河南省信陽市普通高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 含解析

2024-2025學(xué)年河南省信陽市普通高中高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合和集合，再求其交集即可.【詳解】集合為函數(shù)的值域，故，集合為函數(shù)的值域，故，∴.故選：A.2.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義可求出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得.故答案為：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的定義計算余弦值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】實(shí)數(shù)，則，當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，而，則，所以“”是“”的充要條件.故選：C4.在扇形中，，弦，則扇形的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)弦長求出扇形的半徑，根據(jù)扇形面積公式即可求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，由題意可知，，所以，所以扇形的面積.故選：B5.數(shù)學(xué)建模，就是根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問題．小明和他的數(shù)學(xué)建模小隊現(xiàn)有這樣一個問題：提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，那么，怎樣才可以提高呢？我們理想化地建立這樣一個關(guān)系，在一般情況下，大橋上的車流速度單位：千米/小時)是車流密度單位：輛/千米)的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明，當(dāng)時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．問：當(dāng)車流密度多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時)可以達(dá)到最大？（）A.60 B.100 C.140 D.180【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求得函數(shù)的解析式，再分類討論確定車流密度的取值．【詳解】當(dāng)時，設(shè)，則，解得，于，設(shè)車流量為q，則車流量，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以當(dāng)時，車流量最大，最大值約為3333輛．故選：B6.函數(shù)f(x)＝lnx－的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)【答案】B【解析】【分析】計算出，并判斷符號，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，因?yàn)?，，，，，所以根?jù)零點(diǎn)存性定理可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了零點(diǎn)存在性定理，屬于基礎(chǔ)題.7.函數(shù)的部分圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性及函數(shù)在區(qū)間上的符號排除不正確選項即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，由，可得函數(shù)是R上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，AC錯誤；當(dāng)時，，且當(dāng)x=0或時取等號，則B不滿足，D滿足.故選：D.8.已知函數(shù)，若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，建立方程組，等價轉(zhuǎn)化為二次方程求根，建立不等式組，可得答案.【詳解】由函數(shù)，顯然該函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)在上的值域?yàn)?，則，等價于存在兩個不相等且大于等于的實(shí)數(shù)根，且在上恒成立，則，解得.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)已知及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判定大小關(guān)系即可.【詳解】由，又為減函數(shù)，所以.故選：BD10.已知正數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】對于選項A：利用基本不等式即可判斷；對于選項B：利用“1”的妙用，即可判斷；對于選項C：利用基本不等式即可判斷；對于選項D：利用配湊思想，根據(jù)基本不等式即可判斷；【詳解】對于選項A：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選項A正確；對于選項B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選項B錯誤；對于選項C：由選項A可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選項C正確；對于選項D：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，這與x，y均為正數(shù)矛盾，故，故選項D錯誤.故選：AC.11.阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置，其提供阻力的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動．若某阻尼器離開平衡位置的位移（單位：）和時間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系：（，，），某同學(xué)通過“五點(diǎn)法”計算了一個周期內(nèi)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下（其中，，，為未知數(shù)），則下列有關(guān)函數(shù)的描述正確的是（）0000A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到C.函數(shù)的圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為4D.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象重合【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)五點(diǎn)法求出的解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，誘導(dǎo)公式判斷各選項．【詳解】由五點(diǎn)法知，從而，，由正弦函數(shù)性質(zhì)知，，，，，所以，選項A，，A錯；選項B，，其圖象可由的圖象向右平移個單位得到，B正確；選項C，函數(shù)的圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為，C正確；選項D，，D錯．故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則______．【答案】【解析】【分析】把看成一個整體角，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求值即可.【詳解】因?yàn)?，所以．故答案為?13.已知關(guān)于的不等式的解集為或，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的解集為或得到，進(jìn)而根據(jù)解一元二次不等式即可.【詳解】由題意得的兩個根為，，，則，則，即，即，解得，則不等式的解集為.故答案為：.14.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】先利用函數(shù)的奇偶性求解實(shí)數(shù)；再利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，利用奇偶性和單調(diào)性將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為分離參數(shù)問題，利用基本不等式以及雙勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由函?shù)為上的奇函數(shù)，可得，即，則實(shí)數(shù)；所以，任取，設(shè)，則，，，則，所以，則函數(shù)為上的增函數(shù)；又函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，即對恒成立，所以對恒成立，即，令，因，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性知：，函數(shù)單調(diào)遞減，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)奇偶性的定義，以及利用奇偶性，單調(diào)性解不等式恒成立問題，利用奇偶性和單調(diào)性將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為分離參數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知.（1）化簡；（2）若，且為第三象限角，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡即可；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，即可求值.【小問1詳解】；【小問2詳解】由，得，又為第三象限角，則，所以，則.16.已知函數(shù)（且）．（1）求函數(shù)的定義域；（2）若函數(shù)圖象過點(diǎn)，求的值；（3）若時，函數(shù)的最大值為6，求值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0，可求函數(shù)的定義域.（2）根據(jù)已知條件列方程可求的值.（3）利用函數(shù)的單調(diào)性分類討論求解.【小問1詳解】由，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?【小問2詳解】由.小問3詳解】若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.但，故舍去.綜上：17.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求的值；（2）判斷并證明的單調(diào)性；（3）若不等式對任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1；（2）在R上單調(diào)遞減，證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）由求解值，再檢驗(yàn)即可；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義判斷和證明即可；（3）將問題轉(zhuǎn)化為，利用換元法及基本不等式求解即可.【小問1詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，其定義域?yàn)?，所以，即，解得，此時，滿足，即為奇函數(shù)，故的值為.【小問2詳解】解：在R上單調(diào)遞減，證明如下：由（1）知，，且，則，因?yàn)?，所以，，，所以，，即函?shù)在上單調(diào)遞減；【小問3詳解】由題知：當(dāng)恒成立；則；令，所以；又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而，所以，則.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為18.已知冪函數(shù)滿足.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)，，是否存在實(shí)數(shù)n，使得的最小值為，若存在，求出實(shí)數(shù)n的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）由冪函數(shù)的定義求出m的值，再由確定函數(shù)解析式.（2）假設(shè)存在，求出的解析式，利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解.【小問1詳解】由函數(shù)是冪函數(shù)，得，解得或，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不滿足，不符合題意；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，滿足，符合題意，所以.【小問2詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)n使得的最小值為，由（1）得，由，得，令，則化為，于是的最小值為，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，，解得，矛盾；當(dāng)，即時，，則；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，，解得，矛盾，所以存在，使得最小值為，19.（1）求值：.（2）在非直角中，求證：；（3）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基人之一，享有數(shù)學(xué)“王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界的三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)