人教版數(shù)學(xué)第九單元專題06正方形的性質(zhì)和判定題型專練（含解析）蘇科版八年級下冊

專題06正方形的性質(zhì)和判定（三大類型）【題型1正方形的概念和性質(zhì)】【題型2正方形的判定】【題型3正方形的性質(zhì)與判定綜合】【題型1正方形的概念和性質(zhì)】1．矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（）A．對角互補(bǔ) B．對角線互相垂直C．對角線互相平分 D．四邊相等2．如圖，四邊形ABCD是正方形，△PAD是等邊三角形，則∠BPC等于()A．20° B．30° C．35° D．40°3．若正方形的對角線長為2cm，則這個(gè)正方形的面積為（）A．4 B．2 C． D．4．如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，若△PAB是等邊三角形，則∠DPA的度數(shù)是（）A．60° B．75° C．80° D．90°5．如圖，E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作FA＝AE交CB的延長線于點(diǎn)F，若AB＝4，則四邊形AFCE的面積是（）A．4 B．8 C．16 D．無法計(jì)算6．如圖，以正方形的邊為一邊向內(nèi)作等邊，連接，則的度數(shù)為（

）

A．60° B．45° C．75° D．67.5°7．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，∠EFC=120°，若將四邊形EBCF沿EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上，則為（）A．70° B．65° C．30° D．60°8．如圖，以正方形ABCD的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．(2，2) B．(﹣2，2) C．(﹣2，﹣2) D．(2，﹣2)9．如圖，O是正方形ABCD的兩條對角線BD，AC的交點(diǎn)，EF過點(diǎn)O，若圖中陰影部分的面積為1，則正方形ABCD的周長為（

）

A．2

B． C．8

D．410．如圖，在正方形中，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．11．如圖，在正方形中，邊長為2的等邊三角形的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，則的面積為．

12．如圖，四邊形ABCD是一個(gè)正方形，E是BC延長線上一點(diǎn)，且AC＝EC，則∠DAE的度數(shù)為．【題型2正方形的判定】（2023春?浦東新區(qū)校級期末）13．如圖，已知四邊形是平行四邊形，那么添加下列條件能判定四邊形是正方形的是（

）

A．且 B．且和互相平分C．且 D．且（2023春?汝陽縣期末）14．小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先活動(dòng)學(xué)具成為圖1所示菱形，并測得∠B＝60°，對角線AC＝20cm，接著活動(dòng)學(xué)具成為圖2所示正方形，則圖2中對角線AC的長為（）

A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm（2023春?臨潁縣期中）15．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且BE=BF，添加一個(gè)條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是(

)A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF（2023?順德區(qū)校級三模）16．在四邊形中，E，F(xiàn)分別是邊，的中點(diǎn)，G、H分別是對角線，的中點(diǎn)，依次連接E，G，F(xiàn)、H得到的四邊形一定是（）A．平行四邊形 B．菱形C．矩形 D．正方形（2023?雁塔區(qū)校級二模）17．如圖，在矩形中，對角線，交于點(diǎn)O，要使該矩形成為正方形，則應(yīng)添加的條件是（

）

A． B．C． D．（2023春?黃岡期中）18．如圖，在△ABC中，O是AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，若點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，且∠ACB=(

)時(shí)，則四邊形AECF是正方形．A．30° B．45° C．60° D．90°（2023?合陽縣校級一模）19．如圖，四邊形的對角線、相交于點(diǎn)，下列條件中，能判定四邊形是正方形的是（

）A．B．，，C．，D．，（2023?原平市模擬）20．小華在復(fù)習(xí)四邊形的相關(guān)知識時(shí)，繪制了如下圖所示的框架圖，④號箭頭處可以添加的條件是．（寫出一種即可）

【題型3正方形的性質(zhì)與判定綜合】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）21．如圖，已知，小紅作了如下操作：分別以，為圓心，的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)，，依次連接，，，，則四邊形的形狀是(

)A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形（2023春?岱岳區(qū)期末）22．小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個(gè)條件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使?ABCD為正方形（如圖），現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的是（）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④（2022春?河西區(qū)期末）23．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，并且，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B．C．四邊形EFPQ是正方形 D．四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半（2022春?新泰市期中）24．如圖，在正方形中，點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OM、ON分別交BC、CD于點(diǎn)E、F，且，OC、EF交于點(diǎn)G．給出下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積為正方形面積的；④．其中正確的為．（將正確的序號都填入）（2023?貴陽模擬）25．如圖，點(diǎn)E是正方形對角線上一點(diǎn)，，垂足分別為F，G．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若正方形的周長是，當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是正方形．（2022秋?綏德縣期中）26．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，且，．(1)求證：四邊形ABCD是正方形；(2)若，，求四邊形ABCD的面積．（2023秋?威寧縣校級期末）27．如圖1，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作，交BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．(1)求證：矩形DEFG是正方形；(2)若，求CG的長；(3)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．（2022春?富縣期末）28．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)D，，．(1)求證：四邊形為正方形；(2)若，求四邊形的面積．（2022春?嶧城區(qū)期中）29．問題解決：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，，于點(diǎn)G．(1)求證：四邊形ABCD是正方形；(2)延長CB到點(diǎn)H，使得，判斷的形狀，并說明理由．（2022春?東臺市期中）30．如圖，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分線交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A分別作直線CE，CF的垂線，點(diǎn)B，D為垂足．(1)∠EAF＝（直接寫結(jié)果）．(2)①求證：四邊形ABCD是正方形．②若BE＝EC＝2，求DF的長．參考答案：1．C【分析】A中菱形對角不互補(bǔ)，則錯(cuò)誤，B中矩形對角線不互相垂直，則錯(cuò)誤，C中平行四邊形的對角線互相平分，以上三個(gè)圖形都是平行四邊形，正確，D三個(gè)圖形中，矩形四邊不相等，錯(cuò)誤．【詳解】解：A．菱形對角不互補(bǔ)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．矩形對角線不互相垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．平行四邊形的對角線互相平分，以上三個(gè)圖形都是平行四邊形，故本選項(xiàng)正確；D．三個(gè)圖形中，矩形四邊不相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，主要從對角線著手考查的，正方形是平行四邊形得最典型的圖形．2．B【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，△PAD是等邊三角形，∴∠BAP=∠BAD+∠PAB=90°+60°=150°．∵PA=AD，AB=AD，∴PA=AB，∴∠ABP==15°，∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=90°-15°=75°，同理：∠PCB=75°，∴∠BPC=180°-75°-75°=30°．故選：B．3．B【分析】連接BD，利用正方形的面積等于對角線的積的一半計(jì)算即可．【詳解】如圖，連接BD，

正方形ABCD中，，則BD=AC=2，正方形的面積為=，故選B．4．B【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠CBA=90°，∵△PAB是等邊三角形，∴∠PAB=∠PBA=60°，PA=PB=AB，∴∠DAP=∠CBP=30°，AP=DA，，故選B5．C【分析】先證明可得從而可得答案.【詳解】解：正方形ABCD，AB＝4，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是小學(xué)涉及的正方形的性質(zhì)，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵.6．C【分析】在正方形ABCD中，△ABE是等邊三角形，可求出∠ABE的大小以及推斷出BC＝BE，從而可求出∠BEC．【詳解】在正方形中，．是等邊三角形，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)推知BE＝BC是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】依據(jù)正方形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，即可得到=60°．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴ABCD，∠A=90°，∴∠BEF+∠EFC=180°，∵∠EFC=120°，∴∠BEF=180°-∠EFC=60°，∵將四邊形EBCF沿EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上，∴∠BEF==60°，∴=180°-∠BEF-=60°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能綜合性運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于y軸對稱以及關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的特點(diǎn)即可得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵以正方形ABCD的中心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為：（﹣2，2）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形與坐標(biāo)，掌握關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】設(shè)正方形邊長為a，由△AOF≌△COE，可知陰影面積等于△DOC的面積，進(jìn)而求出邊長a．【詳解】設(shè)正方形邊長為a，由題意可知，AO=OC，∠FAO=∠OCE，∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴陰影面積等于△DOC的面積，∴×a2=1，a=2，∴正方形ABCD的周長為8，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，還考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)．10．D【分析】先利用正方形的性質(zhì)證明四邊形為矩形和是等腰直角三角形，進(jìn)而證得，利用勾股定理和正方形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：在正方形中，，，，，∴四邊形為矩形，是等腰直角三角形，∴，∴，∵正方形的邊長為，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形得判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，得到是解答的關(guān)鍵．11．1【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)分別得到，，由此可證明得到，進(jìn)一步證明是等腰直角三角形，得到，再利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵是邊長為2的等邊三角形，∴，∴，∴，∴，即，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，證明是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．12．22.5°【分析】由四邊形ABCD是一個(gè)正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得∠ACB=45°，又由AC=EC，根據(jù)等邊對等角，可得∠E=∠CAE，繼而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和求得∠EAC的度數(shù)，進(jìn)一步即可求得∠DAE的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，又∵，∴，則．故答案為：22.5°【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．13．D【分析】根據(jù)正方形的判定方法，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形，∴，不能證明四邊形是正方形，不符合題意；B、∵四邊形是平行四邊形，∴和互相平分，∵，∴四邊形是菱形，不能證明四邊形是正方形，不符合題意；C、∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形，∴，不能證明四邊形是正方形，不符合題意；D、∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形，又，∴四邊形是正方形，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定．熟練掌握正方形的判定方法：對角線相等的菱形是正方形，鄰邊相等的矩形是正方形，是解題的關(guān)鍵．14．D【分析】如圖1，圖2中，連接AC．在圖1中，證△ABC是等邊三角形，得出AB=BC=AC=20cm．在圖2中，由勾股定理求出AC即可．【詳解】解：如圖1，圖2中，連接AC．

圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝20cm，在圖2中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝20cm；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形和正方形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．15．D【詳解】解：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF；∵BF=BE，∴BE=EC=CF=BF；∴四邊形BECF是菱形．當(dāng)BC=AC時(shí)，∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠EBC=45°；∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°．∴菱形BECF是正方形．故選項(xiàng)A不符合題意．當(dāng)CF⊥BF時(shí)，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)B不符合題意．當(dāng)BD=DF時(shí)，BC=EF，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)C不符合題意．當(dāng)AC=BD時(shí)，無法得出菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)D符合題意．故選D．16．A【分析】本題考查了三角形的中位線，平行四邊形的判定．熟練掌握三角形的中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定定理，是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而根據(jù)一組對邊平行且相等，證明四邊形是平行四邊形，即可求解．【詳解】∵四邊形中，E、F、G、H分別是、、、的中點(diǎn)，∴，．，．∴，，∴四邊形是平行四邊形．故選：A．17．A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及正方形的判定來添加合適的條件．【詳解】解：添加，則根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，能使矩形成為正方形．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定的應(yīng)用，能熟記正方形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．18．D【分析】根據(jù)正方形的判定定理去推理即可．【詳解】∵M(jìn)N∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∵CE是∠BCA的平分線，∴∠ECB=∠ECA，∴∠ECA=∠OEC，∴OE=OC，同理OC=OF，∵O是AC的中點(diǎn)，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠ACB=90°，∴AC=EF，AC⊥EF，∴邊形AECF是正方形．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定，熟練掌握正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．19．C【分析】根據(jù)正方形的判定方法對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析從而得到答案．【詳解】解：A、∵，∴四邊形是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵，，，∴四邊形是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵，，∴四邊形是正方形，故本選項(xiàng)符合題意；D、由，，不能判定四邊形是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定，掌握特殊四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．20．一組鄰邊相等（答案不唯一）【分析】根據(jù)正方形的判定定理進(jìn)行解答即可．【詳解】有一組鄰邊相等的矩形是正方形，添加的條件是一組鄰邊相等，故答案為：一組鄰邊相等．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定定理，有一組鄰邊相等的矩形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形；有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；對角線相等的菱形是正方形；熟練掌握正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．21．D【分析】先根據(jù)“四邊相等的四邊形是菱形”判斷四邊形的形狀，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出，最后根據(jù)“有一個(gè)角是直角的菱形是正方形”得出答案.【詳解】解：由題意得，cm，四邊形是菱形.∵，∴是直角三角形，∴，∴四邊形是正方形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊平行四邊形的判定，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵．22．B【詳解】A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)①AB=BC時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)②∠ABC=90°時(shí)，菱形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)正確，不合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)②∠ABC=90°時(shí)，平行四邊形ABCD是矩形，當(dāng)③AC=BD時(shí)，這是矩形的性質(zhì)，無法得出四邊形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)①AB=BC時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)③AC=BD時(shí)，菱形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)正確，不合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)②∠ABC=90°時(shí)，平行四邊形ABCD是矩形，當(dāng)④AC⊥BD時(shí)，矩形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)正確，不合題意．故選B．23．D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可證得△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠B=90°，又CQ=BP，∴AB-BP=BC-CQ，即AP=BQ在△AFP和△BPQ中，∵AF=BP，∠A=∠B，AP=BQ，∴△AFP≌△BPQ（SAS），∴∠AFP=∠BPQ，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；同理：△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，∴PF=PQ=QE=EF，∴四邊形EFPQ為菱形，∴EF∥QP，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；∵△AFP≌△BPQ∴∠BPQ=∠AFP，又∵∠A=90°，∴∠AFP+∠APF=90°，∴∠AFP+∠APF=∠BPQ+∠APF=90°，∴∠FPQ=180°-（∠BPQ+∠APF）=90°，∴四邊形EFPQ是正方形，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；設(shè)正方形ABCD的邊長為a，BP=AF=x，則，∴AB=a，∴，∴正方形EFPQ的面積為，而x的值無法確定，∴四邊形PQEF的面積不一定是四邊形ABCD面積的一半，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．24．①②③【分析】利用正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理計(jì)算判斷即可．【詳解】∵正方形，，∴，，∴，，∴，∴，，故①②正確；∵，∴，∴，∴，∵正方形，∴，∴，故③正確；∵正方形，∴，∴，無法判定，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．掌握相關(guān)判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三個(gè)角是90度的四邊形是矩形，即可得證；（2）根據(jù)正方形的周長，求出的長，進(jìn)而求出的長，再證明為等腰直角三角形，得到，推出，即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形為正方形，∴．∵，∴．又∵，∴四邊形是矩形；（2）∵正方形的周長是，∴．∵，∴，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴四邊形是正方形．26．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)AE=AF，可得∠AFE=∠AEF，再由∠CEF=45°，可得∠CFE=∠CEF=45°，從而得到∠AFC=∠AEC，進(jìn)而得到∠AFD=∠AEB，可證得ΔABE≌ΔADF，從而得到AB=AD，即可求證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再由勾股定理可得，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°，∵AE=AF，∴∠AFE=∠AEF，∵∠CEF=45°，∠C=90°，∴∠CFE=∠CEF=45°，∴∠AFC=∠AEC，∴∠AFD=∠AEB，∴ΔABE≌ΔADF（AAS），∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形．（2）解：∵由（1）可知：，又，，由勾股定理得：，∵四邊形ABCD是正方形，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．27．(1)見解析(2)2(3)【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；（2）通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問題．（3）根據(jù)角之間的關(guān)系解答即可．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作于，于，如圖，∵四邊形為正方形，.，，，.∵，，∴.在和中，∴，∴，∴矩形是正方形．（2）解：如圖，在中，，∵，∴，∴點(diǎn)與重合，此時(shí)是等腰直角三角形，．（3）解：當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．28．(1)見解析(2)512【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后利用角平分線和平行線的性質(zhì)證明，再利用等角對等邊得出，最后利用正方形的判定即可證明；（2）利用正方形的性質(zhì)得出，然后利用菱形的面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形．∵平分，∴．∵，∴．∴．∴．∴四邊形是菱形．∵，∴四邊形是正方形．（2）解：連接，∵四邊形是正方形，，∴，，∴．即四邊形的面積為512．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，證明是解第（1）問的關(guān)鍵，熟記菱形的面積公式是解（2）問的關(guān)鍵．29．(1)見解析(2)△AHF是等腰三角形，利用略【分析】（1）通過證明△ADE≌△BAF得到AD=AB，結(jié)合矩形ABCD得到結(jié)論；（2）利用垂直平分線的性質(zhì)得到AH=AF，得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在矩形ABCD中，∠DAE=∠ABF=90°，∵DE⊥AF，∴∠ADG+∠GAD=90°，又∵∠BAF+∠DAG=90°，∴∠BAF=∠ADE，在△ADE和△BAF中∴△ADE≌△