七年級上冊數(shù)學第二章測試卷及答案人教版(二)

七年級上冊數(shù)學第二章測試卷及答案人教版(-)

1.(2020?吉林省初一期末)先化簡，再求值：2卜2)，+用,)一(2與，_,其中x=i,〉,=一］

【答案】3x2y,-3

【解析】解：原式=2x2y+2xy-2xy+xJy=3x2y,

把x=l,y=7代入

原式=3x2y=3X12X(-1)=-3

2.(2020?廣東省初一期末)先化簡，再求值：已知6*-3(2x-4y)+2其中x

1

=-1,/=-.

【答案】2x2+10y；7

【解析】解：原式=6爐-6「+12尹-2y

=2f+10v，

當x=-1,v=,時，

2

原式=2X(-1)2+10X-

2

=2+5

=7.

3.(2020?上饒市廣信區(qū)第七中學初二月考)某同學在計算一個多項式乘以-3x?時，因抄

錯運算符號，算成了加上-3x2,得到的結果是X2-4X+L那么正確的計算結果是多少？

【答案】-12X4+12X3-3X!

【解析】解：這個多項式是(x?-4x+l)-(-3x2)=4X2-4X+1,(3分)

正確的計算結果是：(4x?■4x+l)?(-3X?)=?12x'+12x*-3x)(3分)

4.(2019?河北省初三三模)A3,C均為多項式，小元在計算—時，誤將符號抄

2

錯而計算成了“A+8”，得到結果是C,其中4=：f+工-1,C=x+3xt請正確計算

2

A-B.

【答案】-x-2

【解析】根據(jù)題意，得A+8=C,

:.B=C-A=(x2+3X)-(-X2+X-1)

2

17

=x+3x—x~—x+\

2

1，CI

=—x+2x+\,

2

A-B=(—x"+x—1)—(—x2+2.x+1)

=-x2+x-l--x2-2x-l

22

=-x-2.

5.(2019?蘇州市景范中學校初一期末)已知:2A-8=3r+2",A=-a2+2ab-3.

(1)求B；(用含a、b的代數(shù)式表示)

(2)比較A與B的大小.

【答案】(1)-5a2+2ab-6；(2)A>B.

【解析】(1)V2A-B=3a242ab,A=-a2+2ab-3,

，B=2A-(3a2+2ab)=2(-a2+2ab-3)-(3a2+2ab)

=-2a2+4ab-6-3a2-2ab

=-5a2+2ab-6,

(2)?.”=_/+2，必一3,B=-5a2+2ab-6,

AA-B

-(—t/2+2ab—3)-(-5a2+2ab-6)

=-a2+2ab-3+5a2-2ab+6

=4a2+3,

???無論a取何值,a2^0,所以4a2+3>0,

AA>B.

6.(2017?江西省初一期末)已知代數(shù)式A=2f+2x)」3,3=W+3x+i

(1)求4一28的值；

(2)若4-28的值與x的取值無關，求)'的值.

【答案】(1)2A>'-6X-5；(2)3

【解析】(1)A-2B=2x2+2^-3-2(x2+3x+l)

=2x2+2xy-3-2x2-6x-2

=2xy^-6x-5；

(2)由(1)得：4-25=2肛一6x-5=(2y-6)x-5,

VA-2B的值與x的取值無關，

.\2y-6=0,

Ay=3.

2+

7.(2020?南京市金陵中學河西分校初一期中)已知A=2x?+3xy-2xT,-xxy-l.

⑴求3A+6B；

(2)若3A+6B的值與x無關，求y的值.

2

【答案】⑴15xy—6x—9;(2)—.

解：(1)3A+6B=3(2x2+3xy-2x-1)+6(-x2+xy-1)

=6x2+9xy-6x-3-6x2+6xy-6

=15xy-6x-9；

(2)原式二15xy-6x-9=(15y-6)x-9

要使原式的值與x無關,則15y-6=0,

解得:y=|.

8.(2019?山西省初一期中)張老師給學生出了一道題：

當々=2019,〃二一2020時，

求：(7/-6『b+3/3一(—3/-6/b+3a2b+10/_3)的值.

題目出完后，小明說：“老師給的條件。=2019,匕=一2020是多余的

小紅說：“不給這兩個條作，就不能求出結果，所以不是多余的

你認為他們誰說的有道理？為什么？

【答案】因為代數(shù)式與a、b的取值無關，故小明說得對

［解析］解：V(7a3-6a3b+3a2b)-(-3a3-6a3b+3(rb+1Oa3-3)

=7a3—6a3b~\-3a2b-\-3a3-\-6a3b—3a2b~\O/+3

=(7c/+3cr，-10/)+(6c/Z?—6a%)+(3a6—+3

=3

故代數(shù)式與a、b的取值無關，即小明說得對.

=-2/

???代數(shù)式化簡后與x無關

???小明的說法有道理.

12I1

11.(2020?河北省石家莊新世紀外國語學校初三二模)(1)計算2--3--5-+(-3-)

7337

(2)某同學做一道數(shù)學題：“兩個多項式小B,/3必-2K-6,試求力+/T,這位同學把“弟4”

看成''力-小，結果求出答案是-8y+7戶10,那么4+3的正確答案是多少？

【答案】(1)?10;(2)-2/+3x?2.

【解析】解：(1)2--3--51+(-3!)

7337

=-1-9

=-10.

(2)*：A-B=-8x+7^+10,Q3f?2x?6,

???/=(-8f+7x+10)+(3/-2x-6)

=-5f+5x+4,

：.A+B=(-+5x+4)+(3?-2x-6)

=-2y+3x-2.

12.(2018?天津初一期末)已知A=3x2+3y2—5xy,B=2xy-3y2+4x2.

(1)化簡：2B—A；

(2)已知一臚-%2與;ab，的同類項，求2B—A的值.

【答案】(1)5x2+9xy-9y2(2)63或-13

【解析】(1)???A=3x2+3y2—5xy,B=2xy-3y2+4x2,

2xy-3y2+4x2)-(3x2+3y2-5xy)=4xy-6y2+8x2-3x2-3y2+5xy=5x2+9xy-9y2

⑵：與gab、’的同類項，

/.|x-2|=1,y=2,

解得：x=3或x=l，y=2,

當x=3,y=2時，原式=45+54-36=63；

當x=l，y=2時，原式=5+18—36=—13.

考點2：與某項無關問題

典例：(2020?河北省初三三模)已知A=V一〃a+2，B=rvc2+2x-].

(1)求2A—B，并將結果整理成關于x的整式；

(2)若2A-B的結果與刀無關，求〃？、〃的值；

(3)在(2)基礎上，求3(〃?%2〃"『)m2MI2(/加2〃/〃)5mn2的值.

【答案】(1)(2-n)x2+(-2m-2)x+5；(2)m=-\,〃=2；(3)-36.

【解析】

解：(1)*.*A=x2-mx4-2>B=tvC+2x-l?

2A-B=2(x2-/?i￥+2)-(nr2+2x-l)

=2x2-2"次+4-?―2%+1

=(2-n)x2+(-2/w-2)x+5

(2)???24-8的結果與不無關，

A2—77=0,—2/77—2=0

解得，777=—1,n=2

(3)原式:—3m2n+2—nrn—2mn2+4”?%+5mn2=97w?2

V/??=—1>n=2

，原式=9X(-1)X22=-36.

方法或規(guī)律點撥

此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

鞏固練習

1.(2020?廣東省綠翠現(xiàn)代實驗學校初一期中)已知多項式4=4/+〃少-12與多項式

R-ivc1-2y+\.

(1)當根=1,〃=5時，計算A+3的值；

(2)如果4與28的差中不含工和)'，求的值.

【答案】(1)9x2-y-H：(2)-8

【解析】解：(1)當加=1,〃=5時，4=4/+),-12,B=5x2-2.y+l,

/.A+B=4x2+y-12+5x-2y+l=9x-y-11；

(2)A-2B=4x2+my-l2-2(nx2-2y+1)=(4-2n)x2+(m+4>y-l4

?JA與28的差中不含x和y

4-2n=O,m+4=0,

.*.n=2,m=-4

mn=-8

2.(2020?甘州中學初一月考)(1)化簡求值：已知|x_i|+(y+：)2=0,求代數(shù)式

-3(2JT-4y)+2(/-y)的值.

(2)若化簡(2mjr‘-x+3)-(3/-x-4)的結果與x的取值無關，求m的值.

【答案】(1)-9；(2)m=1.5.

【解析】解：(1)由卜-1|+(y+*7)2=o可得：x=1?y=---

原式=-6JT2+12y+2x2-2y=-4x2+lOy，

當x=1，y=—「時，原式=-4-5=-9

(2)原式=2m/-x+3-3/+x+4=(2m-3》+7,

由結果與x的取值無關，得到2m3=0，

解得：m=1.5.

3.(2020?河北省育華中學初三一模)已知A=2f+Ay+3y,8=x2-肛

(1)若(x+2『+|y—3|=0,求A—23的值

(2)若A—28的值與｝'的值無關，求x的值

【答案】(1)-9；(2)x=-l

【解析】(1)A-2B=(2x24xy+3y)-2(x2-xy)

=2x'+xy+3y-2x~+2xy

=3xy+3y.

■:(x+2)2十|y-3|=0,

x=-2,y=3.

A-2B=3X(-2)X3+3X3

=-18+9

=-9.

(2)???A-2B的值與y的值無關,

即(3x+3)y與y的值無關，

A3x+3=0.

解得x=-l.

4.(2019?廣西壯族自治區(qū)初一期中)課堂上李老師給出了一道整式求值的題目，李老師把

要求的整式(71-6a3b+3『b)一(一3a3-6￡b+3a%+1(煤-3)寫完后，讓王紅同學順便給出

一組a,b的值，老師自己說答案，當王紅說完：“a=65,b=-2005”后，李老師不假思

索，立刻就說出答案“3”.同學們莫名其妙，覺得不可思議，但李老師用堅定的口吻說；“這

個答案準確無誤”，親愛的同學你相信嗎？你能說出其中的道理嗎？

【答案】相信，理由見解析.

【解析】相信，理由如下：

(7a3—6a3b+3a2b)一(―3a3—6a3b+3a'b4-10a3-3)

=7a3-6a3b+3a2b+3a3+5a3b-3a2b-10a3+3

=(7a3+3a3—10a')+(—6a,lb+6a3b)+(3aJb—3a2b)+3=3,

則不管a,b取何值，整式的值都為3.

考點3：整式運算的應用

典例：(2020?珠海市斗門區(qū)實驗中學初一期中)今年秋季，長白山土特產(chǎn)喜獲豐收，某土

特產(chǎn)公司組織10輛汽車裝運甲、乙、丙三種土特產(chǎn)去外地銷售，按計劃10輛車都要裝運，

每輛汽車只能裝運同一種土特產(chǎn)，且必須裝滿.設裝運甲種土特產(chǎn)的汽車有x輛，裝運乙種

土特產(chǎn)的汽車有y輛，根據(jù)下表提供的信息，解答以下問題.

土特產(chǎn)種類甲乙丙

每輛汽車運載里（噸）456

每噸土特產(chǎn)獲利（元）120010001500

（1）裝運丙種土特產(chǎn)的車輛數(shù)為（用含x、y的式子表示）；

（2）用含x、y的式子表示這10輛汽車共裝運土特產(chǎn)的噸數(shù)；

（3）求銷售完裝運的這批土特產(chǎn)后所獲得的總利潤（用含x、y的式子表示）.

【答案】（1）裝運丙種土特產(chǎn)的車輛數(shù)為10-x-y；（2）這1（）輛汽車共裝運土特產(chǎn)的噸數(shù)

為60-2x-y；（3）銷售完裝運的這批土特產(chǎn)后所獲得的總利潤為90000-4200x-4000y.

【解析】（1）由題意得，裝運丙種土特產(chǎn)的車輛數(shù)為：（輛）

答：裝運丙種土特產(chǎn)的車輛數(shù)為

（2）根據(jù)題意得：4x+5y+6（10-x-y）=4x+5y+60-6x-6y=60-2x-y

答：這10輛汽車共裝運土特產(chǎn)的數(shù)量為（60-2x-y）噸；

（3）根據(jù)題意得：1200x4x+1000x5y+1500x6（10-x-y）

=4800x+5000y+90000-9000x-9000y

=90000-4200x-4000y.

答：銷售完裝運的這批土特產(chǎn)后所獲得的總利潤為（90000-4200x-4000y）元.

方法或規(guī)律點撥

本題主要考查了列代數(shù)式，正確理解各種數(shù)量關系之間口勺運算關系是列代數(shù)式的關鍵所在.

鞏固練習

1.（2019?廣西壯族自治區(qū)初?期末）某商店在甲批發(fā)市場以每箱x元的價格進了30箱海

鴨蛋，又在乙批發(fā)市場以每箱y元（x>y）的價格進了同樣的50箱海鴨蛋，如果商家以每

箱二2元的價格賣出這些海鴨蛋,賣完后，這家商店（）

2

A.盈利了B.虧損了C.不贏不與D.盈方不能確定

【答案】A

【解析】購買海鴨蛋的進價為：30x+50y

賣完海鴨蛋的收入為：80?三』=40x+40），

V40x+40y-(30x+50y)=10(x—y)>0

???收入〉進價

故選：A.

2.（2019?霍林郭勒市第五中學初一期中）如圖所示，某長方形廣場的四角都有一塊半徑相

同的,圓形的草地，已知圓形的半徑為r米，長方形的長為a米，寬為少米.

4

（1）請列式表示廣場空地的面積：

（2）若長方形的長為30（）米，寬為200米，圓形的半徑為10米，計算廣場空地的面積（計

算結果保留八）.

【答案】（Da爐兀/；（2；60000-100n.

2

【解析】（1）廣場空地的面積（單位：平方米）為：ab-JTr；

（2）當a=300,b=200,r=10時，ab-Ji?=300X200-nX102=60000-100n.

所以廣場空地的面積（單位：平方米）為：60000-100n.

3.（2019?河南省初一期中）自我國實施“限塑令”起，開始有償使用環(huán)保購物袋，為了滿

足市場需求，某廠家生產(chǎn)A、B兩種款式的布質環(huán)保購物袋，每天生產(chǎn)4500個，兩種購物袋

的成本和售價如下表，若設每天生產(chǎn)A種購物袋x個.

成本（元個）（元?。?/p>

A223

B335

（1）用含x的整式表示每天的生產(chǎn)成本，并進行化簡；

（2）用含x的整式表示每天獲得的利潤，并進行化簡（利潤:售價-成本）;

（3）當x=1500時，求每天的生產(chǎn)成本與每天獲得的利潤.

【答案】（1）每天的生產(chǎn)成本為（-x+13500）元;

（2）每天獲得的利潤為（-0軟+2?）元.

（3）每天的生產(chǎn)成本為12000元；每天獲得的利潤為1950元.

【解析】解：⑴2x4-3（4500-JT）=-x+13500,

即每天的生產(chǎn)成本為（一%+13500）元.

(2)(2.3-2)x-F(3.5—3)(450()—x)=-0.2x+2250,

即每天獲得的利潤為(一。2/+2250)元.

(3)當才=1500時，

每天的生產(chǎn)成本:-x+13500=-1500+13500=12000元;

每天獲得的利潤：-0.2x4-2250=-0.2X1500+2250=1950(元).

4.(2019?內蒙古自治區(qū)初一期末)如圖所示，一塊正方形紙板剪去四個相同的三角形后留

下了陰影部分的圖形.已知正方形的邊長為a,三角形的高為h.

(1)用式子表示陰影部分的面積；(2)當a=2,h=1時，求陰影部分的面積.

19

【答案】⑴a2-2ah(2)2

【解析】(1)陰影部分的面積為：a2—4x—ah二a?—2ah：

2

(2)當a=2,h=工時，

2

原式=a2—2ah=2J2x2xL=2.

2

5.(2020?黑龍江省初一期末)A、B兩倉庫分別有水泥15噸和35噸，C、D兩工地分別需

要水泥20噸和30噸.已知從A、B倉庫到C、D工地的運價如表：

到C工地到【)工地

A倉庫每噸15元每噸12元

B倉庫每噸10元每噸9元

(1)若從A倉庫運到C工地的水泥為x噸，則用含x的代數(shù)式表示從A倉庫運到D工地的

水泥為一噸，從B倉庫將水泥運到D工地的運輸費用為元；

(2)求把全部水泥從A、B兩倉庫運到C、D兩工地的總運輸費(用含x的代數(shù)式表示并化

簡)；

(3)如果從A倉庫運到C工地的水泥為10噸時，那么總運輸費為多少元？

【答案】(1)15-x；9x+18()；(2)(2x+515)元；(3)535元.

【解析】(1)從A倉庫運到D工地的水泥為：(15-x)噸，

從B倉庫將水泥運到D工地的運輸費用為：[35-(15-x)]X9=(9x+180)元；

(2)總運輸費：15x+12X(15-x)+10X(15-x)+[35-(15-x)]X9=(2x+510)元；

(3)當x=10時,

2x+510=530.

答：總運費為530元.

6.(2019?山西省初一期中)綜合與探究

閱讀理解：數(shù)軸是學習有理數(shù)的?種重要工具，任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，這樣

能夠運用數(shù)形結合的方法解決一些問題.例如，兩個有理數(shù)在數(shù)軸上對應的點之間的距離可

以用較大數(shù)與較小數(shù)的差來表示.例如：

在數(shù)軸卜.有理數(shù)3與1對應的兩點之間的距離為3—1=2：

在數(shù)軸上，有理數(shù)3與一2對應的兩點之間的距離為3-(-2)=5；

在數(shù)軸上，有理數(shù)一3與一2對應的兩點之間的距離為(-2)—(—3)=1.

解決問題：如圖所示，已知點A表示的數(shù)為一3,點8表示的數(shù)為一1,點。表示的數(shù)為2.

ABC

—1L」I1?

-4-3-2-101234

(1)點A和點C之間的距離為.

(2)若數(shù)軸上動點P表示的數(shù)為工，當工＞-1時，點2和點B之間的距離可表示為；

當xv-l時，點?和點3之間的距離可表示為______.

(3)若數(shù)軸上動點尸表示的數(shù)為工，點P在點A和點。之間，點。和點A之間的距離表

示為24,點尸和點。之間的距離表示為PC,求224+3PC(用含工的代數(shù)式表示并進

行化簡)

(4)若數(shù)軸上動點P表示的數(shù)為-2,將點。向右移動19個單位長度，再向左移動23個

單位長度終點為。，那么?，。兩點之間的距離是_____.

【答案】(1)5；(2)x+1,-l-x；(3)12-x；(4)4

【解析】解：⑴2-(-3)=5；

(2)x-(-l)=x+l:-l-x；

⑶VPA=x-(-3)=x+3,EC=2-x,

???2E4+3PC=2(x+3)+3(2-x)

=2x+6+6-3x

=12-x；

(4)'J-2+19-23二-6,

:?P，Q兩點之間的距離是-2-(-6)=4.

7.(2020?珠海市斗門區(qū)實驗中學初一期中)如圖，在數(shù)軸上A點表示數(shù)a,B點示數(shù)b,C

點表示數(shù)c,b是最小的正整數(shù)，且a、b滿足|a+2|+(c-7)2=0.

???>

ABC

(1)a=___,b=,c=；

(2)若將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，則點B與數(shù)—表示的點重合；

(3)點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，

點B和點C分別以每秒2個單位長度和4個單位氏度的速度向右運動，假設t秒鐘過后，若

點A與點B之間的距離表示為AB,點A與點C之間的距離表示為AC,點B與點C之間的距

離表示為BC.則AB=,AC=,BC=.(用含t的代數(shù)式表示)

(4)請問：3BC-2AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由：若不變，

請求其值.

【答案】(1)-2,1,c=7；(2)4；(3)3t+3,5t+9,2t+6；(4)不變，3BC-2AB=12.

【解析】(1)V|a+2|+(cT)2=0,

/.a+2=0?c-7=0,

解得a=_2,c=7?

???b是最小的正整數(shù)，

.*.b=1；

故答案為：4；1；7.

(2)(7+2)+2=4.5,

對稱點為7T.5=2.5,

2.5+(2.5-1)=4；

故答案為：4.

(3)依題意可得AB=t+2t+3=3t+3,AC=t+4t+9=5t+9,BC=2t+6：

故答案為：3t+3；5t+9；2t+6.

(4)不變.

3BC-2AB=3(2t+6)-2(3t+3)=12.

8.(2020?四川省初一期中)小明家住房戶型呈長方形，平面圖如下(單位：米).現(xiàn)準備

鋪設整個長方形地面，其中三間臥室鋪設木地板，其它區(qū)域鋪設地磚.(房間內隔墻寬度忽

(2)請用含x的代數(shù)式分別表示鋪設地面需要木地板和地磚各多少平方米；

(3)按市場價格，木地板單價為30()元/平方米，地磚單價為100元/平方米.裝修公司有

力，8兩種活動方案，如表:

活動方案”木地板價格.地磚價格〃總安裝費/

AP8折/8.5折/2000元3

9折「8.5折/免收*

已知臥室2的面積為21平方米，則小方家應選擇哪種活動，使鋪設地面總費用(含材料費

及安裝費)更低？

【答案】(1)3；(2)木地板：75-7x,地磚：7戶53；(3)8種活動方案

【解析】解：(1)根據(jù)題意，可得95=4+4,

得a=3；

(2)鋪設地面需要木地板：

4X2廣a[10+6-(2A--1)-*-2x]+6X4=8戶3(17-5X)+24=75-7%,

鋪設地面需要地磚：

16X8-(7b-lx)=128?75+7*=7戶53；

（3）???臥室2的面積為21平方米,

A3[10+6-（2A--1）-x-2*]=21,

A3（17-5A-）=21,

:.x=2,

???鋪設地面需要木地板:75-7x=75-7X2=61,

鋪設地面需要地磚：7g53=7X2+53=67,

力種活動方案所需的費用:61X300X0.8+67X100X0.85+2000=22335（元），

8種活動方案所需的費用:61X30（）X0.9+67X100X0.85=22165（元）,

22335>22165,

所以小方家應選擇笈種活動方案，使鋪設地面總費用（含材料費及安裝費）更低.

考點%數(shù)字規(guī)律探究

典例：（2020?河北省初三一模）如圖，階梯圖的每個臺階上都標著一個數(shù)，從下到上的第

1個至第4個臺階上依次標著-3,-2,-1,0,且任意相鄰四個臺階上數(shù)的和都相等.

（1）求第五個臺階上的數(shù)x是多少？

（2）求前21個臺階上的數(shù)的和是多少？

（3）發(fā)現(xiàn)：數(shù)的排列有一定的規(guī)律，第n個?2出現(xiàn)在第個臺階上；

（4）拓展：如果倩倩小同學一步只能上1個或者2個臺階，那么她上第-■個臺階的方法有

1種：1=1,上第二個臺階的方法有2種：1+1=2或2=2,上第三個臺階的方祛有3種：

1+1+1=3、1+2=3或2+1=3,…，她上第五個臺階的方法可以有種.

【答案】（1）第五個臺階上的數(shù)x是-3（2）-33（3）（4n-2）（4）8

【解析】（1）由題意得：-3-2-l+0=-2-l+0+x,

x=-3,

答：第五個臺階上的數(shù)x是-3；

（2）由題意知：臺階上的數(shù)字是每4個一循環(huán)，

-3-2-1+0=-6,

7214-4=5-1,

A5X(-6)+(-3)=-33,

答：前21個臺階上的數(shù)的和是?33；

(3)第一個?2在第2個臺階上，

第二個-2在第6個臺階上，

第三個-2出現(xiàn)在第10個臺階上；

???

第n個-2出現(xiàn)在第(4n-2)個臺階上；

故答案為(4n-2)；

(4)上第五個臺階的方法：1+1+1+1+1=5,1種，

1+1+1+2=5,1+2+2=5,1+2+1+1=5,1+1+2+1=5,4種，

2+2+1=5,2+1+2=5,2+1+1+1=5,3種，

???1+4+3=8科】，

答：她上第五個臺階的方法可以有8利

故答案為8.

方法或規(guī)律點撥

本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關鍵是明確題目中數(shù)字的變化特點，求出相應的結果.

鞏固練習

1.(2020?綿竹市孝德中學初一期中)已知一個三位數(shù)：100a+10b+c,將它的百位數(shù)字與

個位數(shù)字交換后得到一個新的三位數(shù)：100c+10b+a,試求這兩個三位數(shù)的差，并求當a=

5,c=7時，差的值是多少？

【答案】差為99a-99c或99c-99a,差值分別為T98和198

【解析】解：由題意可得：

?100a+10b+c-(100c4-10b+a)=99a-99c,

將&=5,c=7代入，

原式=99X(-2)=-198；

@100c+10b+a-(100a+10b+c)=99c-99a,

將a=5,c=7代入，

原式=99X2=198；

2.(2019?湖南省初一期中)定義：若a+b=2,則稱〃與人是關于1的平衡數(shù)，例如，

-4+6=2,則T與6是關于1的平衡數(shù)

(I)3與是關于1的平衡數(shù)，5-1與(用含的式子表示)是關于1的

平衡數(shù)

(2)若。=2/_3(1+工)+4,。=2工一[3%一(4人+/)-2],判斷。與人是否是關于1的

平衡數(shù)，并說明理由.

【答案】(1)-1,x-3：(2)。與6不是關于1的平衡數(shù)，理由見詳解

【解析】解：(1)V3+(-l)=2,5-x+(x-3)=2

???3與-1是關于1的平衡數(shù)，5—'與x-3是關于1的平衡數(shù)；

(2)〃與〃不是關于1的平衡數(shù)，理由如下：

a=2x2-3(x2+x)+4=-x2-3%+4,b=2x-^3x-(4x+x2)-2^=3x+x2+2

??a+h=-x2-3x+4+工2+3工+2=6

.??〃與匕不是關十1的平衡數(shù).

3.(2020?河北省初三二模)把正整數(shù)1，2，3,4,排成如下的一個數(shù)表.

第第第第笫第第第

12345678

列列列列列列列列

笫1行12345678

第2行910111213141516

笫3行1718192021222324

第4行2526272829303132

(1)2020在第行，笫______列；

(2)第〃行第3列的數(shù)是_______(用含的代數(shù)式表示)

(3)嘉嘉和淇淇玩數(shù)學游戲，嘉嘉對淇淇說：“你從數(shù)表中挑一個數(shù)x,按如圖所示的程序

計算，只要你告訴我所得的數(shù)在第幾行，我就知道你挑的數(shù)在第幾行.”你認為嘉嘉說得有

道理嗎？計算說明理由.

/輸入xA—+10―X5-—10—+5-/輸出y/

【答案】(1)253,4；(2)8/1-5；(3)嘉嘉說得有道理，見解析

【解析】(1)由圖中可以得出規(guī)律，每一行共有8個數(shù)，每行最后的數(shù)是8的倍數(shù)，

720204-8=252……4,

??.2020在第253彳亍，第4歹U：

(2)第〃行第3列的數(shù)是:

8(〃T)+3=8〃-6；

(3)根據(jù)計算程序，可得：

尸[5。+10)-10]+5=x+8,

所以當知道數(shù)，在第幾行時，則X必在它的上一行，所以嘉嘉說得有道理.

4.(2020?云南省初三學業(yè)考試)符號“f”表示一種運算，它對一些數(shù)的運算如下:

2922

/⑴=1+『/(2)=1+-,/⑶=1+葭/(4)=1+-,

(1)利用以上運算的規(guī)律寫出/(〃)=；(〃為正整數(shù))

⑵計算:/(1)./(2)./(3).?/(100)的值.

2

【答案】(1)1+-；(2)5151.

11

2222

【解析】解：(1)V/d)=1+—，f(2)=1+-,F(3)=1+—，f(4)=1+-----

1234

2

:.f(〃)=1+一,

n

2

故答案為：1+—；

n

(2)f(l)?f(2)?f(3)……f(100)

22、，2、2

=(1+—)(1+-2)(1+-)(1+—)(1+-----)

1234100

3456102

=-X—X-X—X—X——

1234100

_101x102

1x2

=5151

5.(2020?河北省初三學業(yè)考試)觀察下列等式，探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并解決問題，

①3?-=2x3、

@33-33=2X32；

③344=2x33;

(1)直接寫出第④個等式：：

(2)猜想第〃個等式(用含字母〃的式子表示)，并說明這個等式的正確性；

(3)利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,求3+32+33+???+3i°的值.(參考數(shù)據(jù)：3"=177147)

【答案】(1)35-34=2X31(2)猜想：第〃個等式為：3^-3fl=2X3\理由見解析；(3)

88572

【解析】(1)①32-3=2x3、

②33—33=2x3?；

@34-33=2X33：

???第④個等式:353=2x34；

故答案為：35-34=2X3、

(2)猜想：第〃個等式為：3.-3"=2乂3".

理由如下：

?.?3，，".3"=3X3"-3"=(3-1)X3"=2X3”,

...3陽1_3"=2X3”；

(3)根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，有:31,-310=2X310,

???(32-39+(33-32)+(34-33)+…+(31'-310)=2(31+32+33+-+310),

A311-3'=2(31+32+33+-4-310),

即3'+32+33+-+310=-(311-3).

2

V3"=177147,

A3,+32+33+-+3">=—(177147-3)=88572.

2

6.(2020?河北省初三二模)魔術師說將你想到的數(shù)進行以下四步操作，我就可以猜到你心

里想的數(shù).

第一步：心中想一個數(shù)，求其平方：

笫二步：想比這個數(shù)小2的數(shù)，求其平方；

第三步：求其平方的差值；

第四步：平方的差值除以4再加1.

將結果告訴我，我就能猜中你心里想的數(shù).

(1)若你想的數(shù)是5,求出你告訴魔術師的結果是多少.

(2)聰明的同學們，你覺得魔術師的步驟一定能猜中你心中的數(shù)嗎？請用代數(shù)式計算證明

你的結論.

解答：魔術師猜中你心中的數(shù)（填“能”或“否”）；

證明：設心中想的數(shù)為〃（〃為任意實數(shù)）

【答案】（1）5；（2）能，證明見解析.

【解析】（1）52-（5-2）2=25-9=16,16+4+1=5,告訴魔術師的數(shù)是5.

故答案為：5

（2）能

n2-（n-2）2=tv-4〃+4）=/—n2+4〃-4=4〃-4,

（4〃一4）+4=〃-1,

???可以猜中.

故答案為：能，證明見解析

7.（2020?河北省初三三模）如圖,從左向右依次擺放序號分別為1,2,3,…，n的小桶,

其中任意相鄰的四個小桶所放置的小球個數(shù)之和相等.

應用若n=22,則這些小桶內所放置的小球個數(shù)之和是多少？

發(fā)現(xiàn)用含k（k為正整數(shù)）的代數(shù)式表示裝有“4個球”的小桶序號.

【答案】嘗試：x+y=9；應用：99；發(fā)現(xiàn)：裝有“4個球”的小桶序號為4k—1.

【解析】嘗試：根據(jù)題意可得6+3+4+5=4+5+x+y,

，x+y=9；

應用：?；6+3+4+5=3+4+5+x,

又???x+y=9,

**?x=6,y=3,

，小桶內所放置的小球數(shù)每四個一循環(huán),

V22-?4=5--2,

:.(6+3+4+5)X5+9=99

發(fā)現(xiàn)：裝有“4個球”的小桶序號分別為3=4X1—1,7=4X27,11=4X3—1…,

工裝有“4個球”的小桶序號為4k—1.

8.（2020?云南省初三學業(yè)考試）觀察下列等式的規(guī)律

1111,111111

―+-----+―一十一=1

1x22x33x44x5223344?44

請用上述等式反映出的規(guī)律解決下列問題：

1

（1）請直接寫出L+J_l+2019+2020的值為

1x22x33x44x5

1I111

(2)化簡：T72+2^3+3^4+…+

4^5〃x(〃+1)

【答案】⑴^⑵3

【解析】

.111111111

[H------------------------

223344520192020

2020

2019

-2020

故答案為：S

2020

11111

(9)---------1-----------F--------4----------1-...+

1x22x33x44x5〃x(〃+l)

t111111111

2233445nn+\

=i--L

〃+1

n

n+\

9.(2020?石家莊市第二|八中學初三一模)小麗同學準備化簡：(3「-6x-8)-(-2A

□6）,算式中“口”是“+,X,中的某一種運算符號.

（1）如果“口”是“X”，請你化簡：（3f-6x-8）-（/-2xX6）；

(2)若？-2x-3=0,求(3f-6x-8)-(/-2^-6)的值;

（3）當x=l時，（3/-6*-8）-（*-2*口6）的結果是-8,請你通過計算說明“匚”所

代表的運算符號.

【答案】（1）2戶6A■■8；（2）4；（3）口處應為“一”

【解析】(1)(3x?-6x-8)-(X2-2XX6)

=(3X2-6X-8)-(x2-12x)

=3X2-6X-8-X2+12X

=2X2+6X-8；

(2)(3X2-6X-8)-(X2-2X-6)

=3x'-6x-8-X2+2X+6

=2x"-4x-2,

Vx2-2x-3=0,

/.x2-2x=3,

A2x2-4x-2=2(x2-2x)-2=6-2=4；

(3)“口”所代表的運算符號是

當x=l時，原式=(3-6-8)-(1-206),

???-11-(1+206)=-8,

整理得：1+2口6=-3,

工2口6=-4

???印□處應為“?

10.(2020?重慶中考真題)在數(shù)的學習過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)充

滿好奇，如學習自然數(shù)時，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)一一“好數(shù)”.

定義：對于三位自然數(shù)〃，各位數(shù)字都不為0,且百位數(shù)字與十位數(shù)字之和恰好能被個位數(shù)

字整除，則稱這個自然數(shù)〃為“好數(shù)”.

例如：426是“好數(shù)”，因為4,2,6都不為0,且4+2=6,6能被6整除；

643不是“好數(shù)”，因為6+4=10,10不能被3整除.

(1)判斷312,675是否是“好數(shù)”？并說明理由；

<2)求出百位數(shù)字比卜位數(shù)字大5的所有“好數(shù)”的個數(shù)，并說明理由.

【答案】(1)312是“好數(shù)”,675不是“好數(shù)”,理由見解析;(2)611,617,721,723,

729,831,941.理由見解析.

【解析】(1)V3,1,2都不為0,且3+1=4,4能被2整除，???312是“好數(shù)”.

V6,7,5都不為0,且6+7=13,13不能被5整除，???675不是“好數(shù)”；

(2)設十位數(shù)字為在個位數(shù)字為六則百位數(shù)字為(戶5).其中筋y都是正整數(shù)，且1

1WZ9.十位數(shù)字與個位數(shù)字的和為：2G5.

當產(chǎn)1時，2戶5=7,此時尸1或7,“好數(shù)”有：611,617

當產(chǎn)2時，2戶5:9,此時產(chǎn)1或3或9,“好數(shù)”有：721,723,729

當戶3時，2戶5:11,此時尸1,“好數(shù)”有：831

當尸4時，2戶5=13,此時尸1,“好數(shù)”有：941

所以百位數(shù)字比十位數(shù)字大5的所有“好數(shù)”的個數(shù)是7.

考點5：圖形規(guī)律探究

典例：（2020?山東省初三二模）（問題提出）：有同樣大小正方形256個，拼成如圖1所示

的16x16的一個大的正方形.請問如果用一條直線穿過這個大正方形的話，最多可以穿過

多少個小正方形？

（問題探究）：我們先考慮以下簡單的情況：-條直線穿越?個正方形的情況.（如圖2）

d

an

從圖中我們可以看出，當一條直線穿過一個小正方形時，這條直線最多與正方形上、下、左、

右四條邊中的兩個邊相交，所以當一條直線穿過一個小E方形時，這條直線會與其中某兩條

邊產(chǎn)生兩個交點，并且以兩個交點為頂點的線段會全部落在小正方形內.

這就啟發(fā)我們：為了求出直線/最多穿過多少個小正方形，我們可以轉而去考慮當直線/穿

越由小正方形拼成的大正方形時最多會產(chǎn)生多少個交點.然后由交點數(shù)去確定有多少根小線

段，進而通過線段的根數(shù)確定下正方形的個數(shù).

再讓我們來考慮3x3正方形的情況（如圖3）：

為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設直線/右上方至左下方穿過一個3x3的正方

形，我們從兩個方向來分析直線/穿過3x3正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上

最多可穿過上下平行的兩條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的四條線段；

這樣直線/最多可穿過3x3的大正方形中的六條線段，從而直線/上會產(chǎn)生6個交點，這6

個交點之間的5條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線/最多能經(jīng)過5個小正

方形.

（問題解決）：

（1）有同樣大小的小正方形16個，拼成如圖4所示的4x4的一個大的正方形.如果用一

條直線穿過這個大正方形的話，最多可以穿過________個小正方形.

（2）有同樣大小的小正方形256個，拼成16x16的一個大的正方形.如果用一條直線穿過

這個大正方形的話，最多可以穿過個小正方形.

（3）如果用一條直線穿過〃X"的大正方形的話，最多可以穿過個小正方形.

（問題拓展）：

（4）如果用一條直線穿過2x3的大長方形的話（如圖5）,最多可以穿過個小

正方形.

IW5

（5）如果用一條直線穿過3x4的大長方形的話（如圖6）,最多可以穿過個小

正方形.

（6）如果用一條直線穿過機x〃的大長方形的話，最多可以穿過個小正方形.

（類比探究）：

由二維的平面我們可以聯(lián)想到三維的立體空間，平面中的正方形中四條邊可聯(lián)想到正方體中

的正方形的六個面，類比上面問題解決的方法解決如下問題：

（7）如圖7有同樣大小的小正方體8個，拼成如圖所示的2x2x2的一個大的正方體.如果

用一條直線穿過這個大正方體的話，最多可以穿過___________個小正方體.

s(W《《《?W,，????

M?Ml

(8)如果用一條直線穿過〃x〃x〃的大正方體的話，最多可以穿過個小正方體.

【答案】(1)7；(2)31；(3)2n-l；(4)4；(5)6；(6)m+n-\x(7)4；(8)3〃-2

【解析】(1)再讓我們來考慮4X4正方形的情況(如圖4)：為了讓直線穿越更多的小正方

形，我們不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個4X4的正方形，我們從兩個方向來分析

直線1穿過4X4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的3

條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4

X4的大正方形中的8條線段，從而直線L上會產(chǎn)生8個交點，這8個交點之間的7條線段,

每條會落在一個不同的正方形內，因此育線L最多能經(jīng)過7個小正方形.

故答案為7

(2)我們發(fā)現(xiàn)直線穿越1X1正方形時最多經(jīng)過1個正方形，直線穿越2X2正方形時最多

經(jīng)過3個正方形，直線穿越3X3正方形時最多經(jīng)過5個正方形，

直線穿越4X4正方形時最多經(jīng)過7個正方形，…直線穿越nXn正方形時最多經(jīng)過2n<個

正方形.

二直線穿越10X10正方形時最多經(jīng)過19個正方形.

故答案為19.

(3)由(2)可知，有2X167=31個正方形，

故答案為31.

(4)由(2)可知有2n-1個正方形.

故答案為2nT.

<5)為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設直線L右上方至左下方穿過個2X3

的正方形，我們從兩個方向來分析直線1穿過2X3正方形的情況：從上下來看，這條直線

由下至上最多可穿過上下平行的1條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的4

條線段；這樣直線L最多可穿過2X3的大正方形中的5條線段，從而直線L上會產(chǎn)生5個

交點，這5個交點之間的4條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線【，最多能經(jīng)

過4個小正方形，

故答案為4.

（6）為了讓直線穿越更多