《備考指南一輪·數(shù)學·》課件-第7章 第2講

數(shù)列第七章第2講等差數(shù)列及其前n項和高考要求考情分析1.理解等差數(shù)列的概念．2．掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式．3．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應的問題．4．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列常與等比數(shù)列、函數(shù)、方程、不等式結(jié)合在一起考查，有選擇、填空、解答題，考查數(shù)學運算和數(shù)學抽象以及邏輯推理的核心素養(yǎng)欄目導航01基礎(chǔ)整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎(chǔ)整合自測糾偏11．等差數(shù)列的概念(1)如果一個數(shù)列從第____項起，每一項與它的前一項的差等于__________，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的________．公差通常用字母d表示．數(shù)學語言表達式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))，或an－an－1＝d(n≥2，d為常數(shù))．(2)若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項，且A＝________.2

同一個常數(shù)公差a1＋(n－1)d

(n－m)d

3．等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項和．(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則有am＋an＝ap＋aq.(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當d＞0時，{an}是______數(shù)列；當d＜0時，{an}是________數(shù)列；當d＝0時，{an}是________．(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為________的等差數(shù)列．(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．遞增遞減常數(shù)列md

大小1．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a3＋a4＋a5＝12，則a1＋a2＋…＋a7等于(

)A．14

B．21

C．28

D．35【答案】C

2．(2020年廣州一模)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a8＝15－a5，則S9等于(

)A．18

B．36

C．45

D．60【答案】C

4．在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項和為Sn，當且僅當n＝8時Sn取得最大值，則d的取值范圍為________．5．(一題兩空)已知等差數(shù)列{an}，若a2＝10，a5＝1，則{an}的公差為________，前7項的和為________．【答案】－3

281．要注意概念中的“從第2項起”．如果一個數(shù)列不是從第2項起，而是從第3項或第4項起，每一項與它前一項的差是同一個常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列．2．注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別．3．求等差數(shù)列的前n項和Sn的最值時，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含條件．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．(

)(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(

)(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)．(

)(5)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×重難突破能力提升2等差數(shù)列基本量的運算

(1)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝(

)A．－6

B．－4

C．－2

D．2(2)(2019年云南省二次統(tǒng)一檢測)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，則m＝(

)A．9

B．10

C．11

D．15【答案】(1)A

(2)B

【跟蹤訓練】1．(2019年山東五校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，其前3項的和為－3，前3項的積為8.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.等差數(shù)列的判定與證明【規(guī)律方法】等差數(shù)列的四個判定方法(1)定義法：證明對任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個常數(shù)．(2)等差中項法：證明對任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(3)通項公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(4)前n項和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根據(jù)Sn，an的關(guān)系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列．等差數(shù)列的性質(zhì)及應用【考向分析】等差數(shù)列的性質(zhì)及其應用是高考的必考內(nèi)容，以中、低檔題目為主，難度不大．常見的考向：(1)等差數(shù)列的性質(zhì)；(2)等差數(shù)列和的性質(zhì)；(3)等差數(shù)列前n項和的最值．【答案】B

【解析】由{an}是等差數(shù)列，得S3，S6－S3，S9－S6為等差數(shù)列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，所以a7＋a8＋a9＝45.追蹤命題直擊高考3【典例精析】

典例．(2020年合肥一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，S4＝4S2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180(m∈N*)，求m的值．【考查角度】等差數(shù)列的通項公式、項數(shù)m的求法【考查目的】考查運算求解能力，體現(xiàn)數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．【思路導引】(1)由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，解得d＝2a1.從而a1＝1，d＝2，由此能求出an.(2)am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180可化為10am＋45d＝20m＋80＝180，由此能求出m.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，整理得d＝2a1.又因為a1＝1，所以d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．(2)因為an＝2n－1，所以am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180可化為10am＋45d＝20m＋80＝180，解得m＝5.【拓展延伸】1．利用等差數(shù)列的性質(zhì)巧妙設(shè)項若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間三項為a－d，a，a＋d；若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間兩項為a－d，a＋d，其余各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進行對稱設(shè)元．2．方程思想和函數(shù)思想(1)等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式涉及“五個量”“知三求二”，需運用方程思想求解，特別是求a1和d.(2)等差數(shù)列{an}中，an＝an＋b(a，b為常數(shù))，Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))，均是關(guān)于“n”的函數(shù)，充分運用函數(shù)思想，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)簡化解題過程．3．等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法；(2)等差中項法；(3)通項公式法；(4)前n項和公式法．【真題鏈接】

2．(2019年北京)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝________，Sn的最小值為________．【答案】0－10

3．(2019年新課標Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a3＝5，a7＝13，則S10＝________.【答案】100

4．(2019年江蘇)已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，