2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專(zhuān)項(xiàng)突破：三角恒等變換（16類(lèi)常考題型）原卷版

專(zhuān)題4-2三角恒等變換16類(lèi)?？碱}型匯總

近5年考情（2020-2024）

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

已知二倍角余弦值，求角的正

2024年I卷第4題，5分

弦值

2024年n卷第13題，5分根據(jù)給定條件，利用和角、差角

2023年新高考二卷，第7題,5分的正弦公式求出sin（a+）），再二重根式化簡(jiǎn)

利用二倍角的余弦公式計(jì)算作二倍角公式

2023年新高考I卷，第8題,5分

答和差公式+二倍角公式

2022年新高考n卷，第6題,5分由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，有和差化積的背景

結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系和差公式

2021年新高考I卷，第6題,5分根據(jù)tand的值，對(duì)齊次式化簡(jiǎn)，正余弦齊次式計(jì)算

結(jié)合二倍角的平方式二倍角公式

模塊一、熱點(diǎn)題型解讀（目錄）

和差公式

【題型1】和差公式的逆用

【題型2】與坐標(biāo)系中的象限角結(jié)合

【題型3】拆角與湊角

【題型4】切化弦

【題型5】統(tǒng)一角度化簡(jiǎn)

二倍角公式

【題型6】二倍角與誘導(dǎo)公式的配湊

【題型7】擴(kuò)角降瓶

【題型8】二倍角與平方公式結(jié)合

【題型9】化為一元二次方程或二次函數(shù)

【題型10】化為半角（縮角升暴）

【題型11］和差公式與二倍角公式結(jié)合

綜合應(yīng)用

【題型12］tan與齊次式

【題型13］輔助角公式的綜合應(yīng)用

【題型14］化為同名函數(shù)

【題型15］和差化積與積化和差

【題型16］拆角與湊角進(jìn)階

模塊二1核心題型?舉一反三

和差公式

【題型1］和差公式的逆用

基礎(chǔ)知識(shí)1

運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形.公式的逆

用和變形應(yīng)用更能開(kāi)拓思路，增強(qiáng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.

（T）sin（6Z±J3）=sinacosP±cosasin/3；

（2）cos（6r±y0）=cosacos+sinersin［3；

…?小tana±tan尸

③tan（o±0=^--------------匕；

1+tantanp

1.8580。8535。+8510。8555。的值等于().

A.立B.-立C.1D.--

2222

2.若sin2a=---------------/6分。工+E且aw土far,左￡z],則cos(2c-Q)=()

tana-tan(3\2)

A.—B.0C.-D.1

22

3.(汕頭市2023-模)已知xj。,，ye[。,"溶3=上手，則下列判斷正確的

12/I2Jcosx-sinxsin2y

是（）

【鞏固練習(xí)1]tan10°+tan50°+也tan10°tan50°=

【鞏固練習(xí)2】江蘇省決勝新高考2023-2024學(xué)年高三大聯(lián)考

已知實(shí)數(shù)m，〃滿(mǎn)足（機(jī)+1乂〃+1）=2,則加，〃可能是（）

,713兀一兀3兀

A.m=tan——,n=tan——B.m=tan—,〃=tan——

161688

「兀3兀一兀3兀

C.m=cos——,n-tan——D.m-cos—,n-tan——

161688

.兀71

xsin一+ycos—

且滿(mǎn)足一J-=tann黑，則)=________.

【鞏固練習(xí)3］設(shè)蒼丫均為非零實(shí)數(shù)，

兀?兀20x

xcos--ysm—

【題型2】與坐標(biāo)系中的象限角結(jié)合

基礎(chǔ)知識(shí)

兩角和與差正切公式變形

tana±tan尸=tan(cr±/?)(1+tantan/?);

八1tana+tan￡tana-tan尸

tana?tan/?=l------------------------------------1

tan(cr+p)tan(a-p)

4.已知角。?兀,2兀),6終邊上有一點(diǎn)(cosl+sinl,cosl-sinl),則夕=()

.兀71

xsin一+ycos—。

5.設(shè)為y均為非零實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足一2----i=tan蕓，則1=

20

xcos|-JSin|x

【鞏固練習(xí)1】已知cosa=g,ae(0,1j,角力的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終

邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(產(chǎn),白，且匹(0,兀)，則j=,

【鞏固練習(xí)2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角力均以。尤為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

若sina='，則cos(a-，)=.

【鞏固練習(xí)3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以。4為始邊，角a與夕的終邊分別與單位圓相交于E,

若直線(xiàn)￡F的斜率為:，則sin(a+/?)=(

尸兩點(diǎn)，且)

158815

A.B.C.D.

17171717

【題型3】拆角與湊角

基礎(chǔ)知識(shí)

常用的拆角、酉己角技巧：2a=(a+/7)+(a—4)；a=(a+4)一尸二(二一/7)+￡；

=—^^=(a+2/7)—(。+/?)；a-p={a-y)+{y-/3)；15°=45°-30°;

7.(2023?湖北?二模)已知sinasin=3cos6zsina+—貝Ucos12a+m卜(

I6

A.-且B.-1C.；D.也

222

8.(長(zhǎng)沙一中校月考)已知角。,方￡(0,兀)，且sin(a+/?)+cos(a-/7)=0,sinasin/?-3coscrcos/?=0,

貝(Jtan(a+/7)=

【鞏固練習(xí)1]2024?浙江省金麗衢十二校第一次聯(lián)考

9.已知a是第二象限角，尸,0,小,tan(a+：＞-；，現(xiàn)將角a的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)夕后得到角八

1

若tan/=—,貝ljtan'二

【鞏固練習(xí)2】2024?山東濰坊?統(tǒng)考

713."，其中ae兀3兀tana

10.已知cos~~a=—.sin，匹則(

513了丁由二

56

A.B.C.-17D.17

63

【鞏固練習(xí)3】2024屆?福建省高三下學(xué)期數(shù)學(xué)適應(yīng)性練習(xí)

11.已知V^tan(a+3cos(。一四)=1,則sin2a=()

44

【鞏固練習(xí)4】已知a,p都是銳角，tan（a+0=-l,則+

cosacosp

【題型4】切化弦

2024?長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)?月考試卷數(shù)學(xué)（六）

12.若。［。，個(gè)］,tan2a=C°S6Z,貝Utana=________

I2)2-sincz

cos(aH-----)

【鞏固練習(xí)】若tana=則-------叵

./兀、

sin(a+—)

【題型5】統(tǒng)一角度化簡(jiǎn)

基礎(chǔ)知識(shí)

通過(guò)和差公式利用特殊角進(jìn)行拆分，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的

2024?湖南雅禮中學(xué)?月考（七）

1311()

2tan2002cos10°

A.V2B.BC.V3D.2

2

14.求值：--------------=()

sin80°

A.否B."D%

C.-A/3

33

計(jì)算：4^cos800+3tanl01=_________

11‘31]

【鞏固練習(xí)1]（2023?河南洛陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）=()

cos40°?1.sin220°cos220°J

A.16B.32C.48D.52

【鞏固練習(xí)2】(2023.江蘇.三模)已知cos(40O—e)+cos(40o+e)+cos(80O-e)=0,則由。=()

A.一6B.蘭C.f

D.6

【鞏固練習(xí)3】已知cos(4OO—0)+cos(4(r+e)+cos(8OO—6>)=O,則tanO=

百-4sin20°+8sin320°

【鞏固練習(xí)4]化簡(jiǎn)求值（1）(2)

2sin20°sin480°cos210°Jcos20°

二倍角公式

【題型6】二倍角與誘導(dǎo)公式的配湊

基礎(chǔ)知識(shí)

一般可以通過(guò)換元來(lái)簡(jiǎn)化題目結(jié)構(gòu)，關(guān)鍵在于配湊出90°

①sin2a=2sin?cosa;

②cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a;

2tancr

③tan2a=

1-tan2a

(In生-2a

15.已知sin-------FCC=—,則cos

I633

【鞏固練習(xí)1】已知cos[a+%J=§,貝ljsin[2a—不

【鞏固練習(xí)2】若cosa+3cos分=&5,。+/?=^,則cos2￡=.

二也,6+工71]=逅

【鞏固練習(xí)3】已知力￡（0,兀）,tana+—,貝！Jcos(2a—/7)=()

I3-2(63

A.一偵「5百D.息

L.-----

993

【題型7】擴(kuò)角降森

基礎(chǔ)知識(shí)

.1.c.21-cos2a1+cos2a

sinacosa——sin2a\sina=-------------;cos2a=-------------

222

A.1B.1-sin2xC.l-cos2xD.-1

【鞏固練習(xí)1]r則2cos+=----------------

【鞏固練習(xí)2】已知6sin2f-+-^=--—?jiǎng)ttan(2"/］二()

((84)210I4j

117

A.D7D.13

1331

17.【鞏固練習(xí)3](難)閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長(zhǎng)度與一個(gè)角余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)

定理，運(yùn)用它可以解決一類(lèi)已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問(wèn)題.余弦定理

是這樣描述的：在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為久b、c,則三角形中任意一邊的

平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.用公式可描述為:

?2=Z72+c2-2ZJCCOSA，b1—a2+c2-laccosB,c2=a2+b2-labcosC

1

rA3

現(xiàn)已知在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別。，b,c,且(acos?—+ccos2—)(a+c-Z?)=—ac,

222

則3=_______

【題型8】二倍角與平方公式結(jié)合

基礎(chǔ)知識(shí)

1+sin2x=(sinx+cosx)2

cos2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx)

2024?福建龍巖?階段練習(xí)

18.已知5皿0-$足/?二一|>以)52-<：05夕=|',且a,/?￡[(),]),則tan(a—夕)的值為()

A2V14R2^4「小NA/5

5522

19.已知sine+cos9=2sina,sin8cos6=sin20,則4cos22cr-cos22/=.

【鞏固練習(xí)1】2024?浙江省?Z20名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考

20.已知sina—cosa=L0<a<7i,則sin[2a-()

5I4；

A17aR17A/2-31V2n310

50505050

【鞏固練習(xí)2】2024?遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考

已知0<a<"|,2sin/7-cosar=l,since+2cos￡=g,,貝|cos[a+IJ=____

【鞏固練習(xí)3】2024?江蘇南京市、鹽城市?一模

已知a,￡,且sintz-sin/?=-；,cosa-cos/，=；,則tancr+tan尸=_____.

【題型9】化為一元二次方程或二次函數(shù)

21.（2023?深圳中學(xué)校考階段練習(xí)）已知a,^2cos26Z+15sincr+2=0,貝tanc二_______

【鞏固練習(xí)1】已知aee,:，，且3cos2a—4sina=l,貝i]tan2a=()

B.逑（：.-1D.一延

3737

【鞏固練習(xí)2]函數(shù)y=cos;2x+2sin%—2,x￡R的值域?yàn)開(kāi)________

【鞏固練習(xí)3]2024?重慶八中?月考（五）

已知,2sin2a=cos2a+2則cosa=()

1

ABcD.

-f-f-13

【題型10】化為半角（縮角升瓶）

基礎(chǔ)知識(shí)1

.2a1-cosaa1+cosa

sin—;cos2

22~2~-2-

22.(2023?江門(mén)統(tǒng)考練習(xí))已知1.叩；6+Jin」%則1?。=

sin01+cos0

a

1-tan

3

23.若sina=一，a是第三象限角，則-2--=-(-)

a

51+tan

5

A.-2B.2c.--D.§

33

sin3二e/

【鞏固練習(xí)1]已知=A/3,則tan。一()

1一cos，

A.B

B.C.D.-y/3

33

,1-cosx+sinx-

【鞏固練習(xí)2]B知------------=-2,則tanx的值為（）

1+cosx+sinx

4433

A.一B.——C.一D.——

3344

【鞏固練習(xí)3】2024?遼寧丹東?一模

7T(1+sina)(l+cosa)_

已知ae(0,一),4^2+1,貝！Jsin2a=()

2[(1-sina)(l-cosa)

A472+1口40+14拒-1D.組

r\..---------D.---------

816816

【題型11]和差公式與二倍角公式結(jié)合

2023?新高考I卷T8

24.已知sin(o—尸)=l,cosasinyff=',貝ijcos(2。+2/7)=(

).

36

17

ABC.——D.

-?-199

2024?湖北?二模

7171cosa,貝usin12a—g

25.若ae,tana二-------)

2,23-sina

A4巫+7B.Gr4二十7百4夜-7b

L?--------------------D.

18181818

【鞏固練習(xí)1】已知月均為銳角，tana+tan^=2sin（a+4）,且cos（a+〃）=；,則

cos2(a-/)=

日，7i

【鞏固練習(xí)2]己知ecos(2cr+2y0)=--,sinasm/3=—,則cos(a—〃)=()

1

A?-:B.-cD

6-I-i

已知xe(0,—cosx+sinxl-cos2y2一“一一，r

【鞏固練習(xí)3],”嗚,kLTTF,則下列判斷正確的是（）

A.tan(y-x)=lB.tan(y-x)=-lC.tan(y+x)=lD.tan(y+x)=-l

【鞏固練習(xí)】已知卜71cosx+sinx_1-cos2y

4,則下列判斷正確的是（）

2cosx-sinxsin2y

A.tan(y—x)=lB.tan(y-x)=-lC.tan(y+x)=lD.tan(y+x)=-l

33

【鞏固練習(xí)5]（重慶巴蜀中學(xué)適應(yīng)性月考）（多選）已知0＜。＜兀＜，＜5兀，cos2a=-

5

cos(a+￡)=一^^,則()

B.sin(a+尸)=_^^-C3K

A.tana=-2C.0-a=D.cosacos/3=一冬

綜合應(yīng)用

【題型12]tan與齊次式

基礎(chǔ)知識(shí)

弦化切：把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為“切”的表達(dá)式，進(jìn)行求值.常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)有：

(1)sina,cosa的二次齊次式(如^sin2(z+Z?sin(zcosa+ccos2a)的問(wèn)題常采用“切”代換法求解;

(zjcino+〃COSi

(2)sina,cosa的齊次分式(如《sina+dcosJ的問(wèn)題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形?

常用變式

.小2sinacosa2tana八cos2?-sin2cr1-tan2aasina1-cosa

sinla=--------------=------------；cos2a=--------------=------------；tan—=-----------=一；-------

sincz+cosa1+tanasina+cosa1+tana21+cosasina

2024?浙江寧波?聯(lián)考

已知，門(mén)?cos4A-4cos2A+3

26.tanA=2則----------------

2cos4A+4cos2A+3

A-AB-I

C-iD./

(TTicosa

27.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)若ae0,彳,tanZau7~；—，貝l]tanc=()

k2J2-sina

叵

叵B好>----

IT.53,丁

28.已知角6的大小如圖所示，則FT=()

C.-4D.4

33

29.若040,；sin。sincos

則tan8=

2cos之。l-sin28

sin6(1+sin26)

【鞏固練習(xí)1](2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)若tan6=-2,則—\)

sin0+cos0

A-4B-4c-1D-I

【鞏固練習(xí)2】2024?湖北?統(tǒng)考

sin。sin。一cos。

若。e*，，貝!|tan6=

2cos%l-sin26

【鞏固練習(xí)3】已知角a滿(mǎn)足2sinIa-5兀

=tan—cosa,則sin2e+2cos2o■的值為()

12

BD

A-?-1-1

【鞏固練習(xí)4】2024屆?安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)高三下學(xué)期數(shù)學(xué)聯(lián)考

3

已知tan(a—p)="sin(cr-/7)=3cos(cr+/7),則tana—tan/=()

A1BCD

八?2-i-I-i

【題型13]輔助角公式的綜合應(yīng)用

基礎(chǔ)知識(shí)

bab

(1)6zsincr+Z?cosa=a2+b2sin(cr+cp)(其中sin°=/，COS(p=-p,tan^z?=—

Ja2+b2yla2+b2a

G2J療+.2n/_n

I//msincoxcoscox+ncoscox=------------sm(2o%+0)+—,tan^=一.

22m

2024屆?重慶八中等多校3月適應(yīng)性月考卷(六)

貝I]sin(2a-的值為()

30.若a

A239近B6「1190n120后

L\.--------------

338338338338

2024?江西省統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試

31.已知圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)A(cosa,sina),5(cos^sin^),若直線(xiàn)A5的斜率為-1,則tan二；分

（）

A.-1B.1C.-2D.2

【鞏固練習(xí)】已知f（x）=cos（x+e）+2sinx的最大值為3,則tan^=.

【題型14］化為同名函數(shù)

2024?江西?聯(lián)考

2

32.已知a,2（sin^+sin>0）=^^,貝|tan12c+Q+S）=（）

A.一6B.一且C.且D.73

33

2024?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考

33.已知口，般則tan,+￡+?=（）

A.一&B.一乎C.乎D.6

【鞏固練習(xí)1】（云南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）設(shè)ae0彳，匹。4，且tana-cos分=l+sin4,

貝U（）

A.sin（3cr-/?）=lB.sin（3a+/）=-l

C.sin（2a-分）=1D.sin（2a+'）=-l

【鞏固練習(xí)2】（2023?廣州一模T7）若。，，《千萬(wàn)｝且（l—cos2&）（l+si“）=sin2acos4，則下

列結(jié)論正確的是（）

A.2a+/?=yB.2a-13~

77TTT

C.a+/3=—D.a-/3=—

sin（2a+￡）/、1

【鞏固練習(xí)3】（2023?重慶市第八中月考）已知0片,—------^—2cos（a+Q）=—,則

sinatana

A.a+/=]B.1+4=日

C.a-p=-^D.a-p=-

【鞏固練習(xí)4】若且（l-cos2c）（l+sin/?）=sin2ccos/7,則下列結(jié)論正確的是（)

37r

A.oc—[3—B.2a-j3=—

-c5?！猚I

C.a+/3=D.2aj3=—

_,,.—一人八,一八「l+cos2crl-cos2/?

【鞏固練習(xí)5】右兩個(gè)銳角a,月滿(mǎn)足2c°sa+sin2「FF,貝｛]cos|a+2力+—)-

sin/?—cos。

【鞏固練習(xí)6】（廣州市天河區(qū)綜合測(cè)試）若tan2a-5貝Ijl—2cos2(2a—夕)=(

sin/?+cos/'

A-3B-4C-TD--T

【題型15］和差化積與積化和差

基礎(chǔ)知識(shí)1

\v.nrx-cc/3ex,—B.-ccB.oc—f3

和差化積公式：sina+sinp=2sin-^-cos-,sma-smpn=2cos---sin---

ncCC-\-(3cc—PQc.cc-\-/3.cc—/3

cosa+cosp=2cos------cos-------,cosa—cosp=—2sin-------sm------

2222

積化和差公式：sinacosP=；[sin(a+￡)+sin(a-￡)],cosasin[3=g[sin(a+p)-sin(a-77)],

cosacosp=g[cos(a+4)+cos(a-；0)],sinasin[3=一;[cos(a+尸)一cos(a-p)].

34.已知cos(i一尸)=一，sin。sin6二----,則cos2a-sin?/?=

35.（2024?湖北?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=cos2x+cos3x,X￡（。,兀），若/（幻有兩個(gè)零點(diǎn)石,%2（芯＜%2），

則()

A.等｛引闖B.x?=2再

1

C.cos%+cosx2=—D.cosxYcosx2=

【鞏固練習(xí)1】（全國(guó)?高考真題）sin20Ocos70o+sinl0Osin50。的值是（)

AD.

-i4

7元2兀712兀

【鞏固練習(xí)2】2sin—s