2024北京大峪中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2024北京大峪中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)2024.04考生須知1．本試卷共4頁，共三道大題，21個(gè)小題．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．2．在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校和姓名，并將條形碼粘貼在答題卡相應(yīng)位置處．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其它試題用黑色字跡簽字筆作答．4．考試結(jié)束，將試卷、答題卡和草稿紙一并交回．第一部分選擇題（共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分、共40分．在每小題四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.數(shù)列的前四項(xiàng)依次是4，44，444，4444，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是（）A. B. C. D.2.若，則是“a,b,c,d依次成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.從0，2中選一個(gè)數(shù)字．從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為A.24 B.18 C.12 D.64.數(shù)列的前n項(xiàng)和為（）A. B. C. D.5.二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是A.21 B.35 C.84 D.2806.隨機(jī)變量的分布列如下表所示：12340.10.3則（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.47.在8件同一型號(hào)的產(chǎn)品中，有3件次品，5件合格品，現(xiàn)不放回的從中依次抽取2件，在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是（）A. B. C. D.8.下述三個(gè)命題中，真命題有（）命題：若數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列是等比數(shù)列；命題：若數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列是等差數(shù)列；命題：若數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)9.對于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列是有界的.若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列是無界的.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則數(shù)列是無界的 B.若，則數(shù)列是有界的C.若，則數(shù)列是有界的 D.若，則數(shù)列是有界的10.設(shè)是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為則“”是“對任意的正整數(shù)”的A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件第二部分非選擇題（共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.2和4的等差中項(xiàng)為__________，等比中項(xiàng)為__________．12.隨機(jī)變量的分布列如下，若，則的值是_______.-10113.為了響應(yīng)政府推進(jìn)菜籃子工程建設(shè)的號(hào)召，某經(jīng)銷商投資60萬元建了一個(gè)蔬菜生產(chǎn)基地．第一年支出各種費(fèi)用8萬元，以后每年支出的費(fèi)用比上一年多2萬元，每年銷售蔬菜的收入為26萬元．設(shè)表示前n年的純利潤（前n年的總收入前n年的總費(fèi)用支出投資額），則__________（用n表示）；從第__________年開始盈利．14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若對任意的都有，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是______．15.已知數(shù)列滿足，．給出下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列每一項(xiàng)都滿足；②數(shù)列是遞減數(shù)列；③數(shù)列的前n項(xiàng)和；④數(shù)列每一項(xiàng)都滿足成立．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.在10件產(chǎn)品中，有3件次品，從中任取5件：（1）恰有2件次品的抽法有多少種？（2）至多有2件次品的抽法有多少種？（3）至少有1件次品的抽法有多少種？（4）至少有2件次品，2件正品的抽法有多少種？17.已知數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且是和的等差中項(xiàng).（1）求的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.某同學(xué)參加冬奧會(huì)知識(shí)有獎(jiǎng)問答競賽，競賽共設(shè)置A，B，C三道題目．已知該同學(xué)答對題的概率為，答對題的概率為，答對題的概率為．假設(shè)他回答每道題目正確與否是相互獨(dú)立的．（1）求該同學(xué)所有題目都答對的概率；（2）設(shè)該同學(xué)答對題目總數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）若答對，，三題分別得1分，2分，3分，答錯(cuò)均不得分，求該同學(xué)總分為3分的概率．19.數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，已知．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的和．（3）若，則為__________（等差/等比）數(shù)列，并證明你的結(jié)論．20.為研究北京西部地區(qū)油松次生林和油松人工林的森林群落植物多樣性問題，某高中研究性學(xué)習(xí)小組暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林為研究對象進(jìn)行調(diào)查，得到兩地區(qū)林下灌木層，喬木層，草本層的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)．其中兩地區(qū)林下灌木層獲得數(shù)據(jù)如表1，表2所示：表1：老山油松人工林林下灌木層植物名稱植物類型株數(shù)酸棗灌木28荊條灌木41孩兒拳頭灌木22河朔蕘花灌木4臭椿喬木幼苗1黑棗喬木幼苗1構(gòu)樹喬木幼苗2元寶槭喬木幼苗1表2：妙峰山油松次生林林下灌木層植物名稱植物類型株數(shù)黃櫨喬木幼苗6樸樹喬木幼苗7欒樹喬木幼苗4鵝耳櫪喬木幼苗7葎葉蛇葡萄木質(zhì)藤本8毛櫻桃灌木9三裂繡線菊灌木11胡枝子灌木10大花溲疏灌木10丁香灌木8（1）從抽取的老山油松人工林林下灌木層的植物樣本中任選2株，求2株植物的類型都是喬木幼苗的概率；（2）以表格中植物類型的頻率估計(jì)概率，從妙峰山油松次生林林下灌木層的所有植物中隨機(jī)抽取3株（假設(shè)每次抽取的結(jié)果互不影響），記這3株植物的植物類型是灌木的株數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從老山油松人工林的林下灌木層所有符合表1中植物名稱的植物中任選2株，記此2株植物屬于不同植物名稱的概率估計(jì)值為；從妙峰山油松次生林的林下灌木層所有符合表2中植物名稱的植物中任選2株，記此2株植物屬于不同植物名稱的概率估計(jì)值為．請直接寫出與大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）21.已知數(shù)表中的項(xiàng)互不相同，且滿足下列條件：①；②.則稱這樣的數(shù)表具有性質(zhì).（1）若數(shù)表具有性質(zhì)，且，寫出所有滿足條件的數(shù)表，并求出的值；（2）對于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)取最大值時(shí)，求證：存在正整數(shù)，使得.

參考答案第一部分選擇題（共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分、共40分．在每小題四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】C【分析】根據(jù)題意，分析可得數(shù)列的前四項(xiàng)與的關(guān)系，綜合即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列的前四項(xiàng)依次是：4，44，444，4444，則有，，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是，故選：C．2.【答案】B【詳解】若依次成等差數(shù)列，則，即必要性成立若，滿足，但依次成等差數(shù)列錯(cuò)誤，即充分性不成立故選3.【答案】B【詳解】由于題目要求的是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個(gè)位開始分析(3種選擇)，之后十位(2種選擇)，最后百位(2種選擇)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇，分析同理：個(gè)位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共12+6=18種情況．4.【答案】A【分析】先將化為，再利用裂項(xiàng)相消法求出它的前項(xiàng)和．【詳解】由題意得，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，故選：A．5.【答案】C【詳解】的系數(shù)為：，故選C．6.【答案】C【分析】利用分布列的性質(zhì)求出的值，然后由概率的分布列求解概率即可．【詳解】解：由分布列的性質(zhì)可得，，可得，所以．故選：C．7.【答案】D【分析】根據(jù)古典概型概率公式直接計(jì)算可得.【詳解】當(dāng)?shù)谝淮纬榈酱纹泛?，還剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率為.故選：D8.【答案】A【分析】利用與的關(guān)系、等差和等比數(shù)列定義，結(jié)合反例可依次說明各命題的正誤.【詳解】對于命題，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，數(shù)列為，不是等比數(shù)列，命題錯(cuò)誤；對于命題，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)；那么當(dāng)時(shí)，，數(shù)列不是等差數(shù)列，命題錯(cuò)誤；對于命題，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；那么當(dāng)時(shí)，數(shù)列為，是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列，命題錯(cuò)誤.故選：A.9.【答案】C【分析】根據(jù)可知A錯(cuò)誤；由可知不存在最大值，即數(shù)列無界；分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下得到，由此可確定，知C正確；采用放縮法可求得，由可知D錯(cuò)誤.【詳解】對于A，恒成立，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的，A錯(cuò)誤；對于B，，，，即隨著的增大，不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無界的，B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的，C正確；對于D，，；在上單調(diào)遞增，，不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無界的，D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列中的新定義問題，解題關(guān)鍵是理解數(shù)列有界的本質(zhì)是對于數(shù)列中的最值的求解，進(jìn)而可以通過對于數(shù)列單調(diào)性的分析來確定數(shù)列是否有界.10.【答案】C【詳解】試題分析：由題意得，，故是必要不充分條件，故選C.【考點(diǎn)】充要關(guān)系【名師點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法：①定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件．②等價(jià)法：利用p?q與非q?非p，q?p與非p?非q，p?q與非q?非p的等價(jià)關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．③集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．第二部分非選擇題（共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】①.3②.【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)以及等差中項(xiàng)的定義即可求解.【詳解】2和4的等差中項(xiàng)為，2和4的等比中項(xiàng)為，故答案為：3，12.【答案】【分析】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，結(jié)合，可以求出，最后利用方差的計(jì)算公式求出的值.【詳解】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知中：，因?yàn)?，所以有，?lián)立（1）（2），可得：，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.13.【答案】①.②.5【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式寫出的表達(dá)式即可，再令即可得解.【詳解】由題意可得第年的支出費(fèi)用為萬元，則前n年的總支出費(fèi)用為，所以，令，解得，又，所以從第年開始盈利．故答案為：；.14.【答案】【分析】將轉(zhuǎn)化為對任意的都成立，分類討論后可求的取值范圍.【詳解】由題設(shè)可得對任意的都成立，整理得到：對任意的都成立，當(dāng)時(shí)，有，故，當(dāng)時(shí)，有，故，當(dāng)時(shí)，有恒成立，故，故，故答案為：.15.【答案】①②④【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法判斷①，通過遞推公式，判斷出數(shù)列單調(diào)性，根據(jù)取值范圍對判斷②④，算出即可判斷③．【詳解】對于①，，，當(dāng)時(shí)，，所以，假設(shè)當(dāng)時(shí)，；則當(dāng)時(shí)，，綜上，，故①正確；對于②，由，可得數(shù)列是遞減數(shù)列，故②正確；對于③，，，，，，故③錯(cuò)誤；對于④，，所以，累加得，所以，，所以，又，故成立，④正確．故答案為：①②④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）105（2）231（3）231（4）126【分析】（1）利用組合法進(jìn)行求解；（2）利用分類討論思想進(jìn)行求解；（3）利用間接法進(jìn)行求解；（4）利用分類討論思想進(jìn)行求解；【小問1詳解】恰有2件次品的抽法有種.【小問2詳解】若一件次品都沒有則，若只有1件次品，有，恰有2件次品的抽法有種，則至多有2件次品的抽法有種.【小問3詳解】若一件次品都沒有，則，則至少有1件次品的抽法有種.【小問4詳解】若恰有2件次品的抽法有種，若恰有3件次品的抽法有種，則至少有2件次品，2件正品的抽法有種.17.【答案】（1）（2）【分析】（1）由等差中項(xiàng)定義和等比數(shù)列的基本量法求得的首項(xiàng)得通項(xiàng)公式；（2）用分組求和法求得和．【小問1詳解】是和的等差中項(xiàng)，，數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，，即，解得，【小問2詳解】，.18.【答案】（1）；（2）分布列見解析，；（3）.【分析】（1）由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式即可求解；（2）可能的取值為，分別求出對應(yīng)的概率，即可得分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式以及互斥事件的概率公式即可求解.【詳解】（1）該同學(xué)所有題目都答對的概率為，（2）由題意可得：可能的取值為，，，所以X的分布列為：，（3）該同學(xué)總分為分得情況為：只答對或只答對，所以該同學(xué)總分為3分的概率：.19.【答案】（1）（2）（3）等差，證明見解析【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可作差得為等比數(shù)列，且公比為，即可利用等比通項(xiàng)求解，（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求解，（3）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可求解.【小問1詳解】由可得，兩式相減可得，進(jìn)而可得，又，解得，故數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，所以【小問2詳解】，所以【小問3詳解】，為等差數(shù)列，證明如下：為常數(shù)，故為等差數(shù)列，且公差為20.【答案】（1）；（2）分布列見解析，期望（3）【分析】（1）根據(jù)古典概型概率公式，以及組合數(shù)公式，即可求解；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式，即可求解；（3）根據(jù)兩個(gè)表格中的植物類型分布的數(shù)據(jù)，即可求解.【小問1詳解】表1中的灌木有株，喬木幼苗有株，共有100株，所以，所以求2株植物的類型都是喬木幼苗的概率為；【小問2詳解】表2中的灌木有株，喬木幼苗有株，木質(zhì)藤本有8株，抽取1株是灌木的概率為，由題意可知，,，，，，分布列如下，0123；【小問3詳解】表1中植物間的數(shù)量差距較大，表2中每種植物的數(shù)量差不多，所以選出來不同種類，表2的概率更大，所以.21.【答案】（1）滿足條件的數(shù)表為，的值分別為4，5，5（2）證明見解析【分析】（1）設(shè)，確定，且，，列舉得到答案.（2）利用反證法，假設(shè)存在，使得，考慮和兩種情況，推導(dǎo)出最值的矛盾，得到證明.【小問1詳解