(nèi)并求出，和〃的值；

(3)若C尸a『+歷2,C2=a22+b22f其中，。八④、b/、岳均為正整數(shù).證明：存在一個(gè)整數(shù)直用三角形，其

斜邊長(zhǎng)為C/?C2.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)a=W絲，。=31,〃=4；(3)見(jiàn)解析

【分析】(I)根據(jù)勾股定理:利用(mW)2-(>-〃2)2,解得另一條直角邊長(zhǎng)為29,因?yàn)?〃，〃為正

整數(shù),所以29也為正整數(shù)，即可得證;

(2)首先根據(jù)勾股定理求出Q關(guān)于b的代數(shù)式，再根據(jù)被開(kāi)方數(shù)錯(cuò)大于等于()，即可求得a、b的范圍，且a、

b均為正整數(shù)，將〃的可能值：1,2,3,4分別代入，即可求得符合條件的正整數(shù)a、b；

(3)觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)力=6=1,。2=岳=2時(shí)，,?C2=5X5=25,而252=15?+20Z,故存在.

【詳解】(1)證明：,:(〃『+〃2)2.2

=Cnr+rr+m2-n2)?(nr+n2-nr+n2)

=2〃P?2/

=(2/wz)2,

:.(2mn)2+(加2_/)2=(機(jī)2+/)2,

為正整數(shù)，且〃?>〃，

2mn,nr-n2,m2+n2均為正整數(shù)，

???該直角三角形一定為“整數(shù)直角三角形”；

(2)由勾股定理得;

7a-7+(150-30/?)=16x15,

.97+30b

..a=-----,

7

由題意可知：7a-7>0,150?30與>0,

0<b<5,

??Z和b均為正整數(shù)，

??"的可能值為：1,2,3,4,

當(dāng)b=l時(shí)，。=爐=早，不是正整數(shù)，故b=l不符合題意；

當(dāng)b=2時(shí)，。=寧二手，不是正整數(shù)，故方=2不符合題意；

當(dāng)b=3時(shí)，。=亨=手，不是正整數(shù)，故〃=3不符合題意；

當(dāng)b=4時(shí)，a=答空=半=31,是正整數(shù)，此時(shí)V7a-7=/HU,150-30b=歷,

V（^10）2+（V30）2=240,（4715）2=240,

.,.(V210)2+(V30)2=(4V15)2,

:?匕=4符合題意,

（3）證明：觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)〃/=力/=1,〃2=岳=2時(shí)，C?O2=5X5=25,

152+202=225+400=625,252=625,

A152+202=252.

???存在一個(gè)整數(shù)直角三角形，其斜邊長(zhǎng)為。?C2.

【點(diǎn)睛】本題目考查勾股定理，難股一般，也是中考的常考知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用以及二次根式

的相關(guān)性質(zhì)是順利解答此題的關(guān)鍵.

【題型5利用勾股定理的逆定理證明】

【例5】（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知垂足為。，BD=1,CD=2,AD=4.求證:

/-ACB=90°.

ADB

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)勾股定理得出8c2,AC2,進(jìn)而利用勾股定理的逆定理解答即可.

【詳解】證明：VCDLAB,垂足為。，BD=1,CD=2,AD=4,

：.BC2=BD2+CD2=l2+22=5,AC2=AD2+CD2=42+22=20,

=AD+BD=4+1=5,

：,AB2=25=AC2+BC2=20+5,

???A48。是直角三角形，

：.LACB=90°.

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理與其逆定理的區(qū)別是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1](2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè))在4力BC的三邊分別是Q、b、c,且Q=n2-1,b=2n,c=n2+1,

判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論.

【答案】直角二角形，理由見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.

【詳解】解：M-l,b=2幾c=M+1

Aa2=(n2-=n4-2n2+1,

b2=(2n)2=4n2,

c2=(n2+l)2=n4+2n2+1,

：.a2+b2=c2,

故A是直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，會(huì)利用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三

角形是解答的關(guān)鍵.

【變式5-2](2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，以△ABC的每一條邊為邊作三個(gè)正方形.已知這三個(gè)正方形

構(gòu)戊的圖形中，綠色部分的面積與藍(lán)色部分的面積相等，則△ABC是直角三角形嗎？請(qǐng)證明你的判斷.

【答案】△48C是直角三角形，證明見(jiàn)解析

【分析】設(shè)坐標(biāo)綠色部分的面積和為。，右邊綠色部分的面積為從藍(lán)色部分的面積和為c，坐標(biāo)空白部分的

面枳為d，右邊空白部分的面枳為e,

【詳解】設(shè)坐標(biāo)綠色部分的面積和為。，右邊綠色部分的面積為從藍(lán)色部分的面枳和為c,坐標(biāo)空白部分的

面積為d,右邊空白部分的面積為。，然后根據(jù)綠色部分的面積與藍(lán)色部分的面積相等列式得到(a+d)+

(b+e)=c+d+e,然后由a+d=AC?/,+。=8C?求解即可..

???綠色部分的面積與藍(lán)色部分的面積相等

.\a+b=c

，a+b+d+e=c+d+e

:.(a+d)+(b+e)=c+d+e

a+d=AC2,b+e=BC2

，c+d+e=AB2

：.AC2+BC2=AB2

???440。足直角二角形.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的逆定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理.

【變式5-3](2023春?江蘇鹽城?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在△力8C中，AB=7,AC=25,4D是中線，點(diǎn)E

在的延長(zhǎng)線上，且A0=ED=12.

(1)求證：ZiCDE三△BDA；

(2)證明:CE1AE；

(3)求A/IBC的面積.

【答案】(I)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)84

【分析】(1)根據(jù)SAS證明ZiCDE三△BZM即可；

(2)結(jié)論：△4CE是宜.角三角形；首先根據(jù)推出CE=AB=7,最后根據(jù)勾股定理的逆定

理即可證明：

（3）由全等三角形的性質(zhì)得出SM§C=SAAC￡，所以計(jì)算△ACE的面積，即可得出aABC的面積.

【詳解】（1）證明：??N。是邊8c上的中線，

：.BD=CD,

在A8ZX4和ZiCDE中，

（AD=BD

\LADB=乙EDC，

（BD=CD

/.ACDE三4BDA（SAS）,

（2）結(jié)論：△4CE是直角三角形；

理由：由（1）知：△CDEBDA,

：,CE=AB=7,

f：AD=ED=12,

C,AE—24,

'：AE2+CE2=242+72=625,AC2=252=625,

.\AE2+CE2=AC2,

：,LE=90°,

是直角三角形；

（3）a：^CDE^^BDA,

??SACDE+^AADC=S&ADC+SA80A，

??SAABC=S—CE，

VS^ACE=-AE-CE=-x24x7=84,

22

??S^ABC=84。

【點(diǎn)睛】此題是三角形的綜合題，考查三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理的運(yùn)用,三角形的面積

計(jì)算方法，掌握三角形全等的判定方法與勾股定理逆定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【題型6利用勾股定理的逆定理求解】

【例6】（2023春?山西呂梁?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△48C中，AB=5,BC=4,AC=.,將三角形紙

片沿4D折疊，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，則△BDE的周長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】利用勾股定理的逆定理判斷出4c=90。，利用翻折不變性可得4E=4C=3,推出BE=2,即可解

決問(wèn)題.

【詳解】解：在中,*：AB=5,BC=4,AC=3,

222

：,AB=BC+ACf

???AABC是直角三角形，且乙C=90。，

由翻折的性質(zhì)可如：AE=AC=3,CD=DE,

：,BE=2,

:.kBOE的周長(zhǎng)=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=4+2=6,

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

【變式6-11（2023春?湖北襄陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△43c中，點(diǎn)D在218上"8=AC,BC=S,BD=3,

CD=4.求AC的長(zhǎng).

【答案】AC=^-

6

【分析】由勾股定理的逆定理判定48DC=90。，再在Rta/IQC中利用勾股定理列方程即可解答.

【詳解】解：VFC=5,BD=3,CD=4,

：.BD2+CD2=32+42=25=BC2.

工乙BDC=90°.

：.LADC=180°-乙BDC=90°.

:.AD2-\-CD2=AC2.

設(shè)4c=x.

*：AB=AC,BD=3,

*.AD=x—3.

：.(X-3)2+42=X2.

解得”=

6

：,AC=-.

6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)健在于熟練掌握定理，靈活運(yùn)用.

【變式6-2](2023春?河南開(kāi)封?八年級(jí)統(tǒng)考期末)己知△力8。的三邊分別為〃、b、c,且滿足(Q+2b-II)2+

12a-b-21=10c-25-c2,請(qǐng)你判斷△力8c的形狀，并求出其周長(zhǎng)與面積.

【答案】△48C是直角三角形，它的周長(zhǎng)是12,面積是6

【分析】首先把原等式變形為(a+2b-ll)2+|2a-匕一2|+(c-5)2=0,利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，建立三元

一次方程組，求得〃、從。的數(shù)值，利用勾股定理的逆定理判定三角形的形狀，進(jìn)一步求得周長(zhǎng)和面積即可.

【詳解】解：由題意得(a+2b-ll)2+|2a-b-2|+c2-10c+25=0,

+2b-ll)2+|2a-b-2|+(c-5)2=0,

(a+2b—11=0

：?2a-b-2=0,

c-5=0

G=3?b=4,c=5,

?：a2+b2=c2,

???AABC是直角三角形，它的周長(zhǎng)是3+4+5=12,

面積是3x3x4=6.

【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解三元一次方程組，勾股定理逆定理以及三角形的周長(zhǎng)

和面積的計(jì)算方法；注意解題的思路與方法的靈活性.

【變式6-3](2023春?陜西榆林?八年級(jí)?？计谀?已知在△力C8中，4c=12,BC=5MB=13,點(diǎn)E為邊4c

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)6為邊48上的動(dòng)點(diǎn)，貝IJ/E+E8的最小值是.

C

E

AB

【答案】詈

【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理可得，ACB=90。，再作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B',連接反然后

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短可得當(dāng)B'F時(shí)，線段FE+E8的值最小，最小值為夕凡最后利用

三角形的面積公式即可得.

【詳解】解：???在A/1CB中，AC=12,BC=5,AB=13,

:.AC2+HC2=AH2,

.?.△ABC是直角三角形，且41C8=9O。，

如圖，作點(diǎn)8關(guān)于力C的對(duì)稱點(diǎn)用,連接夕月夕,

B'C=BC=5,BB,=2BC=10,=BE,

：.FE+EB=FE+B'E,

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)9,E,F共線時(shí)，F(xiàn)E+夕E最小，最小值為eF,

由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí),夕F的值最小，

又S.BB，=?B，F(xiàn)=1/1C-BB\

.--"x138'F=^x12x10,

22

解得8/=喂，

JLJ

即5E+E8的最小值為詈，

故答案為：詈.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌

握軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵.

【題型7勾股逆定理的應(yīng)用】

【例7】（2023春?廣東廣州.八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在筆直的公路力8旁有一座山，從山另一邊的C處到公

路上的停靠站A的距離為力C=15km,與公路上另一?？空綛的距離為8c=20km,?？空?B之間的距離

為AB=25km,為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路48上的。處開(kāi)鑿隧道修通一條公路到。處，且CD1AB.

（1）請(qǐng)判斷A4BC的形狀?

（2）求修建的公路C"的長(zhǎng).

【答案】（I）直角三角形

⑵12km

【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，由AC2+8C2=A82得到△力8c是直角三角形.

（2）利用△ABC的面積公式可得，CD?AB=AC-BC,從而求出CD的長(zhǎng).

【詳解】（1）解：△48C是直角三角形.

理由：AC=15km,BC=20km,AB=25km,

152+202=252,

AC24-BC2=AB2,

:.Z.ACB=90°,

.??△力3。是直角三角形.

(2)解：???CDLAB,

-S^ABC=^AB-CD=^AC-BC,

15X20

/.CD==12(km).

AB25

答：修建的公路CD的長(zhǎng)是12km.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理的應(yīng)用，以及三常形的面積公式等知識(shí)，熟練掌握勾股定理

及其逆定理是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1]（2023春?廣西南寧?八年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）森林火災(zāi)是一種常見(jiàn)的自然災(zāi)害,

危害很大.隨著中國(guó)科技、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，開(kāi)始應(yīng)用飛機(jī)灑水的方式撲滅火源.如圖，△48C區(qū)域內(nèi)是一

片森林，有一臺(tái)救火飛機(jī)沿東西方向48,由點(diǎn)A飛向點(diǎn)8,己知點(diǎn)C為其中一個(gè)著火點(diǎn)，且點(diǎn)。與點(diǎn)48的

距離分別為600m和800m,又A8=1000m,飛機(jī)中心周圍500rl以內(nèi)可以受到灑水影響.

(1)求△4BC的面積.

(2)著火點(diǎn)C能否受到灑水影響？為什么？

【答案】⑴Z4U0U0m2

(2)受影響

【分析】(1)利用勾股定理的逆定理得出△48C是直角三角形，再利用面積公式計(jì)算即可；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CD1A8于。，利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響.

【詳解】(1)解：*：AC=600m,BC=800m,AB=1000m,

：,AC2+BC2=AB2,

???AABC是直角三角形，

?'?SMBC=ACxBC=24000Cm2；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)C作。0于D,

:*S&AABC=鼻力',BC=]CD-ABf

???600x800=1000CD,

CD=480,

???飛機(jī)中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響，

.??著火點(diǎn)C受灑水影響.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾

股定理解答.

【變式7-2](2023春?廣西桂林?八年級(jí)統(tǒng)考期中)一根12米的電線桿A8,用鐵絲AC、A。固定，現(xiàn)已知用

去鐵絲AC=15米，4力=13米，又測(cè)得地面上B、C兩點(diǎn)之間距離是9米，8、。兩點(diǎn)之間距離是5米，則

電線桿和地面是否垂直，為什么？

【答案】電線桿和地面垂直，理由見(jiàn)解析

【分析】由勾股定理的逆定理判斷AABD是直角三角形，aABC是直角三角形，即可解答.

【詳解】解：電線桿和地面垂直，理由如下：

連接BD

在△AB。中，*/=52+12:=169=132=AZ>2,

???△A8D是直角三角形，且NABD=90。，

：.AB±BD,

在△48c中，VBC2+AB2=92+\?r=225=]52=AC2,

???△ABC是直角三角形，且N4BC=90。，

???電線桿和地面垂直.

【點(diǎn)睛】本題考杳勾股定理的逆定理，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知只是解題關(guān)鍵.

【變式,7-3]（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）海面上有兩個(gè)疑似漂浮目標(biāo).A艦艇以12海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口

O,向北偏西50。方向航行；同時(shí)，8艦艇在同地以16海里/時(shí)的速度向北偏東一定角度的航向行駛，如圖所

示，離開(kāi)港口5小時(shí)后兩船相距100海里，則4艦艇的航行方向是

【答案】北偏東40。

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷AAOB是直角三角形，求出￡800的度數(shù)即可.

【詳解】由題意得，。力=12x5=60（海里），08=16x5=80（海里），

又=100海里,

V602+802=1002,

即?？?+=AB2

：.z.AOB=90°,

"：￡DOA=50°,

：.LBOD=40°,

則8艦艇的航行方向是北偏東40。，

故答案為：北偏東40。.

【點(diǎn)睛】本題考壹的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用和方位角的知識(shí)，根據(jù)題意判斷出△AOE是直角一:角形是解

決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【題型8勾股定理及其逆定理的綜合】

【例8】（2023春?全國(guó)?八年級(jí)期末）如圖，在△A8C中，。是△A8C內(nèi)一點(diǎn)，連接40、BD,且A。180.己

知H0=4,BD=3,AC=13,BC=12.則圖中陰影部分的面積為.

A

【答案】24

【分析】先根據(jù)勾股定理求出力氏然后根據(jù)勾股定理的逆定理，得△力8C是直角三角形，根據(jù)陰影部分的面

J-SA/|FC~即可?

【詳解】:力。1BD,

：,AB2=AD2+BD2,

*：AD=4,BD=3,

'?AB=5,

'：AC=13,DC=12,

：.AC2=169,8c2=144,AB?=25,

：,AC2=BC2+AB2,

是直角三角形，

設(shè)陰影部分的面積S,

=x

??S=SMBC-S.ABD|力BxSC—|xADxBD,

AS=24,

???設(shè)陰影部分的面積為：24.

故答案為:24.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的運(yùn)用和勾股定理的逆定理.

【變式8-1]（2023春?江西贛州?八年級(jí)期中）如圖，已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)為4,