高中數(shù)學(xué)：導(dǎo)學(xué)案：汽車行駛的路程

§1.5.2汽車行駛的路程教案

教學(xué)目標(biāo)：

1.體會(huì)求汽車行駛的路程有關(guān)問(wèn)題的過(guò)程；

2.感受在其過(guò)程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限（逼

近）。

3.了解求曲邊梯形面積的過(guò)程和解決有關(guān)汽車行駛路程問(wèn)題的過(guò)程的共同點(diǎn)；

教學(xué)重點(diǎn)：掌握過(guò)程步驟：分割、以不變代變、求和、逼近（取極限）.

教學(xué)難點(diǎn)：過(guò)程的理解.

教學(xué)過(guò)程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

復(fù)習(xí)：1.連續(xù)函數(shù)的概念；

2.求曲邊梯形面積的基本思想和步驟；

利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的關(guān)系，求物體運(yùn)動(dòng)速度”

的問(wèn)題.反之，如果已知物體的速度與時(shí)間的關(guān)系，如何求其在一定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)

的路程呢？

二.新課講授

問(wèn)題:汽車以速度v組勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),經(jīng)過(guò)時(shí)間/所行駛的路程為S=》.如

果汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻/的速度為"（/）=-r+2（單位：km/h）,那么它

在單位：h）這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程S（單位：km）是多少？

分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直

線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題，化歸為勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題.把區(qū)間［0』分成幾個(gè)小

區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上，由于耳。的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線

運(yùn)動(dòng)，從而求得汽車在每個(gè)小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得S（單位：km）

的近似值，最后讓〃趨緊于無(wú)窮大就得到S（單位：km）的精確值.（思想：用

化歸為各個(gè)小區(qū)間上勻速直線運(yùn)動(dòng)路程和無(wú)限逼近的思想方法求出勻變速直線

運(yùn)動(dòng)的路程）.

解：⑴分割

在時(shí)間區(qū)間［0,1］上等間隔地插入〃-1個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間［0,1］等分成〃個(gè)小區(qū)間:

￡2

0,-,El

nn'nn

i-1i_

記第，個(gè)區(qū)間為(，=1,2,…，〃)，其長(zhǎng)度為

nn

AiI1

nnn

~in「12-

把汽車在時(shí)間段0,-,,—,1上行駛的路程分別記作:

nnnn

AS1，A52,…，

顯然，S這AS,

i=l

(2)近似代替

當(dāng)〃很大，即加很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)丫")=-〃+2的

nn］

值變化很小，近似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)3處的函數(shù)

n

值-+2,從物理意義上看，即使汽車在時(shí)間段

0。=1,2,…上的速度變化很小，不妨認(rèn)為它近似地以時(shí)刻0處的

nnn

速度=—IT)+2作勻速直線運(yùn)動(dòng)，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”,

于是的用小矩形的面積AS：近似的代替AS,,即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有

AS；?AS'=vf-_=-f-~+2=-f-~-^1?-!-+—(z=①

(3)求和

由①，3=￡。：=￡丫［七］?加=:￡

i=\i=l\Ji=l

—J-+2=-^ri2+22+---+(n-l)2l+2

Ln\nJnn)nnL」

1(n-l)n(2n-l)

+2=+11__-+2

n367rIn

從而得到S的近似值s?5?=--fl--￥l-—^+2

31〃八2n）

（4）取極限

S"—曰+2趨向于

當(dāng)〃趨向于無(wú)窮大時(shí)，即趨向于。時(shí),

S,從而有

n1

S=limS〃=limV—*vlim

n—>con—>oo^^n—>oo￡H=|

i=l

思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過(guò)程，你認(rèn)為汽車行駛的路程S與由直線

t=0,/=l,v=0和曲線v=-〃+2所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？

結(jié)合上述求解過(guò)程可知，汽車行駛的路程S=limS?在數(shù)據(jù)上等于由直線

n—>co

/=0"=1,丫=0和曲線丫=—〃+2所圍成的曲邊梯形的面積.

一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為v=v（。，那么我們也可以

采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無(wú)限

逼近的思想，求出它在內(nèi)所作的位移S.

三.典例分析

例1.彈簧在拉伸的過(guò)程中，力與伸長(zhǎng)量成正比，即力E（x）=fcv（左為常數(shù)，x

是伸長(zhǎng)量），求彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)b所作的功.

分析：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限

的方法求解.

解：將物體用常力E沿力的方向移動(dòng)距離了,則所作的功為W=Fx.

⑴分割

在區(qū)間［0,可上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間［0』等分成〃個(gè)小區(qū)間:

0,2,b2b

nnnn

記第，個(gè)區(qū)間為上義，效l=

其長(zhǎng)度為

nn

nnn

bb2b(n-l)Z?

把在分段o,-,b上所作的功分別記作:

nnnn

△叱，AW,,…，^Wll

（2）近似代替

(i-l)bb

有條件知：△叱=F?Ax二左1.-------(z=1,2,???,zz)

InJnn

（3）求和

白(i-]\bb

^=ZA^，=p.—--

KU2-kb2_kb2

---b(〃-1)]=

-——[0+1+2H