2025屆高三四月數(shù)學每周好題（第1周）

四月數(shù)學每周好題精選（第一周）1.已知奇函數(shù)的定義域為R，若為偶函數(shù)，且，則的值為()A.-1 B.0 C.1 D.22.設(shè)非零向量，，若，則()A. B. C. D.3.已知集合，，則()A. B. C. D.4.某個單位安排7位員工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，則不同的安排方案共有()A.504種 B.960種 C.1008種 D.1200種5.已知函數(shù)對任意都有，若在上的值域為，則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.6.已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前2025項和為()A. B. C.505 D.10137.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，，則()A.或 B. C.或 D.或8.在平行六面體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.9.（多選）已知某地7歲兒童的身高X（單位：cm）服從正態(tài)分布，且，則下列說法正確的是()A.從該地7歲兒童中任選1名兒童，其身高不低于的概率是0.5B.從該地7歲兒童中任選1名兒童，其身高低于的概率是0.7C.從該地7歲兒童中任選1名兒童，其身高超過與不超過的概率相等D.從該地7歲兒童中任選2名兒童，這2名兒童身高都高于的概率為0.1810.（多選）設(shè)正實數(shù)x，y滿足，則下列說法正確的是()A.的最小值為2 B.的最小值為1C.的最大值為4 D.的最小值為211.（多選）定義域為R的函數(shù)滿足，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則()A.的圖像關(guān)于點對稱 B.的圖像關(guān)于點對稱C. D.若，則12.（多選）函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，下列命題中正確的是()A.是函數(shù)的極值點 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.是函數(shù)的最小值點 D.在處切線的斜率小于零13.已知，為雙曲線的左、右焦點，圓與E相交于點P（點P位于第一象限），若，則E的離心率為________.14.已知復數(shù)z滿足，則________.15.笛卡爾坐標系是直角坐標系與斜角坐標系的統(tǒng)稱.如圖，在平面斜角坐標系xOy中，兩坐標軸的正半軸的夾角為，，分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量.若向量，則稱有序?qū)崝?shù)對為在該斜角坐標系下的坐標.若向量，在該斜角坐標系下的坐標分別為，，且，則實數(shù)k的值為_______________.16.已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若不等式恒成立，求整數(shù)a的最大值.17.如圖，在四棱錐中，，，底面是邊長為的菱形，.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面所成角的正切值為2，點Q滿足，求直線與平面所成角的余弦值.18.近年來畢業(yè)旅行的熱度明顯上升.對于遠程旅行，飛機和高鐵是兩種主要的出行方式.某平臺對2020～2024年畢業(yè)季畢業(yè)生購買飛機票的數(shù)量y（單位：萬張）進行了統(tǒng)計，得到如下相關(guān)數(shù)據(jù)：年份20202021202220232024年份代碼t12345y/萬張3036516078（1）分析上述統(tǒng)計表可知y與t有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程.（2）通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)女性比男性更愿意選擇坐高鐵出行.某平臺隨機抽查某天在該平臺（只出售飛機票和高鐵票）購票的400名畢業(yè)生（每人只購一張票）作為樣本，其中女性購買高鐵票的有N名，購買飛機票的有90名，男性購買高鐵票的有40名.（?。┊敃r，將樣本中購買飛機票的男性人數(shù)與樣本中購買飛機票的總?cè)藬?shù)的比例作為概率，用樣本估計總體，結(jié)合（1）的結(jié)果估計2026年畢業(yè)季在該平臺購買飛機票的畢業(yè)生中的男性人數(shù)（四舍五入保留整數(shù)）.（ⅱ）用樣本的頻率估計概率.設(shè)女性畢業(yè)生中購買飛機票的概率為p，從所有女性畢業(yè)生中隨機抽出5名，記恰好有3名女性購買飛機票的概率為，當取得最大值時，求N的值.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.

答案以及解析1.答案：A解析：∵為R上的奇函數(shù)，∴，則，即，∵為偶函數(shù)，∴，∴，，∴，，則，故選：A.2.答案：D解析：因為，所以，所以，因為非零向量，所以，所以，所以，故選：D.3.答案：B解析：因為對數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，所以由，得，則；因為指數(shù)函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以由，得，則，由此，.故選：B.4.答案：C解析：依題意，滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天的方法共有（種），其中滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班的方法共有（種）；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁在5月7日值班的方法共有(種)；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有(種).因此滿足題意的方法共有(種).故選：C.5.答案：A解析：依題意，其中，又因為對于任意，都有，則有，即，，解得，則，取，則，因為在上的值域為，則，解得.故選：A.6.答案：D解析：設(shè)首項為，因為，，成等比數(shù)列，所以，則，解得或，當時，，此時與，，成等比數(shù)列矛盾，故排除，當時，，此時令，而其前2025項和為.故選：D7.答案：D解析：的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，，可得，可得，可得，故，或，即或，又，可得，，，或.故選：D.8.答案：A解析：在平行六面體中，，，而，，則，，，，因此，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A9.答案：AC解析：因為，所以A正確；從該地7歲兒童中任選1名兒童，其身高低于的概率為，所以B錯誤；由，，可得C正確；從該地7歲兒童中任選2名兒童，這2名兒童身高都高于的概率為，所以D錯誤.故選AC.10.答案：AD解析：對于A，因為，，，所以，當且僅當時等號成立，所以的最小值為2，故A正確；對于B，，當且僅當時等號成立，所以的最大值為1，故B錯誤；對于C，，當且僅當時等號成立，所以，即的最大值為2，故C錯誤；對于D，，當且僅當時等號成立，所以的最小值為2，故D正確.故選：AD.11.答案：ACD解析：由，得，所以，所以的圖像關(guān)于點對稱，故選項A正確；由得，即，所以的圖像關(guān)于點對稱，又因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則，所以，所以，所以，即，所以是周期函數(shù)，且周期為，故選項B錯誤，C正確；若，且的圖像關(guān)于點對稱，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.12.答案：AB解析：根據(jù)導函數(shù)圖象可知：當時，，在時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B正確；則是函數(shù)的極小值點，故A正確；在上單調(diào)遞增，不是函數(shù)的最小值點，故C不正確；函數(shù)在處的導數(shù)大于0，切線的斜率大于零，故D不正確.故選：AB13.答案：解析：由圓，則圓以為直徑的圓，又由P是雙曲線與圓的交點，則，，由，則，，所以，在直角中，則，故.故答案為：.14.答案：解析：令，則有，即，，解得，即，.故答案為：.15.答案：14解析：由題意得，，，故，解得.故答案為：14.16.答案：(1)；(2)增區(qū)間，減區(qū)間；(3)解析：（1）函數(shù)的定義域為R，，則曲線在點處的切線為，即.（2）因為，時，由，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）依題知，恒成立，即恒成立，設(shè)，則，當時，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則恒成立，整理得.設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，且，，故整數(shù)a的最大值為.17.答案：(1)證明見解析(2)解析：（1）連接交于點O，連接，因為是菱形，所以，又因為O為的中點，，所以，又面，且，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）過P作交于點H，面面，，面面，面，所以面，因為，，面，，所以面，又面，所以，所以H為，的交點，為等邊三角形，所以H為的重心，設(shè)與交點為M，連接，則為二面角的平面角，因為，，在中，解得，因為，，所以，所以平面，以O(shè)為原點，，，所在直線為x，y，z軸建立如圖坐標系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得：，，即，又，設(shè)平面和直線所成的角為，則，所以.18.答案：（1）（2）（?。áⅲ┙馕觯海?）由題意得，，，，所以，，所以y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程為.（2）（?。┯深}意知，400名畢業(yè)生中男性有（名），故樣本中購買飛機票的男性有（名），樣本中購買飛機票