第十三章 機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波、光 電磁波與相對論選修3-4

第十三章機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波、光

DISHISANZHANG/電磁波與相對論[選修34]

第1節(jié)機(jī)械振動(dòng)

::著眼"四層”)》清單.記牢.悟透

一、簡諧運(yùn)動(dòng)

1.簡諧運(yùn)動(dòng)

(1)定義：如果質(zhì)點(diǎn)的位移與蛔的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動(dòng)圖象(x-f圖象)

是一條正弦曲線，這樣的振動(dòng)就叫做簡諧運(yùn)動(dòng)。

(2)條件：如果質(zhì)點(diǎn)所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向堊衡位

置，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是簡諧運(yùn)動(dòng)。

(3)平衡位置：物體在振動(dòng)過程中回復(fù)力為零的位置。[注1]

(4)回復(fù)力：使物體返回到平衡位置的力。[注2]

①方向：總是指向平衡位置。

②效果：使物體返回到平衡位置。

2.簡諧運(yùn)動(dòng)的兩種模型

模型彈簧振子(水平)單擺

.，，，，，，，，，，

-----

小意圖

簡諧①彈簧質(zhì)量要忽略①擺線為不可伸縮的輕細(xì)線

運(yùn)動(dòng)②無摩擦等阻力②無空氣阻力

條件③在彈簧彈性限度內(nèi)③最大擺角小于等于5°

擺球重力沿與擺線垂直方向(即切

回復(fù)力彈簧的彈力提供

向)的分力

平衡

彈簧處于原長處最低點(diǎn)

位置

周期與振幅無關(guān)fl

能量彈性勢熊與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化,機(jī)械能重力勢能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能

轉(zhuǎn)化守恒守恒

二、簡諧運(yùn)動(dòng)的公式和圖象

1.表達(dá)式

(1)動(dòng)力學(xué)表達(dá)式：F=-kx,其中“一”表示回復(fù)力與位移的方向相反。

(2)運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式：x=4sin(w+oo),其中A代表振幅，s=2TI/代表簡諧運(yùn)動(dòng)的快慢,

加+00代表簡諧運(yùn)動(dòng)的相位，6)叫做初相。

2.圖象

(1)從平衡位置開始計(jì)時(shí),函數(shù)表達(dá)式為sincut,圖象如圖甲所示。

(2)從最大位移處開始計(jì)時(shí),函數(shù)表達(dá)式為x=Acos研，圖象如圖乙所示。

甲乙

三、受迫振動(dòng)和共振

1.受迫振動(dòng)

系統(tǒng)在驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)。受迫振動(dòng)的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率，而與系統(tǒng)的固有頻率

無關(guān)。

2.共振

驅(qū)動(dòng)力的頻率與系統(tǒng)的固有頻率相笠時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅達(dá)到最大，這種現(xiàn)象叫做共振。

共振曲線如圖所示。

°fs

【注解釋疑】

［注1］做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過平衡位置時(shí)，回復(fù)力一定為零，但所受合外力不一定為零,

如單擺。

第2頁，共105頁

［注2］回復(fù)力屬于效果力，其來源可以是某一個(gè)力，也可以是某個(gè)力的分力或幾個(gè)力的

合力。

【基礎(chǔ)自測】

一、判斷題

⑴簡諧運(yùn)動(dòng)是勻變速運(yùn)動(dòng)。（義）

⑵周期、頻率是表征物體做簡諧運(yùn)動(dòng)快慢程度的物理量。（J）

⑶振幅等于振子運(yùn)動(dòng)軌跡的長度。（X）

（4）簡諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力可以是恒力。（義）

⑸彈簧振子每次經(jīng)過平衡位置時(shí)，位移為零，動(dòng)能最大。（。）

（6）單擺在任何情況下的運(yùn)動(dòng)都是簡諧運(yùn)動(dòng)。（X）

（7）物體做受迫振動(dòng)時(shí)，其振動(dòng)頻率與固有頻率無關(guān)。（J）

（8）簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像描述的是振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡。（X）

二'選擇題

1.［一科版選修3-4P5討論與交流改編］如圖所示，彈簧振子在3、C間振動(dòng)，。為平

衡位置，BO=OC=5cmQ若振子從5到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是Is,則下列說法中正確的是（）

4Boc"

A.振子從B經(jīng)O到C完成一次全振動(dòng)

B.振動(dòng)周期是1s,振幅是10cm

C.經(jīng)過兩次全振動(dòng)，振子通過的路程是20cm

D.從5開始經(jīng)過3s,振子通過的路程是30cm

解析：選D振子從5-0一。僅完成了半次全振動(dòng)，所以周期T=2Xls=2s,選項(xiàng)A、

B錯(cuò)誤；振幅A=5O=5cm,振子在一次全振動(dòng)中通過的路程為44=20cm,所以兩次全振

動(dòng)中通過的路程為40cm,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；3s的時(shí)間為1.5T,所以振子通過的路程為30cm,

選項(xiàng)D正確。

2.（多選）一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是（）

A.質(zhì)點(diǎn)速度最大而加速度為零的時(shí)刻分別是0.1s、0.3s

B.質(zhì)點(diǎn)速度為零而加速度為負(fù)方向最大值的時(shí)刻分別是0、0.4s

C.質(zhì)點(diǎn)所受的回復(fù)力方向由正變負(fù)的時(shí)刻是0.3s

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D.振動(dòng)系統(tǒng)勢能最大而加速度為正方向最大值的時(shí)刻是0.3s

解析：選ABC質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.3s時(shí)刻，位移為零，故加速度為零，速度最大，A正

確；質(zhì)點(diǎn)在0和0.4s時(shí)刻，位移為正方向最大值，故速度為零，加速度為負(fù)方向最大值，B

正確；質(zhì)點(diǎn)在0.3s時(shí)刻，位移由負(fù)方向變?yōu)檎较?，則回復(fù)力由正方向變?yōu)樨?fù)方向，C正

確；質(zhì)點(diǎn)在0.3s時(shí)刻，位移為零，振動(dòng)系統(tǒng)勢能和加速度都為零，D錯(cuò)誤。

垃足“四翼”贏格甯》＞＞題型?規(guī)律?方法

考點(diǎn)一簡諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律［互動(dòng)共研類］

簡諧運(yùn)動(dòng)的五個(gè)特征

受力特征回復(fù)力尸=-履，尸(或“)的大小與x的大小成正比，方向相反

靠近平衡位置時(shí)，“、尸、x都減小，。增大；遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)，“、尸、X

運(yùn)動(dòng)特征

都增大，。減小

振幅越大，能量越大。在運(yùn)動(dòng)過程中，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械

能量特征

能守恒

質(zhì)點(diǎn)的位移、回復(fù)力、加速度和速度隨時(shí)間做周期性變化，變化周期就是

周期性特征

簡諧運(yùn)動(dòng)的周期T;動(dòng)能和勢能也隨時(shí)間做周期性變化，其變化周期為￡

關(guān)于平衡位置。對稱的兩點(diǎn)，速度的大小、動(dòng)能、勢能相等，相對平衡位

對稱性特征

置的位移大小相等

［例1］(多選)如圖所示，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊，物塊沿

豎直方向做簡諧運(yùn)動(dòng)。以豎直向上為正方向，物塊簡諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為y=

0.1sin(2.57rZ)mof=0時(shí)刻，一小球從距物塊力高處自由落下；f=0.6s時(shí)，小

球恰好與物塊處于同一高度。取重力加速度g=10m/s2。以下判斷正確的是

)

A./z=1.7m

B.簡諧運(yùn)動(dòng)的周期是0.8s

C.0.6s內(nèi)物塊運(yùn)動(dòng)的路程是0.2m

D.f=0.4s時(shí),物塊與小球運(yùn)動(dòng)方向相反

［解析］f=0.6s時(shí)，物塊的位移為y=O.lsin(2.5jrX0.6)m=-0.1m,則對小球有

=%，解得/z=1.7m,選項(xiàng)A正確；簡諧運(yùn)動(dòng)的周期是7="=悲

/co

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s=0.8s,選項(xiàng)B正確；0.6s內(nèi)物塊運(yùn)動(dòng)的路程是3A=0.3m,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；f=0.4s

=9時(shí)，物塊經(jīng)過平衡位置向下運(yùn)動(dòng)，則此時(shí)物塊與小球運(yùn)動(dòng)方向相同，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

［答案］AB

［歸納總結(jié)］

以位移為橋梁分析簡諧運(yùn)動(dòng)中各物理量的變化情況

(1)位移增大時(shí)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的回復(fù)力、加速度、勢能均增大，速度、動(dòng)能均減??；反之，

則產(chǎn)生相反的變化。各矢量均在其值為零時(shí)改變方向。

(2)位移相同時(shí)，回復(fù)力、加速度、動(dòng)能、勢能可以確定，但速度可能有兩個(gè)方向，由于

周期性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間也不確定。

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［簡諧運(yùn)動(dòng)的理解］

(2021?南昌模擬)關(guān)于水平放置的彈簧振子所做的簡諧運(yùn)動(dòng)，下列說法錯(cuò)誤的是()

A.位移的方向是由振子所在處指向平衡位置

B.加速度的方向總是由振子所在處指向平衡位置

C.經(jīng)過半個(gè)周期振子經(jīng)過的路程一定是振幅的2倍

D.若兩時(shí)刻相差半個(gè)周期，彈簧在這兩個(gè)時(shí)刻的形變量一定相等

解析：選A位移的方向始終是由平衡位置指向振子所在處，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；加速度的方

向始終是由振子所在處指向平衡位置，選項(xiàng)B正確；經(jīng)過半個(gè)周期，振子經(jīng)過的路程是振幅

的2倍，若兩時(shí)刻相差半個(gè)周期，兩時(shí)刻彈簧的形變量一定相等，選項(xiàng)C、D正確。

2.［簡諧運(yùn)動(dòng)的周期性、對稱性的應(yīng)用］

(多選)一振子沿x軸做簡諧運(yùn)動(dòng)，平衡位置在坐標(biāo)原點(diǎn)。f=0時(shí)振子的位移為-0.1m,

f=ls時(shí)位移為0.1m,貝IJ()

A.若振幅為0.1m,振子的周期可能為|s

4

B.若振幅為0.1m,振子的周期可能為s

C.若振幅為0.2m,振子的周期可能為4s

D.若振幅為0.2m,振子的周期可能為6s

解析：選AD若振幅為0.1m,則G+3r=ls,其中“=0,1,2,…。當(dāng)〃=0時(shí)，T=

22

2s;〃=1時(shí)，s；〃=2時(shí)，T=gs。故A正確，B錯(cuò)誤。若振幅為

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0.2m,振動(dòng)分4種情況討論:

ydjr

第①種情況，設(shè)振動(dòng)方程為％=Asin（w+9）,￡=0時(shí)，-5=4sin如解得。=一不所

TT

以由尸點(diǎn)到。點(diǎn)用時(shí)至少為不，由簡諧運(yùn)動(dòng)的對稱性可知，由尸點(diǎn)到0點(diǎn)用時(shí)至少為N，即

（"+毒T=ls,其中〃=0,1,2,…，當(dāng)〃=0時(shí)，T=6s,〃=1時(shí)，T=ys;第②③種情況，

由P點(diǎn)到0點(diǎn)用時(shí)至少為工，周期最大為2s;第④種情況，周期一定小于2s。故C錯(cuò)誤，

D正確。

考點(diǎn)二簡諧運(yùn)動(dòng)圖像的理解和應(yīng)用［素養(yǎng)自修類］

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［簡諧運(yùn)動(dòng)圖像的理解］

某彈簧振子沿x軸的簡諧運(yùn)動(dòng)圖像如圖所示，下列描述正確的是（）

A.f=ls時(shí)，振子的速度為零，加速度為負(fù)的最大值

B.f=2s時(shí)，振子的速度為負(fù)，加速度為正的最大值

C.f=3s時(shí)，振子的速度為負(fù)的最大值，加速度為零

D.f=4s時(shí)，振子的速度為正，加速度為負(fù)的最大值

解析：選At=ls時(shí)，振子在正的最大位移處，振子的速度為零，由“=一得知，加

速度為負(fù)的最大值，A項(xiàng)正確；f=2s時(shí)，振子位于平衡位置，速度為負(fù)的最大值，加速度

為零，B項(xiàng)錯(cuò)誤；f=3s時(shí)，振子在負(fù)的最大位移處，速度為零，加速度為正的最大值，C

項(xiàng)錯(cuò)誤；f=4s時(shí)，振子位于平衡位置，速度為正的最大值，加速度為零，D項(xiàng)錯(cuò)誤。

2.［簡諧運(yùn)動(dòng)圖像的應(yīng)用］

（多選）甲、乙兩彈簧振子，振動(dòng)圖像如圖所示，則可知（）

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A.甲速度為零時(shí)，乙加速度最大

B.甲加速度為零時(shí)，乙速度最小

C.1.25~1.5s時(shí)間內(nèi)，甲的回復(fù)力大小增大，乙的回復(fù)力大小減小

D.甲、乙的振動(dòng)頻率之比/甲：/z=l：2

解析：選CD由題圖可知，甲運(yùn)動(dòng)到最大位移處(速度為零)時(shí)，乙剛好運(yùn)動(dòng)到平衡位

置，加速度為零，速度最大，A錯(cuò)誤；甲運(yùn)動(dòng)到平衡位置(加速度為零)時(shí)，乙也運(yùn)動(dòng)到平衡

位置，速度最大，B錯(cuò)誤；由|尸|=?|x|可知，C正確；甲做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期7>=2.0s,乙做

簡諧運(yùn)動(dòng)的周期T心=1.0s,甲、乙的振動(dòng)周期之比T甲：T匕=2：1,根據(jù)周期與頻率成反

比，可知甲、乙的振動(dòng)頻率之比/甲：/匕=1：2,D正確。

【要點(diǎn)解讀】

1.對簡諧運(yùn)動(dòng)圖像的認(rèn)識

(1)簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像是一條正弦或余弦曲線，如圖甲、乙所示。

(2)圖像反映的是位移隨時(shí)間的變化規(guī)律，隨時(shí)間的增加而延伸，圖像不代表質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的

軌跡。

2.由簡諧運(yùn)動(dòng)圖像可獲取的信息

(1)確定振動(dòng)的振幅A和周期7。(如圖所示)

⑵確定質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的位移。

⑶判斷各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向

①下一時(shí)刻位移若增加，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向是遠(yuǎn)離平衡位置；

②下一時(shí)刻位移如果減小，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向指向平衡位置。

(4)判斷質(zhì)點(diǎn)各時(shí)刻的加速度(回復(fù)力)的大小和方向

從圖像讀取的大小a的大小

JF=kxrFF=ma

大小及方向及方向及方向

(5)判斷質(zhì)點(diǎn)各時(shí)刻的勢能、動(dòng)能的大?。嘿|(zhì)點(diǎn)的位移越大，它所具有的勢能越大，動(dòng)能

則越小。

考點(diǎn)三單擺及其周期公式［互動(dòng)共研類］

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1.單擺的受力特征

(1)回復(fù)力：擺球重力沿與擺線垂直方向的分力，F(xiàn)B=7Mgsine=^x=-kx,負(fù)號表示

回復(fù)力月回與位移x的方向相反。

⑵向心力：擺線的拉力和擺球重力沿?cái)[線方向分力的合力充當(dāng)向心力，F(xiàn)=FT-mgcos

心

(3)兩點(diǎn)說明

①當(dāng)擺球在最高點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)P3=—=0,FT=mgcos0Q

②當(dāng)擺球在最低點(diǎn)時(shí)，尸向=幽產(chǎn)，尸向最大，F(xiàn)r=，〃g+渭

2.周期公式7=2力1的兩點(diǎn)說明

(1)，為等效擺長，表示從懸點(diǎn)到擺球重心的距離。

(2)g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣取?/p>

［例2］(2019?全國卷II)如圖，長為/的細(xì)繩下方懸掛一小球明繩的另一端固定在天花

板上。點(diǎn)處，在。點(diǎn)正下方也的。,處有一固定細(xì)鐵釘。將小球向右拉開，使ri

細(xì)繩與豎直方向成一小角度(約為2。)后由靜止釋放，并從釋放時(shí)開始計(jì)時(shí)。當(dāng)I

小球。擺至最低位置時(shí)，細(xì)繩會受到鐵釘?shù)淖钃?。設(shè)小球相對于其平衡位置的°'\\

水平位移為x,向右為正。下列圖像中，能描述小球在開始一個(gè)周期內(nèi)的x-f關(guān)

系的是()

［解析］擺長為/時(shí)單擺的周期71=2振幅Ai=/sin

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；=母，振幅A2=1zsin/J(JJ為

a（a為擺角）；擺長為了時(shí)單擺的周期T2=2n

擺角）。根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mg?l—cos”）=機(jī)監(jiān)1—cos0,利用cosa=l—2sin吟，cos0

2

=1—Isin^,以及sina=tana=a（a很?。?，解得0=2a,故A2=［AI,故選項(xiàng)A正確。

［答案］A

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［單擺的振動(dòng)圖像及應(yīng)用］

（多選）圖甲中擺球表面包有一小塊橡皮泥，在豎直平面內(nèi)其振動(dòng)圖像如圖乙所示，某時(shí)

刻橡皮泥瞬間自然脫落，不考慮單擺擺長的變化，則下列說法正確的是（）

A.f=0時(shí)刻橡皮泥脫落，此后單擺周期T<4s

B.t=ls時(shí)刻橡皮泥脫落，此后單擺周期T=4s

C.t=ls時(shí)刻橡皮泥脫落，此后單擺周期T>4s

D.f=0時(shí)刻橡皮泥脫落，此后單擺振幅A=10cm

解析：選BD因?yàn)樽匀幻撀洌鹌つ嗯c擺球之間無相互作用且擺長不變，則擺球仍在

原范圍內(nèi)振動(dòng)，振幅不變，周期不變，所以選項(xiàng)B、D正確。

2.［單擺周期公式的應(yīng)用］

（2020?全國卷U）用一個(gè)擺長為80.0cm的單擺做實(shí)驗(yàn)，要求擺動(dòng)的最大角度小于5。，則

開始時(shí)將擺球拉離平衡位置的距離應(yīng)不超過cm（保留1位小數(shù)）。（提示：單擺被拉

開小角度的情況下，所求的距離約等于擺球沿圓弧移動(dòng)的路程。）

某同學(xué)想設(shè)計(jì)一個(gè)新單擺，要求新單擺擺動(dòng)10個(gè)周期的時(shí)間與原單擺擺動(dòng)11個(gè)周期的

時(shí)間相等。新單擺的擺長應(yīng)該取為cm。

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解析：結(jié)合題意所求的距離近似等于弧長，則〃=灰心X27rx80.0cmQ6.98cm,結(jié)合題

中保留1位小數(shù)和擺動(dòng)最大角度小于5?？芍荒芴?.0,應(yīng)填6.90由單擺的周期公式T=

24可知，單擺的周期與擺長的平方根成正比，即什也又由題意可知舊單擺周期與新

單擺周期之比為10：11,貝瑞=個(gè)*"；解得/'=96.8cm。

答案：6.996.8

3.［類單擺問題］

如圖所示，AC8為光滑弧形槽，弧形槽半徑為R,C為弧形槽最低點(diǎn)，，甲

R》AB。甲球從弧形槽的球心處自由下落，乙球從A點(diǎn)由靜止釋放，求：>

(1)兩球第1次到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間之比；Q—i一,

(2)若在弧形槽的最低點(diǎn)C的正上方人處由靜止釋放甲球，讓其自由下落，同時(shí)將乙球從

弧形槽左側(cè)由靜止釋放，欲使甲、乙兩球在弧形槽最低點(diǎn)C處相遇，則甲球下落的高度/,是

多少。

解析：(1)甲球做自由落體運(yùn)動(dòng)

R=^gti2,所以友=、居

乙球沿弧形槽做簡諧運(yùn)動(dòng)(由于AC《R,可認(rèn)為偏角，<5。)。此運(yùn)動(dòng)與一個(gè)擺長為衣的

單擺運(yùn)動(dòng)模型相同，故此等效擺長為R,因此乙球第1次到達(dá)C處的時(shí)間為

所以〃：t?=:710

(2)甲球從離弧形槽最低點(diǎn)/i高處自由下落，到達(dá)C點(diǎn)的

由于乙球運(yùn)動(dòng)的周期性，所以乙球到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間為

Z=^+n^=~\J^(2n+1)("=0,1,2,…)

由于甲、乙兩球在C點(diǎn)相遇，故1甲=，匕

,、片“p(2n+l)2n2R

聯(lián)工解付h=(“=0,1,2,…)。

O

(2.+1)2砂大

答案：(1)2g：K(2)-("=0,1,2,…)

8

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考點(diǎn)四受迫振動(dòng)和共振［素養(yǎng)自修類］

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［受迫振動(dòng)和共振的理解］

（多選）某振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率為胃，在周期性驅(qū)動(dòng)力的作用下做受迫振動(dòng)，驅(qū)動(dòng)力的頻

率為人若驅(qū)動(dòng)力的振幅保持不變，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)戶■/；）時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)的振幅隨/增大而減小

B.當(dāng)止久時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)的振幅隨/減小而增大

C.該振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)穩(wěn)定后，振動(dòng)的頻率等于弁

D.該振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)穩(wěn)定后，振動(dòng)的頻率等于7

解析：選BD振動(dòng)系統(tǒng)做受迫振動(dòng)的振幅A隨驅(qū)動(dòng)力的頻率變化的40,

規(guī)律如圖所示，顯然選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；穩(wěn)定時(shí)系統(tǒng)的頻率等于驅(qū)

動(dòng)力的頻率，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確。JV,

2.［共振曲線的理解］

（多選）兩單擺分別在受迫振動(dòng)中的共振曲線如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.若兩擺的受迫振動(dòng)分別在月球上和地球上進(jìn)行，且擺長相同，則圖線I表示月球上

單擺的共振曲線

B.若兩擺的受迫振動(dòng)是在地球上同一地點(diǎn)進(jìn)行，則兩擺擺長之比L:a=25：4

C.若圖線II表示在地球上完成的，則該單擺擺長約為1m

D.若擺長均為1m,則圖線I表示在地球上完成的

解析：選ABC題圖中振幅最大處對應(yīng)的頻率與做受迫振動(dòng)的單擺的固有頻率相等，

從題圖上可以看出，兩擺的固有頻率力=0.2Hz,加=0.5Hz?當(dāng)兩擺在月球和地球上分別

做受迫振動(dòng)且擺長相等時(shí)，根據(jù)關(guān)系式f=±\軻知,g越大，/越大，所以g“>gj因?yàn)?/p>

g地Ag月，因此可推知圖線I表示月球上單擺的共振曲線，A正確；若兩擺在地球上同一地

點(diǎn)做受迫振動(dòng)，g相同，且碎'=上1，所以肝=苧，B正確；/II=0.5Hz,若圖

線II表示在地球上完成的，根據(jù)g=9.8m/s2,可計(jì)算出卻約為Im,C正確，D錯(cuò)誤。

第11頁，共105頁

3.［共振現(xiàn)象的應(yīng)用］

偏心輪

共振篩示意圖如圖所示，共振篩振動(dòng)的固有頻率為5Hz,為使共振篩?

發(fā)生共振，使其工作效率達(dá)到最高，則偏心輪的轉(zhuǎn)速為()篩｝X

A.5r/sB.10r/s

C.0.2r/sD.300r/s

解析：選A共振是指機(jī)械系統(tǒng)所受驅(qū)動(dòng)力的頻率與該系統(tǒng)的固有頻率相接近時(shí)，系統(tǒng)

振幅顯著增大的現(xiàn)象。共振篩中，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率和共振篩的固有頻率相等時(shí)，共振篩發(fā)生共

振，共振篩的振幅最大。根據(jù)題意，共振篩的固有頻率為5Hz,電動(dòng)機(jī)某電壓下，電動(dòng)偏心

輪的頻率應(yīng)該等于共振篩的頻率，周期r=1s

則轉(zhuǎn)速"=*=5r/s,故選A。

【要點(diǎn)解讀】

1.自由振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振的比較

振動(dòng)類型自由振動(dòng)受迫振動(dòng)共振

受力情況僅受回復(fù)力受驅(qū)動(dòng)力受驅(qū)動(dòng)力

由系統(tǒng)本身性質(zhì)決由驅(qū)動(dòng)力的周期或頻

振動(dòng)周期T驅(qū)=To或

定，即固有周期G或率決定，即7=7,或

或頻率/驅(qū)二加

固有頻率I/i)/=/?

振動(dòng)物體的機(jī)械能不由產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)力的物體振動(dòng)物體獲得的能量

振動(dòng)能量

變提供最大

彈簧振子或單擺機(jī)械工作時(shí)底座發(fā)生共振篩、聲音的共鳴

常見例子

(0W5°)的振動(dòng)等

2.對共振的理解

⑴共振曲線

如圖所示，橫坐標(biāo)為驅(qū)動(dòng)力的頻率力縱坐標(biāo)為振幅A。它直觀地反

映了驅(qū)動(dòng)力的頻率對某固有頻率為h的振動(dòng)系統(tǒng)做受迫振動(dòng)時(shí)振幅的影

響，由圖可知，/與1/；)越接近，振幅A越大；當(dāng)/=,時(shí)，振幅A最大?！??

(2)受迫振動(dòng)中系統(tǒng)能量的轉(zhuǎn)化

做受迫振動(dòng)的系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒，系統(tǒng)與外界時(shí)刻進(jìn)行能量交換。

第12頁，共105頁

基礎(chǔ)題目練熟練快增分題目練透提能

1.正在運(yùn)轉(zhuǎn)的洗衣機(jī)，當(dāng)其脫水桶轉(zhuǎn)得很快時(shí)，機(jī)身的振動(dòng)并不強(qiáng)烈，切斷電源，轉(zhuǎn)動(dòng)

逐漸停下來，到某一時(shí)刻t,機(jī)身反而會發(fā)生強(qiáng)烈的振動(dòng)，此后脫水桶轉(zhuǎn)速繼續(xù)變慢，機(jī)身

的振動(dòng)也隨之減弱，針對這種現(xiàn)象的分析說法正確的是（）

A.在，時(shí)刻脫水桶的慣性最大

B.在，時(shí)刻脫水桶的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率最大

C.在，時(shí)刻洗衣機(jī)發(fā)生共振

D.純屬偶然現(xiàn)象，并無規(guī)律

解析：選C慣性是物體本身的性質(zhì)，只與物體的質(zhì)量有關(guān)，A錯(cuò)誤；機(jī)身做受迫振動(dòng)

的頻率與脫水桶的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率相等，當(dāng)脫水桶的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率與機(jī)身的固有頻率相等時(shí)機(jī)身發(fā)生共

振，振幅最大，C正確，B、D錯(cuò)誤。

2.（多選）如圖甲所示，彈簧振子以點(diǎn)。為平衡位置，在4、5兩點(diǎn)之間做簡諧運(yùn)動(dòng)，取

向右為正方向，振子的位移x隨時(shí)間f的變化如圖乙所示。下列說法正確的是（）

AOB

甲乙

A.f=0.8s時(shí)，振子的速度方向向左

B"=0.2s時(shí)，振子在O點(diǎn)右側(cè)6cm處

C.f=0.4s和f=L2s時(shí)，振子的加速度完全相同

D.f=0.4s到f=0.8s的時(shí)間內(nèi)，振子的速度逐漸增大

解析：選AD由題圖知，f=0.8s時(shí)，振子在平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，所以速度方向向

左，A正確；由題圖乙可知，彈簧振子的振動(dòng)方程為x=Asino/=12sinGk，cm,當(dāng)f=0.2s

時(shí)，x=6\l2cm,即振子在。點(diǎn)右側(cè)cm處，B錯(cuò)誤；f=0.4s和f=L2s時(shí)，振子的加

速度大小相等，方向相反，C錯(cuò)誤；f=0.4s到f=0.8

第13頁，共105頁

s的時(shí)間內(nèi)，振子向平衡位置運(yùn)動(dòng)，速度逐漸增大，D正確。

3.（多選）關(guān)于單擺，下列說法正確的是（）

A.將單擺由沈陽移至廣州，單擺周期變大

B.單擺的周期公式是由惠更斯總結(jié)得出的

C.將單擺的擺角從4。改為2°,單擺的周期變小

D.當(dāng)單擺的擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，擺球的速度最大

解析：選ABD將單擺由沈陽移至廣州，因重力加速度減小，根據(jù)T=2TT^|可知，單

擺周期變大，選項(xiàng)A正確；單擺的周期公式是由惠更斯總結(jié)得出的，選項(xiàng)B正確；單擺的

周期與擺角無關(guān)，將單擺的擺角從4。改為2。，單擺的周期不變，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)單擺的擺

球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，擺球的速度最大，選項(xiàng)D正確。

4.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.在同一地點(diǎn)，單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期的平方與其擺長成正比

B.彈簧振子做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)的勢能與動(dòng)能之和保持不變

C.在同一地點(diǎn)，當(dāng)擺長不變時(shí)，擺球質(zhì)量越大，單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期越小

D.系統(tǒng)做穩(wěn)定的受迫振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)的頻率等于周期性驅(qū)動(dòng)力的頻率

解析：選C根據(jù)單擺周期公式可以知道，在同一地點(diǎn)，重力加速度g為定

值，故周期的平方與其擺長成正比，故選項(xiàng)A正確；彈簧振子做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有動(dòng)能和勢

能相互轉(zhuǎn)化，根據(jù)機(jī)械能守恒條件可以知道，振動(dòng)系統(tǒng)的勢能與動(dòng)能之和保持不變，故選項(xiàng)

B正確；根據(jù)單擺周期公式可以知道，單擺的周期與質(zhì)量無關(guān)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)系統(tǒng)做穩(wěn)定的受迫振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)的頻率等于周期性驅(qū)動(dòng)力的頻率，故選項(xiàng)D正確。

5.（多選）（2020?浙江省溫州模擬）將一單擺向左拉至水平標(biāo)志線上,

從靜止釋放，當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，擺線碰到障礙物，擺球繼續(xù)向右

擺動(dòng)。用頻閃照相機(jī)拍到如圖所示的單擺運(yùn)動(dòng)過程的頻閃照片，以下說

法正確的是（）

A.這個(gè)實(shí)驗(yàn)說明了動(dòng)能和勢能可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化過程中機(jī)械能守恒

B.擺線碰到障礙物前后的擺長之比為9：4

C.擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，線速度不變，半徑減小，擺線張力變大

D.擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，角速度變大，半徑減小，擺線張力不變

第14頁，共105頁

解析：選ABC擺線即使碰到障礙物，擺線的拉力對小球也不做功，整個(gè)過程中只有

重力做功，所以機(jī)械能守恒，其仍能回到原來的高度，故A正確；頻閃照相機(jī)拍攝的時(shí)間間

隔一定，由題圖可知，擺線碰到障礙物前、后的周期之比為3：2,根據(jù)單擺的周期公式T=

2c得擺長之比為9：4,故B正確；擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，線速度不變，半徑變小，根

浮，

據(jù)尸一機(jī)且=M7知，張力變大，根據(jù)容=①r,知角速度增大，故C正確，D錯(cuò)誤。

6.（多選）受迫振動(dòng)的演示裝置如圖所示，在一根張緊的繩子上懸掛幾個(gè)擺球，可以用一

個(gè)單擺（稱為“驅(qū)動(dòng)擺”）驅(qū)動(dòng)另外幾個(gè)單擺。下列說法正確的是（）

0OCE

AB

A.某個(gè)單擺擺動(dòng)過程中多次通過同一位置時(shí)，速度可能不同而加速度一定相同

B.如果驅(qū)動(dòng)擺的擺長為則其他單擺的振動(dòng)周期都等于2

C.如果驅(qū)動(dòng)擺的擺長為I,振幅為A,若某個(gè)單擺的擺長大于振幅也大于A

D.如果某個(gè)單擺的擺長等于驅(qū)動(dòng)擺的擺長，則這個(gè)單擺的振幅最大

解析：選ABD某個(gè)單擺擺動(dòng)過程中多次通過同一位置時(shí)，速度大小相等但方向可能

不同，根據(jù)尸=—fcr可得，加速度〃=5=1%，故加速度一定相同，A正確；如果驅(qū)動(dòng)擺

的擺長為I,根據(jù)單擺的周期公式有r=20Q,而其他單擺都做受迫振動(dòng)，故其振動(dòng)周期都

等于驅(qū)動(dòng)擺的周期，B正確；當(dāng)做受迫振動(dòng)的單擺的固有周期等于驅(qū)動(dòng)擺的周期時(shí)，做受迫

振動(dòng)的單擺的振幅最大，故某個(gè)單擺的擺長大，振幅不一定也大，C錯(cuò)誤；同一地區(qū)，單擺

的固有頻率只取決于單擺的擺長，則當(dāng)擺長等于驅(qū)動(dòng)擺的擺長時(shí)，單擺的振幅能夠達(dá)到最大，

這種現(xiàn)象稱為共振，D正確。

7.（多選）下列說法正確的是（）

A.擺鐘走得快了必須調(diào)短擺長，才可能使其走時(shí)準(zhǔn)確

B.在連續(xù)均勻的海浪沖擊下，停在海面的小船上下振動(dòng)，是共振現(xiàn)象

C.部隊(duì)要便步通過橋梁，是為了防止橋梁發(fā)生共振而坍塌

D.較弱聲音可以震碎玻璃杯，是因?yàn)椴ＡПl(fā)生了共振

解析：

第15頁，共105頁

選CD擺鐘走得快了說明擺的周期短，需要增大單擺的周期，根據(jù)單擺的周期公式T

=2小噌可知,必須增大擺長，才可能使其走得準(zhǔn)確，故A錯(cuò)誤；停在海面的小船上下振動(dòng)，

是受迫振動(dòng)，故B錯(cuò)誤；部隊(duì)經(jīng)過橋梁時(shí)，如果士兵行走的頻率和橋梁的固有頻率相等，則

會發(fā)生共振，為了防止橋梁發(fā)生共振而坍塌，土兵要便步通過橋梁，故C正確；當(dāng)聲音的頻

率等于玻璃杯的固有頻率時(shí)，杯子發(fā)生共振而破碎，則D正確。

8.如圖所示，一豎直圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，固定在圓盤上的小圓柱帶動(dòng)一T形支架在豎直方向振

動(dòng)，T形支架的下面系著一彈簧和小球組成的振動(dòng)系統(tǒng)，小球浸沒在水中。當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)一會

靜止后，小球做（選填“阻尼"''自由"或“受迫”）振動(dòng)。若彈簧和小球構(gòu)成的系

統(tǒng)振動(dòng)頻率約為3Hz,現(xiàn)使圓盤以4s的周期勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間后，小球振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)

定，小球的振動(dòng)頻率為Hz。逐漸改變圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)周期，當(dāng)小球振動(dòng)的振幅達(dá)到最大

時(shí)，此時(shí)圓盤的周期為so

解析：由于水對小球有阻力的作用，因此圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，小球做阻尼振動(dòng)；圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)

時(shí)帶動(dòng)小球做受迫振動(dòng)，因此小球振動(dòng)穩(wěn)定時(shí)的振動(dòng)頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率，即小球的振動(dòng)

頻率片:Hz=0.25Hz;當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率等于小球的固有頻率時(shí)小球振動(dòng)的振幅最大，即圓

盤的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率應(yīng)為3Hz,則圓盤的周期應(yīng)為：s。

答案：阻尼0.250.33（或§

9.如圖所示，一單擺懸于。點(diǎn)，擺長為/,若在。點(diǎn)的正下方的點(diǎn)釘一個(gè)光滑釘子,

使0。'=1，將單擺拉至A處釋放，小球?qū)⒃贏、B、C間來回振動(dòng)，若振動(dòng)中擺線與豎直

方向夾角小于5。，則此擺的周期是（）

第16頁，共105頁

10.（多選）簡諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像可用下述方法畫出：如圖甲所示，在彈簧振子的小球上

安裝一支繪圖筆P,讓一條紙帶在與小球振動(dòng)方向垂直的方向上勻速運(yùn)動(dòng)，筆P在紙帶上畫

出的就是小球的振動(dòng)圖像。取振子水平向右的方向?yàn)檎褡与x開平衡位置位移的正方向，紙帶

運(yùn)動(dòng)的距離代表時(shí)間，得到的振動(dòng)圖像如圖乙所示。下列說法正確的是（）

A.彈簧振子的周期為4s

B.彈簧振子的振幅為10cm

C./=17s時(shí)振子相對平衡位置的位移是10cm

D.若紙帶運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s,振動(dòng)圖像上1、3兩點(diǎn)間的距離是4cm

解析：選ABD周期是振子完成一次全振動(dòng)的時(shí)間，由題圖知，彈簧振子的周期為T

=4s,故A正確；振幅是振子離開平衡位置的最大距離，由題圖知，彈簧振子的振幅為10cm,

故B正確；振子的周期為4s,由周期性知，f=17s時(shí)振子相對平衡位置的位移與f=ls時(shí)

振子相對平衡位置的位移相同，為0,故C錯(cuò)誤；若紙帶運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s,振動(dòng)圖像上

1、3兩點(diǎn)間的距離為s=vf=2cm/sX2s=4cm,故D正確。

11.（多選）某實(shí)驗(yàn)小組在研究單擺時(shí)改進(jìn)了實(shí)驗(yàn)方案，將一力傳感器連接到計(jì)算機(jī)上。

圖甲中。點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將擺球（可視為質(zhì)點(diǎn)）拉至A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線處于張緊狀態(tài)。

由靜止釋放擺球，則擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來回?cái)[動(dòng)，其中8點(diǎn)為最低位置，Z

第17頁，共105頁

AOB=ACOB=a,a小于5。且大小未知，同時(shí)由計(jì)算機(jī)得到了擺線對擺球的拉力大小F

隨時(shí)間，變化的曲線，如圖乙所示（圖中所標(biāo)字母均為已知量），且圖中，=0時(shí)刻為擺球從A

點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻。已知擺長為，，重力加速度為g。根據(jù)題中（包括圖中）所給的信息，下列

說法正確的是（）

o

A.該單擺的周期為t2

B.可求出擺球的質(zhì)量

C.不能求出擺球在最低點(diǎn)B時(shí)的速度大小

D.若在地球的兩極做該實(shí)驗(yàn)，則測得單擺的周期最大

解析：選AB由題圖乙可知單擺的周期7=打，故A正確；在3點(diǎn)拉力尸有最大值，

浮

根據(jù)牛頓第二定律居lax一機(jī)g=w=在A、C兩點(diǎn)拉力F有最小值，F(xiàn)min=^gCOS<Z,由A

2

點(diǎn)到B點(diǎn)根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgZ（l—cosa）=^mvf由此可求得擺球的質(zhì)量m=

打麥小汨,在B點(diǎn)時(shí)的速度。=［尸（『啜寰嗎故B正確，c錯(cuò)誤；地球的兩極重

力加速度最大，若在地球的兩極做該實(shí)驗(yàn)，單擺周期為T=2n所以測得單擺的周

期最小，故D錯(cuò)誤。

12.（多選）如圖所示，兩根完全相同的彈簧和一根張緊的細(xì)線將甲、乙兩物塊束縛在光

滑水平面上，已知甲的質(zhì)量是乙的質(zhì)量的4倍，彈簧振子做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期7=2，^,式

中山為振子的質(zhì)量，左為彈簧的勁度系數(shù)。當(dāng)細(xì)線突然斷開后，兩物塊都開始做簡諧運(yùn)動(dòng)，

在運(yùn)動(dòng)過程中（）

A.甲的振幅是乙的振幅的4倍

B.甲的振幅等于乙的振幅

C.甲的最大速度是乙的最大速度的g

第18頁，共105頁

D.甲的振動(dòng)周期是乙的振動(dòng)周期的2倍

解析：選BCD細(xì)線斷開前，兩根彈簧上的彈力大小相同，彈簧的伸長量相同，細(xì)線

斷開后，兩物塊都開始做簡諧運(yùn)動(dòng)，簡諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置都在彈簧原長位置，所以它們的振

幅相等，A錯(cuò)誤，B正確；兩物塊做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能和勢能相互轉(zhuǎn)化，總機(jī)械能保持不變，

細(xì)線斷開前，彈簧的彈性勢能就是物塊開始做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的機(jī)械能，二者相等，根據(jù)機(jī)械能

守恒，可知在振動(dòng)過程中，它們的機(jī)械能相等，到達(dá)平衡位置時(shí)，它們的彈性勢能為零，動(dòng)

能達(dá)到最大，二者相等，因?yàn)榧椎馁|(zhì)量是乙的質(zhì)量的4倍，根據(jù)動(dòng)能公式可知甲的最大速度

是乙的最大速度的：，C正確；根據(jù)彈簧振子做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期公式7=2貯^^，甲的質(zhì)量

是乙的質(zhì)量的4倍，甲的振動(dòng)周期是乙的振動(dòng)周期的2倍，D正確。

13.如圖所示，物體A和5用輕繩相連，掛在輕彈簧下靜止不動(dòng)，4的質(zhì)量為機(jī)，3的質(zhì)

量為M,彈簧的勁度系數(shù)為鼠當(dāng)連接4、3的繩突然斷開后，物體A將在豎直方向上做簡

諧運(yùn)動(dòng)，則A振動(dòng)的振幅為()

A華B.竿K

(M+m)g(M+ni)g

C--k-D--2k-

解析：選A在物體A振動(dòng)的平衡位置處，彈簧彈力和A物體重力相等。物體8將A

拉至平衡位置以下最大位移心=坐處，故物體A振動(dòng)的振幅為華，A正確。

rV/C

14.彈簧振子以。點(diǎn)為平衡位置，在5、C兩點(diǎn)間做簡諧運(yùn)動(dòng)，在f=0時(shí)刻，振子從0、

3間的尸點(diǎn)以速度。向3點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；在/=0.2$時(shí)刻，振子速度第一次變?yōu)橐?。；在?0.5$時(shí),

振子速度第二次變?yōu)橐?。?/p>

(1)求彈簧振子的振動(dòng)周期T；

⑵若5、C之間的距離為25cm,求振子在4s內(nèi)通過的路程；

(3)若5、C之間的距離為25cm,從沿正方向通過平衡位置開始計(jì)時(shí)，寫出彈簧振子的

位移表達(dá)式，并畫出彈簧振子的振動(dòng)圖像。

第19頁，共105頁

解析：（1）畫出彈簧振子簡諧運(yùn)動(dòng)示意圖，如圖所示。

由對稱性可得T=0.5X2s=lSo___N—B

p'o_HL'

⑵若3、C之間距離為25cm

則振幅A=TX25cm=12.5cm

振子4s內(nèi)通過的路程

4

s=jX4X12.5cm=200cmo

(3)根據(jù)x=Asincot

2n

A=12.5cm,co=廳=2冗rad/s

得x=12.5sin(27t/)cm

振動(dòng)圖像如圖所示。

答案：(1)1s(2)200cm(3)x=12.5sin(2Mcm圖像見解析

實(shí)驗(yàn)十九用單擺測量重力加速度的大小

著眼”四層2?跪倒丈”〉》清單.記牢.悟透

一、基本原理與操作

原理裝置圖操作要領(lǐng)

1.原理1.讓細(xì)線的一端穿過金屬小球的小孔，然后打一個(gè)比小孔

當(dāng)偏角很?。ㄐ∮?。）時(shí)，單擺大一些的線結(jié)，做成單擺。

做簡諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T2.把細(xì)線的上端用鐵夾固定在鐵架臺上，把鐵架臺放在

=2^^|,周期與偏角的大小實(shí)驗(yàn)桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自然下垂，在單

擺平衡位置處做上標(biāo)記，如左圖所示。

及擺球的質(zhì)量無關(guān)，由此得到

3.用毫米刻度尺量出擺線長度用游標(biāo)卡尺測出擺球

g="。因此，只要測出擺長

的直徑，即得出金屬小球半徑r,計(jì)算出擺長/=〃+心

/和振動(dòng)周期T,就可以求出當(dāng)4.把單擺從平衡位置處拉開一個(gè)很小的角度（不超過5。），

地的重力加速度g的值。然后放開金屬小球，讓金屬小球擺動(dòng)，待擺動(dòng)平穩(wěn)后測出

2.裝置圖單擺完成30?50次全振動(dòng)所用的時(shí)間t

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,計(jì)算出金屬小球完成一次全振動(dòng)所用時(shí)間，這個(gè)時(shí)間就

是單擺的振動(dòng)周期，即7=為全振動(dòng)的次數(shù)），反復(fù)