2025中考重點(diǎn)中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題及答案詳解

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年中考重點(diǎn)高中自主招生素質(zhì)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷滿分100分，考試時(shí)間90分鐘注意事項(xiàng)：1．本試卷包括“試題卷”和“答題卡”兩部分．“試題卷”共4頁(yè)，“答題卡”共2頁(yè)．2．請(qǐng)務(wù)必在“答題卡”上答題，在“試題卷”上答題是無(wú)效的．3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將“試題卷”和“答題卡”一并交回．一、選擇題：共6小題，每小題3分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．小明利用畫圖軟件畫一個(gè)多邊形，他設(shè)計(jì)的要求是：個(gè)內(nèi)角中，最小的為，最大的為，且從小到大依次增加相同的度數(shù)，則小明畫出的多邊形的邊數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．102．如圖，中，為邊上任意一點(diǎn)，將繞著點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．已知，則的值是（

）A． B．2 C． D．4．已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為，且，則的值等于（

）A． B． C．或 D．或5．已知、是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足：，則的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或6．如圖，在平行四邊形中，，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，是四邊形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則的最小值為（

）

A． B． C． D．二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．7．若，則實(shí)數(shù)．8．如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，則線段的長(zhǎng)為．9．對(duì)于一個(gè)函數(shù)，我們把當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值，稱之為函數(shù)的零點(diǎn)．例如：函數(shù)的零點(diǎn)為1；函數(shù)的零點(diǎn)為、3．已知函數(shù)（其中）的零點(diǎn)為3、0，則關(guān)于的不等式（其中）的解集為．10．如圖，是正方形邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的外接圓于點(diǎn)，連接，．若，則的值等于．三、解答題：共4題，共62分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和解題步驟．11．當(dāng)，時(shí)，求的值．12．如圖，四邊形中，，以為直徑作，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)角線交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)求證：與相切；(2)若，求四邊形的面積．13．已知拋物線與軸相交于A、B兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)為頂點(diǎn)．(1)直接寫出四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸（直線）上的動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，取得最值？最值是多少？(3)如圖2，在第一象限內(nèi)，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)交于點(diǎn)，求的最大值．14．矩形中，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，為邊上的動(dòng)點(diǎn)．(1)如圖1，若，且與相似，求的長(zhǎng)，并在圖1中作出點(diǎn)的位置，要求用尺規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡；(2)如圖2，若，且，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值．【直接寫出結(jié)果，不寫解題過(guò)程】答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．C【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和，一元一次方程的應(yīng)用，由題意可得多邊形中內(nèi)角度數(shù)成等差關(guān)系，利用等差數(shù)列可得內(nèi)角和，再根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，列出方程，即可解答，熟知多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，解得，故選：C．2．B【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為圓心為點(diǎn)C，圓心角為，半徑為的弧長(zhǎng)，故當(dāng)最小時(shí)，弧長(zhǎng)最小，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最小，解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵繞著點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為圓心為點(diǎn)C，圓心角為，半徑為的弧長(zhǎng)，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，弧長(zhǎng)最小，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最小，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，垂線段最短，熟練掌握公式和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】根據(jù)，得關(guān)于a的方程有實(shí)數(shù)根，利用，結(jié)合實(shí)數(shù)的非負(fù)性，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪公式解答即可．【詳解】解：，得關(guān)于a的方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴，∵，∴，解得，∴，解得，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，實(shí)數(shù)的非負(fù)性，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，由二次函數(shù)解析式可得對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，再分，和三種情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可求解，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴對(duì)稱軸為直線，∵，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，①當(dāng)，即時(shí)，時(shí)取最小值，時(shí)取最大值，∴，∵，∴整理得，，∴（不合，舍去）；②當(dāng)時(shí)，時(shí)取最大值，時(shí)取最小值，∴，∵，∴整理得，，∴（不合，舍去）；③當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，取最大值為，∵，∴，∴或，解得，，，，∵，∴或；綜上，的值為，故選：．5．D【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，兩式相加可得，兩式相減可得，故可為方程的兩個(gè)解，再根據(jù)根的判別式即可解答，正確得到，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：兩式相加可得，兩式相減可得，則可為方程的兩個(gè)解，、是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，即，，故可得或，解得或，故選：D．6．A【分析】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．將以為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，則有和均為等邊三角形，故，，，過(guò)作于點(diǎn)，則當(dāng)共線時(shí)，最小，即長(zhǎng)，過(guò)作于點(diǎn)，由，，求出，，通過(guò)平行四邊形的性質(zhì)證明四邊形是矩形，則，最后通過(guò)勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)求出即可．【詳解】解：如圖，將以為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，

∴，∴和均為等邊三角形，∴，，，∴，∵均為動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，∴當(dāng)共線時(shí)，最小，即長(zhǎng)，即的最小值為長(zhǎng)，過(guò)作于點(diǎn)，∴，∵，，∴，，∵，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵為等邊三角形，，∴，，∴，∴，∴的最小值為，故選：．7．【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，因式分解法解一元二次方程，熟練掌握“整體代入思想”是解題關(guān)鍵．令，把原式變形為，解一元二次方程得或，因二次根式的非負(fù)性，，舍去，將代回即可求解．【詳解】解：令，，，解得：或．，（舍去），，，．8．##【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合問(wèn)題，相似三角形的判定和性質(zhì)．過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)分別作軸的垂線，設(shè)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求得，求得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為和，設(shè)，∵，∴，，，，由題意得，∴，∴，∴，即，解得（負(fù)值已舍），∴，∴，故答案為：．9．且【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義，轉(zhuǎn)化為方程的根，確定字母系數(shù)之間的關(guān)系，后化簡(jiǎn)絕對(duì)值，分類計(jì)算即可．【詳解】解：∵函數(shù)（其中）的零點(diǎn)為3、0，∴的兩個(gè)根為3、0，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，變形為，∴，∵，∴，∴；當(dāng)時(shí)，變形為，∴，∵，∴，∴；∴關(guān)于的不等式（其中）的解集為且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與一元二次方程的關(guān)系，根與系數(shù)關(guān)系定理，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，不等式的解法，熟練掌握關(guān)系，定理，解不等式是解題的關(guān)鍵．10．【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，連接，過(guò)點(diǎn)作，先證明，再，可得，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則可根據(jù)面積比求的值，再求出，即可解答，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為N，M，四邊形為正方形，，，，，，，，，為圓的直徑，，，為等腰直角三角形，，，，四邊形為矩形，，，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，，，，，，，，故答案為：．11．，【分析】利用十字相乘法等方法，對(duì)原式、對(duì)、進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得原式，，，代入即可求解．【詳解】解：原式，，原式【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，利用乘法公式、十字相乘法等對(duì)原式進(jìn)行變形，特殊角的三角函數(shù)，二次根式的性質(zhì)，代數(shù)式求值，熟練掌握分式混合運(yùn)算里的各種常見(jiàn)變形是解題關(guān)鍵．12．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）解法一：連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，進(jìn)而得，，由圓周角定理得，進(jìn)而得，即可得出結(jié)論；解法二：連接、，先根據(jù)外角的性質(zhì)得，再由圓周角定理得，進(jìn)而得，再根據(jù)已知，得出，再結(jié)合圓周角定理推出，即可得出結(jié)論；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先證明四邊形是菱形，且邊長(zhǎng)為6，進(jìn)而得，再由勾股定理得，最后由計(jì)算可得出答案．【詳解】（1）證明：解法一：如圖1，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，四邊形內(nèi)接于，，又，，又，，又是的直徑，，，，，與相切；解法二：如圖1，連接、，，，，又，，，，，是直徑，在圓上，，，與相切；（2）如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∵，∴，∴菱形的邊長(zhǎng)為6，，在中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、勾股定理，圓周角定理，菱形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．13．(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，取得最小值0；點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，取得最大值(3)【分析】(1)用配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)，用交點(diǎn)法求交點(diǎn)坐標(biāo)即可；(2)根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，的值最小，且為0；根據(jù)，得當(dāng)P，A，C三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，最大值為的長(zhǎng)，解答即可．(3)不妨設(shè)，過(guò)點(diǎn)M作交x軸于點(diǎn)G，設(shè)直線的解析式為，確定直線的解析式為，用m表示直線的解析式，利用平行線分線段成比例定理，構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值解答即可．【詳解】（1）解：∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；∵當(dāng)時(shí)，，∴，∵當(dāng)時(shí)，，解得，∴；故答案為：．（2）解：根據(jù)題意，得當(dāng)時(shí)，的值最小，且為0，設(shè)，故，解得，故點(diǎn)時(shí)，的值最小，且為0；∵P在對(duì)稱軸上，且點(diǎn)A，點(diǎn)B是對(duì)稱點(diǎn)，∴，∴，∵，∴當(dāng)P，A，C三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，最大值為的長(zhǎng)，∴，設(shè)直線的解析式為，故，解得，∴直線的解析式為，∴時(shí)，，故點(diǎn)時(shí)，的值最大，且為．（3）解：∵拋物線的解析式為，不妨設(shè)，過(guò)點(diǎn)M作交x軸于點(diǎn)G，設(shè)直線的解析式為，故，解得，∴直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值，且當(dāng)時(shí)，有最大值，且為．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解析式，平行線分線段成比例定理，勾股定理，三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．14．(1)4或6或，圖見(jiàn)解析(2)(3)的最小值為【分析】（1）設(shè)，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；分別求解出，再畫出點(diǎn)即可；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，到，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，交于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，先證明得，，再由平行線的性質(zhì)得，即可得，，，再證明得，進(jìn)而可得答案；（3）如圖，由是的中點(diǎn)，，得點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以是直角，所以也是直角，故點(diǎn)又在以為直徑的圓上，所以的最小值為，由已知可得，再由勾股定得，即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)，分以下兩種情況：當(dāng)時(shí)，有，，解得，即或6；當(dāng)時(shí)，有，，解得，即；綜上，的長(zhǎng)為4或6或；點(diǎn)的位置如圖1所示；（2）解：如圖