2025屆北京市豐臺(tái)區(qū)北京十二中高三下數(shù)學(xué)試題練習(xí)題（三）

2025屆北京市豐臺(tái)區(qū)北京十二中高三下數(shù)學(xué)試題練習(xí)題（三）注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則（）A．2 B． C． D．32．的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)是（）A．70 B．-70 C．28 D．-283．若復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B．C． D．5．設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)6．對(duì)于定義在上的函數(shù)，若下列說(shuō)法中有且僅有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的一個(gè)是（）A．在上是減函數(shù) B．在上是增函數(shù)C．不是函數(shù)的最小值 D．對(duì)于，都有7．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，使得是的中點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率為（）A． B． C．1 D．8．已知命題p：若，，則；命題q：，使得”，則以下命題為真命題的是（）A． B． C． D．9．本次模擬考試結(jié)束后，班級(jí)要排一張語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評(píng)順序表，若化學(xué)排在生物前面，數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．360種10．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，如果在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．11．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對(duì)二人進(jìn)行了測(cè)驗(yàn)，根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖（如圖，每項(xiàng)指標(biāo)值滿(mǎn)分為5分，分值高者為優(yōu)），則下面敘述正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B．甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C．乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D．乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲12．幻方最早起源于我國(guó)，由正整數(shù)1，2，3，……，這個(gè)數(shù)填入方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形數(shù)陣就叫階幻方．定義為階幻方對(duì)角線(xiàn)上所有數(shù)的和，如，則（）A．55 B．500 C．505 D．5050二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在長(zhǎng)方體中，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．14．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪(fǎng)了四位歌手，甲說(shuō)“是乙或丙獲獎(jiǎng).”乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng).”丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了”.丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng).”四位歌手的話(huà)只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是__________．15．定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足：①對(duì)任意的，都有；②當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的解析式可以是______________.16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)(a＞0)的一條漸近線(xiàn)方程為，則a＝_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）選修4—5；不等式選講．已知函數(shù)．(1)若的解集非空，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若正數(shù)滿(mǎn)足，為（1）中m可取到的最大值，求證：．18．（12分）三棱柱中，平面平面，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證：；（2）若直線(xiàn)與平面所成角為，求二面角的正切值.19．（12分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，且.（Ｉ）求角的大小；（Ⅱ）若，求面積的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.21．（12分）P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿(mǎn)足．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程．22．（10分）△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且．(1)求角的大小(2)若,△的面積,求△的周長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案．【詳解】，；；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值的求法，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意函數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用．2、A【解析】試題分析：由題意得，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，所以的系數(shù)是，故選A．考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．3、B【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，由它是純虛數(shù)，求得，從而確定對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】是純虛數(shù)，則，，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第二象限．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義．本題屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為邊長(zhǎng)為正方體挖去一個(gè)以為球心以為半徑球體的，如圖，故其表面積為，故選：B.【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．5、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，，，故函數(shù)是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤，為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，是奇函數(shù)，故正確．為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．6、B【解析】

根據(jù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可．【詳解】由得關(guān)于對(duì)稱(chēng)，若關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)在上不可能是單調(diào)的，故錯(cuò)誤的可能是或者是，若錯(cuò)誤，則在，上是減函數(shù)，在在上是增函數(shù)，則為函數(shù)的最小值，與矛盾，此時(shí)也錯(cuò)誤，不滿(mǎn)足條件．故錯(cuò)誤的是，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7、B【解析】

設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由題意得出，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合可求得的值，由此可得出直線(xiàn)的斜率.【詳解】由題意可知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由于點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立得，整理得，由韋達(dá)定理得，得，，解得，因此，直線(xiàn)的斜率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)斜率的求解，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題，涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.8、B【解析】

先判斷命題的真假,進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表,即可得答案.【詳解】，，因?yàn)?，，所以，所以，即命題p為真命題；畫(huà)出函數(shù)和圖象，知命題q為假命題,所以為真.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查真假命題的概念,以及真值表的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是判斷出命題的真假,難度較易.9、B【解析】

利用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列求解即可【詳解】第一步排語(yǔ)文，英語(yǔ)，化學(xué)，生物4種，且化學(xué)排在生物前面，有種排法；第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科除最后位置外的4個(gè)空擋中的2個(gè)，有種排法，所以不同的排表方法共有種.選.【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用，不相鄰采用插空法求解，準(zhǔn)確分步是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題10、B【解析】

根據(jù)條件先求出的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，，即，要使在區(qū)間上單調(diào)遞減，則得，得，即實(shí)數(shù)的最大值為，故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，屬于中檔題.11、D【解析】

根據(jù)雷達(dá)圖對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定敘述正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，甲的數(shù)據(jù)分析分，乙的數(shù)據(jù)分析分，甲低于乙，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，甲的建模素養(yǎng)分，乙的建模素養(yǎng)分，甲低于乙，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，乙的六大素養(yǎng)中，邏輯推理分，不是最差，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，甲的總得分分，乙的總得分分，所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲，故D選項(xiàng)正確.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)的和相等，可得，即得解.【詳解】因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)的和相等，所以階幻方對(duì)角線(xiàn)上數(shù)的和就等于每行（或每列）的數(shù)的和，又階幻方有行（或列），因此，，于是．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)陣問(wèn)題，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、C【解析】

根據(jù)確定是異面直線(xiàn)與所成的角，利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可得.因?yàn)?，所以是異面直線(xiàn)與所成的角，記為，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線(xiàn)夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.14、丙【解析】若甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁說(shuō)的都是錯(cuò)的，同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況，可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙．考點(diǎn)：反證法在推理中的應(yīng)用.15、（或，答案不唯一）【解析】

由可得是奇函數(shù)，再由時(shí)，可得到滿(mǎn)足條件的奇函數(shù)非常多，屬于開(kāi)放性試題.【詳解】在中，令，得；令，則，故是奇函數(shù)，由時(shí)，，知或等，答案不唯一.故答案為：（或，答案不唯一）.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，涉及到由表達(dá)式確定函數(shù)奇偶性，是一道開(kāi)放性的題，難度不大.16、3【解析】

雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，漸近線(xiàn)為，結(jié)合漸近線(xiàn)方程為可求.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)(a＞0)的漸近線(xiàn)為，且一條漸近線(xiàn)方程為，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，明確雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位置，寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程的對(duì)應(yīng)形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）討論三種情況去絕對(duì)值符號(hào)，可得所以，由此得，解得；（2）利用分析法，由（1）知，，所以，因?yàn)椋C，只需證，即證，只需證即可得結(jié)果.試題解析：（1）去絕對(duì)值符號(hào)，可得所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由（1）知，，所以．因?yàn)?，所以要證，只需證，即證，即證.因?yàn)?，所以只需證，因?yàn)?，∴成立，所以解法二：x2+y2=2，x、y∈R+，x+y≥2xy設(shè)：證明：x+y-2xy==令，∴原式====當(dāng)時(shí)，18、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）可證面，從而可得.（2）可證點(diǎn)為線(xiàn)段的三等分點(diǎn)，再過(guò)作于，過(guò)作，垂足為，則為二面角的平面角，利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量來(lái)計(jì)算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求.【詳解】證明：（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，而平面，故，又因?yàn)?，所以，則，又，故面，又面，所以.（2）由（1）可得：面在面內(nèi)的射影為，則為直線(xiàn)與平面所成的角，即.因?yàn)椋?，所以，所以，即點(diǎn)為線(xiàn)段的三等分點(diǎn).解法一：過(guò)作于，則平面，所以，過(guò)作，垂足為，則為二面角的平面角,因?yàn)?，，，則在中，有，所以二面角的平面角的正切值為.解法二：以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)，由得：，即，，，點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量，又，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則平面的一個(gè)法向量為.設(shè)二面角的平面角為，則，即，所以二面角的正切值為.【點(diǎn)睛】線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定可由線(xiàn)面垂直得到，也可以由兩條線(xiàn)所成的角為得到，而線(xiàn)面垂直又可以由面面垂直得到，解題中注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.空間中的角的計(jì)算，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計(jì)算歸結(jié)為向量的夾角的計(jì)算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計(jì)算歸結(jié)平面圖形中的角的計(jì)算.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ｉ）根據(jù)，利用二倍角公式得到，再由輔助角公式得到，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.（Ⅱ）根據(jù)（Ｉ）由余弦定理得到，再利用重要不等式得到，然后由求解.【詳解】（Ｉ）因?yàn)?，所以，，，或，或，因?yàn)?，所以所以；（Ⅱ）由余弦定理得：，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，又因?yàn)?，所以，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式，輔助角公式以及余弦定理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）求導(dǎo)得，分類(lèi)討論和，利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中求得的的單調(diào)性，得出在處取得最大值為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，推出，即可證明不等式.【詳解】解：（1）由于，得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上遞增；當(dāng)時(shí)，由，解得，若，則，若，，此時(shí)在遞增，在上遞減.（2）由（1）知在處取得最大值為：，設(shè)，則，令，則，則在單調(diào)遞減，∴，即，則在單調(diào)遞減∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類(lèi)討論和構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.21、（1）點(diǎn)M的軌跡C的方程為，軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓（2）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)可求得，代入圓的方程可得所求軌跡方程；根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，利用求得；利用韋達(dá)定理表示出與，根據(jù)平行四邊形和向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，消去后得到軌跡方程；根據(jù)求得的取值范圍，進(jìn)而得到最終結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則由知：