2025年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之圓錐曲線綜合

第37頁（共37頁）2025年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之圓錐曲線綜合一．選擇題（共8小題）1．（2025?赤峰模擬）在平面內(nèi)，兩定點A，B之間的距離為4，動點M滿足|MA|＝3|MB|，則點M軌跡的長度為（）A．3π B．6π C．9π D．12π2．（2024秋?安徽期末）已知點A（﹣2，0），B（2，0），點M滿足MA→?MB→=0，同時滿足|MA|＝3|MB|A．35 B．45 C．1 D3．（2024秋?上饒期末）橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，斜率為1的直線l過左焦點F1，交C于A，A．[26，23] B．[364．（2025?鷹潭一模）已知直線l1：mx+y+m＝0和l2：x﹣my﹣3＝0相交于點P，則點P的軌跡方程為（）A．（x﹣1）2+y2＝4 B．（x+1）2+y2＝4 C．（x﹣1）2+y2＝4（x≠﹣1） D．（x+1）2+y2＝4（x≠1）5．（2025?張掖模擬）如圖所示，點F是拋物線y2＝4x的焦點，點A，B分別在拋物線y2＝4x及圓（x﹣1）2+y2＝16的實線部分上運動，且AB總是平行于x軸，則△FAB的周長的取值范圍是（）A．（2，6） B．（5，8） C．（8，12） D．（8，10）6．（2025?望城區(qū)校級一模）如圖，某簡單組合體由圓柱與一個半球黏合而成，已知圓柱底面半徑為2，高為4，A是圓柱下底面圓周上的一個定點，P是半球面上的一個動點，且|AP|=210A．55π B．255π C．7．（2024秋?江西校級期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A、B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0）．點P滿足|PA||PB|A．C的方程為（x+4）2+y2＝16 B．在C上存在點D，使得D到點（1，1）的距離為3 C．在C上存在點M，使得|MO|＝2|MA| D．C上的點到直線3x﹣4y﹣13＝0的最小距離為18．（2025?朝陽區(qū)校級一模）關(guān)于方程x2+xy+2y2＝4所表示的曲線，下列說法正確的是（）A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱 C．關(guān)于y＝x對稱 D．關(guān)于原點中心對稱二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?赤峰模擬）數(shù)學(xué)里常研究一些形狀特殊的曲線，常用到數(shù)形結(jié)合的思想方法．比如形狀酷似“星星”的曲線C：|xA．周長大于25 B．共有4條對稱軸 C．圍成的封閉圖形面積小于14 D．圍成的封閉圖形內(nèi)能放入圓的最大半徑為1（多選）10．（2025?長安區(qū)一模）已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，l是C的準線，點N是C上一點且位于第一象限，直線FN與圓A：x2+y2﹣6x+7＝0相切于點E，點E在線段FN上，過點N作l的垂線，垂足為P，則以下結(jié)論正確的是（）A．|EFB．直線FN的方程為x﹣y﹣1＝0 C．|NFD．△PFN的面積為8+6（多選）11．（2025?南寧模擬）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，P、Q分別為棱C1D1、DD1的中點，點E滿足AE→=λAB1→，λ∈[0，1]，動點F在矩形ADD1A1內(nèi)部及其邊界上運動，且滿足PF=5，點M在棱A．動點F的軌跡長度為π B．存在E，F(xiàn)，使得EF//平面A1BC1 C．三棱錐P﹣A1QE的體積是三棱錐B1﹣PBC體積的32倍D．當動點F的軌跡與幾何體Ω只有一個公共點時，幾何體Ω的側(cè)面積為8（多選）12．（2025?重慶校級模擬）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線C：A．曲線C與直線y＝x有3個公共點 B．x+3yC．曲線C所圍成的圖形的面積為8πD．x2+（y+3）2的最大值為11+4三．填空題（共4小題）13．（2025?南寧模擬）已知曲線E：y2=4x2+1-x2-4，則E的一條對稱軸方程為；已知A，B是E上不同于原點O的兩個頂點，C為E上與A14．（2024秋?上城區(qū)校級期末）橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)與雙曲線x2a15．（2024秋?廣東校級期末）已知動圓P與圓F1：（x+2）2+y2＝81相切，且與圓F2：（x﹣2）2+y2＝1內(nèi)切，記圓心P的軌跡為曲線C，則曲線C的方程為．16．（2025?棗莊模擬）雙曲線x29-y2四．解答題（共4小題）17．（2024秋?上饒期末）已知A（﹣2，0），B（1，0），Q（﹣1，2），動點P滿足|PA（1）求動點P的軌跡E的方程；（2）求|PQ|的最小值和最大值．18．（2025?重慶校級模擬）已知圓F1：(x+2)2+y2=4，動圓C過F（1）求Γ的方程；（2）設(shè)定點D（﹣1，0），過F2作直線l交曲線Γ于A、B兩點，直線DA，DB分別交直線x=12于P、Q19．（2024秋?晉中期末）在直角坐標系xOy中，A，B兩點的坐標分別為（﹣3，0），（3，0），直線MA，MB相交于點M，它們的斜率之積為-23，點M的軌跡為曲線（1）求C的方程；（2）若斜率為k1且不經(jīng)過原點O的直線l與C交于D，E兩點，線段DE的中點為Q，直線OQ的斜率記為k2，求k1?k2的值；（3）在（2）的條件下，點P為C上一點，且不與C的頂點重合，點P關(guān)于x軸的對稱點為P′，若直線PD與PE關(guān)于直線PP′對稱，求證：O，Q，P′三點共線．20．（2024秋?濱州期末）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的準線與橢圓x2+y（1）求拋物線C的方程；（2）若圓M過點A（0，2），且圓心M在拋物線C上運動，BD是圓M在x軸上截得的弦．求證：弦BD的長為定值；（3）過拋物線C的焦點F作兩條互相垂直的直線分別與拋物線C交于點G，H和點R，S，求四邊形GRHS面積的最小值．

2025年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之圓錐曲線綜合參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案ADACDDCD二．多選題（共4小題）題號9101112答案ABCBCDABDABD一．選擇題（共8小題）1．（2025?赤峰模擬）在平面內(nèi)，兩定點A，B之間的距離為4，動點M滿足|MA|＝3|MB|，則點M軌跡的長度為（）A．3π B．6π C．9π D．12π【考點】軌跡方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】A【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)點M（x，y），根據(jù)|MA|＝3|MB|求出點M的軌跡方程，結(jié)合圓的周長公式可求得結(jié)果．【解答】解：以線段AB的中點O為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，設(shè)點M（x，y），點A（﹣2，0）、B（2，0），由|MA|＝3|MB|，可得(x整理可得x2+y2﹣5x+4＝0，化為標準方程得(x∴，點M的軌跡是以點C(52因此，點M軌跡的長度為2π故選：A．【點評】本題考查軌跡方程的求法，是中檔題．2．（2024秋?安徽期末）已知點A（﹣2，0），B（2，0），點M滿足MA→?MB→=0，同時滿足|MA|＝3|MB|A．35 B．45 C．1 D【考點】軌跡方程．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】D【分析】設(shè)M（x，y），利用平面向量數(shù)量積的坐標運算求出點的軌跡方程，可知點的軌跡為圓；再由點M滿足|MA|＝3|MB|，得到軌跡方程為圓，點M是兩個曲線的公共點，聯(lián)立求出直線方程，得解．【解答】解：根據(jù)題意可知，點M滿足MA→?MB→=0，設(shè)M因為MA→?MB→=0，所以可得（﹣2﹣x，﹣y）?（2﹣x，﹣y）＝0，即x2+又因為點M滿足|MA|＝3|MB|，所以(x即x2+4x+4+y2＝9[x2﹣4x+4+y2]，整理得，x2+y2﹣5x+4＝0，所以點M是兩個曲線的公共點，聯(lián)立x2+y代入圓x2+y2＝4可得，y=±65，所以點M到故選：D．【點評】本題主要考查軌跡方程，屬于中檔題．3．（2024秋?上饒期末）橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，斜率為1的直線l過左焦點F1，交C于A，A．[26，23] B．[36【考點】圓與圓錐曲線的綜合；求橢圓的離心率．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】A【分析】結(jié)合橢圓的定義和△ABF2的內(nèi)切圓半徑表示△ABF2的面積，再結(jié)合點到直線的距離和線段AB表示△ABF2的面積，列式可得關(guān)于a，c的關(guān)系，再根據(jù)|AB|的取值范圍可求離心率的取值范圍．【解答】解：橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)如圖：∵△ABF2的內(nèi)切圓的面積是π，∴△ABF2的內(nèi)切圓的半徑為1．結(jié)合橢圓的定義：S△由F2到直線AB：x﹣y+c＝0的距離為：2c∴S△由2a=2又|AB|∈[6，12]，∴e∈故選：A．【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，圓與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題．4．（2025?鷹潭一模）已知直線l1：mx+y+m＝0和l2：x﹣my﹣3＝0相交于點P，則點P的軌跡方程為（）A．（x﹣1）2+y2＝4 B．（x+1）2+y2＝4 C．（x﹣1）2+y2＝4（x≠﹣1） D．（x+1）2+y2＝4（x≠1）【考點】軌跡方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】C【分析】由題意可得兩直線位置關(guān)系以及其所過定點，根據(jù)圓的方程，可得答案．【解答】解：由直線l1：mx+y+m＝0和l2：x﹣my﹣3＝0相交于點P，可知m?1+1?（﹣m）＝0，則l1⊥l2，由l1：（x+1）m+y＝0，則直線l1過定點A（﹣1，0），由l2：x﹣3﹣my＝0，則直線l2過定點B（3，0），易知動點P的軌跡為AB為直徑的圓，圓心（1，0），半徑r＝2，由題意易知直線l1的斜率存在，則交點P不能是（﹣1，0），則動點P的軌跡方程為（x﹣1）2+y2＝4（x≠﹣1）．故選：C．【點評】本題考查軌跡方程的求法，是中檔題．5．（2025?張掖模擬）如圖所示，點F是拋物線y2＝4x的焦點，點A，B分別在拋物線y2＝4x及圓（x﹣1）2+y2＝16的實線部分上運動，且AB總是平行于x軸，則△FAB的周長的取值范圍是（）A．（2，6） B．（5，8） C．（8，12） D．（8，10）【考點】圓與圓錐曲線的綜合．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)抽象；運算求解．【答案】D【分析】過點A作準線x＝﹣1的垂線，垂足為E，則△FAB的周長為xB+5，求出xB后可得所求的范圍．【解答】解：過點A作準線x＝﹣1的垂線，垂足為E，則△FAB的周長為|AF|+|AB|+|BF|＝|AB|+|AE|+4＝|BE|+4＝xB+5，由y2=4x故3＜xB＜5，故△FAB的周長的取值范圍為（8，10）．故選：D．【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，與拋物線焦點有關(guān)的距離問題可以轉(zhuǎn)化為與準線有關(guān)的距離計算問題．6．（2025?望城區(qū)校級一模）如圖，某簡單組合體由圓柱與一個半球黏合而成，已知圓柱底面半徑為2，高為4，A是圓柱下底面圓周上的一個定點，P是半球面上的一個動點，且|AP|=210A．55π B．255π C．【考點】軌跡方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】D【分析】由題意分析出P在半球面形成的軌跡為圓周，再由三點共線及勾股定理解出r，最后按照圓的周長求得即可．【解答】解：由于|AP|=210如圖：記圓柱上頂面圓心為M，點P的軌跡所在圓的圓心為N，則A，M，N共線，AN⊥PN，設(shè)|PN|＝r，|MN|＝d，在△ANP和△MNP中使用勾股定理有(25解得r=255d故選：D．【點評】本題主要考查點的軌跡的判斷，考查計算能力，屬于中檔題．7．（2024秋?江西校級期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A、B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0）．點P滿足|PA||PB|A．C的方程為（x+4）2+y2＝16 B．在C上存在點D，使得D到點（1，1）的距離為3 C．在C上存在點M，使得|MO|＝2|MA| D．C上的點到直線3x﹣4y﹣13＝0的最小距離為1【考點】軌跡方程．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】C【分析】對A：設(shè)點P（x，y），由兩點的距離公式代入化簡判斷；對B：根據(jù)兩點間的距離公式求得點（1，1）到圓上的點的距離的取值范圍，由此分析判斷；對C：設(shè)點M（x，y），求點M的軌跡方程，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析判斷；對D：結(jié)合點到直線的距離公式求得C上的點到直線3x﹣4y﹣13＝0的最小距離，由此分析判斷．【解答】解：對A：設(shè)點P（x，y），由A（﹣2，0），B（4，0），|PB|＝2|PA|，可得(x-4)2+y2=2(x+2)2+y2，兩邊平方可得x2+y2整理得（x+4）2+y2＝16，故A正確；對B：（x+4）2+y2＝16的圓心C1（﹣4，0），半徑為r1＝4，∵點（1，1）到圓心C1（﹣4，0）的距離d1則圓上一點到點（1，1）的距離的取值范圍為[d而3∈(26-4，26+4)，故在C上存在點D，使得D到點（對C：設(shè)點M（x，y），∵|MO|＝2|MA|，則x2+y∴點M的軌跡方程為(x+83)又|C∴在C上不存在點M，使得|MO|＝2|MA|，C不正確；對D：由點到直線的距離公式，可得圓心C1（﹣4，0）到直線3x﹣4y﹣13＝0的距離為d2∴C上的點到直線3x﹣4y﹣13＝0的最小距離為d2﹣r1＝1，故D正確．故選：C．【點評】本題考查圓的方程和性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．8．（2025?朝陽區(qū)校級一模）關(guān)于方程x2+xy+2y2＝4所表示的曲線，下列說法正確的是（）A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱 C．關(guān)于y＝x對稱 D．關(guān)于原點中心對稱【考點】曲線與方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由曲線方程，依次分析選項即可得出答案．【解答】解：對于A，將方程中y換為﹣y，則有x2+x（﹣y）+2（﹣y）2＝4，則x2﹣xy+2y2＝4，與原方程不同，所以方程x2+xy+2y2＝4不關(guān)于x軸對稱；所以A不正確；對于B，將方程中x換為﹣x，則有（﹣x）2+（﹣x）y+2y2＝4，則x2﹣xy+2y2＝4，與原方程不同，所以方程x2+xy+2y2＝4不關(guān)于y軸對稱；所以B不正確；對于C，將方程中x換為y，y換為x，則有y2+yx+2x2＝4，與原方程不相同，所以方程x2+xy+2y2＝4不關(guān)于y＝x軸對稱；所以C不正確；對于D，將方程中x換為﹣x，y換為﹣y，則有（﹣x）2+（﹣x）（﹣y）+2y2＝4，則x2+xy+2y2＝4，與原方程相同，所以方程x2+xy+2y2＝4關(guān)于原點中心對稱．所以D正確．故選：D．【點評】本題考查曲線方程的應(yīng)用，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?赤峰模擬）數(shù)學(xué)里常研究一些形狀特殊的曲線，常用到數(shù)形結(jié)合的思想方法．比如形狀酷似“星星”的曲線C：|xA．周長大于25 B．共有4條對稱軸 C．圍成的封閉圖形面積小于14 D．圍成的封閉圖形內(nèi)能放入圓的最大半徑為1【考點】曲線與方程．【專題】方程思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】ABC【分析】分析曲線在第一象限內(nèi)的性質(zhì)，可判斷ABD的真假，根據(jù)曲線方程的特點，可判斷B的真假．【解答】解：根據(jù)題意，在第一象限曲線C為x+所以y=當0＜x＜4，0＜y＜4時，曲線C在圓（x﹣4）2+（y﹣4）2＝16的下方，理由如下：由于x+y=2，可設(shè)y那么（x﹣4）2+（y﹣4）2＝（4cos4θ﹣4）2+（4sin4θ﹣4）2＝16[（cos4θ﹣1）2+（sin4θ﹣1）2]又因為（cos4θ﹣1）2+（sin4θ﹣1）2＝cos8θ+sin8θ﹣2（cos4θ+sin4θ）+2＝（cos4θ+sin4θ）2﹣2cos4θsin4θ﹣2（cos4θ+sin4θ）+2＝（1﹣2cos2θsin2θ）2﹣2cos4θsin4θ﹣2（1﹣2cos2θsin2θ）+2＝2cos4θsin4θ+1≥1（只有當cosθ＝0或cosθ＝1時取“＝”）．因此（x﹣4）2+（y﹣4）2≥16，因此0＜x＜4，0＜y＜4時，曲線C在圓（x﹣4）2+（y﹣4）2＝16的下方．即第一象限曲線C的長度大于圓（x﹣4）2+（y﹣4）2＝16周長的14即曲線C的周長大于圓（x﹣4）2+（y﹣4）2＝16的周長8π，而8π＞25，則A選項正確；由曲線C的方程為|x因為（x，﹣y），（﹣x，y），（y，x），（﹣y，﹣x）代入方程，方程都不變，所以曲線C關(guān)于x軸，y軸，直線y＝x和y＝﹣x對稱，共有4條對稱軸，則選項B正確；由A選項的推證可知：曲線C圍成的封閉圖形的面積S＜8×8﹣π?42＝16（4﹣π）＜14，則選項C正確；第一象限曲線C的方程為x+所以x+y≥(x+y)2所以曲線上距離原點的最短距離為2，因此圍成的封閉圖形內(nèi)最大能放入半徑為2的圓，則選項D錯誤．故選：ABC．【點評】本題考查曲線與方程，屬于中檔題．（多選）10．（2025?長安區(qū)一模）已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，l是C的準線，點N是C上一點且位于第一象限，直線FN與圓A：x2+y2﹣6x+7＝0相切于點E，點E在線段FN上，過點N作l的垂線，垂足為P，則以下結(jié)論正確的是（）A．|EFB．直線FN的方程為x﹣y﹣1＝0 C．|NFD．△PFN的面積為8+6【考點】圓與圓錐曲線的綜合．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】BCD【分析】求出拋物線的焦點坐標及準線方程，圓A的圓心及半徑，再結(jié)合拋物線的定義逐項判斷即可．【解答】解：圓A：（x﹣3）2+y2＝2的圓心A（3，0），半徑r=拋物線C：y2＝4x的焦點F（1，0），準線l：x＝﹣1，連接AE，由FN切圓A于E，得AE⊥對于選項A，|AF|＝2，則|EF|=|對于選項B，由選項A知，∠AFE＝45°，直線FN的斜率為1，方程為y＝x﹣1，B選項正確；對于選項C，設(shè)N（x0，y0），y0＞0，由y0=x0-1y對于選項D，△PFN的面積S△PFN=故選：BCD．【點評】本題考查圓與圓錐曲線是綜合應(yīng)用，是中檔題．（多選）11．（2025?南寧模擬）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，P、Q分別為棱C1D1、DD1的中點，點E滿足AE→=λAB1→，λ∈[0，1]，動點F在矩形ADD1A1內(nèi)部及其邊界上運動，且滿足PF=5，點M在棱A．動點F的軌跡長度為π B．存在E，F(xiàn)，使得EF//平面A1BC1 C．三棱錐P﹣A1QE的體積是三棱錐B1﹣PBC體積的32倍D．當動點F的軌跡與幾何體Ω只有一個公共點時，幾何體Ω的側(cè)面積為8【考點】軌跡方程；棱錐的體積；球的表面積．【專題】計算題；整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解；新定義類．【答案】ABD【分析】根據(jù)PF為定長，易得D1F也是定值，可以確定F的軌跡，過點E作A1C1B的平行平面找到與F的軌跡的交點，則可確定存在EF//平面A1BC1，利用換底與換頂點的方法可以將三棱錐P﹣A1QE的體積是三棱錐B1﹣PBC體積求出來，從而得出兩體積之間的關(guān)系，由動點F的軌跡與幾何體Ω只有一個公共點，可以確定該圓錐地面半徑，再利用S側(cè)＝πrl可求解Ω的側(cè)面積．【解答】解：根據(jù)題目所給：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，P、Q分別為棱C1D1、DD1的中點，點E滿足AE→=λAB1→，λ∈[0，1]，動點F在矩形點M在棱AA1上，將△ADM繞邊AD旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體Ω，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，C1D1⊥ADD1A1，且PD1＝1，PF=且因為∠A1D1D=π2所以動點F的軌跡長度l=π2連接A1B，與AB1交于點O，在AO上任找一點E，過該點作A1B的平行線，會跟AA1相交于一點，再過該點作BC1的平行線，必會與F的軌跡相交，所以存在E，F(xiàn)使得EF//平面A1BC1，B正確；由題意VP-A1QE=VE-PA1Q，又因為P、Q為所以VE同理可得VB1-由題意，幾何體Ω是以AD為旋轉(zhuǎn)軸，DM為母線的圓錐，當動點F的軌跡與幾何體只有一個公共點時，圓錐與平面ADD1A1的交線DM與F所在的圓弧相切，且因為AA1∥DD1，有∠D1DM＝∠DMA，所以sin∠則24=2DM，可得DM＝所以幾何體Ω的側(cè)面積S=πrl=故選：ABD．【點評】本題考查軌跡方程，涉及換底與換頂點的方法，屬于難題．（多選）12．（2025?重慶校級模擬）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線C：A．曲線C與直線y＝x有3個公共點 B．x+3yC．曲線C所圍成的圖形的面積為8πD．x2+（y+3）2的最大值為11+4【考點】曲線與方程．【專題】方程思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】ABD【分析】對于A，聯(lián)立y=對于B，作出曲線C的圖形，令b=x+3y，則y對于C，求出一個弓形OAB的面，則可求出曲線C所圍成的圖形的面積，即可判斷；對于D，確定x2+（y+3）2可表示為曲線C上的點（x，y）與定點（0，﹣3）的距離的平方，利用兩點距公式計算即可判斷．【解答】解：根據(jù)y=xx因此x2=|x解得|x|=3-1或|x|＝0，因此x=1-所以C與y＝x有3個公共點，因此選項A正確；對于選項B，x2+y2＝23|x|﹣2|y|?x2如圖所示：根據(jù)圖可知，AB所在圓的半徑為2，圓心為D(3，令b=x+3y如圖，當該直線與AB相切時，直線與y軸的截距最大，根據(jù)d＝r，得|3-3-b|12+32根據(jù)選項B知，C所圍成的圖形的面積為四個全等弓形OAB的面積之和，設(shè)弓形OAB的面積為S1，在三角形ADO中，cos∠因此∠ADO因此扇形ADO的面積S'S△ADO=因此C所圍成的圖形的面積為4S1=曲線x2+（y+3）2可表示為定點（0，﹣3）與曲線C上的點（x，y）的距離的平方，根據(jù)圖可知，最大距離為定點（0，﹣3）到圓心D(所以(0-因此x2+（y+3）2的最大值為(7+2)故選：ABD．【點評】本題考查曲線與方程，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2025?南寧模擬）已知曲線E：y2=4x2+1-x2-4，則E的一條對稱軸方程為x＝0或y＝0；已知A，B是E上不同于原點O的兩個頂點，C為E上與A【考點】軌跡方程．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】x＝0或y＝0；22【分析】將方程中的x換為﹣x，y換為﹣y，檢驗方程是否變化，即可判斷對稱軸；令x＝0，求得y，以及令y＝0，求得x，從而確定A，B的坐標，同時令x2+1=t，換元后，求得y【解答】解：對曲線：E：將x換為﹣x，則y2=4(-x)將y換為﹣y，則(-y)2=故該曲線關(guān)于x＝0或y＝0對稱；令x＝0，則y2＝0，故曲線過點（0，0）；令y＝0，則4x2+1=x2+4，即x4解得x＝0或x=22或x=對E：y2=4x2不妨令x2+1=t，則t∈[1，3]，故y2＝﹣t2+4t﹣3＝﹣（t﹣2故當t∈[1，3]時，y2∈[0，1]，故y∈[﹣1，1]，則（S△ABC）max=1故答案為：x＝0或y＝0；22【點評】本題主要考查軌跡方程，考查運算求解能力，屬于中檔題．14．（2024秋?上城區(qū)校級期末）橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)與雙曲線x2a【考點】圓錐曲線的綜合；求橢圓的離心率；雙曲線的離心率．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】(5【分析】根據(jù)已知可得b2a2＜45，再由e1=【解答】解：由雙曲線的漸近線的斜率小于25可得0＜ba＜2又0＜e1＜1，則55＜e1＜1故答案為：(5【點評】本題考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題．15．（2024秋?廣東校級期末）已知動圓P與圓F1：（x+2）2+y2＝81相切，且與圓F2：（x﹣2）2+y2＝1內(nèi)切，記圓心P的軌跡為曲線C，則曲線C的方程為x216【考點】軌跡方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】x2【分析】依題意可得|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|＝4，所以圓心P的軌跡是以F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）為焦點，實軸長為8的橢圓，進而可求其方程．【解答】解：因為圓F1：（x+2）2+y2＝81，圓F2：（x﹣2）2+y2＝1，所以F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），圓F1半徑為9，圓F2半徑為1，設(shè)動圓圓心P（x，y），半徑為r，又動圓P與圓F1：（x+2）2+y2＝81相切，且與圓F2：（x﹣2）2+y2＝1內(nèi)切，所以動圓P與圓F1只能內(nèi)切，且動圓P在圓F1內(nèi)，所以|PF1|=9-r|PF2|=r-1，所以|PF1|+|PF2所以圓心P的軌跡是以F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）為焦點，實軸長為8的橢圓，又2a＝8，2c＝4，所以a＝4，c＝2，b2＝a2﹣c2＝12，所以曲線C的方程為x2故答案為：x2【點評】本題考查動點軌跡問題的求解，橢圓的幾何性質(zhì)，屬中檔題．16．（2025?棗莊模擬）雙曲線x29-y216=1的右焦點是拋物線的焦點，則拋物線的標準方程是【考點】圓錐曲線的共同特征．【專題】計算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)雙曲線的方程與三個參數(shù)的關(guān)系求出雙曲線的右焦點坐標，根據(jù)拋物線的方程與其焦點坐標的關(guān)系求出拋物線的方程．【解答】解：在x2c2＝9+16＝25∴c＝5∴雙曲線的右焦點為（5，0）∵雙曲線的右焦點是拋物線的焦點∴拋物線的標準方程是y2＝20x故答案為y2＝20x【點評】雙曲線的方程中的三個參數(shù)的關(guān)系為a2+b2＝c2；拋物線的方程與焦點坐標的關(guān)系是拋物線的一次項的系數(shù)等于焦點非0坐標的4倍．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?上饒期末）已知A（﹣2，0），B（1，0），Q（﹣1，2），動點P滿足|PA（1）求動點P的軌跡E的方程；（2）求|PQ|的最小值和最大值．【考點】軌跡方程；直線與圓的位置關(guān)系．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】（1）x2+y2﹣4x＝0；（2）最小值是13-2，最大值是【分析】（1）設(shè)P（x，y），由|PA||PB|=(x+2)2+y（2）由圓心M（2，0），半徑是2，先判斷|QM|＞2即Q（﹣1，2）在圓外，故|PQ|的最小值為|QM|﹣r，最大值為|QM|+r．【解答】解：（1）如圖，設(shè)動點P（x，y），則|PA即（x+2）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，整理得（x﹣2）2+y2＝4，故動點P的軌跡E的方程為（x﹣2）2+y2＝4，該軌跡是以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓；（2）如圖，由（1）可知E：（x﹣2）2+y2＝4，半徑是2，圓心M（2，0）．因|QM|=9+4=13＞2|PQ|的最小值為|QM|﹣r，最大值為|QM|+r即|PQ|的最小值是13-2，最大值是【點評】本題主要考查點的軌跡方程以及與圓有關(guān)的最值問題，屬于基礎(chǔ)題．18．（2025?重慶校級模擬）已知圓F1：(x+2)2+y2=4，動圓C過F（1）求Γ的方程；（2）設(shè)定點D（﹣1，0），過F2作直線l交曲線Γ于A、B兩點，直線DA，DB分別交直線x=12于P、Q【考點】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；運算求解．【答案】（1）x2-y23=1(x【分析】（1）根據(jù)相切的性質(zhì)，可得|CF1|＝2+r，|CF2|＝r，即可結(jié)合雙曲線的定義求解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達定理，根據(jù)弦長公式可得|AB|，進而可得P，Q的坐標，即可化簡得|AB【解答】解：（1）因為圓F1：(x+2)2+y2所以圓C過F2（2，0），所以|CF2|＝r，又圓C與圓F1外切，所以|CF1|＝2+r，故|CF1|﹣|CF2|＝2＜|F2F2|＝4，所以Γ是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的右支，設(shè)其方程為x2得a＝1，c＝2，b2＝c2﹣a2＝3，故方程為x2（2）根據(jù)題意可知直線l的斜率不為0，故設(shè)AB：x＝ty+2，則x=得：（3t2﹣1）y2+12t?y+9＝0，故3t2﹣1≠0且Δ＝144t2﹣36（3t2﹣1）＝36（t2+1），故y1故0≤t2直線AD：令x=12同理可得yQ則|PQ|AB令s=則t2＝s2﹣1，故|AB函數(shù)y=4s故當s＝1時，ymax＝1，故當t＝0，直線l斜率不存在時，|AB||【點評】本題考查圓錐曲線中取值范圍問題，屬于難題．19．（2024秋?晉中期末）在直角坐標系xOy中，A，B兩點的坐標分別為（﹣3，0），（3，0），直線MA，MB相交于點M，它們的斜率之積為-23，點M的軌跡為曲線（1）求C的方程；（2）若斜率為k1且不經(jīng)過原點O的直線l與C交于D，E兩點，線段DE的中點為Q，直線OQ的斜率記為k2，求k1?k2的值；（3）在（2）的條件下，點P為C上一點，且不與C的頂點重合，點P關(guān)于x軸的對稱點為P′，若直線PD與PE關(guān)于直線PP′對稱，求證：O，Q，P′三點共線．【考點】軌跡方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】（1）x2（2）-2（3）證明見解析．【分析】（1）利用斜率的坐標公式列式化簡即得．（2）根據(jù)給定條件，利用點差法列式，結(jié)合斜率的坐標公式求得答案．（3）設(shè)點P（x0，y0）及直線PD的斜率k，直線PD，PE與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及斜率坐標公式，結(jié)合（2）證得OQ，OP′的斜率相等即可．【解答】（1）解：設(shè)點M（x，y），依題意，x≠±3，A，B兩點的坐標分別為（﹣3，0），（3，0），直線MA，MB相交于點M，它們的斜率之積為-2yx+3?所以C的方程是x2（2）解：設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），Q（x3，y3），則x1+x2＝2x3，y1+y2＝2y3，由點D，E均在曲線C上，得2x兩式相減得2（x1﹣x2）（x1+x2）+3（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，則y1斜率為k1且不經(jīng)過原點O的直線l與C交于D，E兩點，線段DE的中點為Q，直線OQ的斜率記為k2，而k1=y（3）證明：設(shè)點P（x0，y0），則P′（x0，﹣y0），設(shè)直線PD的斜率為k，則PE的斜率為﹣k，直線PD的方程為y﹣y0＝k（x﹣x0），直線PE的方程為y﹣y0＝﹣k（x﹣x0），由y=k(x-則x0+同理x0+直線OP′的斜率k3=-=-y0得k3k1=y0因此k3k1=y0x0?-4又直線OQ，OP′有公共點O，所以O(shè)，Q，P′三點共線．【點評】本題考查直線被圓錐曲線所截弦中點及直線斜率問題，“點差法”的應(yīng)用，是中檔題．20．（2024秋?濱州期末）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的準線與橢圓x2+y（1）求拋物線C的方程；（2）若圓M過點A（0，2），且圓心M在拋物線C上運動，BD是圓M在x軸上截得的弦．求證：弦BD的長為定值；（3）過拋物線C的焦點F作兩條互相垂直的直線分別與拋物線C交于點G，H和點R，S，求四邊形GRHS面積的最小值．【考點】直線與圓錐曲線的綜合；根據(jù)拋物線上的點求拋物線的標準方程；拋物線的定點及定值問題．【專題】應(yīng)用題；新定義；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；新定義類．【答案】（1）x2＝4y，（2）證明見解析，（3）32．【分析】（1）由拋物線準線與橢圓的相交弦長易得橢圓上的點(-32（2）設(shè)圓心M的坐標為（x0，y0），利用圓的弦長公式計算即可證得；（3）設(shè)直線GH，RS的方程分別為y＝kx+1，y=-1kx+1，點G（x1，y1）、H（x2，y2），由直線GH與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線焦半徑公式求出|GH|和【解答】解：（1）由已知，拋物線C的準線方程為y=因為直線y=-p2與橢圓結(jié)合橢圓的對稱性，可得直線y=-p2與橢圓將(-32，-p2所以拋物線C的方程為x2＝4y．（2）證明：根據(jù)題目：已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的準線與橢圓x2+y如圖，設(shè)圓心M的坐標為（x0，y0），由M在拋物線C上，可知M到x軸距離為|MH|＝|y0|，x0則|MD|BD故圓心M在拋物線C上運動時弦BD的長為定值4．（3）由（1）知F（0，1）．易知，直線GH，RS的斜率存在且不為零，如圖，設(shè)直線GH，RS的方程分別為y＝kx+1，y=點G（x1，y1）、H（x2，y2），由y=kx+1x2=4y得x2﹣Δ＝16k2+16＞0，x1+x2＝4k，則|GH同理可得|RS所以四邊形GRHS的面積為1≥8(2+2當且僅當k2=1k2即四邊形GRHS的面積的最小值為32．【點評】本題考查與拋物線有關(guān)的四邊形面積最值問題，涉及標準方程的求解與計算，屬于較難題．

考點卡片1．棱錐的體積【知識點的認識】棱錐的體積可以通過底面面積B和高度h計算，頂點到底面的垂直距離即為高度．【解題方法點撥】﹣計算公式：體積計算公式為V=﹣底面面積計算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計算．【命題方向】﹣棱錐的體積計算：考查如何根據(jù)底面面積和高度計算棱錐的體積．﹣實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用棱錐體積計算．2．球的表面積【知識點的認識】球的表面積依賴于球的半徑r，計算公式為4π【解題方法點撥】﹣計算公式：表面積計算公式為4π﹣實際應(yīng)用：如何根據(jù)實際問題中的球尺寸進行表面積計算．【命題方向】﹣球的表面積計算：考查如何根據(jù)球的半徑計算表面積．﹣實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用球的表面積計算．3．直線與圓的位置關(guān)系【知識點的認識】直線與圓的位置關(guān)系【解題方法點撥】判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法直線Ax+By+C＝0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置關(guān)系的判斷方法：（1）幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關(guān)系判斷．圓心到直線的距離d=①相交：d＜r②相切：d＝r③相離：d＞r（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式△判斷．由Ax+①相交：△＞0②相切：△＝0③相離：△＜0．4．求橢圓的離心率【知識點的認識】橢圓的離心率e由公式e=ca【解題方法點撥】1．計算離心率：使用公式e=【命題方向】﹣給定a和b，求橢圓的離心率．﹣計算橢圓的離心率，并分析其含義．5．根據(jù)拋物線上的點求拋物線的標準方程【知識點的認識】已知拋物線上的點（x1，y1），可以代入標準方程y2＝2px或x2＝2py來求解p的值．【解題方法點撥】1．代入點坐標：將點（x1，y1）代入拋物線方程．2．解出p：通過方程解得p的值，確定拋物線的標準方程．【命題方向】﹣給定點坐標，計算拋物線的標準方程．﹣利用點坐標確定拋物線參數(shù)p．6．拋物線的定點及定值問題【知識點的認識】定點問題涉及到拋物線上點到固定點或直線的距離問題．定值問題通常涉及求解某點到焦點或準線的最值．【解題方法點撥】1．計算定點距離：利用拋物線方程計算點到定點的距離．2．應(yīng)用定值：解決與定值相關(guān)的幾何問題．【命題方向】﹣給定拋物線的定點和定值，求解相關(guān)問題．﹣分析定點問題的幾何特征及應(yīng)用．7．雙曲線的離心率【知識點的認識】雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e=ca（e＞準線x＝±ay＝±a漸近線xa±yxb±y8．曲線與方程【知識點的認識】在直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）＝0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上點的坐標都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．求解曲線方程關(guān)鍵是要找到各變量的等量關(guān)系．【解題方法點撥】例：：定義點M到曲線C上每一點的距離的最小值稱為點M到曲線C的距離．那么平面內(nèi)到定圓A的距離與它到定點B的距離相等的點的軌跡不可能是（）A：直線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支．解：對定點B分類討論：①若點B在圓A內(nèi)（不與圓心A重合），如圖所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由橢圓的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的橢圓．②若點B在圓A外，如圖2所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由雙曲線的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的雙曲線的一支．③若定點B與圓心A重合，如圖3所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，取線段AP的中點M，則點M滿足條件，因此點M的軌跡是以點A為圓心，以12④若點B在圓A上，則滿足條件的點是一個點B．綜上可知：可以看到滿足條件的點M的軌跡可以是：橢圓、雙曲線的一支，圓，一個點，而不可能是一條直線．故選A．這是一個非常好的題，一個題把幾個很重要的曲線都包含了，我認為這個題值得每一個學(xué)生去好好研究一下．這個題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，而這個等量關(guān)系是靠自己去建立的，其中還要注意到圓半徑是相等的和中垂線到兩端點的距離相等這個特點，最后還需結(jié)合曲線的第二定義等來判斷，是個非常有價值的題．【命題方向】這個考點非常重要，但也比較難，我們在學(xué)習(xí)這個考點的時候，先要認真掌握各曲線的定義，特別是橢圓、拋物線、雙曲線的第二定義，然后學(xué)會去找等量關(guān)系，最后建系求解即可．9．圓錐曲線的共同特征【知識點的認識】圓錐曲線的共同特征：圓錐曲線上的點到一個定點的距離與它到定直線的距離之比為定值e．當0＜e＜1時，圓錐曲線是橢圓；當e＞1時，圓錐曲線是雙曲線；當e＝1時，圓錐曲線是拋物線．其中定點是圓錐曲線的一個焦點，定直線是相應(yīng)于這個交點的準線．10．直線與圓錐曲線的綜合【知識點的認識】直線與圓錐曲線的綜合問題是高考的必考點，比方說求封閉面積，求距離，求他們的關(guān)系等等，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點的橫坐標或者縱坐標的關(guān)系，通過這兩個關(guān)系的變形去求解．【解題方法點撥】例：已知圓錐曲線C上任意一點到兩定點F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距離之和為常數(shù)，曲線C的離心率e=（1）求圓錐曲線C的方程；（2）設(shè)經(jīng)過點F2的任意一條直線與圓錐曲線C相交于A、B，試證明在x軸上存在一個定點P，使PA→解：（1）依題意，設(shè)曲線C的方程為x2