2025高考數(shù)學沖刺復習：導數(shù)及其應用（試卷+答案解析）

專題07導數(shù)及其應用

目錄

易錯點01對導數(shù)的概念理解不到位

易錯點02錯用函數(shù)的求導法則

易錯點03混淆“在某點”和“過某點”切線的區(qū)別

易錯點04利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間忽略定義域

易錯點05混淆極值點與導數(shù)等于零的點的區(qū)別

易錯點06已知單調(diào)性求參數(shù)時混淆條件

易錯點07判斷函數(shù)零點個數(shù)時畫圖出錯

易錯點01：對導數(shù)的概念理解不到位

易錯陷阱與避錯攻略

/（13T⑴等于（）

典例（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）若函數(shù)Ax）可導,則如^

2Ax

A.-2/X1)B.”)C.D.fI

【答案】C

【分析】根據(jù)導數(shù)的定義即可求解.

【詳解】lim/(1—-"1).=」1曲/[l+(-Ax)]-/(l)

AxfO2Ax2Ax->0—Ax

故選：C

【易錯剖析】

f（.r0+Ar）-/（.r0）本題容易忽略分母不是分子函數(shù)值對應自變

在解題時要注意f'(x0]=lim—=lim

Ax

量的差而出錯.

【避錯攻略】

1.導數(shù)的概念

函數(shù)/（X）在X=X。處瞬時變化率是lim孚=lim./1(天,+-)-/(%)

,我們稱它為函數(shù)y=在x=%

Ar->0.丫Ax—>0Ax

處的導數(shù)，記作尸（X。）或丁（/.

【解讀】①增量—可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0.-0的意義：心與0之間距離

要多近有多近，即18-0|可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當Acf0時，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與

"/5+垓）-"）無限接近;

AxAx

③導數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率.如瞬時速度即是位移在這一時

刻的瞬間變化率，即尸（與）=lim電=lim/（＞+/）-/（/）.

——°Ax-Ax

2.幾何意義

函數(shù)y=/（x）在X=尤。處的導數(shù)/U）的幾何意義即為函數(shù)y=f（x）在點P（XO,y0）處的切線的斜率.

3.物理意義

函數(shù)s=s⑺在點10處的導數(shù)s"o）是物體在t0時刻的瞬時速度V,即v=s'（t0）；v=v⑺在點t0的導

數(shù)/仇）是物體在灰時刻的瞬時加速度a,即a=v'?o）.

易錯提醒：⑴-優(yōu)）=lim”=lim以x。+為）二/（不）,要注意定義式中的分母一定是分子兩個函數(shù)值

對應自變量的差，如果不是要通過調(diào)整系數(shù)實現(xiàn)對應；（2）/'（尤0）的代數(shù)意義表示函數(shù)/（%）在/處的瞬時

變化率；（3）/'（%）的幾何意義表示曲線y=/（x）在x=x0處切線的斜率.

舉一反三

1.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）若可導函數(shù)的圖象過原點,且滿足lim/包=-1,則廣（。）等于（）

-Ax

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】c

【分析】由題得/（0）=0,再利用導數(shù)定義求解.

【詳解】??.〃*）圖象過原點，，/（0）=0,

“，⑼=1"（°+祠T⑼=1皿3=-1,

故選：C

2.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）如果函數(shù)y=〃x）在x=l處的導數(shù)為1,那么物止?（）

A.1B.1C.2D.；

【答案】A

【分析】利用導數(shù)的定義求解.

【詳解】因為r(l)=l，所以lim'+x)=1,

所以lim但上犯Jim巫士型

I2x2一。x2

故選：A.

3.(24-25高二下?河北石家莊?階段練習)設(shè)函數(shù)/(x)在點/附近有定義，且有

/伉+Ar）-"%）=aAx+6（Ar）~（a,6為常數(shù)），則（）

A.f'(x)=aB.f'(x)=bC.f'（x0）=aD.f'{x0）=b

【答案】C

【分析】由導函數(shù)的定義可得答案.

【詳解】因為包=“一+>(&)-="+6?,

所以/'(/)=螞弋=啊(。+皿)=。

即/'(不)=。.

故選：C

?易錯題通關(guān)

1.(24-25高二上?全國?課后作業(yè))若/'(%)=-2,則"(/)="%+&)=()

-Ax

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)瞬時變化率的定義即可求解.

【詳解】根據(jù)題意/(1)=-2,

。)

貝him/(%)-/(%+")=_lim/(%+")-〃x=_廣(/)=2.

—Ax-Ax'/

故選:D.

2.(24-25高三上?廣西玉林?期中)設(shè)/(X)是定義在R上的可導函數(shù)，若二"％)=2a(a為常

數(shù))，則廣(%)=()

A.12aB.2aC.~aD.a

【答案】A

【分析】根據(jù)導數(shù)的定義計算即可求解.

【詳解】f'5)=lim小。-坨一/(x。)=_Hmf?坨-/(%)=_2a.

2?！猦20h

故選：A

3.(2025高三?全國?專題練習)已知函數(shù)〃x)=xlnx,則lim""二卜”。的值為()

Ax

A.2eB.0C.1D.e

【答案】c

【分析】利用導數(shù)定義求極限即可.

【詳解】根據(jù)導數(shù)定義，得+.)一〃1)=r(l),

Ax-0AXV7

又尸(x)=l+lnx,所以/")=1.

故選：C.

4.(24-25高三上?上海?期中)若函數(shù)y=/(元)在x=不處的導數(shù)等于a,則lim〃尤。+2詞-〃*的值為()

-Ax

A.0B.—ciC.〃D.2a

2

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用導數(shù)的定義直接計算可求解.

［詳解］由

lim〃。+2刈-/⑷=21〃。+23/伉)=

―一°AxRf。2Ax'7

故選：D.

5.(24-25高三上?貴州貴陽?階段練習)若函數(shù)y=〃x)在區(qū)間(a㈤內(nèi)可導，且則

lim/WzZU±M的值為()

修。h

x

A.r(o)B.2/(%)C.-2/(x0)D.-r(x0)

【答案】D

【分析】由導數(shù)的定義即可求解.

【詳解】lim小。)一仆〃)=一lim"%)-小〃),

v07

Dh-。-h

故選：D.

6.(23-24高二下?福建龍巖?階段練習)已知函數(shù)〃x)在x=七處可導，且lim"/一3Ao-/伍)=3,則

f'M=（）

3

A.-3B.-2C.——D.2

2

【答案】B

【分析】利用導數(shù)的定義求解.

【詳解】解：因為lim"/一3一）-〃叫））=3,

—。2Ax

所以一Aim生匚型匕比」=3,即一3〃X0）=3,

22。-3Ar2''

所以/（%）=-2,

故選：B

7.（24-25高二?全國?課后作業(yè)）（多選）若函數(shù)〃尤）在x=x。處存在導數(shù)，則炒/（%+.一"%）的值（）

A.與不有關(guān)B.與人有關(guān)C,與與無關(guān)D.與〃無關(guān)

【答案】AD

【分析】由導數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】由導數(shù)的定義可知，1而〃/+/?）一〃％）

3hV°7

函數(shù)“X）在X=x0處的導數(shù)與與有關(guān)，與/7無關(guān)，

故選：AD.

8.（24-25高三上?浙江?階段練習）已知：當“無窮大時，I1+1|的值為e,記為=e.運用上述

[n）n^+oo\nJ

結(jié)論，可得limM（l+2x）（尤>o）=

x

【答案】2.

【分析】利用換元法和對數(shù)運算性質(zhì)將所求式子化簡為lim(l+‘)”的結(jié)構(gòu)，即可求得.

M—>+<?

【詳解】令1=2%,貝ljx=」，x>0,%―。，貝!J%>0/f+8,

t2t

因為lim(1+—)n=e,

n—>+oo〃

則lim山(+2"=lim―——=2lim=2limInf1+->1=21ne=2.

Xf0xJ_-o1r->+8It)1+8It)

故答案為：2.

易錯點02：錯用函數(shù)的求導法則

，易錯陷阱與避錯攻略

典例(24-25高三上?山東聊城?期末)函數(shù)>=犬為05(2工-m)的導數(shù)為()

A.y'=2xcos^2x-j^-x2sin^2x-

B.y'=2xcos^2x-j-^j-2x2sin^2x-

C.y'=x2cos^2x-j^-2xsin^2x-y^

D.y，=2xcos(2x-g1+2x11112x-

【答案】B

【分析】利用導數(shù)的運算法則以及復合函數(shù)求導法則可求出原函數(shù)的導數(shù).

=2xcos2x---2x2sin

I3；I2x-3-.

故選：B.

【易錯剖析】

本題容易錯用復合函數(shù)的求導法則而出錯，要注意求導公式和求導法則的適用前提.

【避錯攻略】

1.求導的基本公式

基本初等函數(shù)導函數(shù)

〃x）=c（C為常數(shù)）f'M=0

f(x)=xa(aeQ)/'(%)=axa~l

f(x)=ax(a>。，aw1)fr(x)=ax]na

尸(x)=4

f(x)=log4％(a>0,aw1)

xina

/(x)=e*廣(x)=e*

/(x)=lnxr?=-

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosX/r(x)=-sinx

2.導數(shù)的四則運算法則

(1)函數(shù)和差求導法則："(尤)±g(x)]'=/(X)土g，(x);

(2)函數(shù)積的求導法則："(無)g(尤)]=f'(x)g(x)+f{x)g\x);

“、P翔*"+曰1(無)i/(x)g(尤)一/(元)g(%)

(3)函數(shù)商的求導法則：g(x)0,則=------------------.

g(尤)§(尤)

3.復合函數(shù)求導數(shù)

復合函數(shù)>=/[§?]的導數(shù)和函數(shù)y=/(?),u=g(x)的導數(shù)間關(guān)系為：

易錯提醒：(1)復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù),乘以中間變量對自變量的導

數(shù)，即(2)求函數(shù)導數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導.注意以下幾點：連乘形式則先展

開化為多項式形式，再求導；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導；分式形式，

先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導；復合函數(shù)，先確定復合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導，必要

時可換元.

舉一反三

1.(24-25高二上?全國?課后作業(yè))己知某函數(shù)的導數(shù)為丫'=右二，則這個函數(shù)可能是()

2(x-1)

1

y=ln(l—%)

【答案】A

【分析】利用復合函數(shù)導數(shù)的運算法則逐項計算即可得到結(jié)果.

【詳解】對于A,函數(shù)y=ln可以看作y=ln〃,〃=和v=l-X的復合函數(shù),

iAiiAi

y'=y'-u'-v'=(]nu)'-(4v)'-(l-xy=---v2J-(-l)=-^=--1/n--1

xuvxk(f-2(l一

對于B,>=山—=ln?二，?,.y=不符合題意;

-Jl-x2(x-l)

對于c,y=ln(l-%)可以看作y=ln〃和"=1—%的復合函數(shù)，

「?K=y：4=(in沈)'(1—X)'=L(T)=」7，不符合題意；

ux-1

對于D,y=ln^—=-ln（x-l）,/=—二，不符合題意.

X-LX-l

故選：A.

2.（2025高三?全國?專題練習）下列求導運算錯誤的是（）

A.（tan%）'=-tanxB.（logx）=-—

\/2xln2

【答案】A

【分析】利用導數(shù)的運算法則與復合函數(shù)導數(shù)公式求解判斷即可.

【詳解】A項，（tanJ3…可燈吟」,故A錯誤;

\cosx）cosXcosX

B項，（log,x）'=-^—,故B正確；

xln2

c項，（2e”+*j=2e/+，（2x+l）=（4x+2）ef，故C正確;

D項,--L=,故D正確.

2xy1x

故選：A.

3.（24-25高三?全國?聯(lián)考）已知函數(shù)〃x）=cos12x+。!，則（）

A.—1B.—C.1D.—■

22

【答案】A

7T

【分析】先利用復合函數(shù)的求導法則求出導函數(shù)，將X=；代入求值即可.

【詳解】因為/（x）=cos]2x+gj,貝1]/3）=-25畝12》+1],

所以=-2sin^+^=-2cosJ=-1-

故選：A

易錯題通關(guān)

1.（2025高三?全國?專題練習）函數(shù)y=xln（2x+5）的導數(shù)為（）

A.y'=2xln（2x+5）

2%+5

X2x

C./=ln（2x+5）+-D.y'=ln（2x+5）+

2x+52x+5

【答案】D

【分析】根據(jù)乘法的導數(shù)以及復合函數(shù)的導數(shù)等知識來求得正確答案.

【詳解】因為y=xln（2x+5）,

所以V=[xln（2x+5）j=x4n（2x+5）+x[ln（2x+5）]

12x

=ln（2x+5）+xQ+5）'=ln（2x+5）+

2x+52x+5

故選：D

2.（24-25高三上,北京?開學考試）在下列函數(shù)中，導函數(shù)值不可能取到1的是（）

A.y=xlnxB.y=cosxC.y=2xD.y=x-]nx

【答案】D

【分析】分別對各選項中函數(shù)求導，由導函數(shù)值等于1時，判斷能否求出對應的元的值，即可確定.

【詳解】對于A,y0=lnx+l,令lnx+l=l,得％=1,即A選項導函數(shù)值可以取到1；

對于B,y=-sinx,令—sin%=l,x=—+2kn,keZ,即B選項導函數(shù)值可以取到1；

對于C,-2,令2丁2=1，得2'=+'

由于工＞1,所以x=log?工，即C選項導函數(shù)值可以取到1；

111

對于D,y=l—,令1一=1,則—=0,不存在X使其成立，即D選項導函數(shù)值不可能取到1,

XXX

故選：D.

3.（24-25高三上?上海寶山?階段練習）已知y=e"cos%,則（）

A.y'=-exsinx

C.=^/5e"sin]x+：

【答案】D

【分析】根據(jù)導數(shù)的運算法則計算即可.

【詳解】由y=e'cosx,則y'=e*cosx+ey-sinx）=e*-（cosx-sinx）=J5e*sin［：-xJ.

故選：D.

4.（24-25高三上?山西?期中）若函數(shù)滿足了⑺二尸一：;⑵無2_3X,則/"⑵的值為（）

A.-1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】求解導函數(shù)，再賦值x=2,解關(guān)于尸（2）的方程可得.

【詳解】由〃X）=d_g/⑵X?一3無，得（（x）=3Y-尸⑵X-3,

則/⑵=12-2r（2）-3,解得八2）=3,

故選：C.

5.（24-25高二下?遼寧?階段練習）（多選）下列求導運算正確的是（）

A.（In2022）'=焉B.（log,4x）'=七

2022xln4

【答案】BC

【分析】根據(jù)基本函數(shù)的導數(shù)公式及復合函數(shù)導數(shù)求法判斷各項正誤.

【詳解】由In2022為常數(shù)，則（In2022）'=。，A錯誤;

^log44x=l+log4x,貝1|344幻，=(1+1084H=—^,B正確;

xln4

2

由［，］Jcosx}=-sin^-cos.x=__二，c正確；

VtanxJIsin%Jsin2xsin2x

由（無3一，］=3元2+二，D錯誤.

X）X

故選：BC

6.（24-25高三上?陜西咸陽?期中）（多選）下列求導運算正確的是（）

2

C.(log23/=0D.x)e

【答案】ABC

【分析】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則可得選項A,B,C正確，選項D錯誤.

(sinx)'.;rsinj;.x'

【詳解】A.=xcosx：sinx,選項A正確.

尤2

Clog/為常數(shù)，選項C正確.

D.(尤2])=(尤2)+=2xe*+尤2=(2尤+尤2卜￡,選項D錯誤.

故選：ABC.

7.(24-25高三上?江蘇淮安?開學考試)(多選)下列導數(shù)運算正確的是()

A.(-)r=-B.(b)，=尸C.(tanx)=」^D.(ln|x|)'=-

XXcosXX

【答案】ACD

【分析】利用求導公式逐項判斷即可.

【詳解】對于A,d)'=-二，故A正確；

XX

對于B,(e一*)'=-e-,故B錯誤;

對于C,(tanx)'=(七)，=cos晨:sirx=,故c正確;

cosxcosXcosX

(Inx)',x>0i

On即=][ln(T)J,x<0=7

對于D,故D正確.

故選：ACD

8.(24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習)(多選)下列導數(shù)運算正確的是()

C.(tanx)'=——D.(Igx)'=—'―

cosxxlnlO

【答案】ACD

【分析】根據(jù)求導公式、運算法則和簡單復合函數(shù)的求導依次計算，即可求解.

【詳解】A：d)'=(K)'=-尤-2=--U故A正確；

XX

B：(e-xy=(e-x).(-x/=-e-\故B錯誤;

2.2

/、，sinx,(sincosx—sinx(cosx)'cosx+sinx1

zx一-------一'——-

c：(tanx\=(——y=2―2―故c正確;

cosXCOSXCOSXCOSX

D：Qg-嬴’故口正確

故選：ACD

易錯點03：混淆“在某點”和“過某點”切線的區(qū)別

叁易錯陷阱與避錯攻略

典例(2024.新疆.二模)過點(1,4)且與曲線/(x)=V+x+2相切的直線方程為()

A.4x-y=0B.7%—4y+9=0

C.4x—y=0或7x-4y+9=0D.4x-y=0或4x-7y+24=0

【答案】C

【分析】先設(shè)過點的切線，再根據(jù)點在曲線上及切線斜率等于導數(shù)值解方程即可求值進而求出切線.

【詳解】設(shè)過點(1,4)的曲線y=/(%)的切線為：l-y-y0=(3%0+l)(x-殉)，

有|(3瑤+1)(1-與)=4-yo

I=瑞+&+2

解得或“°二，

①。一4y°=?

代入/可得4x-y=0或7x-4y+9=0.

故選：C

【易錯剖析】

本題容易誤將(1,4)點當做函數(shù)的切點而出錯，要注意過P點的切線P不一定是切點.

【避錯攻略】

1.在點P的切線方程

切線方程y-f(x0)=f'(x0Xx-x0)的計算：函數(shù)y=f(x)在點A(x0,yu0))處的切線方程為

%=/(/)

,

y-/(x0)=/(x0)(x-x0),抓住關(guān)鍵

k=f'(x0)'

2.過點尸的切線方程

設(shè)切點為尸(%,%),則斜率左=/(%),過切點的切線方程為：y-%=/'(%)(尤-尤。)，又因為切線方

程過點AO，〃)，所以〃-%=/'(%)(根-尤0)然后解出尤o的值.(X。有幾個值，就有幾條切線)

【注意】在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外.

易錯提醒(1)利用導數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：

(1)函數(shù)在切點處的導數(shù)值是切線的斜率，即已知切點坐標可求切線斜率，已知斜率可求切點坐標.

(2)切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點.

(3)曲線y=/(x)“在”點尸(%,%)處的切線與“過”點尸(%,%)的切線的區(qū)別：曲線y=/(x)在點

尸(無為)處的切線是指點P為切點，若切線斜率存在，切線斜率為左=廣(與)，是唯一的一條切線；曲線

>=/(")過點次毛,%)的切線，是指切線經(jīng)過點P,點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可

能有多條.

(2)利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法

利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，

進而求出參數(shù)的值或取值范圍.

(3)求解與導數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應注意的兩點

(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍；

(2)謹記切點既在切線上又在曲線上.

舉一反三

1.(24-25高三上?廣東?階段練習)函數(shù)/(x)=lnx+2x的圖象在點(1,2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形

的面積為()

A.gB.-C.-D.—

2368

【答案】C

【分析】求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切線方程，進而可切線與坐標軸交點，即可得三角形面積.

【詳解】由/(x)=lnx+2x,得/'(x)=1+2,⑴=3,

則“力的圖象在點(1,2)處的切線方程為y-2=3。-1),即y=3尤一1,

令x=0,得y=-l,令y=o,得x=；,

則該切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為《xlx?=!，

故選：C.

2.(23-24高二下?山西晉城?期末)過原點O作曲線/(%)=/-內(nèi)的切線，其斜率為2,則實數(shù)〃=()

A.eB.2C.e+2D.e-2

【答案】D

【分析】設(shè)出切點，求導，得切點處的切線方程，即可代入原點(。,0)求解.

【詳解】設(shè)切點(毛,%),則尸(x)=e-a,

故切點處的切線方程為y=(e"-a)(x-Xo)+e領(lǐng)-ax0,故e'。-q=2,

將(0,0)代入得0=—2%+e%—ax。，0=-2%0+a+2—ax0,解得或%=1,

若。=一2,貝股為+2=2,此時無解，故。=一2不符合題意，

若為o=l,貝i」e-a=2,故。=6-2,此時滿足題意，

故選：D

3.(24-25高三?山東臨沂?期中)若過點(。,為可以作曲線y=e㈤的兩條切線，則()

b+1fl+1a+1M

A.e<aB.e<bC.0<b<eD.Q<a<e

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求出切線方程，然后對6進行討論即可.

【詳解】設(shè)切點為*%，%),

對y=e^+,求導可得：y=e^+1,

???切線的斜率為

可得切線方程為：>一^^=田+|(了一天)，

把點(a,b)代入可得b_e-+i=e、+ig_/),

+1

化為b=e^(a-x0+l),

令/(x)=e'+1(a-x+l),xeR,

/'(x)=e*M("x),

令/'(x)>。得x<令/'(x)<0得x>a

所以函數(shù)在(-,“)上單調(diào)遞增，在(“,+”)上單調(diào)遞減,

可得x=a時函數(shù)/(無)取得極大值，(a)=e“+L

當XT?-8時，f(x)>0,f(x)->0,

當x—>+co時，

：.b<Q時，y=b與函數(shù)f(x)的圖象最多有一個交點，不符合題意，舍去.

b>0時，由過點(a,b)可以作曲線j=ex+1的兩條切線，

■-y=b與函數(shù)/(%)的圖象有兩個交點，

.-.0<Z><ea+1.

故選：C.

易錯題通關(guān)

1.(24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習)曲線y=f(x-1)在*=1處的切線方程為()

A.x=lB.y=lC.y=xD.y=x-\

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程.

【詳解】因為所以y=3f-2x,

所以曲線y=d(x-l)在X=1處的切線的斜率為I,

當X=1時，y=0,所以切點為(1,0),

所以切線方程為y一0=尤一1,即y=x-L

2.(24-25高三上?河南?階段練習)曲線,=在x=0處的切線經(jīng)過點(2,-1),則實數(shù)。的值為()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】求導，由導數(shù)幾何意義得到函數(shù)在x=0處的切線斜率，結(jié)合兩點間斜率公式得到方程，求出實數(shù)。

的值.

【詳解】y'=ex-2a,由導數(shù)幾何意義知，

丁=1-2。苫在*=0處的切線斜率為6°-2°=1—2°,

當x=0時>=1,切線經(jīng)過點(2,-1),故有？^1=1-2a,解得。=1.

故選：C.

3.(24-25高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習)函數(shù)y=工在點(0,-1)處的切線與兩坐標軸圍成的封閉

圖形的面積為()

A.-B.—C.—■D.1

842

【答案】B

【分析】求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線方程，進而可得交點坐標和面積.

【詳解】因為>=X=—=11-二2，則，一2宗，可得川.。=2,

x+lx+1(x+l)

即切點坐標為(O,T)，切線斜率為2,

則切線方程為了=2彳-1,其與x軸交點為g,o1,

所以切線與兩坐標軸圍成的封閉圖形的面積為gxgxl=q.

224

故選：B.

4.(24-25高三上?天津武清?階段練習)若直線與曲線尸.+上相切，貝必=()

2x

A.1112H—B.—C.—D.4

424

【答案】B

【分析】設(shè)出切點坐標P(&,y°),求導并利用導數(shù)的幾何意義與兩點間的斜率公式計算可得直線斜率.

【詳解】設(shè)直線y="與曲線y=lnx+［相切于點P(久0,y0),

2x

11.11—1

求導可得了=±-3，因此切線斜率上=——

lnxnH-----0

又切線過原點。(0,0),可得*=2Ao化簡可得加1叫，-尤o+l=O,

po~-

令g(x)=xlnx-x+l,貝5|g，(x)=lnx+l-l=lnx,

當xe(0,1)時，g'(x)<0,即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

當xe(l,+oo)時，g〈x)>0,即g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以g(x)在％=1處取得極小值,也是最小值,g(l)=0,

⑷HJ1可人0—,，叩TJ1可2尤2

2,

故選：B

5.（2024?河南洛陽三模）（多選）若過點尸（1,0）作曲線丁=三的切線，則這樣的切線共有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

【答案】C

【分析】設(shè)切點為（陶片），利用導數(shù)的幾何意義及點斜式直線方程求出切線方程，根據(jù)過點尸（1,0）建立方

程，求得切點的個數(shù)即為切線的條數(shù).

【詳解】設(shè)切點為（％,%），由丁=工3,所以y=3一,得“『=3尤:，

所以切線方程為y-片=3%。一飛）,即y=3x；尤-2x；.

因為切線過點尸（1,0）,所以。=3君-2石，解得%=0或%=；,

所以過點P（l,0）作曲線y=/的切線可以作2條.

故選：C

6.（24-25高三?山東日照?期中）已知過點A（a,0）作曲線y=xe'的切線有且僅有兩條，則實數(shù)。的取值可能

為（）

A.-2B.-3C.-4D.-5

【答案】D

【分析】設(shè)出切點坐標，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，并將點A的坐標代入建立方程，求出方程有

兩個不等實根的參數(shù)范圍即可.

【詳解】設(shè)切點為（Xo，x（）e'。），由？=尤1,求導得I=（x+l）e”,

則切線方程為：丁=（毛+1）寸（％-%）+/爐）,而切線過點（a,。），

于是0=（%+1把加0-天藤'。，又e%>0,則其一a%-a=0,

依題意，方程尺-"（）-。=0有且僅有兩個不等實根，則4=6+44>0,

解得。>0或。<T,所以。=-5符合題意.

7.（23-24高二下?北京西城?階段練習）已知直線y=ex-2是曲線y=lnx的切線，則切點坐標為（）

A.[-,-1]B.（e,l）C.D.（0,1）

【答案】A

【分析】設(shè)切點坐標為(r」nr),利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，對比系數(shù)即可求出切點坐標.

【詳解】設(shè)切點坐標為(r,lnr),因為(lnx)'=L所以在點&lnr)處切線的斜率為L

%t

所以曲線y=ln%在點?,ln。處的切線方程為y-ln/=；(%T),

1

]—=e]

即y-ln/=-X-1,所以,解得，二一，

'[-2=lnz-le

所以切點為

故選：A

8.(24-25高三上?上海?開學考試)經(jīng)過點尸(1,-2)可以作與曲線2/-3x-y=0相切的不同直線共有()

A.0條B.1條C.2條D.3條

【答案】D

【分析】設(shè)切點為(無。,2片-3%)，則切線的斜率為6年-3,又切線過點尸(1,-2),可得4,-6尤;+1=0,設(shè)

g(x0)=44-6x；+l,由導數(shù)的單調(diào)性和零點的存在性可得g伉)與x軸有3個交點，則有3條切線.

【詳解】設(shè)切點為(飛,2￡-3%)，y'=6x2-3,

則切線的斜率為6尺-3,

又切線過點PQ，-2),

所以2年-3%+2=(6x：-3)(x0-l),

貝lJ4x；-6x：+1=0,設(shè)g(%o)=4x：-6x；+1,

則g'(%)=12片—12%,令g"o)=O,

解得%=0或%=1,

當4e(-e,0)和％e(l,+8)時g'(Xo)>O,函數(shù)g(%)單調(diào)遞增,

當司e(0,1)時g'Q)<。函數(shù)g(%)單調(diào)遞減,

又g(-l)=T-6+l=—9<0,g(0)=1>0,

g(l)=4-6+l=-l<0,g(2)=4x8-6x4+l=9>0,

所以存在再e(ro,0),ga)=0；x,e(O,l),g(^)=O；e(l,+oo),g(^)=0,

所以g(%)=44-6*+1與x軸有3個交點，

則經(jīng)過P(L-2)有3條切線.

故選：D.

易錯點04：利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間忽略定義域

12易錯陷阱與避錯攻略

典例(23-24高二下.寧夏吳忠?期中)函數(shù)/(x)=F的單調(diào)減區(qū)間為()

1WC

A.(-a),e)B.(0,e)C.(l,e)D.(0,1)和(l,e)

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，再解不等式即得答案.

【詳解】函數(shù)/(X)=F的定義域為(?！?口(1，+8),求導得/'(%)=2U，

Inx(lox)

由/'(x)<0,即<0，解得0<%<1或l<x<e,

，(Inx)，

所以函數(shù)f(x)=怖的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)和(1,e).

Inx

故選：D

【易錯剖析】

本題容易忽略定義域為(0,1)口(1,一)而錯選B.

【避錯攻略】

1.函數(shù)單調(diào)性的判定方法

設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果尸(x)>0,則y=/(x)為增函數(shù)；如果尸(x)<0,貝ijy=/(x)

為減函數(shù).

【解讀】①利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論導數(shù)的符號；

②在某個區(qū)間內(nèi)，/'(x)>0(/'(x)<0)是函數(shù)/(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分條件，而不是必

要條件.例如，函數(shù)/(x)=Y在定義域(-oo,+oo)上是增函數(shù)，但/'0)=3必之0.

2.求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

①確定函數(shù)f(x)的定義域；

②求尸(x),令((x)=0,解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù);

③把函數(shù)/（x）的間斷點的橫坐標和/'（%）=0的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把

函數(shù)/（x）的定義域分成若干個小區(qū)間；

④確定了'（X）在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)了'（X）的符號判斷函數(shù)/（X）在每個相應小區(qū)間內(nèi)的增減性.

3函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)與求函數(shù)單調(diào)區(qū)間

『（x）>0n/（x）單調(diào)遞增；f（x）單調(diào)遞增n/'（x）>0；

f'（x）<0=>f（x）單調(diào)遞減；/（x）單調(diào)遞減=>f'（x）<0.

易錯提醒：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須樹立定義域優(yōu)先的思想，即先求函數(shù)的定義域，然后再定義域上求

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）含參函數(shù)單調(diào)性討論的分類標準：①函數(shù)類型；②開口方向；③判別式；④導數(shù)等

于0有根無根；⑤兩根大??；⑥極值點是否在定義域內(nèi).

舉一反三

1.（2024.黑龍江佳木斯?模擬預測）若函數(shù)〃尤）=；/-3x-41nx,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.（4,+oo）B.（0,1）C.（0,4）D.（1,4）

【答案】C

【分析】求函數(shù)/Xx）的導數(shù)，利用導數(shù)小于零并結(jié)合定義域得出結(jié)果.

【詳解】函數(shù)〃x）=gx2-3x-41nx,定義域為（0,+8）,

由「⑴-3j/=（I）（x+l）,令?。?lt;0,解得o<%<4,

XXX

則函數(shù)〃尤）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,4）.

故選：C.

2.（2024全國?模擬預測）已知函數(shù)/'（x）=ln（x-2）+ln（4-x）,則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（一8,3）D.（3,+力）

【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零可構(gòu)造不等式組求得函數(shù)定義域；利用導數(shù)可求得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.

[x—2>0

【詳解】由4—〉0得：2Vx<4,即“X）的定義域為（2,4）；

11_2(3-x)

因為廣⑺=

x—24—x(%—2)(4—x)

所以當xe(2,3)時,尸(無)>0；當xe(3,4)時,f'(x)<0；

所以〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,3).

故選：A.

3.(24-25高三上?湖南長沙?階段練習)設(shè)/(x)=(尤2+or)lnx+；尤2,aeR.

(1)若。=0,求/(元)在x=l處的切線方程；

⑵若。eR,試討論/(%)的單調(diào)性.

【答案】⑴4x-2y-3=。

(2)見解析

【分析】(1)當。=0時，先求導，再求利用點斜式即可寫出切線方程；

(2)分。20,—2<a<0,a=-2-,〃<一2±四種情況，結(jié)合求導討論即可求解.

eee

【詳解】(1)若〃=0,貝U/(%)=九+41)=(，

又/'(尤)=2%lnx+x+x=2x(hu:+l),故/'⑴=2,

所以/(?在x=l處的切線