2025屆安徽省皖江名校第二學(xué)期高三第四次診斷考試數(shù)學(xué)試題

2025屆安徽省皖江名校第二學(xué)期高三第四次診斷考試數(shù)學(xué)試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知的值域為，當(dāng)正數(shù)a，b滿足時，則的最小值為（）A． B．5 C． D．92．使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A． B． C． D．3．設(shè)，則復(fù)數(shù)的模等于()A． B． C． D．4．函數(shù)的大致圖象為（）A． B．C． D．5．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，則（）A． B． C． D．6．若函數(shù)滿足，且，則的最小值是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，方程有四個不同的根，記最大的根的所有取值為集合，則“函數(shù)有兩個零點”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知是等差數(shù)列的前項和，若，設(shè)，則數(shù)列的前項和取最大值時的值為()A．2020 B．20l9 C．2018 D．20179．將函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度，則所得函數(shù)圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．10．如圖，在正四棱柱中，，分別為的中點，異面直線與所成角的余弦值為，則()A．直線與直線異面，且 B．直線與直線共面，且C．直線與直線異面，且 D．直線與直線共面，且11．如圖是正方體截去一個四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．12．寧波古圣王陽明的《傳習(xí)錄》專門講過易經(jīng)八卦圖，下圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“—”表示一根陽線，“——”表示一根陰線）．從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍有___________.14．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________.15．已知橢圓的離心率是，若以為圓心且與橢圓有公共點的圓的最大半徑為，此時橢圓的方程是____.16．?dāng)?shù)列的前項和為，則數(shù)列的前項和_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正方體的棱長為2，為棱的中點.（1）面出過點且與直線垂直的平面，標(biāo)出該平面與正方體各個面的交線（不必說明畫法及理由）；（2）求與該平面所成角的正弦值.18．（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求；（2）若，求.19．（12分）已知橢圓過點且橢圓的左、右焦點與短軸的端點構(gòu)成的四邊形的面積為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）設(shè)A是橢圓的左頂點，過右焦點F的直線，與橢圓交于P，Q，直線AP，AQ與直線交于M，N，線段MN的中點為E.①求證：；②記，，的面積分別為、、，求證：為定值.20．（12分）4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)開展了一系列的讀書教育活動．學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個讀書小組（每名學(xué)生只能參加一個讀書小組）學(xué)生抽取12名學(xué)生參加問卷調(diào)查．各組人數(shù)統(tǒng)計如下：小組甲乙丙丁人數(shù)12969（1）從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機抽取2人，求這2人來自同一個小組的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個小組的學(xué)生中隨機抽取2人，用表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時，求證：.22．（10分）已知數(shù)列中，（實數(shù)為常數(shù)），是其前項和，且數(shù)列是等比數(shù)列，恰為與的等比中項．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若，當(dāng)時，的前項和為，求證：對任意，都有．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

利用的值域為,求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【詳解】解：∵的值域為,∴,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,∴的最小值為.故選：A.【點睛】本題主要考查了對數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域運用,同時也考查了基本不等式中“1的運用”,屬于中檔題.2、B【解析】二項式展開式的通項公式為，若展開式中有常數(shù)項，則，解得，當(dāng)r取2時，n的最小值為5，故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應(yīng)用．3、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運算法則進(jìn)行化簡,再由復(fù)數(shù)模的定義求解即可.【詳解】因為,所以,由復(fù)數(shù)模的定義知,.故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算法則和復(fù)數(shù)的模;考查運算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

利用特殊點的坐標(biāo)代入，排除掉C，D；再由判斷A選項正確.【詳解】，排除掉C，D；，，，.故選：A．【點睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題，代入特殊點，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，屬于中檔題.5、D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：，整理可得：，.故選：.【點睛】本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由推導(dǎo)出，且，將所求代數(shù)式變形為，利用基本不等式求得的取值范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.【詳解】函數(shù)滿足，，即，，，，即，，則，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.，由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，當(dāng)時，取得最小值.故選：A.【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算，涉及對數(shù)運算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.7、A【解析】

作出函數(shù)的圖象，得到，把函數(shù)有零點轉(zhuǎn)化為與在（2，4]上有交點，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求得的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，，函數(shù)有2個零點，即有兩個不同的根，也就是與在上有2個交點，則的最小值為；設(shè)過原點的直線與的切點為，斜率為，則切線方程為，把代入，可得，即，∴切線斜率為，∴k的取值范圍是，∴函數(shù)有兩個零點”是“”的充分不必要條件，故選A．【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點的判定，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題．8、B【解析】

根據(jù)題意計算，，，計算，，，得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項和，若，故，，，，故，當(dāng)時，，，，，當(dāng)時，，故前項和最大.故選：.【點睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.9、D【解析】

先化簡函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得所求函數(shù)的解析式為,再由正弦函數(shù)的對稱性得解.【詳解】,

將函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為,

再向右平移個單位長度,所得函數(shù)的解析式為,，可得函數(shù)圖象的一個對稱中心為，故選D.【點睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點之一，經(jīng)?？疾槎x域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等，其中公式運用及其變形能力、運算能力、方程思想等可以在這些問題中進(jìn)行體現(xiàn)，在復(fù)習(xí)時要注意基礎(chǔ)知識的理解與落實．三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時要抓住函數(shù)解析式這個關(guān)鍵，在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后利用正弦（余弦）函數(shù)的性質(zhì)求解．10、B【解析】

連接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性質(zhì)可知，直線與直線共面.，同理易得，由異面直線所成的角的定義可知，異面直線與所成角為，然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：連接，，，，由正方體的特征得，所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得，所以異面直線與所成角為.設(shè)，則，則，，，由余弦定理，得.故選：B【點睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì)，還考查了推理論證和運算求解的能力，屬于中檔題.11、C【解析】

根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：由圖可知，該幾何體是在棱長為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體，該幾何體的體積為.故選：C.【點睛】本題考查利用三視圖計算幾何體的體積，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

根據(jù)古典概型的概率求法，先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)，再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)，代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)種，這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)有6種，分別是（巽，坤），（兌，坤），（離，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選：B【點睛】本題主要考查古典概型的概率，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】

函數(shù)的零點方程的根，求出方程的兩根為，，從而可得或，即或.【詳解】函數(shù)在區(qū)間的零點方程在區(qū)間的根，所以，解得：，，因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，所以或，即或.【點睛】本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，在求含絕對值方程時，要注意對絕對值內(nèi)數(shù)的正負(fù)進(jìn)行討論.14、【解析】

根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積．【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，如圖所示：結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計算它的體積為.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求簡單組合體的體積應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．15、【解析】

根據(jù)題意設(shè)為橢圓上任意一點,表達(dá)出,再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與求解的關(guān)系分析最值求解即可.【詳解】因為橢圓的離心率是,,所以,故橢圓方程為.因為以為圓心且與橢圓有公共點的圓的最大半徑為,所以橢圓上的點到點的距離的最大值為.設(shè)為橢圓上任意一點,則.所以因為的對稱軸為.(i)當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.此時,解得.(ii)當(dāng)時,在上單調(diào)遞減.此時,解得舍去.綜上,橢圓方程為.故答案為：【點睛】本題主要考查了橢圓上的點到定點的距離最值問題,需要根據(jù)題意設(shè)橢圓上的點,再求出距離,根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系分析最值的取值點分類討論求解.屬于中檔題.16、【解析】

解：兩式作差，得，經(jīng)過檢驗得出數(shù)列的通項公式，進(jìn)而求得的通項公式，裂項相消求和即可．【詳解】解：兩式作差，得化簡得，檢驗：當(dāng)n=1時，，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；，，令故填：．【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式，裂項相消求數(shù)列的前n項和，解題過程中需要注意n的范圍以及對特殊項的討論，側(cè)重考查運算能力．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）.【解析】

（1）與平面垂直，過點作與平面平行的平面即可（2）建立空間直角坐標(biāo)系求線面角正弦值【詳解】解：（1）截面如下圖所示：其中，，，，分別為邊，，，，的中點，則垂直于平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，.設(shè)平面的一個法向量為，則.不妨取，則，所以與該平面所成角的正弦值為.（若將作為該平面法向量，需證明與該平面垂直）【點睛】考查確定平面的方法以及線面角的求法，中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理到，得到答案.（2）計算，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）由，可得,因為，所以，所以.（2），又因為，所以.因為，所以，即.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學(xué)生的計算能力.19、（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】

（1）解方程即可；（2）①設(shè)直線，，，將點的坐標(biāo)用表示，證明即可；②分別用表示，，的面積即可.【詳解】（1）解之得：的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）①，，設(shè)直線代入橢圓方程：設(shè)，，，直線，直線，，，，，.②，所以.【點睛】本題考查了直接法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓位置關(guān)系中的定值問題，在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)的關(guān)系，本題思路簡單，但計算量比較大，是一道有一定難度的題.20、（1）（2）見解析，【解析】

（1）采用分層抽樣的方法甲組抽取4人，乙組抽取3人，丙組抽取2人，丁組抽取3人，從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機抽取2人，基本事件總數(shù)為，這兩人來自同一小組取法共有，由此可求出所求的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個小組的學(xué)生中隨機抽取2人，而甲、丙兩個小組學(xué)生分別有4人和2人，所以抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題設(shè)易得，問卷調(diào)查從四個小組中抽取的人數(shù)分別為4，3，2，3（人），從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機抽取兩名的取法共有（種），抽取的兩名學(xué)生來自同一小組的取法共有（種），所以，抽取的兩名學(xué)生來自同一個小組的概率為（2）由（1）知，在參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中，來自甲、丙兩小組的學(xué)生人數(shù)分別為4人、2人，所以，抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0，1，2,因為所以隨機