2024北京一六六中高一（下）期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2024北京一六六中高一（下）期中數(shù)學(xué)（考試時長：120分鐘）一、選擇題（每題4分，共10題）1.如圖，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點Z表示復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)=（）A. B. C. D.2.已知是第二象限角，，則（）A. B. C. D.3.在中，為BC邊上一點，且，設(shè)，則（）A. B. C. D.4.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B.5 C.7 D.255.在正六邊形中，，設(shè)，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.6.在中，角A，B，C的對邊分別是，點為邊BC上的一點，，則的面積為（）A. B. C. D.7.設(shè)非零向量，的夾角為，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.在中，，再從下列四個條件中選出兩個條件，①；②；③；④面積為；使得存在且唯一，則這兩個條件是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①④9.函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為（）A.無窮多個 B.4個 C.2個 D.0個10.已知圓的半徑為2，AB是圓的一條直徑，平面上的動點滿足，則當(dāng)不在直線AB上的時候，的面積的最大值為（）A. B. C.3 D.2二、填空題（每題5分，共5題）11.已知角的頂點位于坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則______.12.若復(fù)數(shù)，則的虛部為______.13.在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，張雷同學(xué)寫出一個命題“等式不可能成立．”請舉出一組內(nèi)角，，說明這個命題是假命題，其中，______，______.14.在梯形ABCD中，已知點為AB邊的中點，則的坐標(biāo)為______，設(shè)，若，且，則______.15.如圖，一幢高樓樓面上有一塊浮雕，上沿為C，下沿為，某班數(shù)學(xué)小組在斜坡坡腳處測得浮雕下沿的仰角滿足，在斜坡上的處測得滿足．已知斜坡與地面的夾角為滿足，，則浮雕的高度（上下沿之間的距離）為______m.三、解答題（共六小題，共85分）16.已知，設(shè)與的夾角為.（1）求；（2）若，求實數(shù)的值；（3）設(shè)，請直接寫出的最小值，并寫出此時的值．（無需寫明計算過程）.17.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是．（1）求的大?。唬?）若，求證：是正三角形．18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，使得關(guān)于的不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，．（1）當(dāng)時，在中，求邊上的中線的長度；（2）當(dāng)時，求的值；（3）請直接寫出能夠使等式成立的與的值．（無需寫明計算過程）.20.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，再從下面四個條件中選擇兩個作為已知，使得函數(shù)的解析式存在且唯一.①是的一個零點；②的最大值是；③是函數(shù)圖象的一個最小值點；④的圖象關(guān)于直線對稱．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的最大值.注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答給分.

參考答案一、選擇題（每題4分，共10題）1.【答案】B【分析】根據(jù)給定圖形，求出復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)，即可求出.【詳解】依題意，點的坐標(biāo)是，則，所以.故選：B2.【答案】C【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計算可得.【詳解】因為，所以.故選：C3.【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運算求解即得.【詳解】由為BC邊上一點，且，得，則，所以.故選：A4.【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出，再求出復(fù)數(shù)的模.【詳解】依題意，，所以.故選：B5.【答案】B【分析】利用數(shù)量積的定義，結(jié)合正六邊形的特征計算比較大小即得.【詳解】在正六邊形中，，，，，，而，則，所以.故選：B6.【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求出，再利用三角形面積公式計算即得.【詳解】在中，，由余弦定理得，即，整理得，而，解得，又，顯然是中點，所以的面積.故選：A7.【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律，以及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若，則，即，即，又，所以，故充分性成立；由，則，即，所以，則，故必要性成立；所以“”是“”的充要條件.故選：C8.【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合余弦定理、三角形面積公式，逐項分析計算得解.【詳解】對于A，由，，得，顯然，此時不能構(gòu)成三角形，A不是；對于B，由余弦定理得，解得，顯然是方程的兩個根，而，因此方程無實根，即①③不能構(gòu)成三角形，B不是；對于C，由余弦定理，得，即，而，解得，此時存在且唯一，C正確；對于D，由三角形面積公式，得，解得，顯然不成立，即①④不能構(gòu)成三角形，D不是.故選：C9.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)零點的意義變形，構(gòu)造函數(shù)并探討函數(shù)的最值即可得解.【詳解】當(dāng)時，由，即，得，當(dāng)時，恒成立，而恒成立，因此不成立，所以函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為0.故選：D10.【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用向量加法運算，結(jié)合數(shù)量積的運算律求出長，即可求出三角形面積的最大值.【詳解】依題意，，即有，因此，點到直線AB距離的最大值為1，所以面積的最大值為.故選：D二、填空題（每題5分，共5題）11.【答案】【分析】利用三角函數(shù)的定義直接求得結(jié)果.【詳解】依題意，點到原點距離，所以.故答案為：12.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方化簡復(fù)數(shù)，即可判斷其虛部.【詳解】因為，，所以，所以的虛部為.故答案為：13.【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【分析】由及和差角公式推導(dǎo)出，從而得到、互余，寫出符合題意的答案即可.【詳解】若命題“等式不可能成立”為假命題，則可以成立，此時，即，可得，又、為三角形的內(nèi)角，可知，所以，所以．當(dāng)時，，，有成立．因此，只須中，就能滿足，故滿足條件的、是互余的兩角，可取，．故答案為：，（答案不唯一）．14.【答案】①.②.【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運算求得；利用向量的坐標(biāo)運算、垂直關(guān)系的向量表示計算得解.【詳解】設(shè)，依題意，，而，則，解得，所以的坐標(biāo)為；依題意，，而，則，又，由，得，所以.故答案為：；15.【答案】【分析】過作于點，根據(jù)三角函數(shù)的定義，分別求得，和的長，再在中，由，結(jié)合兩角差的正切公式，推出的長，然后由，求解即可．【詳解】過作于點，則四邊形是矩形，在中，，所以，在中，，，所以，所以，，所以，在中，，而，所以，所以．故答案為：．三、解答題（共六小題，共85分）16.【答案】（1）；（2）；（3）最小值，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量的夾角公式計算即得.（2）利用垂直關(guān)系的向量表示，數(shù)量積的運算律計算即得.（3）利用數(shù)量積的運算律求出函數(shù)關(guān)系，再借助二次函數(shù)求出最小值.【小問1詳解】由，得.【小問2詳解】由，得，所以.【小問3詳解】依題意，，當(dāng)時，取得最小值.17.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理求出.（2）利用正弦定理邊化角，結(jié)合（1）及和角的正弦公式推理即得.【小問1詳解】在中，由，得，由余弦定理得，而，所以.【小問2詳解】在中，由及正弦定理得，而，則，由（1）知，于是，整理得，而，因此，即有，所以是正三角形.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）由的范圍求出的范圍，即可求出在上的最大值，依題意，即可得解.【小問1詳解】因為，故函數(shù)的最小正周期；【小問2詳解】當(dāng)時，，故當(dāng)，即時，，若，使得關(guān)于的不等式成立，則，即，故實數(shù)的取值范圍為．19.【答案】（1）（2）（3）、或、【分析】（1）首先得到點坐標(biāo)，設(shè)的中點為，則，求出，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計算可得；（2）首先得到點坐標(biāo)，從而得到，的坐標(biāo)，從而求出，，，再根據(jù)計算可得；（3）根據(jù)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示得到方程組，即可求出與的值.【小問1詳解】當(dāng)時，，即，又，設(shè)的中點為，則，又，所以，所以，即邊上的中線的長度為.【小問2詳解】當(dāng)時，，即，所以，，所以，，，所以；【小問3詳解】由，即，所以，因為，所以或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，、或、．20.【答案】（1）（2）【分析】（1）首先判斷②③矛盾，再分類討論從而確定只能選①③時能夠唯一確定函數(shù)解析式，根據(jù)最值得到，再根據(jù)零點和對稱性求出、，即可得到函數(shù)解析式；（2）由（1）可得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，從而確定的取值范圍，即可得解.【小問1詳解】因為，所以，即的最大值為，最小值為，故②③矛盾；若選①②：則，又，由于有兩個變量、，故不能唯一確定的解析式；若選①③：則，又，，所以，，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增且，所以，所以，所以，則，解得，又，所以，所以，經(jīng)檢驗符合題意；若選①④：則，或，故無法確定的值，所以不能唯一確定的解析式；若選②④：則，或，即或，