北師大版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)教案

數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)（教案）

北京師范大學(xué)出版社

2016年7月

第一章勾股定理

§1.1探索勾股定理（一）

教學(xué)目標(biāo)：

經(jīng)歷用數(shù)格子的辦法探索勾股定理的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推力意識(shí)，主動(dòng)探究的習(xí)慣，進(jìn)

一步體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系。

探索并理解直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的說(shuō)理和簡(jiǎn)單的推理的意識(shí)及能力。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

重點(diǎn)：了解勾股定理的由來(lái)，并能用它來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

難點(diǎn)：勾股定理的發(fā)現(xiàn)

教學(xué)過(guò)程

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，導(dǎo)入課題

出示投影1（章前的圖文pl）教師道白：介紹我國(guó)古代在勾股定理研究方面的貢獻(xiàn)，并結(jié)合課本

p5談一談，講述我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，介紹商高（三千多年前周期的數(shù)學(xué)家）在勾股定

理方面的貢獻(xiàn)。

出示投影2（書(shū)中的P2圖1—2）并回答：

觀察圖1-2,正方形A中有個(gè)小方格，即A的面積為個(gè)單位。

正方形B中有個(gè)小方格，即A的面積為個(gè)單位。

正方形C中有個(gè)小方格，即A的面積為個(gè)單位。

你是怎樣得出上面的結(jié)果的？在學(xué)生交流回答的基礎(chǔ)上教師直接發(fā)問(wèn)：

圖1—2中，A,B,C之間的面積之間有什么關(guān)系？

學(xué)生交流后形成共識(shí)，教師板書(shū)，A+B=C,接著提出圖1—1中的A.B,C的關(guān)系呢？

做一做

出示投影3（書(shū)中P3圖1—4）提問(wèn)：

1、圖1—3中，A,B,C之間有什么關(guān)系？

2、圖1—4中，A,B,C之間有什么關(guān)系？

從圖1—1,1—2,1—3,1|一4中你發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生討論、交流形成共識(shí)后，教師總結(jié)：

以三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和，等于以斜邊的正方形面積。

議一議

圖1—1、1—2、1—3、1—4中，你能用三角形的邊長(zhǎng)表示正方形的面積嗎？

你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？

在同學(xué)的交流基礎(chǔ)上，老師板書(shū)：

直角三角形邊的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是著名的“勾股定理”

也就是說(shuō)：如果直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c

那么a+b=C

我國(guó)古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長(zhǎng)的為股，斜邊為弦，這就是勾股定理的由來(lái)。

分別以5厘米和12厘米為直角邊做出一個(gè)直角三角形，并測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度（學(xué)生測(cè)量后回答斜邊長(zhǎng)

為13）請(qǐng)大家想一想（2）中的規(guī)律，對(duì)這個(gè)三角形仍然成立嗎？（回答是肯定的：成立）

想一想

這里的29英寸（74厘米）的電視機(jī)，指的是屏幕的長(zhǎng)嗎？只的是屏幕的款嗎？那他指什么呢？

鞏固練習(xí)

錯(cuò)例辨析：

△ABC的兩邊為3和4,求第三邊

解：由于三角形的兩邊為3、4

所以它的第三邊的c應(yīng)滿足〃=3?+4?=25

即：c=5

辨析：（1）要用勾股定理解題，首先應(yīng)具備直角三角形這個(gè)必不可少的條件，可本題

ABC并未說(shuō)明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就沒(méi)有依據(jù)。

（2）若告訴AABC是直角三角形，第三邊C也不一定是滿足。=。2,題目中并為交待C是

斜邊

綜上所述這個(gè)題目條件不足，第三邊無(wú)法求得。

練習(xí)P7§1.11

作業(yè)

課本P7§1.12、3、4

§1.1探索勾股定理（二）

教學(xué)目標(biāo)：

經(jīng)歷運(yùn)用拼圖的方法說(shuō)明勾股定理是正確的過(guò)程，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的探究意識(shí)和合作交流的

習(xí)慣。

掌握勾股定理和他的簡(jiǎn)單應(yīng)用

重點(diǎn)難點(diǎn)：

重點(diǎn)：能熟練運(yùn)用拼圖的方法證明勾股定理

難點(diǎn)：用面積證勾股定理

教學(xué)過(guò)程

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，導(dǎo)入課題

我們已經(jīng)通過(guò)數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊的關(guān)系，究竟是幾個(gè)實(shí)例，是否具有普遍的意義,

還需加以論證，下面就是今天所要研究的內(nèi)容，下邊請(qǐng)大家畫(huà)四個(gè)全等的直角三角形，并把它剪下

來(lái)，用這四個(gè)直角三角形，拼一拼、擺一擺，看看能否得到一個(gè)含有以斜邊c為邊長(zhǎng)的正方形，并與

同學(xué)交流。在同學(xué)操作的過(guò)程中，教師展示投影1（書(shū)中p7圖1—7）接著提問(wèn)：大正方形的面積可

表示為什么？

2

,2,2\—tzZ?,4+c

（同學(xué)們回答有這幾種可能：（1））（2）2）

在同學(xué)交流形成共識(shí)之后，教師把這兩種表示大正方形面積的式子用等號(hào)連接起來(lái)。

ab.4+c2

/+〃=2請(qǐng)同學(xué)們對(duì)上面的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到：

a2+2ab+b2=2ab+c2即a2+b2=c2

這就可以從理論上說(shuō)明勾股定理存在。請(qǐng)同學(xué)們?nèi)ビ脛e的拼圖方法說(shuō)明勾股定理。

講例

飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛機(jī)飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4000多米處，過(guò)20秒，飛機(jī)距

離這個(gè)男孩頭頂5000米，飛機(jī)每時(shí)飛行多少千米？

分析：根據(jù)題意：可以先畫(huà)出符合題意的圖形。如右圖，圖中AABC的=90°,AC=4000米，

AB=5000米，欲求飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米，就要知道飛機(jī)在20秒的時(shí)間里的飛行路程，即圖中的

CB的長(zhǎng)，由于直角4ABC的斜邊AB=5000米，AC=4000米，這樣的CB就可以通過(guò)勾股定理得出。

這里一定要注意單位的換算。

解：由勾股定理得一AC?=52-42=9（千米）

即BC=3千米飛機(jī)20秒飛行3千米，那么它1小時(shí)飛行的距離為：

卷匕3=540（千米/小時(shí)）

答：飛機(jī)每個(gè)小時(shí)飛行540千米。

議一議

展示投影2（書(shū)中的圖1—9）

觀察上圖，應(yīng)用數(shù)格子的方法判斷圖中的三角形的三邊長(zhǎng)是否滿足/+〃=T

同學(xué)在議論交流形成共識(shí)之后，老師總結(jié)。

勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。

作業(yè)

1、課文P11§1.21、2

選用作業(yè)。

§1.2一定是直角三角形嗎

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能

1.掌握直角三角形的判別條件，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用；

2.進(jìn)一步發(fā)展數(shù)感，增加對(duì)勾股數(shù)的直觀體驗(yàn)，培養(yǎng)從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，建立數(shù)學(xué)模

型.

3.會(huì)通過(guò)邊長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，并會(huì)辨析哪些問(wèn)題應(yīng)用哪個(gè)結(jié)論.

情感態(tài)度與價(jià)值觀

敢于面對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困難，并有獨(dú)立克服困難和運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的成功經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)

的應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)的信心和能力，初步形成積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的意識(shí).

教學(xué)重點(diǎn)

運(yùn)用身邊熟悉的事物，從多種角度發(fā)展數(shù)感，會(huì)通過(guò)邊長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，并會(huì)

辨析哪些問(wèn)題應(yīng)用哪個(gè)結(jié)論.

教學(xué)難點(diǎn)

會(huì)辨析哪些問(wèn)題應(yīng)用哪個(gè)結(jié)論.

課前準(zhǔn)備

標(biāo)有單位長(zhǎng)度的細(xì)繩、三角板、量角器、題篇

教學(xué)過(guò)程：

復(fù)習(xí)引入：

請(qǐng)學(xué)生復(fù)述勾股定理；使用勾股定理的前提條件是什么？

已知AABC的兩邊AB=5,AC=12,貝ljBC=13對(duì)嗎？

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景：由課前準(zhǔn)備好的一組學(xué)生以小品的形式演示教材第9頁(yè)古埃及造直角的方法.

這樣做得到的是一個(gè)直角三角形嗎？

提出課題：能得到直角三角形嗎

講授新課：

1.如何來(lái)判斷？(用直角三角板檢驗(yàn))

這個(gè)三角形的三邊分別是多少？(一份視為1)它們之間存在著怎樣的關(guān)系？

就是說(shuō)，如果三角形的三邊為。，6,0,請(qǐng)猜想在什么條件下，以這三邊組成的三角形是直角三角

形？(當(dāng)滿足較小兩邊的平方和等于較大邊的平方時(shí))

2.繼續(xù)嘗試：下面的三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c：

5,12,13；6,8,10；8,15,17.

(1)這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎?

(2)分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？

3.直角三角形判定定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角

形.

滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

4.例1一個(gè)零件的形狀如左圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中/A和/DBC都應(yīng)為直角.工人師傅量

得這個(gè)零件各邊尺寸如右圖所示，這個(gè)零件符合要求嗎？

隨堂練習(xí)：

1.下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長(zhǎng)？說(shuō)說(shuō)你的理由.

(1)9,12,15；(2)15,36,39；

⑶12,35,36；(4)12,18,22.

2.已知AABC中BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為三角形，是最大角.

3.四邊形ABCD中已知AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,且/ABC=900,求這個(gè)四邊形的面積.

4.習(xí)題1.3

課堂小結(jié)：

1.直角三角形判定定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角

形.

2.滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)擴(kuò)大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù).

§1.3.勾股定理的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)知識(shí)點(diǎn)：能運(yùn)用勾股定理及直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理）解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

能力訓(xùn)練要求：1.學(xué)會(huì)觀察圖形，勇于探索圖形間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念.

2.在將實(shí)際問(wèn)題抽象成幾何圖形過(guò)程中，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想.

情感與價(jià)值觀要求：1.通過(guò)有趣的問(wèn)題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2.在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性，體現(xiàn)人人都學(xué)有用的數(shù)學(xué).

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：

重點(diǎn)：探索、發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實(shí)際問(wèn)題.

難點(diǎn)：利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)過(guò)程

1、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課：

前幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了勾股定理，你還記得它有什么作用嗎？

例如：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需多長(zhǎng)的梯子？

根據(jù)題意，（如圖）AC是建筑物，則AC=12米，BC=5米，AB是梯子的長(zhǎng)度.所以在Rt^ABC中,

AB2=AC2+BC2=122+52=132：AB=13米.

所以至少需13米長(zhǎng)的梯子.

2、講授新課：①、螞蟻怎么走最近

出示問(wèn)題：有一個(gè)圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓行柱的底面A點(diǎn)有一只螞

蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，需要爬行的的最短路程是多少？（口的值取3）.

（1）同學(xué)們可自己做一個(gè)圓柱，嘗試從A點(diǎn)到B點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面畫(huà)出幾條路線，你覺(jué)得哪條路線最

短呢？（小組討論）

（2）如圖，將圓柱側(cè)面剪開(kāi)展開(kāi)成一個(gè)長(zhǎng)方形，從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短路線是什么?你畫(huà)對(duì)了嗎？

（3）螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，想吃到B點(diǎn)上的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？（學(xué)生分組討

論，公布結(jié)果）

我們知道，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一長(zhǎng)方形.好了，現(xiàn)在咱們就用剪刀沿母線AA'將圓柱的側(cè)面展開(kāi)（如

下圖).

我們不難發(fā)現(xiàn)，剛才幾位同學(xué)的走法：

(l)A-A'-B；⑵A—B'一B；

(3)A-DfB；(4)A?B.

哪條路線是最短呢？你畫(huà)對(duì)了嗎？

第(4)條路線最短.因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間的連線中線段最短”.

②、做一做：教材14頁(yè)。李叔叔隨身只帶卷尺檢測(cè)AD,BC是否與底邊AB垂直，也就是要檢測(cè)Z

DAB=90°,ZCBA=90°.連結(jié)BD或AC,也就是要檢測(cè)^DAB和4CBA是否為直角三角形彳艮顯

然，這是一個(gè)需用勾股定理的逆定理來(lái)解決的實(shí)際問(wèn)題.

③、隨堂練習(xí)

出示投影片

1.甲、乙兩位探險(xiǎn)者，到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn).某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6千米/時(shí)的速度向東

行走.1時(shí)后乙出發(fā)，他以5千米/時(shí)的速度向北行進(jìn).上午10：00,甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？

2.如圖，有一個(gè)高1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入

一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分是0.5米，問(wèn)這根鐵棒應(yīng)有多長(zhǎng)？

1.分析：首先我們需要根據(jù)題意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型.

解：(如圖)根據(jù)題意，可知A是甲、乙的出發(fā)點(diǎn)，10：00時(shí)甲到達(dá)B點(diǎn)，則AB=2X6=12(千米)；乙

到達(dá)C點(diǎn)，則AC=1X5=5(千米).

在Rt^ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132,所以BC=13千米.即甲、乙兩人相距13千米.

2.分析：從題意可知，沒(méi)有告訴鐵棒是如何插入油桶中，因而鐵棒的長(zhǎng)是一個(gè)取值范圍而不是固定的

長(zhǎng)度，所以鐵棒最長(zhǎng)時(shí)，是插入至底部的A點(diǎn)處，鐵棒最短時(shí)是垂直于底面時(shí).

解：設(shè)伸入油桶中的長(zhǎng)度為x米，則應(yīng)求最長(zhǎng)時(shí)和最短時(shí)的值.

(1)x2=1.52+22,x2=6.25,x=2.5

所以最長(zhǎng)是2.5+0.5=3(米).

(2)x=1.5,最短是1.5+0.5=2(米).

答：這根鐵棒的長(zhǎng)應(yīng)在2?3米之間(包含2米、3米).

3.試一試(課本P15)

在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水

面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦

垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面.請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各為多少？

我們可以將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型.

解：如圖，設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為(x+1)尺，由勾股定理可求得5

(x+l)2=x2+52,x2+2x+l=x2+25k/

解得x=12/

則水池的深度為12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺.xZ-1

④、課時(shí)小結(jié)/

這節(jié)課我們利用勾股定理和它的逆定理解決了生活中的幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題.我們從中可y

以發(fā)現(xiàn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決這些實(shí)際問(wèn)題，更為重要的是將它們轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型.

⑤、課后作業(yè)

課本P25、習(xí)題1.52

第二章實(shí)數(shù)

§2.1認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)（一）

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)目標(biāo)：

1.通過(guò)拼圖活動(dòng)，讓學(xué)生感受無(wú)理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景和引入的必要性.

2.能判斷給出的數(shù)是否為有理數(shù)；并能說(shuō)出現(xiàn)由.

（二）能力訓(xùn)練目標(biāo)：

1.讓學(xué)生親自動(dòng)手做拼圖活動(dòng)，感受無(wú)理數(shù)存在的必要性和合理性，培養(yǎng)大家的動(dòng)手能力和合作精神.

2.通過(guò)回顧有理數(shù)的有關(guān)知識(shí)，能正確地進(jìn)行推理和判斷，識(shí)別某些數(shù)是否為有理數(shù)，訓(xùn)練他們的思

維判斷能力.

（三汁青感與價(jià)值觀目標(biāo)：

1.激勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，提高大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

2.引導(dǎo)學(xué)生充分進(jìn)行交流，討論與探索等教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)他們的合作與鉆研精神.

3.了解有關(guān)無(wú)理數(shù)發(fā)現(xiàn)的知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)他們?yōu)檎胬矶鴬^斗的精神.

教學(xué)重點(diǎn)

1.讓學(xué)生經(jīng)歷無(wú)理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程.感知生活中確實(shí)存在著不同于有理數(shù)的數(shù).

2.會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù).

教學(xué)難點(diǎn)

1.把兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成一個(gè)大正方形的動(dòng)手操作過(guò)程.

2.判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù).

教學(xué)方法

教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果.

教學(xué)過(guò)程

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

［師］同學(xué)們，我們學(xué)過(guò)不計(jì)其數(shù)的數(shù)，概括起來(lái)我們都學(xué)過(guò)哪些數(shù)呢？

［生］在小學(xué)我們學(xué)過(guò)自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù).

［生］在初一我們還學(xué)過(guò)負(fù)數(shù).

［師］對(duì)，我們?cè)谛W(xué)學(xué)了非負(fù)數(shù)，在初一發(fā)現(xiàn)數(shù)不夠用了，引入了負(fù)數(shù)，即把從小學(xué)學(xué)過(guò)的正數(shù)、

零擴(kuò)充到有理數(shù)范圍，有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，那么有理數(shù)范圍是否就能滿足我們實(shí)際生活的需要

呢？下面我們就來(lái)共同研究這個(gè)問(wèn)題.

二、講授新課

1.問(wèn)題的提出

［師］請(qǐng)大家四個(gè)人為一組，拿出自己準(zhǔn)備好的兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和剪刀，認(rèn)真討論之后，動(dòng)

手剪一剪，拼一拼，設(shè)法得到一個(gè)大的正方形，好嗎？

［生］好.（學(xué)生非常高興地投入活動(dòng)中）.

［師］經(jīng)過(guò)大家的共同努力，每個(gè)小組都完成了任務(wù)，請(qǐng)各組把拼的圖展示一下.

同學(xué)們非常踴躍地呈現(xiàn)自己的作品給老師.

［師］現(xiàn)在我們一齊把大家的做法總結(jié)一下：

下面請(qǐng)大家思考一個(gè)問(wèn)題，假設(shè)拼成大正方形的邊長(zhǎng)為a,則a應(yīng)滿足什么條件呢？

［生甲］a是正方形的邊長(zhǎng)，所以a肯定是正數(shù).

［生乙］因?yàn)閮蓚€(gè)小正方形面積之和等于大正方形面積，所以根據(jù)正方形面積公式可知a2=2.

［生丙］由a2=2可判斷a應(yīng)是1點(diǎn)幾.

［師］大家說(shuō)得都有道理，前面我們已經(jīng)總結(jié)了有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，那么a是整數(shù)嗎？a是分?jǐn)?shù)

嗎？請(qǐng)大家分組討論后回答.

［生甲］我們組的結(jié)論是：因?yàn)?2=1,22=4,32=9,…整數(shù)的平方越來(lái)越大，所以a應(yīng)在1和2之

間，故a不可能是整數(shù).

111224111

_x_—___x_=____x_=__

［生乙］因?yàn)?24'339'339,…兩個(gè)相同因數(shù)的乘積都為分?jǐn)?shù)，所以a不可能是

分?jǐn)?shù).

［師］經(jīng)過(guò)大家的討論可知，在等式a2=2中，a既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，所以a不是有理數(shù)，但

在現(xiàn)實(shí)生活中確實(shí)存在像a這樣的數(shù)，由此看來(lái)，數(shù)又不夠用了.

2.做一做

投影片§2.1.1A

(1)在下圖中，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？

(2)設(shè)該正方形的邊長(zhǎng)為b,則b應(yīng)滿足什么條件？b是有理數(shù)嗎？

［師］請(qǐng)大家先回憶一下勾股定理的內(nèi)容.

［生］在直角三角形中，若兩條直角邊長(zhǎng)為a,b,斜邊為c,則有a2+b2=c2.

［師］在這題中，兩條直角邊分別為1和2,斜邊為b,根據(jù)勾股定理得b2=12+22,即b2=5,貝ijb

是有理數(shù)嗎？請(qǐng)舉手回答.

［生甲］因?yàn)?2=4,32=9,4<5<9,所以b不可能是整數(shù).

［生乙］沒(méi)有兩個(gè)相同的分?jǐn)?shù)相乘得5,故b不可能是分?jǐn)?shù).

［生丙］因?yàn)闆](méi)有一個(gè)整數(shù)或分?jǐn)?shù)的平方為5,所以5不是有理數(shù).

［師］大家分析得很準(zhǔn)確，像上面討論的數(shù)a,b都不是有理數(shù)，而是另一類數(shù)一無(wú)理數(shù).關(guān)于無(wú)理

數(shù)的發(fā)現(xiàn)是付出了昂貴的代價(jià)的.早在公元前，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為萬(wàn)物皆“數(shù)"，即''宇宙

間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”，也就是一切現(xiàn)象都可用有理數(shù)去描述.后來(lái)，這個(gè)學(xué)派中

的一個(gè)叫希伯索斯的成員發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)不能用整數(shù)或整數(shù)之比來(lái)表示，這個(gè)

發(fā)現(xiàn)動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，據(jù)說(shuō)為此希伯索斯被投進(jìn)了大海，他為真理而獻(xiàn)出了寶貴的生

命，但真理是不可戰(zhàn)勝的，后來(lái)古希臘人終于正視了希伯索斯的發(fā)現(xiàn).也就是我們前面談過(guò)的a2=2中

的a不是有理數(shù).

我們現(xiàn)在所學(xué)的知識(shí)都是前人給我們總結(jié)出來(lái)的，我們一方面應(yīng)積極地學(xué)習(xí)這些經(jīng)驗(yàn)，另一方面我

們也不能死搬教條，要大膽質(zhì)疑，如不這樣科學(xué)就會(huì)永遠(yuǎn)停留在某處而不前進(jìn)，要向古希臘的希伯

索斯學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)他為捍衛(wèi)真理而勇于獻(xiàn)身的精神.

三、課堂練習(xí)

（一）課本P35隨堂練習(xí)

如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,高為h,h可能是整數(shù)嗎？可能是分?jǐn)?shù)嗎？

解：由正三角形的性質(zhì)可知BD=1,在Rt^ABD中，由勾股定理得h2=3.h不可能是整數(shù)，也不可能

是分?jǐn)?shù).

（二）補(bǔ)充練習(xí)

為了加固一個(gè)高2米、寬1米的大門(mén)，需要在對(duì)角線位置加固一條木板，設(shè)木板長(zhǎng)為a米，則由勾股

定理得a2=12+22,即a2=5,a的值大約是多少？這個(gè)值可能是分?jǐn)?shù)嗎？

解：a的值大約是2.2,這個(gè)值不可能是分?jǐn)?shù).

四、課堂小結(jié)

1.通過(guò)拼圖活動(dòng)，經(jīng)歷無(wú)理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景，讓學(xué)生感受有理數(shù)又不夠用了.

2.能判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù).

五、課后作業(yè)：見(jiàn)作業(yè)本。

§2.1認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)（二）

教學(xué)目標(biāo)

（-）知識(shí)目標(biāo)：

1.借助計(jì)算器探索無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，并從中體會(huì)無(wú)限逼近的思想.

2.會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù).

（二）能力訓(xùn)練目標(biāo)：

1.借助計(jì)算器進(jìn)行估算，培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力，并在活動(dòng)中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)

生獨(dú)立思考、合作交流的意識(shí)和能力.

2.探索無(wú)理數(shù)的定義，以及無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別，并能辨別出一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)還是有理數(shù)，訓(xùn)練大

家的思維判斷能力.

（三汁青感與價(jià)值觀目標(biāo)：

1.讓學(xué)生理解估算的意義，掌握估算的方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感和估算能力.

2.充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，培養(yǎng)他們的合作精神，提高他們的辨識(shí)能力.

教學(xué)重點(diǎn)

1.無(wú)理數(shù)概念的探索過(guò)程.

2.用計(jì)算器進(jìn)行無(wú)理數(shù)的估算.

3.了解無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別，并能正確地進(jìn)行判斷.

教學(xué)難點(diǎn)

1.無(wú)理數(shù)概念的建立及估算.

2.用所學(xué)定義正確判斷所給數(shù)的屬性.

教學(xué)方法

老師指導(dǎo)學(xué)生探索法

教學(xué)過(guò)程

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

［師］同學(xué)們，我們?cè)谏瞎?jié)課了解到有理數(shù)又不夠用了，并且我們還發(fā)現(xiàn)了一些數(shù)，如a2=2,b2=5中

的a,b既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，那么它們究竟是什么數(shù)呢？本節(jié)課我們就來(lái)揭示它的真面目.

二、講授新課

1.導(dǎo)入：［師］請(qǐng)看圖

大家判斷一下3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之間有怎樣的大小關(guān)系？說(shuō)說(shuō)你的理由.

［生］因?yàn)?個(gè)正方形的面積分別為1,2,4,而面積又等于邊長(zhǎng)的平方，所以面積大的正方形邊長(zhǎng)

就大.

［師］大家能不能判斷一下面積為2的正方形的邊長(zhǎng)a的大致范圍呢？

［生］因?yàn)閍2大于1且a2小于4,所以a大致為1點(diǎn)幾.

［師］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示為l<a<2.那么a究竟是1點(diǎn)幾呢？請(qǐng)大家用計(jì)算器進(jìn)

行探索，首先確定十分位，十分位究竟是幾呢？如1.12=1.21,1.22=1.44,1.32=1.69,1.42=1.96,

1.52=2.25,而a2=2,故a應(yīng)比1.4大且比1.5小，可以寫(xiě)成1.4<a<1.5,所以a是1點(diǎn)4幾，即十分

位上是4,請(qǐng)大家用同樣的方法確定百分位、千分位上的數(shù)字.

［生］因?yàn)?.412=1.9881,1.422=2.0164,所以a應(yīng)比1.41大且比1.42小，所以百分位上數(shù)字為1.

［生］因?yàn)?.4112=1.990921,1.4122=1.993744,1.4132=1.996569,1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,

所以a應(yīng)比1.414大而比1.415小，即千分位上的數(shù)字為4.

［生］因?yàn)?.41422=1.99996164,1.41432=2.00024449,所以a應(yīng)比1.4142大且比1.4143小，即萬(wàn)分

位上的數(shù)字為2.

［師］大家非常聰明，請(qǐng)一位同學(xué)把自己的探索過(guò)程整理一下，用表格的形式反映出來(lái).

［生］我的探索過(guò)程如下.

邊長(zhǎng)a面積s

l<a<21<S<4

1.4<a<1.51.96<S<2.25

1.41<a<1.421.9881<S<2,0164

1.414<a<1.4151.999396<S<2.002225

1.4142<a<1.41431.99996164<S<2.00024449

［師］還可以繼續(xù)下去嗎？

［生］可以.

［師］請(qǐng)大家繼續(xù)探索，并判斷a是有限小數(shù)嗎？

［生］a=1.41421356…，還可以再繼續(xù)進(jìn)行，且a是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù).

［師］請(qǐng)大家用上面的方法估計(jì)面積為5的正方形的邊長(zhǎng)b的值.邊長(zhǎng)b會(huì)不會(huì)算到某一位時(shí)，它的

平方恰好等于5?請(qǐng)大家分組合作后回答.（約4分鐘）

［生］b=2.236067978…，還可以再繼續(xù)進(jìn)行，b也是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù).

［生］邊長(zhǎng)b不會(huì)算到某一位時(shí)，它的平方恰好等于5,但我不知道為什么.

［師］好.這位同學(xué)很坦誠(chéng)，不會(huì)就要大膽地提出來(lái)，而不要冒充會(huì)，這樣才能把知識(shí)學(xué)扎實(shí)，學(xué)透,

大家應(yīng)該向這位同學(xué)學(xué)習(xí).這個(gè)問(wèn)題我來(lái)回答.如果b算到某一位時(shí)，它的平方恰好等于5,即b是一

個(gè)有限小數(shù)，那么它的平方一定是一個(gè)有限小數(shù)，而不可能是5,所以b不可能是有限小數(shù).

2.無(wú)理數(shù)的定義

請(qǐng)大家把下列各數(shù)表示成小數(shù).

452_

3,M'3'45'11,并看它們是有限小數(shù)還是無(wú)限小數(shù)，是循環(huán)小數(shù)還是不循環(huán)小數(shù).大家可以每個(gè)小

組計(jì)算一個(gè)數(shù)，這樣可以節(jié)省時(shí)間.

-4--5-?

［生］3=3.0,5=0.8,9=0.5,

—8=0.17?'2=1.81?8?

45,11

452_

［生］3,M是有限小數(shù)，3'45'11是無(wú)限循環(huán)小數(shù).

［師］上面這些數(shù)都是有理數(shù)，所以有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)表示.反過(guò)來(lái)，任何有

限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).

像上面研究過(guò)的a2=2,b2=5中的a,b是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫無(wú)理數(shù)（irrationalnumber）.

除上面的a,b夕卜，圓周率"=3.14159265…也是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，0.5858858885…（相鄰兩個(gè)5之

間8的個(gè)數(shù)逐次加1）也是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，它們都是無(wú)理數(shù).

3.有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的主要區(qū)別

（1）無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù).

（2）任何一個(gè)有理數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)的形式，而無(wú)理數(shù)則不能.

4.例題講解

下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無(wú)理數(shù)？

—4??

3.14,-3,0.57,0.1010010001…（相鄰兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)逐次加1）.

—4??

解:有理數(shù)有3.14,—3,0,57無(wú)理數(shù)有0.1010010001….

三、課堂練習(xí)

（一）隨堂練習(xí)

下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無(wú)理數(shù)？

*—1

0.4583,3.7,一“，-7,區(qū)

1?_

解：有理數(shù)有0.4583,3.7,—7,18.無(wú)理數(shù)有一m.

(二)補(bǔ)充練習(xí)

投影片(§2.1.2A)

判斷題

(1)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的差都是有理數(shù).

(2)無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù).

(3)無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù).

(4)兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù).

解：(1)錯(cuò).例兀—1是無(wú)理數(shù).

*

⑵錯(cuò).例是有理數(shù).

(3)對(duì).因?yàn)闊o(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以是無(wú)限小數(shù).

(4)對(duì).因?yàn)閮蓚€(gè)符號(hào)相反的無(wú)理數(shù)之和是有理數(shù).例Ji-=0.

投影片(§2.1.2B)

下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無(wú)理數(shù)?

2??

一,4.96

0.351,—3,3.14159,—5.2323332…，123456789101112…(由相繼的正整數(shù)組成).

2??

—,4.96

解：有理數(shù)有0.351,-3,3.14159,

無(wú)理數(shù)有一5.2323332…，123456789101112-.

投影片（§2.1.2C）

5

［生］有理數(shù)集合填0,11,-3.

3

無(wú)理數(shù)集合填一口，一2JI,0.323323332-.

四、課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容.

1.用計(jì)算器進(jìn)行無(wú)理數(shù)的估算.

2.無(wú)理數(shù)的定義.

3.判斷一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)或有理數(shù).

五、課后作業(yè)：見(jiàn)作業(yè)本。

§2.2平方根（一）

教學(xué)目標(biāo)：

1、了解算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根。

2、會(huì)求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根。

3、了解算術(shù)平方根的性質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn)：算術(shù)平方根的概念、性質(zhì)，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根。

教學(xué)難點(diǎn)：算術(shù)平方根的概念、性質(zhì)。

教學(xué)過(guò)程：

一、問(wèn)題引入

1.教師活動(dòng)：回顧上節(jié)課的拼圖活動(dòng)及探索無(wú)理數(shù)的過(guò)程，提出問(wèn)題：面積為13的正方形的邊長(zhǎng)究

竟是多少？

學(xué)生活動(dòng)：

（1）完成課本P32的填空：

a2=b2=,

c2=d2=

e2=,f2=

（2）a,b,c,d,e,f中哪些是有理數(shù)，哪些是無(wú)理數(shù)？你能表示它們

嗎？

2.師生互動(dòng)

集體交流后，說(shuō)明無(wú)理數(shù)也需要一種表示方法。

二、講授新課：

算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)1的平方等于。，即/=。，那么，這個(gè)正數(shù)了就叫做。

的算術(shù)平方根。記為：讀做根號(hào)特別地，0的算術(shù)平方根是0。

那么。=2,貝=b2=3,貝Llb=8；.......

這樣的話，一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根就可以表示為3。

例1分別寫(xiě)出下列各數(shù)的算術(shù)平方根

4

81,—,0.09,1,23,-5,0

（要求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，一般的方法是先按平方的概念來(lái)找哪個(gè)數(shù)的平方等于這個(gè)數(shù)。）

例2自由下落物體的高度h（米）與下落時(shí)間t（秒）的關(guān)系為h=4.9t2.有一鐵球從19.6米高的建筑物

上自由下落，到達(dá)地面需要多長(zhǎng)時(shí)間？

學(xué)生活動(dòng)：一個(gè)同學(xué)在黑板上板演，其他同學(xué)在練習(xí)本上做，然后交流。

師生互動(dòng)：完成引例中的1=13,則

%=工,以后我們可以利用計(jì)算器求出這個(gè)數(shù)的近似值。

三、隨堂練習(xí)：P391

四、小結(jié)：

（1）內(nèi)容總結(jié)：

①算術(shù)平方根的定義、表示；

②&的雙重非負(fù)性。

（2）方法歸納：

轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法：即將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題解決。

五、作業(yè)：

P40習(xí)題2.312

§2.2平方根（二）

教學(xué)目標(biāo)：

1、了解平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的平方根。

2、會(huì)求一個(gè)正數(shù)的平方根。

3、了解平方根和算術(shù)平方根的性質(zhì)。

4、了解乘方和開(kāi)方是互逆運(yùn)算，會(huì)利用這個(gè)互逆運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根和平方

根。

教學(xué)重點(diǎn)：了解平方根和開(kāi)平方的概念、性質(zhì)，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根和平方根。

教學(xué)難點(diǎn)：平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別。負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，即負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算。

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)提問(wèn)

1、算術(shù)平方根的概念，任何一個(gè)有理數(shù)都有算術(shù)平方根嗎？算術(shù)平方根有什么性質(zhì)。

2、9的算術(shù)平方根是，3的平方是，

還有其他的數(shù)的平方是9嗎？

二、講授新課：

1.想一想

4

平方等于25的數(shù)有幾個(gè)？平方等于0.64的數(shù)呢？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生思考，然后交流，得出平方根的定義。

2.教師活動(dòng)：

一般地，如果一個(gè)數(shù)%的平方等于。，即爐=。，那么，這個(gè)數(shù)％就叫做。的平方根。也叫做二次

方根。

3和一3的平方都是9,即9的平方根有兩個(gè)3和一3；9的算術(shù)平方根只有一個(gè)，是3。

3.學(xué)生活動(dòng)：

求出下列各數(shù)的平方根。

4

9-

6,o,

三、議一議：

(1)一個(gè)正數(shù)的有幾個(gè)平方根？

(2)0有幾個(gè)平方根？

(3)負(fù)數(shù)呢？

★教師活動(dòng)：

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，0只有一個(gè)平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

☆學(xué)生活動(dòng)：

正數(shù)的兩個(gè)平方根有什么關(guān)系嗎？

討論，交流得出：

一個(gè)正數(shù)。有兩個(gè)平方根，一個(gè)是。的算術(shù)平方根，“血”，另一個(gè)是“一后”，它們互為相反數(shù)。

這兩個(gè)平方根合起來(lái)，可以記做“土而"，讀作“正、負(fù)根號(hào)

開(kāi)平方：求一個(gè)數(shù)。的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方。其中。叫做被開(kāi)方數(shù)。(已知指數(shù)和募，求底

數(shù)的運(yùn)算是開(kāi)方運(yùn)算)

★教師活動(dòng)

開(kāi)平方和平方互為逆運(yùn)算，我們可以利用平方運(yùn)算來(lái)求平方根。

四、例題精析：

例1求下列各數(shù)的平方根：

49

(1)64,(2)⑵,(3)0.0004,

(4)(-25)2,(5)11

注意書(shū)寫(xiě)格式。

五、隨堂練習(xí)：P361、2

例2若尤？+40~=41~,求x；

★教師活動(dòng)：

通過(guò)例2,要學(xué)生進(jìn)一步明白平方根與算術(shù)平方根在應(yīng)用上的區(qū)別。

六、想一想

⑴(鬧尸等于多少等于多少?

(2)(J7E)2等于多少?

(3)對(duì)于正數(shù)a,(J1『等于多少?

師生互動(dòng)，討論交流得出：(向2=aNO)

七、小結(jié)：

1.平方根的定義、表示方法、求法、性質(zhì)。平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系。

2.使學(xué)生學(xué)到由特殊到一般的歸納法。

八、作業(yè)：

P36習(xí)題2.4和試一試P533

§2.3立方根

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生了解一個(gè)數(shù)的立方根概念，并會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根；

2.理解開(kāi)立方的概念；

3.明確立方根個(gè)數(shù)的性質(zhì)，分清一個(gè)數(shù)的立方根與平方根的區(qū)別.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：立方根的概念及求法.

難點(diǎn)：立方根與平方根的區(qū)別.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)：請(qǐng)同學(xué)回答下列問(wèn)題：

(1)什么叫一個(gè)數(shù)a的平方根?如何用符號(hào)表示數(shù)a(K))的平方根？

(2)正數(shù)有幾個(gè)平方根?它們之間的關(guān)系是什么?負(fù)數(shù)有沒(méi)有平方根?0平方根是什么？

(3)當(dāng)吟0時(shí)，式子a,—a,±a,的意義各是什么？

答：(1)如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么x叫做a的平方根，表示為x=±a.

(2)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，0的平方根是0.

(3)aK),a表示a的算術(shù)平方根，一a表示a的負(fù)平方根，士a表示a的平方根.

二、引入新課

1.計(jì)算下列各題：

(1)⑵(-2)；⑶03.

答:(1)0-13=0.001；(2)(-2)-827；(3)°3=0.

指出：上面各題是已知底數(shù)和乘方指數(shù)求三次塞的運(yùn)算，也叫乘方運(yùn)算.

怎樣求下列括號(hào)內(nèi)的數(shù)?各題中已知什么?求什么？

(1)()3=18;(2)()3=-27125;(3)()3=0.

答：已知乘方指數(shù)和3次幕，求底數(shù)，也就是“已知某數(shù)的立方，求某數(shù)”.

33

設(shè)某數(shù)為X,貝11(1)式為X=18,求X；⑵式為X=-27125,求X；(3)式為x3=0求X。

2.立方根的概念.

一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根(也叫做三次方根).

用式子表示，就是，如果d=a,那么x叫做a的立方根.數(shù)a的立方根用符號(hào)“表示，讀作“三

次根號(hào)a,其中a是被開(kāi)方數(shù)，3是根指數(shù).(注意：根指數(shù)3不能省略).

3.開(kāi)立方.

求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)立方.開(kāi)立方與立方也是互為逆運(yùn)算，因此求一個(gè)數(shù)的立方根

可以通過(guò)立方運(yùn)算來(lái)求.

三、講解例題：

例1求下列各數(shù)的立方根：

(1)8；(2)-8；(3)0.125；(4)-27125；(5)0.

分析：求一個(gè)數(shù)的立方根，我們可以通過(guò)立方運(yùn)算來(lái)求.

解(1)因?yàn)?3=8,所以8的立方根是2,即我=2.

問(wèn)：除2以外，還有什么數(shù)的立方等于8?也就是說(shuō)，正數(shù)8還有別的立方根嗎？

答：除2以外，沒(méi)有其它的數(shù)的立方等于8,也就是說(shuō)，正數(shù)8的立方根只有一個(gè).

(2)因?yàn)?一2了=8,所以一8的立方根是一2即口=—2

問(wèn)：除一2以外，還有什么數(shù)的立方等于8?,也就是說(shuō)，負(fù)數(shù)一8還有別的立方根嗎？

答：除一2以外，沒(méi)有其他的數(shù)的立方等于一8,也就是說(shuō)，一8的立方根只有1個(gè).

(3)因?yàn)?53=0.125,所以0.125的立方根是0.5,即正后=0.5.

327_I_273

(4)因?yàn)?-5)3=-125,所以一27125的立方根是一35,即、125=-5.

⑸因?yàn)?3=0,所以。的立方根是0,即桁=0.

問(wèn)：一個(gè)正數(shù)有幾個(gè)立方根?一個(gè)負(fù)數(shù)有幾個(gè)立方根?零的立方根是什么？

答：正數(shù)有一個(gè)正的立方根；負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根仍舊是零.

指出：立方根的個(gè)數(shù)的性質(zhì)可以概括為立方根的唯一性，即一個(gè)數(shù)的立方根是唯一的.

例2求下列各式的值：

27

(1)場(chǎng)⑵V-64

⑶VlOOO

271

解(1)327=3；(2)手―64=-4

⑶i1000=.10

四、隨堂練習(xí)

1.判斷題:

(1)4的平方根是2；()(2)8的立方根是2；()

(3)—0.064的立方根是一0.4；()(4)127的立方根是±13()

1

(5)—16的平方根是±4；()；(6)—12是144的平方根.()

2.選擇題：

(1)數(shù)0.000125的立方根是().

A.0.5B.±0.5C.0.05D.0.005

(2)下列判斷中錯(cuò)誤的是(

A.一個(gè)數(shù)的立方根與這個(gè)數(shù)的乘積為非負(fù)數(shù)

B.一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根之積負(fù)數(shù)

C.一個(gè)數(shù)的立方根未必小于這個(gè)數(shù)

D.零的平方根等于零的立方根

3.求下列各數(shù)的立方根：

(1)27；(2)-38；(3)1；(4)0.

4.求下列各式的值：

11000I125

(1)100；⑵而；⑶1而；⑷『瓦；(5)VI；

五、小結(jié)

請(qǐng)思考下面的問(wèn)題：

1.什么叫一個(gè)數(shù)的立方根?怎樣用符號(hào)表示數(shù)a的立方根?a的取值范圍是什么？

2.數(shù)的立方根與數(shù)的平方根有什么區(qū)別？

答：1.如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根，用符號(hào)3a表示，a為任意數(shù).

2.正數(shù)只有一個(gè)正的立方根，但有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根；負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立

方根，但沒(méi)有平方根.

3.求一個(gè)數(shù)的立方根，可以通過(guò)立方運(yùn)算來(lái)求.

六、作業(yè)：見(jiàn)作業(yè)本。

§2.4估算

教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1.能通過(guò)估算檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的合理性，能估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍，并能通過(guò)估算比較兩個(gè)數(shù)的大

小.

2.掌握估算的方法，形成估算的意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感.

(二)能力訓(xùn)練要求

1.能估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍，培養(yǎng)學(xué)生估算的意識(shí).

2.讓學(xué)生掌握估算的方法，訓(xùn)練他們的估算能力.

教學(xué)重點(diǎn)

1.讓學(xué)生理解估算的意義，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感.

2.掌握估算的方法，提高學(xué)生的估算能力.

教學(xué)難點(diǎn)

掌握估算的方法，并能通過(guò)估算比較兩個(gè)數(shù)的大小.

教學(xué)過(guò)程

一.導(dǎo)入新課

同學(xué)們，請(qǐng)大家說(shuō)出咱們班男生和女生的平均身高.你又是怎樣得出結(jié)果的呢？

(我猜的.)

“猜”字的意思就是根據(jù)自己的判斷而估計(jì)得出的結(jié)果，它并不是準(zhǔn)確值，但也不是無(wú)中生有，是

有一定的理論根據(jù)的，本節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)有關(guān)估算的方法.

二.講授新課

問(wèn)題：某地開(kāi)辟了一塊長(zhǎng)方形的荒地，新建一個(gè)以環(huán)保為主題的公園，已知這塊荒地的長(zhǎng)是寬的2

倍，它的面積為400000米2.

(1)公園的寬大約是多少？它有1000米嗎？

(2)如果要求誤差小于10米，它的寬大約是多少？

(3)該公園中心有一個(gè)圓形花圃，它的面積是800米2,你能估計(jì)它的半徑嗎？(誤差小于1米)

提示：要想知道公園的寬大約是多少，首先應(yīng)根據(jù)已知條件求出已知量與未知量的關(guān)系式，那么它

們之間有怎樣的聯(lián)系呢？

(因?yàn)橐阎L(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍，且它的面積為40000米2,根據(jù)面積公式就能找到它們的關(guān)系式.

可設(shè)公園的寬為x米，則公園的長(zhǎng)為2x米，由面積公式得：

2x2=400000x2=200000?所以公園的寬x就是面積200000的算術(shù)平方根).

在估算時(shí)我們首先要大致確定數(shù)的范圍，因此有必要做一些準(zhǔn)備工作.請(qǐng)大家先計(jì)算出20以內(nèi)正整數(shù)

的平方和10以內(nèi)正整數(shù)的立方.并加以記憶，對(duì)我們的估算很有幫助.

12=1；22=4；32=9；42=16；52=25；62=36；72=49；82=64；92=81；102=100；112=121；122=144；

132=169；142=196；152=225；162=256；172=289；182=324；192=381；202=400.

13=1；23=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；83=512；93=729；103=1000.

下面我們可以進(jìn)行估算，請(qǐng)同學(xué)們分組討論而后回答.

(1)公園的寬沒(méi)有1000米，因?yàn)?000的平方是1000000,而200000小于1000000,所以它沒(méi)有1000

米寬.

大家能不能具體確定一下公園的寬是幾位數(shù)呢？

因?yàn)?00的平方是10000,1000的平方是1000000,而200000大于10000小于1000000,所以公園

的寬比100大而比1000小，是三位數(shù).

大家在估算時(shí)就可用這樣的方法大致估算一下是幾位數(shù)，這樣使范圍縮小，為下一步的估算作準(zhǔn)備.

由此看來(lái)公園的寬大約是幾百米，下面請(qǐng)大家繼續(xù)討論做(2)題.

因?yàn)?00的平方等于160000,500的平方為250000,所以公園的寬x應(yīng)比400大比500小.

所以x應(yīng)為400多，再繼續(xù)估算，估計(jì)十位上的數(shù)字是幾.

因?yàn)?40的平方為193600,450的平方為202500,所以x應(yīng)比440大比450小，故十位上的數(shù)為4.

因?yàn)轭}目要求誤差小于10米，好應(yīng)精確到十位，所以我們估算出十位上的數(shù)就行了，即公園的寬x

應(yīng)為440米，現(xiàn)在我們可以根據(jù)剛才的估算來(lái)總結(jié)一下步驟.

1.估計(jì)是幾位數(shù).

2.確定最高位上的數(shù)字(如百位).

3.確定下一位上的數(shù)字.(如十位)

4.依次類推，直到確定出個(gè)位上的數(shù)，或者按要求精確到小數(shù)點(diǎn)后的某一位.

在以后的估算中我們就可按這樣的步驟進(jìn)行.再看(3)題，先列出關(guān)系式.

800800

(設(shè)半徑為X米，貝IJ有xx2=800；.x2=n314打255.即x2處255

因?yàn)?02=100,1002=10000,所以x應(yīng)是兩位數(shù)，又因?yàn)?52=255,162=256,所以x就比15大比

16小，應(yīng)為15點(diǎn)幾，所以應(yīng)為15米.)

在題目中要求誤差小于1,而不是精確到1,所以15米和16米都滿足要求，即x應(yīng)為15米或16米.

二、議一議

⑴下列計(jì)算結(jié)果正確嗎？你是怎樣判斷的？與同伴交流.

J0.43心0,066；莎麗心96；,2536Q60.4

(2)你能估算莎麗的大小嗎？(誤差小于1).

解：(1)因?yàn)?.652=0.4225,0.662=0.4356,而0.43大于0.4225小于0.4356,所以，0?43應(yīng)大于0.65

小于0.66,所以估算錯(cuò)誤.

(2)第2個(gè)錯(cuò).因?yàn)?0的立方是1000,900比1000小，所以900的立方根應(yīng)比1000的立方根小，

即小于10,所以估算錯(cuò)誤.

(3)第3個(gè)錯(cuò).因?yàn)?0的平方是3600,而2536小于3600,所以后后應(yīng)比60小，所以估算錯(cuò)誤.

第(2)小題請(qǐng)大家按總結(jié)的步驟進(jìn)行.

(1)先確定位數(shù)

因?yàn)?的立方為1,10的立方為1000,900大于1小于1000,所以應(yīng)是一位數(shù).

(2)確定個(gè)位上數(shù)字.

因?yàn)?的立方為729,所以個(gè)位上的數(shù)字應(yīng)為9.

三、例題講解

［例1］(課本40頁(yè)例1)

正11與工

［例2］通過(guò)估算，比較22的大小

分析：因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)的分母相同，所以只需比較分子即可.

_V5-1>2-1V5-l^1

解：因?yàn)?>4,即(、6)2>22,所以百>2,所以22.即22.

a+2b

［補(bǔ)例3］已知6+1的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b.求2a+b的值.

〃一1

［補(bǔ)例4］已知5+2遙的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別為。和。，求人的值

四、課堂練習(xí)

(一)隨堂練習(xí)

(二)補(bǔ)充練習(xí)：比較巫■與3.4的大小.

解：因?yàn)?.4的平方為11.56,所以12大于11.56,即?歷>3.4.

五.課堂小結(jié)

本節(jié)課主要是讓學(xué)生掌握估算的方法，形成估算的意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，并能用估算來(lái)比較大小.

六.課后作業(yè)：習(xí)題2.6

§2.5用計(jì)算器開(kāi)方

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)目標(biāo)

1.會(huì)用計(jì)算器求平方根和立方根.

2.經(jīng)歷運(yùn)用計(jì)算器探求數(shù)學(xué)規(guī)律的活動(dòng)，發(fā)展合情推理的能力.

（二）能力訓(xùn)練目標(biāo)

1.鼓勵(lì)學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心與求知欲.

2.鼓勵(lì)學(xué)生自己探索計(jì)算器的用法，并能熟悉用法.

3.能用計(jì)算器探索有關(guān)規(guī)律的問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)

論的確定性.

（三H青感與價(jià)值觀目標(biāo)

讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用計(jì)算器的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生探索規(guī)律的能力，發(fā)展學(xué)生合理推理的能力.

教學(xué)重點(diǎn)

1.探索計(jì)算器的用法.

2.用計(jì)算器探求數(shù)學(xué)規(guī)律.

教學(xué)難點(diǎn)

1.探索計(jì)算器的用法.

2.用計(jì)算器探求數(shù)學(xué)規(guī)律.

教學(xué)方法

學(xué)生探索法.

教學(xué)過(guò)程

一、新課導(dǎo)入

我們?cè)谇皫坠?jié)課分別學(xué)習(xí)了平方根和立方根的定義，還知道乘方與開(kāi)方是互為逆運(yùn)算.比如23=8,2

叫8的立方根，8叫2的立方，有時(shí)可以根據(jù)逆運(yùn)算來(lái)求方根或平方、立方.對(duì)于10以內(nèi)數(shù)的立方，

20以內(nèi)數(shù)的平方要求大家牢記在心，這樣可以根據(jù)逆運(yùn)算快速地求出這些特殊數(shù)的平方根或立方根,

那么對(duì)于不特殊的數(shù)我們應(yīng)怎么求其方根呢？可以根據(jù)估算的方法來(lái)求，但是這樣求方根的速度太

慢，這節(jié)課我們就學(xué)習(xí)一種快速求方根的方法，用計(jì)算器開(kāi)方.

二、新課講解

［師］請(qǐng)大家互相看一下計(jì)算器，拿類型相同的計(jì)算器的同學(xué)請(qǐng)坐到一起.這樣便于大家互相討論問(wèn)

題.如果你的計(jì)算器的類型與書(shū)中的計(jì)算器的類型相同，請(qǐng)你按照書(shū)中的步驟熟悉一下程序，若你的

計(jì)算器的類型不同于書(shū)中的計(jì)算器，請(qǐng)拿相同類型計(jì)算器的同學(xué)先要探索一下如何求平方根、立方

根的步驟，把程序記下來(lái)，好嗎？給大家8分鐘時(shí)間進(jìn)行探索.

［師］好，時(shí)間到，大家的程序掌握了嗎？

［生］掌握了.

~1285,

［師］現(xiàn)在根據(jù)自己掌握的程序計(jì)算6而，\7^V5+1）癡萬(wàn)一口，然后和書(shū)中的數(shù)

據(jù)相對(duì)照，檢查自己做的是否正確.

［生］正確.

三、做一做

利用計(jì)算器，求下列各式的值（結(jié)果保留4個(gè)有效數(shù)字）：

3匡

(1)A/800.(2)V5.⑶J0.58；⑷V-0.432

［師］哪一位同學(xué)能用計(jì)算器快速計(jì)算出上面各式的值呢?

［生］能.

O.7616；J0,432-一0.7560.

(1)仁28.28；⑵F.639；(3)J0.58、(4)

［例題］利用計(jì)算器比較我和上的大小.

解：正=1.44224957,、歷=1.414213562

V3>72

［師］請(qǐng)大家用計(jì)算器求下列各式的值(結(jié)果保留4個(gè)有效數(shù)字)

投影片：(§2.5A)⑴歷；⑵J0.81.

⑶J1369；(4)J1.5376.⑸百；