高中數(shù)學(xué)學(xué)案1：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第二冊(cè) 平面向量的加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示

6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

6.3.3平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示

素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)

1.平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示依然可以類

1.了解平面向量的正交分解，掌握向量比數(shù)的運(yùn)算來(lái)學(xué)習(xí)，注意坐標(biāo)運(yùn)算的二

的坐標(biāo)表示.(邏輯推理)維特征.

2.理解向量坐標(biāo)的概念，掌握兩個(gè)向量2.由于使用了正交分解，因此平面向量

和、差的坐標(biāo)運(yùn)算法則.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)的坐標(biāo)運(yùn)算其實(shí)是同名坐標(biāo)之間的運(yùn)

算.

知識(shí)點(diǎn)平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

1.平面向量正交分解的定義

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

2.平面向量的坐標(biāo)表示

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、「軸方向相同的兩個(gè)單位向量

_分別為/，J,取｛九J｝作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a，由平面向量基

本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=(x,y).我們把有序數(shù)對(duì)(x,

y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y).此式叫做向量a的坐標(biāo)表示.

(2)特殊向量的坐標(biāo):i=(l,O),j=(O,l),0=(0,0).

［知識(shí)解讀］點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的區(qū)別和聯(lián)系

點(diǎn)的坐標(biāo)反映的是點(diǎn)的位置，而向量的坐標(biāo)反映的是向量的大小和方向，向量

僅由大小和方向決定，與位置無(wú)關(guān).

1.聯(lián)系：(1)當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，向量終點(diǎn)的坐標(biāo)等于向量本身的

坐標(biāo).

(2)兩個(gè)向量相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)相同.即

\xx=x2,

若a=(x”%)，b=5,%)，則a=從*

5=外

注意：相等向量的坐標(biāo)是相同的，但是兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)卻可

以不同.

2.區(qū)別：(1)書(shū)寫(xiě)不同，如a=(1,2),4(1,2).

(2)給定一個(gè)向量，它的坐標(biāo)是唯一的；給定一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，由于向量可以

平移，故以這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)為坐標(biāo)的向

量有無(wú)窮多個(gè).因此，符號(hào)(x,y)在平面直角坐標(biāo)系中有雙重意義，它既可以

表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量.為了加以區(qū)分，在敘述中，常說(shuō)點(diǎn)(x,

力或向量(x,y).

3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)向量a=(x”%)，b=(如④，4GR,則有下表:

文字描述符號(hào)表示

兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩

加法&+力=(3+生，

個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和

兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩

減法a-b=(1一)，必一二)

個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差

實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這

數(shù)乘個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)/8=（（乂，--）

向量一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量

已知力(xi,%)，8(品，必)，

坐標(biāo)的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起

則花=(而一為，必一必)

公式點(diǎn)的坐標(biāo)

題型一NF面向量的坐標(biāo)表示

典例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系才分中，0A=4,AB=3,N/Ox=45°,Z

"18=105°,OA=a,需=6.四邊形物固為平行四邊形.

(1)求向量a，b的坐標(biāo).

(2)求向量威的坐標(biāo).

(3)求點(diǎn)8的坐標(biāo).

［歸納提升］求向量坐標(biāo)的三個(gè)步驟:

平移一將向量的始點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn)

找出以X軸正向?yàn)槭歼?，向量所?/p>

求角

射線為終邊的角0

根據(jù)x=zcos8,y=rsin。(/為向量的

求坐標(biāo)

模)求終點(diǎn)坐標(biāo)，即為向量坐標(biāo)

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?己知向量a在射線y=x(x20)上，且起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0,又

\a\=y［2,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量力)作為基底，則向量a

的坐標(biāo)為()

A.(1,1)B.(-1,-1)

C.電?D.(-^2,一/)

題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

典例2已知平面上三個(gè)點(diǎn)4(4,6)、6(7,5)、C(l,8),求荔、AC,AB+AC.AB

—AC.

［歸納提升］平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行.

(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量

的坐標(biāo)運(yùn)算.

(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)已知點(diǎn)4(0,1),庾3,2),向量能=(—4,-3),則向量

BC=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

(2)已知4(1,-2),6(2,1),C(3,2)和〃(一2,3),試用坐標(biāo)來(lái)表示功+防+壹

題型三平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的綜合應(yīng)用

典例3已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(—2,1),庾一1,3),。⑶4),求點(diǎn)

〃的坐標(biāo)，使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).

［歸納提升］平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解

(1)已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)主要是利用平行四

邊形的對(duì)邊平行且相等這個(gè)性質(zhì)，則其對(duì)應(yīng)的向量相等，即向量的坐標(biāo)相等.

(2)當(dāng)平行四邊形的頂點(diǎn)順序未確定時(shí)，要分類討論.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?如果將灑=償，，繞原點(diǎn)。逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°得到宓,

典例4已知點(diǎn)4(2,3),3(5,4),<7(7,10),若亦=花+兒衣(兒GR),試求當(dāng)

點(diǎn)尸在第三象限時(shí)，4的取值范圍.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?已知點(diǎn)。是內(nèi)一點(diǎn)，//加=150°,/8%=90°,

設(shè)而=a,說(shuō)=b,OC=cSLIa\=2,|引=1,”=3,求向量宓，距的坐標(biāo).（以0

為坐標(biāo)原點(diǎn)，游所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系）

6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

6.3.3平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示

素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)

1.平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示依然可以類

1.了解平面向量的正交分解，掌握向量

比數(shù)的運(yùn)算來(lái)學(xué)習(xí)，注意坐標(biāo)運(yùn)算的二

的坐標(biāo)表示.（邏輯推理）

維特征.

2.理解向量坐標(biāo)的概念，掌握兩個(gè)向量

2.由于使用了正交分解，因此平面向量

和、差的坐標(biāo)運(yùn)算法則.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）

的坐標(biāo)運(yùn)算其實(shí)是同名坐標(biāo)之間的運(yùn)

算:.

知識(shí)點(diǎn)平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

1.平面向量正交分解的定義

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

2.平面向量的坐標(biāo)表示

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、「軸方向相同的兩個(gè)單位向量

_分別為＞，J，?。?，J｝作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a,由平面向量基

本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=(x,力.我們把有序數(shù)對(duì)(x,

y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a—(x,y).此式叫做向量a的坐標(biāo)表示.

(2)特殊向量的坐標(biāo)：i=(1,0),J=(0,1),0=(0,0).

［知識(shí)解讀］點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的區(qū)別和聯(lián)系

點(diǎn)的坐標(biāo)反映的是點(diǎn)的位置，而向量的坐標(biāo)反映的是向量的大小和方向，向量

僅由大小和方向決定，與位置無(wú)關(guān).

1.聯(lián)系：(1)當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，向量終點(diǎn)的坐標(biāo)等于向量本身的

坐標(biāo).

(2)兩個(gè)向量相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)相同.即

\xx=X,

若a=(x”必)，b=5%)，則1

1%=必?

注意：相等向量的坐標(biāo)是相同的，但是兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)卻可

以不同.

2.區(qū)別：(1)書(shū)寫(xiě)不同,如a=(l,2),4(1,2).

(2)給定一個(gè)向量，它的坐標(biāo)是唯一的；給定一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，由于向量可以

平移，故以這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)為坐標(biāo)的向

量有無(wú)窮多個(gè).因此，符號(hào)(x，y)在平面直角坐標(biāo)系中有雙重意義，它既可以

表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量.為了加以區(qū)分，在敘述中，常說(shuō)點(diǎn)(心

力或向量(x,y).

3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)向量a=(x”m)，b=J,必)，則有下表:

文字描述符號(hào)表示

加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩a+Z>=（1+在,弘+%）

個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和.

兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩

減法a-b=（1一），%一二）

個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差，

實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這

數(shù)乘個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)Xa=(/父,，%)

向量一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量

已知4（xi,%），B（x”必），

坐標(biāo)的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起

則~AB=（在―X”必一弘）

公式點(diǎn)的坐標(biāo)

題型一3F面向量的坐標(biāo)表示

典例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，的=4,AB=3,N/0x=45°,Z

如4105°,OA=a,焉=6.四邊形位以7為平行四邊形.

(1)求向量&，6的坐標(biāo).

(2)求向量9的坐標(biāo).

(3)求點(diǎn)6的坐標(biāo).

［解析］(1)作4V_Lx軸于點(diǎn)弘

貝I」OM=OA-cos45°=4X^=2小，

AM=OA'sin45°=4X乎=2啦，

所以力(2鏡，2①故a=(2蛆,2^2).

因?yàn)镹4OC=180°-105°=75°,ZAOy=45°,

所以/。%=30°.又OC=AB=3,

所以第=沅=(弓歲)即H—會(huì)吟

(3)宓=應(yīng)+誦

=^-1,2舟啕.

［歸納提升］求向量坐標(biāo)的三個(gè)步驟：

而朝一|將向量的始點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn)

找出以解山正向?yàn)槭歼?，向量所?/p>

射線為終邊的角e

士,灰*_|_根據(jù)x=rcos0,y=rsin"r為向量的

"㈣模)求終點(diǎn)坐標(biāo)，即為向量坐標(biāo)

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?已知向量a在射線尸爪心0)上，且起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。，又

|a|=V2,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j.作為基底，則向量a

的坐標(biāo)為(A)

A.(1,1)B.(-1,-1)

C.(^2,:)D.(一嫄，-^2)

［解析1由題意，a=(鏡cos45°)￡+(*sin45°)j—I+J=(1,1).

題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

典例2已知平面上三個(gè)點(diǎn)】(4,6)、6(7,5)、。(1,8),求第、AC.亞+衣、AB

—AC.

［分析］先計(jì)算出葩，元的坐標(biāo)，再進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.

［解析］?4(4,6)、8(7,5)、C(l,8)

.,.荔=(7,5)—(4,6)=(3,-1)；衣=(1,8)—(4,6)=(—3,2)；

和丸=(3,-1)+(-3,2)=(0,1)；

AB-(3,—1)一(—3,2)=(6,-3).

［歸納提升］平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行.

(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量

的坐標(biāo)運(yùn)算.

(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)已知點(diǎn)力(0,1),3(3,2),向量尿=(一4,一3),則向量

BC={A)

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

(2)已知4(1,-2),M2,1),C(3,2)和〃(一2,3),試用坐標(biāo)來(lái)表示加■如森

［解析］(1)解法1：設(shè)C(x,y),則赤=(x,y—1)=(—4,—3).

即x=—4,y=—2,故。(一4,-2),則反'=(-7,—4),故選A.

解法2：BC=AC-AB=(-1,-4).

(2)松(一3,5),9(—4,2),"(—5,1)，

AD-\-BD-\-CD=(-3,5)+(—4,2)+(—5,1)=(-12,8).

題型三平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的綜合應(yīng)用

典例3已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為力(-2,1),8(—1,3),以3,4),求點(diǎn)

〃的坐標(biāo)，使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).

［分析］利用坐標(biāo)形式下向量相等的條件，可以建立相等關(guān)系，進(jìn)而求出〃點(diǎn)

的坐標(biāo).

［解析］設(shè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(*,y),

當(dāng)平行四邊形為/灰力時(shí)，由拔=(1,2),DC={3-x,4-y),且加=應(yīng)；得

〃(2,2).

當(dāng)平行四邊形為U時(shí)，由9=(1,2),"(x—3,y-4),且加=而，得

伏4,6).

當(dāng)平行四邊形為切時(shí)，由衣=(5,3),龍=(一1-%3—力，且衣=場(chǎng)，得

〃(一6,0),

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)或(4,6)或(-6,0).

［歸納提升］平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解

(1)已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)主要是利用平行四

邊形的對(duì)邊平行且相等這個(gè)性質(zhì)，則其對(duì)應(yīng)的向量相等，即向量的坐標(biāo)相等.

(2)當(dāng)平行四邊形的頂點(diǎn)順序未確定時(shí)，要分類討論.

如果將灑=惇,I

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?9繞原點(diǎn)。逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°得到宓,

乙)

則硼坐標(biāo)是(D)

1}

A.2)

C.(―1,y/3)f

2)

因?yàn)橛?(平,1］

［解析］3所在直線的傾斜角為30。，繞原點(diǎn)。逆時(shí)針?lè)较蛐?/p>

轉(zhuǎn)120。得到麗在直線的傾斜角為150。，所以48兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，由此

可知6點(diǎn)坐標(biāo)為一半，9，故座的坐標(biāo)是T，9.

、乙乙)、乙乙)

典例4已知點(diǎn)4(2,3),8(5,4),C(7,10),若9加+人衣(46R),試求當(dāng)

點(diǎn)尸在第三象限時(shí)，4的取值范圍.

[錯(cuò)解]由已知得淳=葩+4衣=(5—2,4—3)+4(7—2,10—3)=⑶1)+

A(5,7)=(3+5A,1+74),

[3+5A<0,3

又點(diǎn)尸在第三象限，所以一7/所以人一.

[1+7A<0,5

3

故兒的取值范圍為(-8,