北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)全冊教案集

b第一章特殊平行四邊形

1.1菱形的性質(zhì)與判定

第1課時

【教學(xué)目標(biāo)】例：已知:在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交

1.掌握菱形的概念、性質(zhì)。于點0.

2.掌握菱形的性質(zhì)定理“菱形的四條邊相等”。求證：AC±BD,AC平分/BAD和/BCD,BD

3.掌握菱形的性質(zhì)定理”菱形的對角線互相垂平分NABC和/ADC.

直，并且每條對角線平分一組對角”。

4.探索菱形的對稱性。

【教學(xué)重難點】

重點:菱形的性質(zhì).

難點:菱形的軸對稱需要用折疊和推理相結(jié)合的方

分析：由菱形的定義得AABD是什么三角形？

法，是本節(jié)的教學(xué)難點.

B0與0D有什么關(guān)系？根據(jù)什么？

【教學(xué)過程】

由此可得AC與BD有何關(guān)系？與/BAD有何關(guān)

一、復(fù)習(xí)引入

觀察以下由火柴棒擺成的圖形，議一議：系？根據(jù)什么？

證明：：四邊形ABCD是菱形，

；.AB=AD（菱形的定義）,

BO=OD（平行四邊形的對角線互相平分）

.,.ACXBD,AC平分/BAD（等腰三角形三線合

一的性質(zhì)）.

（1）二.個圖形都是平行四邊形嗎？

同理，AC平分/BCD,BD平分/ABC和/ADC,

（2）與圖一相比，圖二與圖三有什么共同的特點？

對角線AC和BD分別平分一組對角.

目的是讓學(xué)生經(jīng)歷菱形的概念，性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，

由定理2可以得出菱形是軸對稱圖形，它的兩條對

并讓學(xué)生注意以下幾點：

角線所在的直線都是它的對稱軸.另外，還可以從折疊來

（1）要使學(xué)生明確圖二、圖三都為平行四邊形；

說明軸對稱性.同時指出以上兩個性質(zhì)只是菱形不同于

（2）引導(dǎo)學(xué)生找出圖二、圖三與圖一在邊方面的差

一般平行四邊形的特殊性質(zhì).菱形還具有平行四邊形的

異.

所有共性，比如:菱形是中心對稱圖形，對稱中心為兩條

二、探究新知

對角線的交點.

再用多媒體教科書中有關(guān)菱形的美麗圖案，讓學(xué)

三、范例點擊

生感受菱形具有工整，勻稱，美觀等許多優(yōu)點.

例:在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,Z

菱形也是特殊的平行四邊形，所以它除具有一般

BAC=30°,BD=6,求菱形的邊長和對角線AC的長.

平行四邊形的性質(zhì)外還具有一些特殊的性質(zhì).

定理1：菱形的四條邊都相等.

這個定理要求學(xué)生自己完成證明，可以根據(jù)菱形

的定義推出，課堂上只需讓學(xué)生說說理由就可以了，不

必寫證明過程.

定理2：菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線分析:本題是菱形的性質(zhì)定理2的應(yīng)用，由/BAC=

平分一組對角.30。，得出AABD為等邊三角形，就抓住了問題解決的關(guān)

鍵.

九上數(shù)學(xué)教案（BS）1

解：：四邊形ABCD是菱形

，AB=AD（菱形的定義），四、鞏固練習(xí)

AC平分NBAD（菱形的每條對角線平教材P4隨堂練習(xí)

分一組對角）

又：/BAC=30°,

/.^BAD-60°,五、課堂小結(jié)：

本節(jié)課應(yīng)掌握：一個定義（菱形的定義），二條定理

△ABD為等邊三角形，

（菱形的性質(zhì)定理），二個結(jié)論（菱形是軸對稱圖形，又是

；

.AB=BD=6.中心對稱圖形）.

又：（》=（?=3（平行四邊形的對角線互相平分），

AC±BD（菱形的對角線互相垂直）.

222

由勾股定理得AO+BO=AB,六、布置作業(yè)

AAO=3V3AC=2A0=6V3.教材P4~5習(xí)題1.1

第2課時

【教學(xué)目標(biāo)】結(jié)論：菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱

1.經(jīng)歷菱形的判定定理的發(fā)現(xiàn)過程.形.（板書）

2.掌握菱形的判定定理“四邊相等的四邊形是菱三、探究新知

形”.例1:已知：如圖，在ABCD中，BDXAC,。為垂

3.掌握菱形的判定定理“對角線互相垂直的平行足.求證：四邊形ABCD是菱形.

四邊形是菱形”.

4.通過運用菱形知識解決具體問題，提高分析能力

和觀察能力，并根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形的從屬關(guān)

系，向?qū)W生滲透幾何思想.

分析:在已知是平行四邊形的情況下，要證明是菱

【教學(xué)重難點】

形，只要證明一組鄰邊相等.

重點:菱形的判定定理.

證明：???四邊形是平行四邊形，

難點:菱形判定方法的綜合應(yīng)用.課本“做一做”既ABCD

（平行四邊形的對角線互相平

需要一定的空間想象力，又要有較強的邏輯思維能力./.AO=CO

分）.

【教學(xué)過程】

,?BD1AC,

一、復(fù)習(xí)引入

.'.AD=CD,

教師提問:菱形的定義和性質(zhì)..??四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）.

定義:一組鄰邊對應(yīng)相等的平行四邊形叫做菱形.結(jié)論：菱形判定定理2:對角線互相垂直的平行四

性質(zhì):除具備一般平行四邊形的性質(zhì)外，還具備四邊形是菱形.

條邊相等，對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組猜想:對角線互相垂直平分的四邊形是不是菱形？

對角判定一個四邊形是不是菱形可根據(jù)什么來判定？啟發(fā)：通過四個直角三角形的全等得到四條邊

定義，此外還有兩種判定方法，今天我們就要學(xué)習(xí)相等

菱形的判定.（板書課題）結(jié)論:對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.

二、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課例2:如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平

學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的長方形紙片，按P6“做一做”中分線與AD,BC分別交于點E,F,求證：四邊形AFCE

的圖的方法對折兩次，并沿第3個圖中的斜線剪開，展是菱形.

開剪下的部分，猜想這個圖形是哪一種四邊形？一定是

菱形嗎？為什么？剪出的圖形四條邊都相等，根據(jù)這個

條件首先證它是平行四邊形，再證一組鄰邊相等，依定

義即知為菱形.

2九上數(shù)學(xué)教案（BS）

啟發(fā)：已知對角線互相垂直，還需什么條件就能

說明四邊形是菱形？

五、課堂小結(jié)

證明：：四邊形ABCD是矩形，本節(jié)課應(yīng)掌握：

；.AE〃FC（矩形的定義），1.菱形常用的判定方法歸納為（學(xué)生討論歸納后，

由教師板書）：

AZ1=Z2.

（1）一組鄰邊相等的平行四邊形.

（2）四條邊相等的四邊形.

XVZAOE=ZCOF,AO=CO,

（3）對角線互相垂直的平行四邊形.

（4）對角線互相垂直平分的四邊形.

AAOE^ACOF,

2.想一想:說明平行四邊形、矩形、菱形之間的區(qū)

.,.EO=FO,別與聯(lián)系.

A四邊形AFCE是平行四邊形（對角線互相平

分的四邊形是平行四邊形）.

XVEF^AC,

四邊形AFCE是菱形（對角線互相垂直的平

行四邊形是菱形）.

六、布置作業(yè)

四、鞏固練習(xí)

1.教材P7習(xí)題1.2

1.教材P7、P9隨堂練習(xí).

2.教材P9?10習(xí)題1.3

2.思考題:如圖，AABC中，/A=9（T,/B的平分

線交AC于D,AH、DF都垂直于BC,H、F為垂足，

1.2矩形的性質(zhì)與判定

第1課時

【教學(xué)目標(biāo)】【顯示投影片】

1.了解矩形的有關(guān)概念，理解并掌握矩形的有關(guān)教師活動:將收集來的有關(guān)長方形圖片播放出來，

性質(zhì).讓學(xué)生進(jìn)行感性認(rèn)識，然后定義出矩形的概念.

2.經(jīng)過探索矩形的概念和性質(zhì)的過程，發(fā)展學(xué)生矩形定義:有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

合情推理意識；掌握幾何思維方法.（也就是小學(xué)學(xué)習(xí)過的長方形）

【教學(xué)重難點】教師活動:介紹完矩形概念后，為了加深理解，也為

重點:掌握矩形的性質(zhì)，并學(xué)會應(yīng)用.了繼續(xù)研究矩形的性質(zhì)，拿出教具，同學(xué)生一起探究下面

難點:理解矩形的特殊性.把握平行四邊形的演變問題：

過程，遷移到矩形概念與性質(zhì)上來，明確矩形是特殊的問題1：改變平行四邊形活動框架，將框架夾角a變

平行四邊形.為90。，平行四邊形成為一個矩形，這說明平行四邊形

【教學(xué)過程】與矩形具有怎樣的從屬關(guān)系？（教師提問）

一、聯(lián)系生活，形象感知學(xué)生活動:觀察教師的教具，研究其變化情況，可以

九上數(shù)學(xué)教案（BS）3

發(fā)現(xiàn):矩形是平行四邊形的特例，屬于平行四邊形，因此這樣可求出OA=AB=2.5,；.AC=BD=2OA=5.

它具有平行四邊形的所有性質(zhì).【活動方略】

問題2：既然它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，那么教師活動:板書例1,分析例1的思路，教會學(xué)生解

矩形是否具有它獨特的性質(zhì)呢？（教師提問）題分析法，然后板書解題過程（課本P13）.

學(xué)生活動：由平行四邊形對邊平行以及剛才a變?yōu)閷W(xué)生活動:參與教師講例，總結(jié)幾何分析思路.

【問題探究】（投影顯示）

90°,可以得到a的補角也是90°從而得到:矩形的四個

角都是直角.如圖，AABC中，ZA=2ZB,CD是AABC的高，E

評析：實際上，在小學(xué)學(xué)生已經(jīng)學(xué)過長方形四個角

是AB的中點，求證：：DE=1/2AC.

都是90°,這里學(xué)生不難理解.

教師活動:用橡皮筋做出兩條對角線，讓學(xué)生觀察

這兩條對角線的關(guān)系，并要求學(xué)生證明（口述）.

學(xué)生活動：觀察發(fā)現(xiàn):矩形的兩條對角線相等.口述

證明過程是:充分利用（SAS）三角形全等來證明.

分析：本題可從E是AB的中點切入，考慮應(yīng)用三角

形中位線定理.應(yīng)用三角形中位線必需找到另一個中點.

分析可知：可以取BC中點F,也可以取AC的中點G為

嘗試.

口述：：四邊形ABCD是矩形，

ZABC=ZDCB=9O°,AB=DC.

又：BC為公共邊，

/.AABC^ADCB（SAS）,VE為AB巾點:EF/[AC,

；.AC=BD.

教師提問:A0=AC,BO=BD呢？BO是RtAABC的VZA=2ZB..'.ZFEB=2ZB,DF=BC=BF,

什么線？由此你可以得到什么結(jié)論？

*

學(xué)生活動：觀察、思考后發(fā)現(xiàn)A0=I/2AC,.*.Z1=ZB,..ZFEB=2ZB=2Z1=Z1+Z2,

BO=1/2BD,BO是RtAABC的中線.由此歸納直角三角

形的一個性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一.'.N1=N2,；.DE=EF=JAC.

半.fa）

證法二:取AC的中點G,庫格DG、EG,如圖（2）.

直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半

（師生回憶）.VCD是ZSBC的高,

【設(shè)計意圖】采用觀察、操作、交流、演繹的手法

???在RAADC中,DG=：AC=AG,

來解決重點，突破難點.

二、范例點擊

例1:如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于點VE>AB的中點,.??GE〃BC".G1=NB.

O,ZAOD=120°,AB=2.5,這個矩形對角線的長.（投.'.ZGDA=ZA=2ZB=2Z1,

影顯示）

又/GDA=/1+Z2,.\Z1+Z2=2Z1,

2=/l",DE

教師活動：操作投影儀，引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生的分析思

路，教會學(xué)生如何書寫輔助線.

分析：利用矩形對角線相等且平分得到OA=OB,由

學(xué)生活動：分四人小組，合作探索，想出幾種不同

于NAOB=60°,因此，可以發(fā)現(xiàn)AAOB為等邊三角形，

的證法.

4九上數(shù)學(xué)教案（BS）

證法一:取BC的中點F,連接EF、DF,如圖(1).

【設(shè)計意圖】補充這道演練題是訓(xùn)練學(xué)生的應(yīng)用能力，提

高一題多解的意識，形成幾何思路.

三、隨堂練習(xí)

教材P13隨堂練習(xí)

四、應(yīng)用拓展

已知:如圖，從矩形ABCD的頂點C作對角線BD的

垂線與ZBAD的平分線相交于點E,求

證:AC=CE.ZFAB.現(xiàn)在只要證明/BAF=NDAC即可，而實際上，

/BAF=/BDA=/DAC,問題迎刃而解.

五、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

思路點機要證=可以=

1.矩形定義:有t個角是直角的平行四邊形叫做矩

形，因此矩形是平行四邊形的特例，具有平行四邊形所

ZCAE,0%AE串分NBADJhMDAE=/BAE,有性質(zhì)。

2.矩形性質(zhì)歸納：

因此，從帔見ZCAE=ZrME-ZDAC.另夕卜一個

(1)邊的性質(zhì):對邊平行且相等.

角的性質(zhì)：四個角都是直角.

W，CE1BD,itiUA作AF1BDfFJ'lA(2)

(3)對角線性質(zhì):對角線互相平分且相等.

F，(E可以將/￡法化為ZFAE./F此二/心￡一(4)對稱性:矩形是軸對稱圖形.

六、布置作業(yè)

教材P13習(xí)題1.4第1、2題

(1)是不是平行四邊形，(2)再看它有無直角.

2.矩形是特殊的平行四邊形，它具有哪些性質(zhì)？

(通過對矩形定義及性質(zhì)的回顧，引出判定矩形除了定義

第2

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過探索與交流，逐漸得出矩形的判定定理，并

會運用定理解決相關(guān)問題.

2.通過開放式命題，嘗試從不同角度尋求解決問題

的方法.

【教學(xué)重難點】

重點:探索矩形判定定理的過程及應(yīng)用.

難點:矩形判定定理的應(yīng)用.

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

通過上節(jié)課對矩形的學(xué)習(xí)，誰能回答以下問題：

1.判定四邊形是矩形的方法是什么？(用定義)

九上數(shù)學(xué)教案(BS)5

課時（1）條件與結(jié)論各是什么？（引出條件與結(jié)論的關(guān)系）

（2）使一個平行四邊形是矩形，已學(xué)過什么方法？（引

外，還有哪些方法，導(dǎo)入新課.）出矩形的定義證明）

二、探究新知（3）要證明一個角是直角，根據(jù)平行四邊形相鄰兩個

活動一:矩形的判定定理一的探索角互補，只需證明什么？（引出證明兩個三角形全等）

1.先請同學(xué)只用手中量角器量一下圖形（甲）（乙）（4）如何選擇要證明兩個三角形全等，它們的條件是否

中的四邊形的角（有幾個直角）.滿足？

2.然后通過同桌同學(xué)交流用幾個直角才能構(gòu)成矩最后由學(xué)生說出整個證明的過程，教師進(jìn)行適當(dāng)?shù)狞c

形，并說明理由.評與板書.

當(dāng)判定定理一、定理二得出后，讓學(xué)生總結(jié)矩形的三

（此問題的解決以動手實踐，合作交流的形式進(jìn)

種判定方法（定義，定理一與定理二），并對題設(shè)進(jìn)行比

行，學(xué)生在探究過程中根據(jù)已有的知識積累一矩形的定

較、區(qū)分，使學(xué)生進(jìn)一步明確定理應(yīng)用的條件.

義，得出矩形的判定定理一.教師以合作者的身份深入學(xué)

三、范例點擊

生中，了解學(xué)生的探究進(jìn)程并適當(dāng)給予點撥.）

例:如圖所示，在6BCD中，E、F為BC上兩點，

最后教師進(jìn)行適當(dāng)板書進(jìn)行推證、講解.在此過程

且BE=CF,AF=DE.求證：

中，全體同學(xué)可互相補充、互相評價，培養(yǎng)學(xué)生的語言表（l）AABF^ADCE；

達(dá)能力、推理能力.（2）四邊形ABCD是矩形.

活動二：教師提問:矩形的對角線相等反過來對角

線相等的四邊形是什么圖形？在學(xué)生回答是或不是的情

況下，讓學(xué)生依下列步驟進(jìn)行探索.

L畫任意兩條長度相等的相交線段，并把它們的四

個頂點順次連接，看是不是矩形？分柝（1）由四邊形ABCD

2.畫兩條長度相等并且一條平分另一條的線段，是平行四邊形，得

并把它們的四個頂點順次連接，看是不是矩形？AB=CD,再結(jié)合已知條

3.畫兩條長度相等并且互相平分的線段，并把它件，利用“SSS”可證得

們的四個頂點順次連接，看是不是矩形？A/BF當(dāng)ADCE；

4.然后通過同桌同學(xué)交流用怎樣的兩條長度相等（2）只需再證

在小噩限曙竄go。即

的線段才能構(gòu)成矩形，并說明理由.

;縛二DC,BF=CE,AF=DE,

最后通過教師演示動畫，師生進(jìn)行適當(dāng)交流、歸納、

C

???W^^-F6E=CF/

講解，得出矩形的判定定理二.

⑵.??鍥七言9伏RE，C遑蕭NC.

（此問題的解決仍以分組合作交流的形式進(jìn)行，通

二

過此種互動過程，讓全體學(xué)生參與其中，獲得不同程度的EF,BF=CE.

:四邊形

收獲，體驗成功的喜悅.）

ABCD是平行四邊形，二

AB=DC.

活動三:矩形的判定定理二的證明.

??,四邊形ABCD是平行四邊形，

已知:在平行四邊形ABCD中，AC=BD,

求證:平行四邊形ABCD是矩形..'.AB//CD,.,.ZB+ZC=180",

；.NB=90。，.?.平行四邊形ABCD是矩形.

四、拓展應(yīng)用

為了幫助學(xué)生鞏固定理，應(yīng)用如下：

應(yīng)用一：工人師傅要檢驗兩組對邊相等的四邊形是

對于判定定理二的證明教師從以下幾個方面進(jìn)行與否成矩形，你有沒有方法幫助工人師傅解決這個問題？

學(xué)生交流.（這一題是由引入判定定理二改編而成的，主要考查學(xué)生

6九上數(shù)學(xué)教案（BS）

利用矩形的判定定理解決實際問題的能力.）

應(yīng)用二:例題講解

一張四邊形紙板ABCD形狀如圖，它的對角線互相

垂直.若要從這張紙板中剪出一個矩形，并且使它的四個

頂點分別落在四邊形ABCD的四條邊上可以怎樣剪？

對于這個問題的解決教師引導(dǎo)學(xué)生回顧過去證明依

次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形的經(jīng)

驗，使學(xué)生聯(lián)想到連接四邊形ABCD的兩條對角線，然后

運用中位線定理，這樣就解決了這個問題.

九上數(shù)學(xué)教案（BS）7

五、鞏固練習(xí)需的條件，辨析判定定理的題設(shè)，以便更好地應(yīng)用定理.

這兩個問題的解決分別應(yīng)用所學(xué)定理，使學(xué)生能夠?qū)W以致

練習(xí)一：

用.這兩道題的解決方法是先采用獨立完成形式，有困難

1.內(nèi)角都相等的四邊形是矩形.（）的學(xué)生可以求助老師或同學(xué)，學(xué)生互助完成，派學(xué)生代表

2.對角線相等的四邊形是矩形.（）板書講解.）

3.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形.。

4.一組鄰角相等的平行四邊形是矩形.（）

5.對角互補的平行四邊形是矩形.（）六、課堂小結(jié)

練習(xí)二：如圖，AC,BD是矩形ABCD的兩條對角線,本節(jié)課應(yīng)掌握：

AE=CG=BF=DH.求證：四邊形EFGH是矩形.矩形常用的判定方法歸納為（學(xué)生討論歸納后，由

教師板書）：

（1）有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

（2）對角線相等的平行四邊形是矩形.

（3）有三個角是直角的四邊形是矩形.

七、布置作業(yè)

教材P16習(xí)題1.5第1、2題

（練習(xí)一，二是課內(nèi)練習(xí)，主要為加強學(xué)生對所學(xué)定理

的理解和掌握，使學(xué)生能將給出的條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)用定理所

1.3正方形的性質(zhì)與判定

第1課時

【教學(xué)目標(biāo)】過）；正方形四個角都是直角（小學(xué)學(xué)過）.

了解正方形的有關(guān)概念，理解并掌握正方形的性質(zhì)實驗活動：教師拿出矩形按左圖折疊.然后展開，

定理.讓學(xué)生發(fā)現(xiàn):只要矩形一組鄰邊相等，這樣的矩形就是正

【教學(xué)重難點】方形；同樣，教師拿出活動菱形框架，運動中讓學(xué)生

重點:探索正方形的性質(zhì)定理.發(fā)現(xiàn)：只要菱形有一個內(nèi)角為90°,這樣的特殊菱形也

難點:掌握正方形的性質(zhì)的應(yīng)用方法，把握正方形既

是矩形又是菱形這一特性來學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容.

【教學(xué)過程】

一、探究導(dǎo)入

【顯示投影片】教師活動：組織學(xué)生聯(lián)想正方形還具有哪些性質(zhì),板

顯示內(nèi)容：展示生活中有關(guān)正方形的圖片，幻燈片

（多幅）.

【活動方略】

教師活動:操作投影儀，邊展示圖片，邊提出下面的

問題：

1.同學(xué)們觀察顯示的圖片后，有什么聯(lián)想？正方形

四條邊有什么關(guān)系？四個角呢？學(xué)生活動：觀察、聯(lián)想到它是矩形，所以具有矩形

2.正方形是矩形嗎？是菱形嗎？為什么？的所有性質(zhì);它又是菱形所以它又具有菱形的一切性質(zhì),

3.正方形具有哪些性質(zhì)呢？歸納如下：

學(xué)生活動：觀察屏幕上所展示的生活中的正方形圖

片.進(jìn)行聯(lián)想.易知：L正方形四條邊都相等（小學(xué)已學(xué)

&九上數(shù)學(xué)教案（BS）

正方形定義:有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角

角形.

的平行四邊形叫做正方形.

正方形性質(zhì)：

(1)邊的性質(zhì):對邊平行，四條邊都相等.

(2)角的性質(zhì)：四個角都是直角.

(3)對角線的性質(zhì)：兩條對角線互相垂直平分且相

等，每條對角線平分一組對角.

(4)對稱性:是軸對稱圖形，有四條對稱軸.分析：本題要證NEFC=90°,從已知條件分析可以

【設(shè)計意圖】采用合作交流、發(fā)現(xiàn)、歸納的方式來得到只要利用勾股定理逆定理，就可以解決問題.這里應(yīng)

解決重點問題，突破難點.用到正方形性質(zhì).

二、探究新知【活動方略】

【課堂演練】(投影顯示)教師活動：用投影儀顯示演練題2,組織學(xué)生應(yīng)用正

演練題1：如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對方形和勾股定理逆定理分析，并請同學(xué)上講臺分析思路，

角線AC與BD相交于0,MN//AB,且分別與板演.

OA、0B相交于M、N.學(xué)生活動:先獨立分析，找到證明思路是利用勾股定

理的逆定理解決問題.

證明：設(shè)AB=4a,在正方形ABCD中，DC=BCNa,

AF=FB=2a,AE=a,DE=3a.

VZB=ZA=ZD=90°,由勾股定理得：

EF2+CF三(AE2+AF2)+(CB2+BF2)=(a2+4a2)+

(16a2+4a2)=25a2,

分析：本題是證明根據(jù)正方形性質(zhì)，可以

BM=CN,CE=CD2+DE2=(4a)2+(3a)三25a2,

證明、所在與是否全等.(在

BMCNABOMACON2).-.EF2+CF2=CE2.

(1)的基礎(chǔ)上完成，欲證BM±CN.只需證N5+ZCMG=

由勾股定理的逆定理可知ACEF是直角三角形.

就可以了.

90°【設(shè)計意圖】補充兩道關(guān)于正方形性質(zhì)應(yīng)用的演練

【活動方略】

題，提高學(xué)生的應(yīng)用能力.

教師活動:操作投影儀.組織學(xué)生演練，巡視，關(guān)注

三、范例點擊

“學(xué)困生”；等待大部分學(xué)生練習(xí)做完之后，再請兩位學(xué)

例：已知：如圖，四邊形ABCD是正方形矩形PECF

生上臺演示，交流.

的頂點P在正方形ABCD的對角線BD上,E在BC上，F(xiàn)

學(xué)生活動：課堂演練，相互討論，解決演練題的問

在CD上，連接AC、AP、PC、EF,若EC=4,CF=3,求PA

題.

的長.

證明：(1)???四邊形ABCD是正方形，D

AZCOB=ZBOM=9O°,OCOB.

VMN//AB,.\Z1=Z2,ZABO=Z3,

F

XVZ1=ZABO=45°>AZ2=Z3，

.,.OM=ON,

C

.,.ACON^ABOM,ABM=CN.

分析：本題運用矩形對角線相等的性質(zhì)可得EF=PC，

⑵由(1)知ABOM學(xué)ACON,

運用正方形的性質(zhì)可得AP=PC，進(jìn)而可得AP=EF.因此，

AZ4=Z5,VZ4+ZBMO=90°,AZ5+ZBMC=90

只要求出EF的值即可.

°ZCGM=90°,.-.BM±CN.

解：：四邊形PECF是矩形，二PC=EF.在RtAEFC

演練題2:如圖，正方形ABCD中，點E在AD邊上，

中，

且-AE=AD,F為AB的中點，求證：ACEF是直角三EC=4,CF=3,J.

4

九上數(shù)學(xué)教案(BS)9

EF='

.1.PC=5.四邊形ABCD是正方形，，BD_LAC且BD平

分AC，即BD是AC的垂直平分線.I,點P在BD上，

PA=PC=5.

【方法歸納】與矩形對角線有關(guān)的計算問題，主要

運用矩形的對角線相等和正方形的對角線的性質(zhì),借助第

三條線段作“媒介”求線段的長.

四、鞏固練習(xí)

教材P21隨堂練習(xí)

五、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.正方形的概念：

有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊

形叫做正方形.

2.正方形的性質(zhì)

(1)正方形的四個角都是直角，四條邊相等.

(2)正方形的對角線相等且互相垂直平分.

(3)正方形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.

六、布置作業(yè)

教材P22習(xí)題1.7第1、2、3題

10九上數(shù)學(xué)教案(BS)

第2課時

【教學(xué)目標(biāo)】二、探究新知

1.知道正方形的判定方法，會運用平行四邊形、矩形、菱1.探索正方形的判定條件：

形、正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計算.

學(xué)生活動：四人一組進(jìn)行討論研究，老師巡回其間，

2.經(jīng)歷探究正方形判定條件的過程發(fā)展學(xué)生初步的

綜合推理能力，主動探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣，逐步掌握說理的基進(jìn)行引導(dǎo)、質(zhì)疑、解惑，通過分析與討論，師生共同總結(jié)

本方法.出判定一個四邊形是正方形的基本方法.

3.理解特殊的平行四邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系培養(yǎng)學(xué)生(1)直接用正方形的定義判定，即先判定一個四邊形

是平行四邊形，若這個平行四邊形有一個角是直角，并且

辯證看問題的觀點.

有一組鄰邊相等，那么就可以判定這個平行四邊形是正方

【教學(xué)重難點】形；

重點:掌握正方形的判定條件.(2)先判定一個四邊形是矩形，再判定這個矩形是菱

難點:合理恰當(dāng)?shù)乩锰厥馄叫兴倪呅蔚呐卸ㄟM(jìn)行有形，那么這個四邊形是正方形；

關(guān)的論證和計算.(3)先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形，

【教學(xué)過程】那么這個四邊形是正方形.

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課后兩種判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形

我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形、正方形，那么和菱形的判定定理是判定正方形的基礎(chǔ).這三個方法還可

思考一下，它們之間有怎樣的包含關(guān)系？請?zhí)钊胂聢D中.寫成:有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的四邊形是正

方形；有一組鄰邊相等的矩形是正方形；有一個角是直角

的菱形是正方形.

上述三種判定條件是判定四邊形是正方形的一般方

法，可當(dāng)作判定定理用，但由于判定平行四邊形、矩形、

菱形的方法各異，所給出的條件各不相同，所以判定一個

四邊形是不是正方形的具體條件也相應(yīng)可作變化在應(yīng)用

通過填寫讓學(xué)生形象地看到正方形是特殊的矩形也時要仔細(xì)辨別后才可以作出判斷.

是特殊的菱形，還是特殊的平行四邊形；而正方瓶矩形、2.正方形判定條件的應(yīng)用

菱形都是平行四邊形；矩舷菱形都是特殊的平行四邊形.例1：判斷下列命題是真命題還是假命題？并說明理

1.怎樣判斷一個四邊形是平行四邊形？由.

2.怎樣判斷一個四邊形是矩形？(1)四條邊相等且四個角也相等的四邊形是正方形；

3.怎樣判斷一個四邊形是菱形？⑵四個角相等且對角線互相垂直的四邊形是正方形；

4.怎樣判斷一個平行四邊形是矩形、菱形？(3)對角線互相垂直平分的四邊形是正方形；

議一議:你有什么方法判定一個四邊形是正方形？(4)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；

(5)對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.

-----------------------------?矩形-----「

師生共析：

(1)是真命題因為四條邊相等的四邊形是菱形又

四個角相等，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理知每個角為90。，

所以由有一個角是直角的菱形是正方形可以判定此命題

-------------平行四邊形---------正方形

三個極定理'角線是真命題.

⑵真命題，由四個角相等可知每個角都是直角，是矩

定Oy相垂直形，由對角線互相垂直可判定這個矩形是菱形，所以根據(jù)

四邊相等\?