工程數(shù)學(xué)1省公開課一等獎(jiǎng)全國示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)與積分變換1第1頁主要意義數(shù)學(xué)理論處理實(shí)際問題信號與系統(tǒng)（復(fù)變函數(shù)）數(shù)字信號處理（積分變換）電磁場理論（數(shù)理方程）培養(yǎng)推理、歸納、演繹和創(chuàng)新能力2第2頁復(fù)變函數(shù)與積分變換主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)內(nèi)容與高等數(shù)學(xué)相對應(yīng)復(fù)數(shù)、復(fù)函數(shù)、復(fù)導(dǎo)數(shù)、復(fù)積分、級數(shù)新添內(nèi)容留數(shù)和保形映射積分變換高等數(shù)學(xué)內(nèi)容傅立葉變換新添內(nèi)容離散傅立葉變換、離散沃而什變換、梅林變換、z變換3第3頁主要要求按時(shí)完成作業(yè)學(xué)習(xí)態(tài)度認(rèn)真深入領(lǐng)會數(shù)學(xué)理論掌握并能利用數(shù)學(xué)理論和方法處理實(shí)際問題成績平時(shí)30％－40％期末考試60％－70％4第4頁復(fù)變函數(shù)5第5頁復(fù)變函數(shù)發(fā)展史十六世紀(jì)引入十七和十八世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)得到了發(fā)展J.達(dá)朗貝爾（1717－1783）和L.歐拉（1707－1783）逐步說明了復(fù)數(shù)幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)概念，并應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究流體力學(xué)十九世紀(jì)，奠定了復(fù)變函數(shù)理論基礎(chǔ)A.L.柯西（1789－1857）和K.外爾斯特拉斯（1815－1897）應(yīng)用積分和級數(shù)來研究復(fù)變函數(shù)G.F.B.黎曼（1826－1866）研究了復(fù)變函數(shù)映照性質(zhì)二十世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)稱為數(shù)學(xué)主要分支應(yīng)用領(lǐng)域不停擴(kuò)展電學(xué)、熱學(xué)、理論物理、空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)數(shù)學(xué)其它分支（如微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等等）6第6頁主要內(nèi)容第一章、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二章、解析函數(shù)第三章、復(fù)變函數(shù)積分第四章、級數(shù)第五章、留數(shù)7第7頁第一章、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)8第8頁主要內(nèi)容1.1復(fù)數(shù)概念與運(yùn)算1.2復(fù)變函數(shù)9第9頁1.1復(fù)數(shù)概念與運(yùn)算主要內(nèi)容：1、復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算2、復(fù)數(shù)幾何表示3、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算幾何意義4、復(fù)球面5、復(fù)數(shù)乘冪與方根10第10頁1、復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算什么是復(fù)數(shù)？稱為復(fù)數(shù)實(shí)部虛部虛數(shù)單位x=Re(z)y=Im(z)稱為純虛數(shù)稱為實(shí)數(shù)11第11頁1、復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算兩個(gè)復(fù)數(shù)相等條件；當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)部與虛部分別相等一個(gè)復(fù)數(shù)等于零條件：當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)部與虛部同時(shí)等于零共軛復(fù)數(shù)：x+iy和x–iy記做12第12頁代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)和、差、積、商對復(fù)數(shù)和：和、差：乘法：除法：13第13頁代數(shù)運(yùn)算算律：交換律：結(jié)合律：分配律：14第14頁2、復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)慣用運(yùn)算（1）（2）（3）若，則與最少有一個(gè)為零證實(shí)：若（4）15第15頁代數(shù)運(yùn)算舉例：例1：例2：求證：16第16頁代數(shù)運(yùn)算共軛復(fù)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）17第17頁2、復(fù)數(shù)幾何表示實(shí)數(shù)（x,y）與x軸和y軸組成二維實(shí)數(shù)平面一一對應(yīng)那么復(fù)數(shù)呢？復(fù)數(shù)由一對有序?qū)崝?shù)（x，y）唯一確定x軸上點(diǎn)對應(yīng)實(shí)數(shù)，所以x軸被稱為實(shí)軸y軸上點(diǎn)對應(yīng)虛數(shù)，所以y軸被稱為虛軸

表示復(fù)數(shù)z平面被稱為復(fù)平面或z平面復(fù)數(shù)z=x+iy能夠用橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為y點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)第一個(gè)表示方法18第18頁2、復(fù)數(shù)幾何表示復(fù)數(shù)z與從原點(diǎn)O到z=x+iy所引向量組成一一對應(yīng)關(guān)系復(fù)數(shù)z=x+iy能夠用向量來表示復(fù)數(shù)第二種表示方法Oxyz＝x+iyargz|z||z|：向量z長度，稱為復(fù)數(shù)z模Argz：由實(shí)軸正向到向量之間夾角，稱為復(fù)數(shù)z幅角19第19頁復(fù)數(shù)模復(fù)數(shù)模|z|性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）（5）（6）Oxy|z1+z2||z1-z2|z1z220第20頁復(fù)數(shù)模求證所以：21第21頁復(fù)數(shù)模求證當(dāng)時(shí)：有：當(dāng)時(shí)，同理有：所以：22第22頁復(fù)數(shù)幅角Argz有沒有窮多個(gè)值，每兩個(gè)值相差2整數(shù)倍只有一個(gè)值在（，]范圍內(nèi)，該值被稱為主值，記做argzArgz＝argz＋2k（）tan(Argz)=當(dāng)z＝0時(shí)，z模值為0，幅角不定23第23頁復(fù)數(shù)幅角例5：求Arg（2－2i）和Arg（－3＋4i）24第24頁3、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算幾何意義依據(jù)直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系關(guān)系可得復(fù)數(shù)z三角表示式：依據(jù)歐拉公式：可得復(fù)數(shù)z指數(shù)表示式：25第25頁3、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算幾何意義定理1－1：兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積模等于它們模乘積； 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積幅角等于它們幅角和即：例7：z1=-1,z2=i,求Arg（z1z2）＝？表示集合相等，即對等式左端任一值，等式右端必有一值與之對應(yīng)，反之亦然對兩個(gè)非零復(fù)數(shù)：Oxy|z1+z2|z1z226第26頁3、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算幾何意義定理1－2：兩個(gè)復(fù)數(shù)商模等于它們模商； 兩個(gè)復(fù)數(shù)商幅角等于它們被除數(shù)與除數(shù)幅角差即：對兩個(gè)非零復(fù)數(shù)：用指數(shù)表示式計(jì)算復(fù)數(shù)乘積與商，可得：27第27頁3、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算幾何意義例8：z1=1+i,z2＝－1－i,求z1z2，z1/z228第28頁3、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算幾何意義因?yàn)樗裕寒?dāng)增加或降低時(shí)，z點(diǎn)沿圓周移動(dòng)一圈回到出發(fā)點(diǎn)，所以，二者表示同一個(gè)復(fù)數(shù)OxyOxyzz029第29頁O4、復(fù)球面（1）復(fù)數(shù)球面表示NzPZ：復(fù)平面上任意一點(diǎn)N：球面與垂直于復(fù)平面射線交點(diǎn)P：z和N連線與球面交點(diǎn)（異于N）或者說，過N和球面上異于N任意一點(diǎn)P直線，與復(fù)平面交與一點(diǎn)z所以，球面上點(diǎn)P與復(fù)平面上點(diǎn)z一一對應(yīng)，即 復(fù)數(shù)能夠用球面上點(diǎn)表示30第30頁4、復(fù)球面（2）擴(kuò)充復(fù)平面當(dāng)P點(diǎn)無限迫近于N點(diǎn)時(shí)復(fù)平面上沒有復(fù)數(shù)與之對應(yīng)z點(diǎn)無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)：該點(diǎn)就被稱為“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”包含了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面為了使擴(kuò)充復(fù)平面點(diǎn)與球面上點(diǎn)一一對應(yīng)，要求“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”是唯一無特殊情況，只考慮有限復(fù)數(shù)及復(fù)平面31第31頁4、復(fù)球面（3）復(fù)數(shù)不等于0有限復(fù)數(shù)與運(yùn)算為：那么關(guān)于，，以及運(yùn)算呢？無意義！32第32頁5.復(fù)數(shù)乘冪與方根主要內(nèi)容：復(fù)數(shù)乘冪復(fù)數(shù)方根33第33頁（1）復(fù)數(shù)乘冪n為正整數(shù)n為正整數(shù)約定，所以n為負(fù)整數(shù)定義，所以：數(shù)學(xué)歸納法34第34頁（1）復(fù)數(shù)乘冪

當(dāng)r=1時(shí)，則上述公式變?yōu)椋杭矗洪δィ―eMoivre)公式35第35頁2、復(fù)數(shù)方根稱滿足方程復(fù)數(shù)為該方程n次方根 記做，即，或是記做，此時(shí)求解該方程：設(shè)，則：36第36頁2、復(fù)數(shù)方根所以，復(fù)數(shù)方根為：復(fù)數(shù)方根幾何意義當(dāng)時(shí)能夠得到n