八年級(jí)上學(xué)期壓軸題模擬數(shù)學(xué)綜合檢測(cè)試卷解析(一)

八年級(jí)上學(xué)期壓軸題模擬數(shù)學(xué)綜合檢測(cè)試卷解析(一)

2.已知AABC是等邊三角形，aAOE的頂點(diǎn)。在邊8c上

(1)如圖1,若4D=DE,ZAED=60°,求NACE的度數(shù);

(2)如圖2,若點(diǎn)。為8c的中點(diǎn)，AE=AC,ZMC=90°,連C￡,求證：CE=2BF；

(3)如圖3,若點(diǎn)。為8C的一動(dòng)點(diǎn)，ZAED=90°,ZADE=30\已知AABC的面積為

4舊，當(dāng)點(diǎn)。在8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△48E■的面積是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其面積；若變

化請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)八的坐標(biāo)是(0M),點(diǎn)B的坐標(biāo)SB)且a,b滿(mǎn)足

a2-12a+36+\a-b\=0.

(1)求A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖(1),點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸一動(dòng)點(diǎn)，OC<OB.8DJ.AC于D,交y軸于點(diǎn)E,

求證：0￡)平分NCD乩

(3)如圖(2),點(diǎn)F為4F的中點(diǎn)，點(diǎn)G為x正半軸點(diǎn)8右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作R?的

垂線(xiàn)"7,交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)H,那么當(dāng)點(diǎn)G的位置不斷變化時(shí)，S。切-SNM的值是

否發(fā)生變化?若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)求出相應(yīng)結(jié)果.

3.請(qǐng)按照研究問(wèn)題的步驟依次完成任務(wù).

【問(wèn)題背景】

(1)如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為"8字形"，請(qǐng)說(shuō)理證明NA+NB=NC+ND.

圖5

【簡(jiǎn)單應(yīng)用】

(2)如圖2,AP、CP分別平分/BAD、ZBCD,若/ABC=20。，ZADC=26°,求NP的度數(shù)

(可直接使用問(wèn)題(1)中的結(jié)論)

【問(wèn)題探究】

(3)如圖3,直線(xiàn)AP平分NBAD的外角NFAD,CP平分/BCD的外角NBCE,若/

ABC=36°,ZADC=16°,猜想NP的度數(shù)為_(kāi)；

【拓展延伸】

(4)在圖4中，若設(shè)NC=x,ZB=y,ZCAP=|zCAB,ZCDP=|ZCDB,試問(wèn)NP與NC、

NB之間的數(shù)量關(guān)系為—(用x、y表示NP)；

(5)在圖5中，AP平分/BAD,CP平分NBCD的外角NBCE,猜想NP與NB、D的關(guān)

系，直接寫(xiě)出結(jié)論.

5.已知△ABC是等邊三角形，ZkAOE的頂點(diǎn)。在邊8c上

(1)如圖1,若AD=DE,ZAED=60°,求NACE的度數(shù);

(2)如圖2,若點(diǎn)D為8C的中點(diǎn),AE=AC,NEAC=90°,連CE,求證：CE=2BF；

(3)如圖3,若點(diǎn)。為BC的一動(dòng)點(diǎn)，ZAED=90°,ZADE=30°,已知AA8c的面積為

4月，當(dāng)點(diǎn)。在8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△A8E的面積是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其面積；若變

化請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.如圖1,將兩塊全等的三角板拼在一起，其中^ABC的邊BC在直線(xiàn)I上，AC_LBC且AC

=BC；4EFP的邊FP也在宜線(xiàn)I上，邊EF與邊AC重合，EFFP且EF二FP.

（1）在圖1中，請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想并寫(xiě)出AB與AP所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)

系；

（2）將三角板4EFP沿直線(xiàn)I向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q,連接AP、

BQ.猜想并寫(xiě)出BQ與AP所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）將三角板AEFP沿直線(xiàn)I向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線(xiàn)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

Q,連接AP、BQ.你認(rèn)為（2）中猜想的BQ與AP所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？

若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.（1）如圖1,已知：在M8C中，ZB4C=90°,AB=AC,直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)點(diǎn)4BO_L直線(xiàn)

m,C￡J_直線(xiàn)m,垂足分別為點(diǎn)。、E.證明：DE=BD+CE.（提示：由于。0W+4E,證明

AD=CE,AE=8。即可）

（2）如圖2,將（1）中的條件改為：在S8C中，AB=AC,D、2、￡三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上，

并且有N8DA=NAEC=N84C=a,其中。為任意鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成

立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖3,D、E是。、4E三點(diǎn)所在直線(xiàn)m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、4E三點(diǎn)互不重合〕，

點(diǎn)F為/B4C平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且448F和，4CF均為等邊三角形，連接8D、CE,若/

BDA=ZAEC=ZBAC,試證明.OEF是等邊三角形.

7.如圖，在△48C中，點(diǎn)D為直線(xiàn)8c上一動(dòng)點(diǎn)，ZDAE=9Q°,AD=AE.

圖1圖2圖3

(1)如果/84：=90。，AB=AC.

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段BC上時(shí)，線(xiàn)段CE與8。的位置關(guān)系為,數(shù)量關(guān)系為

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段8c的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)如圖3,若△48C是銳角三角形，ZACB=45°,當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，證明：CE1

RD.

8.如圖，.ABC和AADE中,AB=AD=6,BC=DE,ZB=ZD=30°,邊AO與邊BC

交于點(diǎn)P(不與點(diǎn)A,C重合)，點(diǎn)A,E在AO異側(cè)，/為NP4c與440的角平分線(xiàn)的

交點(diǎn).

⑴求證：ZBAD=ZCAE：

(2)設(shè)AP=x,請(qǐng)用含“的式子表示P。，并求P。的最大值；

(3)當(dāng)AB_L4C時(shí),NA/C的取值范圍為利。vNA7Cv〃。，求出明〃的值.

【參考答案】

?.(1)60。：(2)見(jiàn)解析：(3)不變，

【分析】(1)由題意，先證△ADE是等邊三角形，再證△BADM^CAE,得

ZACE=ZB=60°；

(2)由題意，先求出NBEC=30。，然后求出NCF

解析：(1)60°；(2)見(jiàn)解析；(3)不變，

【分析】(1)由題意，先證“DE是等邊三角形，再證得N4CE=N

8=60°；

(2)由題意，先求出N8￡C=30。，然后求出/CFE=90。，利用直角三角形中30度角所對(duì)直

角邊等于斜邊的一半，即可得證；

(3)延長(zhǎng)須至F,使￡F=4E,連。F、CF,先證明ZiADF是等邊三角形，然后證明

△EHA,結(jié)合HG是定值，即可得到答案.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意，

?；AD=DE,ZAED=60°,

???△ADE是等邊三角形，

：,AD=AE,ZDAE=60°,

?：AB=AC,N8心60°,

???zLBAC-ZDAC=Z.DAE-ZDAC,

即W￡)=NC4￡,

:.△BAD^RCAE,

:.NAC￡=N8=60°；

(2)連CF,如圖：

圖2

'：AB=AC=AE,

:.ZAEB=ZABE,

VZ64C=60°,ZEAC=9Q°,

.??N8AE=150°,

:.NAE8=NA8E=15°；

??.△ACE是等腰直角三角形，

:.4EC=45°,

.,.ZB￡C=30°,NEBC=45°,

??N。垂直平分8C,點(diǎn)F在A。上，

1?CF=BF,

.??NFC8=NE8c=45°,

:.NCFE=90°,

在直角ZkCEF中，ZCFE=90°,NCEF=30°,

：,CE=2CF=2BF；

(3)延長(zhǎng)4F至F,使EF=4E,連OF、CF,如圖:

VZAED=90\EF=AE,

，DE是中線(xiàn)，也是高，

???△ADF是等腰三角形，

ZADE=30°f

:.ZDAE=60°,

???△ADF是等邊三角形；

由（1）同理可求N4CF=/48C=60。，

:.ZACF=ZBAC=6Q°,

：.CF//ABf

過(guò)E作EG_LCF于G,延長(zhǎng)GE交84的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)兒

易證AEGF也△EH4

，EH=EG=；HG,

???HG是兩平行線(xiàn)之間的距離，是定值，

:.S^ABE=!SAABC=-X4X/3=2A/3；

22

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線(xiàn)的

性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線(xiàn)，從而進(jìn)行解題.

3.（1）,；（2）證明見(jiàn)解析；（3）不變化，.

【分析】（1）由非負(fù)性可求a,b的值，即可求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)。作于M,于N,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；

（3）由于點(diǎn)F是等

,即

解析：（1）A（0,6）,5（6,0）;（2）證明見(jiàn)解析；（3）不變化，SAFH-S=9.

【分析】（1）由非負(fù)性可求。，b的值，即可求4、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)：

（2）過(guò)點(diǎn)。作OMJL5O于M,ONJLAC于N,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；

（3）由于點(diǎn)F是等腰直角三角形八OB的斜邊的中點(diǎn)，所以連接OF,得出0F=8F.ZfiFO=

NGFH，進(jìn)而得出NOFH=/8FG,利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)以及三

角形面積公式解答即可.

【詳解】解：（1）???/-12。+36+|〃一可=0

/.（＜s—6）2十,

a-6=0

即a=/>=6.

a-b=0

???A(0,6),8(6,0).

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)。作OM_LA。于M,ON1AC于M

根據(jù)題意可知N4CO+NC4090。.

???BD1AC,

工ZBCD+ZCBE=90°,

工NCAO=4CBE.

A(0,6),4(6,0),

，0A=0B=6.

NCAO=NEBO

在△AOC和△BOE中，OA=OB

/AOC=ZBOE=90°

:.AOC^BOECASA).

：.OE=OC,AC=RE,SAOC=SBOE

.」AC?ON=LBE?OM,

22

：.OM=ON,

:?點(diǎn)、。?定在NCDB的角平分線(xiàn)I.,

即0。平分NCD8.

(3)如圖，連接OF,

???JO"是等腰直角三角形且點(diǎn)F為48的中點(diǎn),

OF=FB,OF平分NA08.

，4OFB=4)FH+N〃7格=90。.

又;FG1FH,

/.ZHFG=/BFG+/HFB=90°,

???4OFH=4BFG.

???NFOB=L/AOB=45。,

2

JZFOH=ZFOB+Z//OS=45°+90°=135°.

又/FBG=180°-ZABO=180°-45°=135°,

Z.ZFOH=Z.FBG.

Z.OFH=Z.BFG

在和aEBG中)OF=BF,

ZFOH=NFBG

???FOH=￡,FBG(ASA).

?q=q

??uFOHuFBG，

X

**,SAFH-SFBG=SAFH~SFOH=SFOA=—SAOB=—^—OA?OB=-6X6=9.

故不發(fā)生變化，且5"〃-SF8G=9.

【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題，考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定，等腰直角三角形的

性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)

題，正確添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

4.(1)見(jiàn)解析；(2)ZP=239；(3)ZP=265；(4)ZP=；(5)ZP=.

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；

(2)如圖2,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到N1=/2,Z3=Z4,列方

解析：(1)見(jiàn)解析；(2)ZP=239；(3)ZP=262；(4)ZP=^^；(5)Z

180°+ZB+ZD

P=------------2------------

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；

(2)如圖2,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到N1=N2,Z3=Z4,列方程組即可得到結(jié)論；

(3)由AP平分NBAD的外角NFAD,CP平分NBCD的外角NBCE,推出N1=N2,Z3=Z

4,推出NPAD=180°-N2,ZPCD=180°-Z3,由NP+(18O°-Z1)=ZD+(180°-Z3),ZP+

Z1=ZB+Z4,推出2NP=/B+ND,即可解決問(wèn)題；

(4)根據(jù)題意得出NB+NCAB=NC+NBDC,再結(jié)合/CAP=|NCAB,ZCDP=|ZCDB,得

JJ

到y(tǒng)+(ZCAB-^ZCAB)=ZP+(ZBDC-^ZCDB),從而可得NP=y+NCAB-gNCAB?/

CDB+-/CDB=2x+y；

33

(5)根據(jù)題意得出NB+NBAD=ND+NBCD,ZDAP+ZP=ZPCD+ZD,再結(jié)合AP平分/

BAD,CP平分/BCD的夕卜危NBCE,得至NBAD+NP=[/BCD+3(180°-ZBCD)]+ZD,

所以NP=900+:NBCD-；ZBAD+ZD=18°°+Zg+ZZ).

222

【詳解】解：(1)證明：在^AOB中，ZA+ZB+ZAOB=180°,

在ACOD中，ZC+ZD+ZCOD=180°,

VZAOB=ZCOD,

.,.ZA+ZB=ZC+ZD；

(2)解；如圖2,YAP、CP4)?另4平7>NBAD,NBCD,

/.Z1=Z2,Z3=Z4,

ZP+Z3=Z1+ZB?

由（1）的結(jié)論得：

ZP+Z2=Z4+ZZX2)

①+②，得2NP+N2+N3=N1+N4+NB+ND,

AZP=-(ZB+ZD)=23°；

(3)解：如圖3,

E圖3

VAP平分NBAD的外角NFAD,CP平分NBCD的外角NBCE,

AZ1=Z2,Z3=Z4,

ZPAD=180°-Z2,ZPCD=1800-Z3,

VZP+(18O0-Z1)=ZD+(180°-Z3),

ZP+Z1=ZB+Z4,

A2ZP=ZB+ZD,

/.ZP=1(ZB+ZD)=yx(36°+16°)=26°；

故答案為：26。；

(4)由題意可得：ZB+ZCAB=ZC+ZBDC,

即y+ZCAB=x+ZBDC,S[JZCAB-ZBDC=x-y,

ZB+ZBAP=ZP+ZPDB,

即y+ZBAP=ZP+ZPDB,

即y+(ZCAB-ZCAP)=ZP+(ZBDC-ZCDP),

即y+(ZCAB-|ZCAB)=ZP+(ZBDC-|zCDB),

，ZP=y+ZCAB-iNCAB-/CDB+gZCDB

2

=y+-(ZCAB-ZCDB)

=y+j(x-y)

21

故答案為：ZP=—x+-y；

(5)由題意可得：ZB+ZBAD=ZD+ZBCD,

ZDAP+ZP=ZPCD+ZD,

:.ZBZD=ZBCDZBAD,

YAP平分NBAD,CP平分/BCD的外角NBCE,

:.ZBAP=ZDAP,NPCE=/PCB,

yZBAD+ZP=(ZBCD+yZBCE)+ZD,

AyZBAD+ZP=[ZBCD+y(1800-/BCD)]+ZD,

:.ZP=90°+yZBCD-yZBAD+ZD

=90。+；(ZBCD-ZBAD)+ND

=90°+；(ZB-ZD)+ZD

180°+ZB+ZD

-2'

/180°+ZB+ZD

故答案為:ZP=2

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，解題的

關(guān)犍是學(xué)會(huì)用方程組的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型.

5.（1）60。；（2）見(jiàn)解析；（3）不變,

【分析】（1）由題意，先證△ADE是等邊三角形，再證△BADMaCAE,得

ZACE=ZB=60°；

（2）由題意，先求出NBEC=30。，然后求出NCF

解析：（1）60。；（2）見(jiàn)解析；（3）不變，2G

【分析】（1）由題意，先證是等邊三角形，再證△加。且△CAE,得N4CE=N

8=60°；

（2）由題意，先求出N8EC-30。，然后求出NCFE-90。，利用直角三角形中30度角所對(duì)直

角邊等于斜邊的一半，即可得證；

（3）延長(zhǎng)4E至F，使EF=4E,連OF、CF,先證明MDF是等邊三角形，然后證明△EG9

△EHA,結(jié)合HG是定值，即可得到答案.

【詳解】解：（1）根據(jù)題意，

;AD=DE,N4￡D=60°,

???△AOE是等邊三角形，

:.AD=AE,N￡ME=60°,

\'AB=AC,N8AC=6（r,

???ZBAC-ZDAC=ZDAE-NDAC,

即/E4D=NC4E,

:ABADqbCAE,

:.NACE=N8=60°；

(2)連CF,如圖：

圖2

\*AB=AC=AE,

:.ZAEB=ZABE,

VZ64C=60°,ZEAC=90°,

：.ZBAE=150°,

:.ZAEB=ZABE=1SQ；

???△ACE是等腰直角三角形，

:.4EC=45°,

/.ZBfC=30°,ZfBC=45°,

二AD垂直平分BC,點(diǎn)F在AD上,

：,CF=BF,

/.ZFCB=Z￡eC=45o,

:.NCFE=90°,

在直角ZiCEF中，ZCFE=90°,ZCEF=30°,

：,CE=2CF=2BF：

(3)延長(zhǎng)AE至F,使EF=AE,連OF、CF,如圖:

H

VZAED=90\EF=AE,

DE是中線(xiàn)，也是高，

???△ADF是等腰三角形，

,:ZADE=30°,

：,ZDAE=60°,

???△4DF是等邊三角形；

由(1)同理可求N4CF=/48C=60°,

:.ZACF=ZBAC=6Q°,

：.CF//AB,

過(guò)E作EGLCFJ-G,延長(zhǎng)6E交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H,

易證△EGFg^EHA,

：.EH=EG=^HG,

???HG是兩平行線(xiàn)之間的距離，是定值，

工558E=4S^ABC=-x4x/3=2x/3；

22

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三用形的判定和性質(zhì)，垂直平分線(xiàn)的

性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線(xiàn)，從而進(jìn)行解題.

57.已知，40,a),B(b,0),點(diǎn)為x軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AC=CD,ZACD=9Q°.

(1)已知a,b滿(mǎn)足等式Ia+bI+b?+4b=-4.

①求A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)；

②如圖1,連8。交y軸于點(diǎn)H,求點(diǎn)H的坐標(biāo)；

(2)如圖2,已知a+b=0,OC>OB,作點(diǎn)8關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連OE,點(diǎn)F為DE的中

點(diǎn)，連OF和CF,請(qǐng)補(bǔ)全圖形，探究OF與CF有什么數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(1)①八(0,2),B(-2,0)；②H(0,-2)；(2)CF1OF,CF=OF,證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)①利用絕對(duì)值、完全平方的非負(fù)性的應(yīng)用，求出。、b的值，即可得到答

案；

②過(guò)C作y軸垂線(xiàn)交8A的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,然后證明△CE4絲△CBD,得到08=。從即可得到

答案；

(2)由題意，先證明△DFGg^EFO,然后證明ADCGgZVIC。，得到ZkOCG是等腰直角三角

形，再根據(jù)三線(xiàn)合一定理，即可得到結(jié)論成立.

【詳解】解：(1)???|。+4+6+4〃=-4,

???,+4+〃+劭+4=0,

.?.|"+可+(。+2)2=0,

/.a+b=0,b+2=(),

：.b=-2t

a=2,

：.A(0,2),B(-2,0)；

②過(guò)C作x軸垂線(xiàn)交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,

???0/4=08=2,Z>408=90%

???△AOB是等腰直角三角形,

:./48。=45°,

VEC1SC,

???△BCE是等腰直角三角形，

：.8C=EC,ZBCE=90°=ZACD,

:.NACE=/DCB,

V^C=DC,

/.△CfA^ACBD,

AZCBD=Z￡=45°,

：.OH=OB=2,

：.H(0,-2)；

(2)補(bǔ)全圖形，如圖：

???點(diǎn)8、￡關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),

；?OB=OE,

\*a+b=0,即。=一6

：,OA=OB=OE

延長(zhǎng)。F至G使FG=OF,連DG,CG,

VOF=FG,NOFE=NDFG,EF=DF

:?△DFGdEFO

：.DG=OE=OA,ZDGF=ZEOF

：.DG//OE

??.NCDG=NOCO：

Y4cO+NC4O=NACO+NDCO=90°,

???NOCO=NC4O；

???NCDG=NO8=/C4。；

'：CD=ACfOA=DG

:.△DCGWXACO

：.OC=GC,ZDCG=ZACO

ZOCG=90°,

，NCOF=45°,

???△OCG是等腰直角三角形，

由三線(xiàn)合一定理得CF±OF

VZOCF=ZCOF=45°,

:?CF=OF；

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三免形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性

質(zhì)，非負(fù)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線(xiàn)進(jìn)行解題.

58.已知點(diǎn)4在x軸正半軸上，以0A為邊作等邊,。八￡,A[x,0),其中x是方程

3122…

------------7=7-----7的解.

23x-l6.V-2

(1)求點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)如圖1,點(diǎn)C在y軸正半軸上，以AC為邊在第一象限內(nèi)作等邊48,連。8并延長(zhǎng)

交V軸于點(diǎn)￡，求NBEO的度數(shù)；

(3)如圖2,點(diǎn)F為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在點(diǎn)4的右邊，連接FB,以FB為邊在第

一象限內(nèi)作等邊，-F8G,連G4并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)H,當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí)，A尸的值是否發(fā)

生變化？若不變，求其值；若變化，求出其變化的范圍.

圖1

(1)4(3,0)；(2)120°；(3)GH-A產(chǎn)的值是定值，9.

【分析】(1)先求出方程的解為x=3,即可求解；

(2)由“S4S"可證4。。也△DA8,可得NO84=NCO4=90。，由四邊形內(nèi)角和定理可求

解；

(3)由“S4S”可證△ABG^^OBF可得OF=AG,ZBAG=ZBOF=6Q°,可求NO4H=60。，可

得八片=6,即可求解.

3122

【詳解】解：(1)??一是方程：-「一;二;~的解.

23x-l6x-2

解得：x=3,

檢驗(yàn)當(dāng)x=3時(shí)，6K-2W0,3X-1W0,

???x=3是原方程的解，

???點(diǎn)A(3,0)；

(2)VA4CD,是等邊三角形，

：.AO=AB,AD=AC,/8A0=NC40=60°,

：.ZCAO=ZBAD,且40=A8,AD=AC,

：./^CAO^/\DAB(SAS)

：.ZDBA=ZC0A=9Q\

:.ZABE=90°,

'：40E+ZABE+N0A8+ZBf0=360°,

.,.Z8fO=120°；

(3)G+4F的值是定值，

理由如下：??'△ABC,ABEG是等邊三角形，

：.BO=AB=AO=3,FB=BG,N80A=/48。=NF8G=60°,

：.ZOBF=ZABG,且。8=八8,BF=BG,

：./\ABG迫4OBF(SAS),

：,OF=AG,ZBAG=ZBGF=6Q°,

:.AG=OF=OA+4F=3+AF,

*/ZOAH=1800-ZOAB-ZBAG,

,NOAH=60°,月./AOH=90°,OA=3,

：,AH=6f

:.GH-AF=AH-{-AG-AF=64-3+AF-AF=9.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了分式方程的解法，等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的

性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力.

59.等邊A48C中，點(diǎn)〃、K分別在邊8C、AC上，且AK=C"，連接AH、8K交于點(diǎn)

尸.

(1)如圖1,求/AF3的度數(shù)：

圖1

(2)連接CF,若/W<?=90。，求打的值；

AF

(3)如圖2,若點(diǎn)G為4?邊的中點(diǎn)，連接“G,RAF=2FG,則N4/；G的大小是

F,

G

圖2

(1)120°；(2)2；(3)120°

【分析】(1)由A48C是等邊三角形，可得出A8=AC=8C,

ZBAC=ZABC=ZACB=60°,再利用AK=C”，可證A45Kg△C4/7(必S),得出

ZCAH=ZABK,由/8切=乙4派+/84尸=/。4”+/班/可求出/3/7/，最后由外角

定義求出NAEB.

(2)在M上取點(diǎn)。，使%)=A/，由44項(xiàng)=120?？勺CNART=I50。，再利用

AI3=AC,"BD=NCAF,%>=AE可證明A4瓦運(yùn)ACA尸(SAS),進(jìn)而求出

ZADB=ZCM=150°,再用補(bǔ)角的性質(zhì)得知/4加=120。，在VA/T>中利用外角的性質(zhì)可

求出NE4O=ZAO3-NAFD=30。，進(jìn)而證出丫4尸。為等腰三角形，最后可證出

BF=BD+DF=2AF即可求解.

(3)延長(zhǎng)M至E,使AA莊為等邊三角形，延長(zhǎng)FG交CE于7,可得出

MBF^^ACE(SAS),進(jìn)而得出NA￡C=NA&?=120。，利用角的和差得出

ZF￡T=60°=ZA?E,則證出A/M/EC,進(jìn)而證出AAFG/4C7U(A4S),再利用

AF=2FG,4尸=律證出AEF7為等邊三角形，進(jìn)而記出N8FG=120。.

【詳解】(1)???AA8C是等邊三角形，

/.AB=AC=BC,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

在AAHK和\CAH中，

AB=CA,/BAK=ZACH,AK=CH,

???^ABK^CAH(SAS),

???ZCAH=ZABK,

???ZLBFH=ZABK+/BAF=ZCAH+ZBAF=60°,

JZ4ra=180o-Z?FH=180o-60o=120°.

(2)在防上取點(diǎn)。，使RD=AF.

K

D

BHC

由(1)知乙4陽(yáng)二120。，

XZBFC=90°,

ZAFC=150°.

在A4BD和△C4”中，

VAB=AC,ZABD=ZCAF,BD=AF,

.??MBD^^CAF(SAS),

/.ZAT>8=NCE4=150。，

4=30°,

ZAFD=120°,

，ZFAD=ZADB-ZAFD=30°,

,ZFDA=ZFAD,

???AF=DF,

,:BD=AF,

:.BD=DF=AF,

BF=BD+DF=2AF,

：.BF.AF-2.

(3)Z^FG=120°.

提示：目測(cè)即得答案.詳細(xì)理由如下：

由(1)知4陽(yáng)=120。.延長(zhǎng)8/至E,使A4FE為等邊三角形.

延長(zhǎng)依交CE于7.

???NBAF+NFAC=NFAC+NCAE=600,

工NBAF=NCAE,

在△84〃和VC4E中，

AF=AE

<ABAF=ZCAE,

AB=AC

???AABF^AACE(SAS),

，ZAEC=ZAFB=I2(r.

，ZFET=60°=ZAFE,

，AF//EC.

；?/FAG=NTCG,ZAFE=Z.TEF=^°

在..AFG和.C7G中，

ZFAG=Z.TCG

<AG=CG,

乙FGA=/TGC

：.AAFG^AC7U(A45),

:.FG=TG.

VAF=2FG,AF=EF,

，EF=FT,

???ZAFE=Z7EF=60°

???AEF7為等邊三角形，

/.ZEfT=60°

???NBFG=180°-/EFT=120°.

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定

和性質(zhì)，熟練掌握全等三侑形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

60、在平面直角坐標(biāo)系中，A(a,0),8(0,b)分別是x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)C

與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P是x軸正半釉上C點(diǎn)右側(cè)一動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)2a2+4曲4〃+2。+1=0時(shí),求48的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)G+b=0時(shí)，

①如圖1,若。與P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，P￡_LD8并交D8延長(zhǎng)線(xiàn)于E,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,求

證：P8=PF；

②如圖2,把射線(xiàn)8P繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)450,交x軸于點(diǎn)Q,當(dāng)CP=AQ時(shí)，求N4P8的

(1)4(-1,0),5(0,1)；(2)①見(jiàn)解析；②N4P8=22.5'

【分析】(1)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(2)①想辦法證明NP8F=NF,可得結(jié)論；②如圖2中，過(guò)點(diǎn)Q作QF_LQ8交P8于F,

過(guò)點(diǎn)F作凸_Lx軸于從可得等腰直角2QF,證明(A4S),再證明FC=FP

即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：(1)V2a2+4ab+4b2+2a+l=0,

(a+26)2+(a+1)2=c,

V(a+2b)2>0,(a+1)2>0,

/.a+2b=0,a+l=0,

.??a=-Lb=Lf

：.A(-1,0),8(0,；).

a+b=0,

.*.a=-b,

.\OA=OB,

又1Z>408=90°.

，N8AO=NA8O=45°,

???。與P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

:?BD=BP,

：?NBDP=NBPD,

設(shè)N8DP=N8P0=a,

則ZPBF=ZBAP+ZBPA=45°+a,

???PE_L08,

：.^BEF=30°,

??.NF=90。-NEBF,

又NEBF=NABD=NBAO-N8OP=45°-a,

:.ZF=450+a,

???NPBF=NF,

:.PB=PF.

②解：如圖2中，過(guò)點(diǎn)。作QF_LQ8交P8于F,過(guò)點(diǎn)F作F”_Lx軸于可得等腰直用

△BQF,

圖2

■:N80Q=/BQF=ZFHQ=90°,

，N8QO+NFQH=90。，/FQH+NQFH=90°,

：?NBQO=NQFH,

?：QB=QF,

:.△FQHWAQBO(AAS),

:.HQ=OB=OA,

：,HO=AQ=PC,

：.PH=OC=OB=QH,

：.FQ=FP,

又N8FQ=45°,

:.ZAPB=22.5°.

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式、實(shí)數(shù)的非負(fù)性、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三

角形的判定與性質(zhì)，解題為關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解題.

61.如圖，已知C。是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，垂足為D,C在。點(diǎn)上方，ZBAC=30°,。是

直線(xiàn)C。上一動(dòng)點(diǎn)，E是射線(xiàn)AC上除4點(diǎn)外的一點(diǎn)，PB=PE,連8E.

(1)如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求N48E的度數(shù)；

(2)如圖2,若P在C點(diǎn)上方，求證：PD+gAC=CE；

【分析】(1)根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)得到：ABPE為等邊

三角形，則NCB￡=60°,故N48￡=90°；

(2)如圖2,過(guò)P作PH14E于9連8C,作PG_L8c交8c的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,構(gòu)造含30度

角的直角APCG、直角ACPH以及全等三角形(R3PGB郅SPHE),根據(jù)含30度的直角三

角形的性質(zhì)和全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)論；

(3)分三種情況討論，根據(jù)(2)的解題思路得至l」PO=；AC+CE或P0=CE-；4C,將數(shù)值代

22

入求解即可.

【詳解】(1)解：如圖1,???點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，CD是線(xiàn)段A8的垂直平分線(xiàn)，

圖1

：.PA=PB,

.??N%8=NP84=30°,

ZBPE=ZPAB+ZPBA=6Q°,

?：PB=PE,

???△8PE為等邊三角形，

:.NC8E=60°,

:.NA8E=90°；

(2)如圖2,過(guò)P作PH_L4E于從連8C,作PG_L8c交8c的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,

?.?CD垂直平分48,

：,CA=CB,

VZe4C=30°,

:.NACD=N88=60°,

:.ZGCP=ZHCP=ZBCE=ZACD=ZBCD=60°,

.,.ZGPC=ZHPC=30%

:?PG=PH,CG=CH=-CP,CD=-AC,

22

在R3PGB和RtAPHE中,

PG=PH

PB=PE'

:?R3PGgRt"HE(HL).

：,BG=EH,CB+CG=CE-CHt

：.CB+-CP=CE--CP,B|JCB+CP=CE,

22

又［CB=AC,

：.CP=PD-CD=PD--AC,

2

：.PD+-AC=CE：

（3）①當(dāng)P在C點(diǎn)上方時(shí)，由（2）得：PD=CE-^AC,

當(dāng)AC=6,C￡=2時(shí),PD=2-3=-l,不符合題意;

②當(dāng)P在線(xiàn)段C。上時(shí)，

如圖3,過(guò)P作連8C,作PG_L8c交8C「G,

此時(shí)RSPGBgRtMHE(HL),

：.BG-EH,R|JCB-CG-CE+CH,

：.CB--CP=CE+-CP,SPCP=CB-CE,

22

又YCBJC,

:.PD=CD-CP=-AC-CB+CE,

2

：.PD=CE--AC.

2

當(dāng)47=6,CE=2時(shí),PD=2-3=-l,不符合題意;

③當(dāng)P在。點(diǎn)下方時(shí)，如圖4,

當(dāng)47=6,C￡=2時(shí)，PD=3-2=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形綜合題，綜合運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角直

角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，解題時(shí)，注意要分類(lèi)討

論.

62.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4的坐標(biāo)是（0，〃），點(diǎn)B的坐標(biāo)（尻0）且a,b滿(mǎn)足

/-12〃+36+|〃-4=0.

（1）求A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)：

（2）如圖（1）,點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸一動(dòng)點(diǎn)，OCvOB.BDLAC于D,交y軸于點(diǎn)￡,

求證：0。平分N6A.

（3）如圖（2）,點(diǎn)F為A8的中點(diǎn)，點(diǎn)G為x正半軸點(diǎn)“右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作收的

垂線(xiàn)中，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)H,那么當(dāng)點(diǎn)G的位置不斷變化時(shí)，S八"S"*的值是

否發(fā)生變化?若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)求出相應(yīng)結(jié)果.

（1）4。，6）,"（6,0）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）不變化，S"”—S初G=9.

【分析】（1）由非負(fù)性可求。，b的值，即可求4、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)：

（2）過(guò)點(diǎn)。作OM_L8O于M,ON_LAC于N,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；

（3）由于點(diǎn)F是等腰直角三角形八。8的斜邊的中點(diǎn)，所以連接。F,得出0F=8F.ZfiFO=

/GFH,進(jìn)而得出N0FH=/8FG,利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)以及三

角形面積公式解答即可.

【詳解】解：（1）-：a2-\2a+36+\a-b\=Q

(a-6)~+|a-4=0,

a-6=0

,八，即a=8=6.

a-b=0

??.A(0,6),8(6,0).

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)。作0M_L3。于M,ONJ.4c于N,

根據(jù)題意可知Z4CO+ZC4O=90°.

8。J.AC,

ZBCD+ZCBE=90°,

，4CAO=ZCBE.

4(0,6),B(6,0),

OA=OB=6.

/CAO=NEBO

在△AOC和ABOE中，OA=OB

/AOC=^BOE=90°

：.AOC^.BOE(ASA).

.?.OE=OC，AC=BE，SeS…

：.-AC-ON=~BE-OM,

22

：?OM=ON,

工點(diǎn)。一定在NCD8的角平分線(xiàn)上，

即0。平分NCD8.

(3)如圖，連接0F,

???AQB是等腰直角三角形旦點(diǎn)F為人B的中點(diǎn),

C.OFVAB,OF=FB,OF平分NA08.

4OFB=4OFH+ZHFB=9Q°.

又「FG1.FH,

，/HFG=/BFG+/HFB=90°,

，NOFH=NBFG.

???/FOB=L^AOB=45。,

2

...^FOH=Z.FOB+=d5°+90°=135°.

又\*/FBG=1800-ZABO=180°-45°=135°,

???4FOH=4FBG.

/OFH=NBFG

在△FOH和△F3G中，OF=BF,

NFOH=ZFBG

：,FOH^FBGCASA).

?**SFOH-SFBG?

S.AFH-Sfbg=SAFH-SF0H=SF0A=—SA0B=—x—=—x6x6=9.

故不發(fā)生變化，且S.""-S'w=9.

【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題，考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定，等腰直角三角形的

性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)

題，正確添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

63.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，AO=AB,N8AO=90。，8O=8cm,動(dòng)點(diǎn)。從原點(diǎn)。出

發(fā)沿x軸正方向以acm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E也同時(shí)從原點(diǎn)0出發(fā)在y軸上以bcm/s的速

度運(yùn)動(dòng)，且。，b滿(mǎn)足關(guān)系式a2+b2-4a-2b+5=0,連接0D,0￡,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t杪.

(1)求a,b的值：

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，ABAD出40AE；

(3)如圖2,在第一象限存在點(diǎn)P,使N4OP=30°,NAP0=15。，求乙48P.

8

(1)a=2,b=l：(2)t=§或t=8：(3)/ABP=105°.

【分析】(1)將。2+b2-4a-2b+5=0用配方法得出(a-2)2+(d-1)2=0,利用非負(fù)數(shù)

的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；

(2)先由運(yùn)動(dòng)得出80=8-2t|,再由全等三角形的性質(zhì)的出貨80=0E,建立方程求解

即可得出結(jié)論.

(3)先判斷出AOAP絲△B4Q(S/45),得出。P=8Q,ZABQ=ZA0P=3Q°,ZAQB=Z

AP0=15°f再求出NOWP=135。，進(jìn)而判斷出AOAQ名△84Q(SAS),得出N0QA=N8Q4

=15。，0Q=8Q,再判斷出AOP。是等邊三角形，得出/OQP=60。，進(jìn)而求出N8QP=

30°,再求出NP8Q=乃。，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1):標(biāo)+爐-4a-2b+5=0,

???(a-2)2+(b-1)2=0,

.\a-2=0,b-1=0,

，a=2,b=l；

(2)由(1)知，a=2,5=1,

由運(yùn)動(dòng)知，0D=2t,OE=t,

VOB=8,

：.DB=\8-2tl

ABAD出＞OAE,

?/DB=OE,

/.|8-2t|=t,

Q

解得，t=~(如圖1)或t=8(如圖2)；

J

(3)如圖3,

過(guò)點(diǎn)A作AQ_LAP，使AQ=4P,連接OQ,BQ,PQ,

則/APQ=45°,N%Q=90°,

???/OA8=90°,

:?/PAQ=/OAB,

:.ZOAB+ZBAP=ZPAQ+ZBAP,

即：ZOAP=ZBAQ,

\'OA=ABtAD=AD,

：,/\OAP^/\BAQ.(545).

：,OP=BQ,ZABQ=ZA0P=30o,ZAQB=ZAPO=15°.

在△AOP中，N40P=30°,N4PO=15°,

:.ZO/4P=1800-NAOP-ZAPO=13S°,

NOAQ=3600-ZOAP-N%Q=135。-90。=135。=N04P,

?：OA=AB,AD=ADt

.,.△O/AQ^ABAQ(SAS),

/.ZOQ4=Z8Q4=15°,OQ=BQ,

,：OP=BQ,

，OQ=OP,

???NAPQ=45。，ZAPO=15°,

:.NOPQ=ZAPO+ZAPQ=60°,

.?.△OPQ是等邊三角形，

/.ZOQP=60°,

；?NBQP=NOQP-ZOQA-ZBQA=60°-15°-15°=30°,

?；BQ=PQ,

???NPBQ=g(1800-Z8QP)=75°,

:.ZABP=ZABQ+ZPBQ=300+75°=105°.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了配方法、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、

等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

64.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0“L2）,B（0,0）,C（36,詢(xún)，旦〃滿(mǎn)足

a2-2ab+2b2-\6l）+64=0,連接48,AC,AC交工軸于￡）點(diǎn).

（1）求。點(diǎn)的坐標(biāo)：

（2）求證：ZOAC+ZABO=450；

（3）如圖2,點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，作EGJL），軸于G點(diǎn)，交AC于F點(diǎn)、,若EG=AO,求

證：EF^OD+AG.

圖1圖2

（1）C（2,-8）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）由非負(fù)性可求a,b的值，即可求解：

（2）由"SAS"可■證△ABPg^BCQ,可得AB=BC,ZBAP=ZCBQ,可證Z\ABC是等腰直角三角

形，可得NBAC=45。，可得結(jié)論；

（3）由"AAS"可證△ATOgaEAG,可得AT=AE,OT=AG,由"SAS”可證△TADgZ\EAD,可得

TD=ED,ZTDA=ZEDA,由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得NEFD=NEDF,可得EF=ED,即可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）Va2-2ab+2b2-16b+64=O,

:.（a-b）2+（b-8）2=0,

??s=b=8，

Ab-6=2,

工點(diǎn)C(2,-8)；

(2)Va=b=8,

???點(diǎn)A(0,6),點(diǎn)B(8,