高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-數(shù)形結(jié)合解題專題

高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-數(shù)形結(jié)合解題專題

一、高中學(xué)生用“數(shù)形結(jié)合”解題的現(xiàn)狀

目前，從高中生數(shù)形結(jié)合解題能力調(diào)查可知，高中生數(shù)

形結(jié)合解題意識不強，這主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中數(shù)與形

的分離上，即一個問題僅僅是從數(shù)的角度求解，或者是

僅僅從形的角度考慮。而且學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解題時容

易出現(xiàn)問題，不易找到數(shù)形結(jié)合解題的突破口。因此，

高中數(shù)學(xué)教學(xué)如果能有效地引導(dǎo)學(xué)生自覺強化運用數(shù)形

結(jié)合的解題意識，善于培養(yǎng)學(xué)生尋找數(shù)形結(jié)合解題突破

口的能力，將能大大提高學(xué)生解題準確率。

二、“數(shù)形結(jié)合”的思想及重要性

“數(shù)”與“形”，作為數(shù)學(xué)中最古老最重要的兩個方面，

一直就是一對矛盾體。正如矛和盾總是同時存在一樣，有

“數(shù)”必有“形”，有“形”必有“數(shù)”。華羅庚先生曾

說過：”數(shù)與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數(shù)缺形時

少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬

事休。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系，切莫分離！”

寥寥數(shù)語，把數(shù)形之妙說得淋漓盡致?？梢?，所謂數(shù)形結(jié)

合，指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把

抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系

結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象

思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問

題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。數(shù)形結(jié)合的思

想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，

關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問

題幾何化?！皵?shù)形結(jié)合”作為數(shù)學(xué)中的一種重要思想，在

高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位。近年高考數(shù)學(xué)試卷，就

是一個有力的明證。

在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第

一要徹底明白一些概念及其幾何意義以及曲線的代數(shù)特

征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何又分析其代

數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思

形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取

值范圍。

三、數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用及效果

在多年來的高考題中，數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，大多是“以

形助數(shù)”。在解方程和不等式、求函數(shù)的最值問題、求

復(fù)數(shù)和三角函數(shù)等問題中，如果巧妙運用“數(shù)形結(jié)合”

思想解題，可以化抽象為具體，效果事半功倍。數(shù)形結(jié)

合的思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一，應(yīng)用數(shù)形結(jié)

合的思想，可以解決以下問題：

（一）、解決集合問題：在集合運算中常常借助于數(shù)軸、

Venn圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得

以簡化，使運算快捷明了。

應(yīng)用1：設(shè)命題甲：0<x<3,命題乙：|x—11<4,則甲是

乙成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.不充分也不必要條件

將兩個命題用數(shù)軸表示，如圖：

從上圖可以看出，命題甲是命題乙的充分不必要條件.所

以選A.

乙

甲

-3035

應(yīng)用2:設(shè)U是全集，則①Q(mào)A"巴②四6=巴

③An（c/）=。，④（GMnB=°。

上面結(jié)論中不正確的是：

解：畫出適合條件的韋恩圖即知③不正確。

［點評］對于處理集合的問題，可以用數(shù)形結(jié)合的方法，

如果是含字母參數(shù)的，可以畫韋恩圖；如果是具體的數(shù)

集，則可以畫數(shù)軸，都可以使集合間的關(guān)系直觀化.

（二）、解決方程與不等式的問題：處理方程問題時，把方

程的根的問題看作兩個函數(shù)圖象的交點問題；處理不等式

時，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析

其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。

應(yīng)用：設(shè)aeR,關(guān)于x的一■兀二次方程7彳2_(。+13)彳+。2_。_2=0有

兩實根玉、々，且0<西<1<尤2<2,求a的取值范圍。

分析：此題告訴我們方程有兩個根，所以可考慮解出兩根

/赴,再把兩根帶入0<玉<1<々<2求解不等式即可。顯然這樣

的思路想來簡單，但求解卻是非常困難的事情,所以我尸不

得不考慮其他辦法。若我們令：\./x.

/(x)=7x2-(a+13)x+a2--2|\_y

那么問題就可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f(x)與X軸應(yīng)有

兩個交點，而交點的位置一個在(0,1)內(nèi)、一個在(1,2)內(nèi)，由圖

可列出圖像應(yīng)滿足的條件并求解：

7(o)>o

</(I)<0n-2<a<—1或3<a<4

J⑵>0

(三)、解決線性規(guī)劃問題：線性規(guī)劃問題是在約束條件

下求目標函數(shù)的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體

現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

應(yīng)用：某電腦用戶計劃用不超過500元的資金購買單價

分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，

軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共

有()

A5種B.6種C.7種D.8種

分析1:該題可用例舉法一一例舉出結(jié)果

分析2：利用線性規(guī)劃知識求解：

設(shè)需買軟片X片、買磁盤y盒，由題意知:

60x+70y<500

<x>3

”2

上述約束條件所表示的平面區(qū)域為如右圖所示的陰影三角

形上。整點(X,y)共有7個,即為(3,2)、(4,2)、(5,

2)、(6,2)、(3,3)、(4,3)、(3,4),共有7種不同的選

購方式故選C

［點評］顯然前一種方法雖然可以求解該題，但花費時間較長,

且容易漏解，第二種方法解該題卻顯得既準確又快捷。

(四)、解決三角函數(shù)問題：有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確

定或比較三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓

或三角函數(shù)圖象來處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)

問題的重要方法。

應(yīng)用：若,記max(a,8)=,對于函數(shù)

b,(a<b)

/(%)=max(sinx,cosx)(xG/?),給出下列4個命題：

⑴該函數(shù)的值域是［-1,1］；⑵當(dāng)且僅當(dāng)x=2癡+至伏eZ)時,該

2

函數(shù)取得最大值1；⑶該函數(shù)是以乃為最小正周期的周期函

數(shù)；⑷當(dāng)且僅當(dāng)2版■+乃<%<2%乃+半(ZeZ)時，/(x)<0.上述命

題中正確的命題是解析：根據(jù)題意，可把已

知函數(shù)轉(zhuǎn)譯為/(幻二產(chǎn)叱而短儂幻，將其簡圖畫出(見圖

cosx,(sinx<cosx)

1),由此圖像可知，該函數(shù)值域是［一當(dāng)」］;當(dāng)x=2k兀+—(Z:GZ)

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或x=2版■時，該函數(shù)取得最大值1；該函數(shù)是以2萬為最小正

周期的周期函數(shù)，所以命題⑴、⑵、⑶都不正確，而命題

⑷是正確的。

［點評］:本題的特點是給出的函數(shù)較為復(fù)雜，如果利用以

往學(xué)過的函數(shù)性質(zhì)不便于解題。這時我們利用已知的正

弦，余弦函數(shù)圖像解題，則簡單，明了，準確。

(五)除以上應(yīng)用之外，數(shù)形結(jié)合在解決解析幾何、立體

幾何等問題時，同樣可以起到使復(fù)雜的問題簡單化、直

觀化的效果。

從上面數(shù)形結(jié)合的解題實例中可以看出，充分抓住數(shù)與形

的內(nèi)在聯(lián)系去探索問題，將會收到事半功倍的效果。

總而言之，問題是數(shù)學(xué)的心臟，提出并解決問題是推動數(shù)學(xué)

發(fā)展的動力。而數(shù)形結(jié)合就是高效解決數(shù)學(xué)問題的重要方法

之一。若我們的學(xué)生能恰當(dāng)?shù)乩脭?shù)形結(jié)合思想提高解