高中數(shù)學(xué)講義微專題95 統(tǒng)計初步

微專題95高中涉及的統(tǒng)計學(xué)知識

一、基礎(chǔ)知識：

（一）隨機抽樣：

1、抽簽法：把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中攪拌均勻

后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取〃次，就得到容量為〃的樣本

2、系統(tǒng)抽樣：也稱為等間隔抽樣，大致分為以下幾個步驟：

（1）先將總體的N個個體編號

（2）確定分段間隔z,設(shè)樣本容量為〃，若巴為整數(shù)，則左="

nn

（3）在第一段中用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號/,則后面每段所確定的個體編號與前

一段確定的個體編號差距為左，例如：第2段所確定的個體編號為/+左，第帆段所確定的個

體編號為/+（根—1）%，直至完成樣本

注：（1）若,N不是整數(shù)，則先用簡單隨機抽樣剔除若干個個體，使得剩下的個體數(shù)能被〃整

n

除，再進行系統(tǒng)抽樣。例如501名學(xué)生所抽取的樣本容量為10,則先隨機抽去1個,剩下的500

個個體參加系統(tǒng)抽樣

（2）利用系統(tǒng)抽樣所抽出的個體編號排成等差數(shù)列，其公差為女

3、分層抽樣：也稱為按比例抽樣，是指在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定

的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本。

分層抽樣后樣本中各層的比例與總體中各個層次的比例相等，這條結(jié)論會經(jīng)常用到

（-）頻率分布直方圖：

1、頻數(shù)與頻率

（1）頻數(shù)：指一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)或一組數(shù)據(jù)在某個確定的范圍內(nèi)出現(xiàn)的數(shù)

據(jù)的個數(shù).

（2）頻率：是頻數(shù)與數(shù)據(jù)組中所含數(shù)據(jù)的個數(shù)的比，即頻率=頻數(shù)/總數(shù)

（3）各試驗結(jié)果的頻率之和等于1

2、頻率分布直方圖：若要統(tǒng)計每個小組數(shù)據(jù)在樣本容量所占比例大小，則可通過頻率分布表

（表格形式）和頻率分布直方圖（圖像形式）直觀的列出

（1）極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差

（2）組距：將一組數(shù)據(jù)平均分成若干組（通常5T2組），則組內(nèi)數(shù)據(jù)的極差稱為組距，所以

有組距=極差/組數(shù)

(3)統(tǒng)計每組的頻數(shù)，計算出每組的頻率，便可根據(jù)頻率作出頻率分布直方圖

(4)在頻率分布直方圖中：橫軸按組距分段，縱軸為“頻率/組距”

(5)頻率分布直方圖的特點：

頻率，

①頻率=今5、組距，即分布圖中每個小矩形的面積

組距

②因為各試驗結(jié)果的頻率之和等于1,所以可得在頻率分布直方圖中，各個矩形的面積和為

1

(三)莖葉圖：通?？捎糜诮y(tǒng)計和比較兩組數(shù)據(jù)，其中莖是指中間的一列數(shù)，通常體現(xiàn)數(shù)據(jù)

中除了末位數(shù)前面的其他數(shù)位，葉通常代表每個數(shù)據(jù)的末位數(shù)。并按末位數(shù)之前的數(shù)位進行

分類排列，相同的數(shù)據(jù)需在莖葉圖中體現(xiàn)多次

(四)統(tǒng)計數(shù)據(jù)中的數(shù)字特征：

1、眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，叫做眾數(shù)

2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大排列，位于中間位置的數(shù)稱為中位數(shù)，其中若數(shù)據(jù)的總數(shù)為

奇數(shù)個，則為中間的數(shù)；若數(shù)據(jù)的總數(shù)為偶數(shù)個，則為中間兩個數(shù)的平均值。

3、平均數(shù)：代表一組數(shù)據(jù)的平均水平，記為最，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：思，則有：

A;.一—玉+/+…+%

n

4、方差：代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，記為一,設(shè)一組數(shù)據(jù)為：…，當(dāng)，其平均數(shù)為最，

則有：2T2+…+N一項，其中I越小，說明數(shù)據(jù)越集中

5、標(biāo)準(zhǔn)差：也代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，為方差的算術(shù)平方根

二、典型例題

例1：某校高中部有三個年級，其中高三有學(xué)生1000人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個容量為

185的樣本，已知在高一年級抽取了75人，高二年級抽取了6()人，則高中部共有學(xué)生—

人.

思路：分層抽樣即按比例抽樣，由高一年級和高二年級的人數(shù)可得高三人數(shù)為

185—75—60=50人，所以抽樣比為型-=」-,從而總?cè)藬?shù)為185+」-=3700人

10002020

答案：3700

例2：某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)，A.B.C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果；企業(yè)統(tǒng)計

員制作了如下的統(tǒng)計表格:

產(chǎn)品類別ABC

產(chǎn)品數(shù)量（件）1300

樣本容量（件）130

由于不小心，表格中A.C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計員記得A產(chǎn)品的樣本容量

比C產(chǎn)品的樣本容量多10,根據(jù)以上信息，可得C的產(chǎn)品數(shù)量是件.

思路：由B產(chǎn)品可得抽樣比為‘%所以若A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多

130010

10,則A產(chǎn)品的數(shù)量比C產(chǎn)品的數(shù)量多10+」-=100,且A,C產(chǎn)品數(shù)量和為

10

3000-1300=1700,從而可解得C產(chǎn)品的數(shù)量為800

答案：800

例3：某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機抽測了100根棉花纖維的長度（棉花纖維

所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間［5,40］中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的100根中—

根棉花纖維的長度小于15mm.

思路：由頻率直方圖的橫縱軸可得：組距為5mm,所以小于15mm的頻率為

（0.01+0.01）x5=0.1,所以小于15E共有100x0.1=10根

答案：10

例4：某班甲、乙兩位同學(xué)升入高中以來的5次數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖如圖，則乙同學(xué)這5次

數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)是:已知兩位同學(xué)這5次成績的平均數(shù)都是84,成績比較穩(wěn)定的

是（第二個空填“甲”或“乙”）.

甲乙

79

43218028

091

思路:由莖葉圖可讀出,乙同學(xué)的成績?yōu)?9,80,82,88,91,甲同學(xué)的成績?yōu)?1,82,83,84,91,

所以乙同學(xué)的成績的中位數(shù)為82,相比較而言，甲同學(xué)的成績比較集中，所以比較穩(wěn)定的是

甲

答案：82,甲

小煉有話說：在求中位數(shù)時要注意先將數(shù)據(jù)從小到大排列，判斷成績穩(wěn)定，本題甲，乙穩(wěn)定

性的判斷定量上要依靠方差，但因為本題從莖葉圖上看出甲，乙數(shù)據(jù)穩(wěn)定性差距較大，所以

定性的判斷。

例6：某校從參加高三年級期末考試的學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績分成五段:

[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,15()],它的頻率分布直方圖如圖所示，則該批學(xué)

生中成績不低于90分的人數(shù)是.

0.0175

0.0150

0.0125

00100

0.0075

0.0050

00025

0

思路：[90,100)的高度未知，但由于直方圖體現(xiàn)的是全部樣本的情況，所以各部分頻率和為

1,可以考慮間接法。從圖中可觀察到(50,90]的頻率為(0.0025+0.0150)x20=0.35,所

以不低于90分的頻率為1—0.35=0.65,故人數(shù)為100x0.65=65(人)

答案：65

例7：從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間,頻率

分布直方圖所示.

(2)在這些用戶中，用電量落在區(qū)間［100,250)內(nèi)的戶數(shù)為.

思路：(1)依題意可得頻率直方圖中的頻率和等于1,由圖可得組距為50,所以有

(O.(X)24+O.(X)36+O.(X)6O+x+O.(X)24+0.(X)12)x50=1,解得x=0.0044

(2)圖中［10(),250)的頻率為(0.0036+0.006+0.0044)x50=0.7,所以用戶數(shù)為

100x0.7=70(戶)

答案：(1)%=0.0044(2)70戶

例7：某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績分布直方圖如圖所示，分?jǐn)?shù)不低于4即為優(yōu)秀，如果

思路：可先從頻率直方圖中按分?jǐn)?shù)從高到低統(tǒng)計分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，組距為10,從而可得：

(140,150］的人數(shù)為l(XX)x(0.01x10)=10(),同理可得(130,140］的人數(shù)為150人，而優(yōu)秀

的人數(shù)為175人，所以應(yīng)包含(140,150］的全體，以及(130,140］中的一半人數(shù)，所以估計值

為130到140的中間值，即135

答案：A?135

例8：某地區(qū)為了解中學(xué)生的日平均睡眠時間(單位：/?)，隨機選擇了〃位中學(xué)生進行調(diào)查,

根據(jù)所得數(shù)據(jù)，畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示，且從左到右的第1個、第4個、第2個、

第3個小長方形的面積依次構(gòu)成公差為0.1的等差數(shù)列，又第一小組的頻數(shù)是10,則〃=

思路：設(shè)第一個的面積為S1=a則第4個為S4=a+0.1,第2個為S2=a+0.2,第3個

為+0.3,依題意可得四部分的頻率和為1,從而E+S2+S3+S4=1可解得a=0.1,

所以￡=0.1,從而〃=—=100