2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案 （一）

1.設(shè)全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合/={-1,2},5={1,3},則()

A.{1,3}B.{053}c.{-2,1}D.{-2,0}

2.若復(fù)數(shù)z=9,則|z|=()

1—

A1RV2j_

。c.D.72

A422

3.在“3c中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則怎=（)

A.2CD+CAB.CD-2CAc.2CD-CAD.CD+2CA

“71371,V3-1

4.設(shè)一<a<—，sma+cosa=--------，則cos2a=()

442

1c1V3

A.——B.—C.D.--

2222

5.以邊長(zhǎng)為6的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的側(cè)面積為（）

A.18KB.36兀C.54KD.72兀

6.下列說法正確的是（）

A.若函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，則/（0）=0

B.函數(shù)/（"=」：在（-8,1）。（1,+8）上是減函數(shù)

C.若函數(shù)了=/（2》+1）的定義域?yàn)閇2,3],則函數(shù)/（x）的定義域?yàn)?,1

D.若函數(shù)"X）為偶函數(shù)，且在（0,+oo）上是單調(diào)遞增，則/（無）在（-叫0）上是單調(diào)遞減

7.已知函數(shù)〃x）=sinox+2cos2m（。>0）在區(qū)間日常上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

A.（0,4]B.^0,ju1,4C.（0,；口D.|>3

8.已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,。用=/￡（"€加）.記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為J,則（）

199

A.§（doo<3B.3<S100<4C.4<<—D.—<5100<5

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的

得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.體育教育既能培養(yǎng)學(xué)生自覺鍛煉身體的習(xí)慣，又能培養(yǎng)學(xué)生開拓進(jìn)取、不畏艱難的堅(jiān)強(qiáng)性格.某校學(xué)生參加體育

測(cè)試，其中甲班女生的成績(jī)X與乙班女生的成績(jī)y均服從正態(tài)分布，且X?N（160,900）,y?N（160,400）,貝U（）.

A.￡（X）=160B.D（y）=20

c.P^x<120）+P（X<200）=1D.P（JT<180）<P（y<180）

試卷第1頁(yè)，共9頁(yè)

10.已知函數(shù)〃x）T°g〃f+2）-log?（x+4）,下列說法正確的是（）

2

A.函數(shù)〃x）的定義域?yàn)椋?4,2]B.函數(shù)〃x-l）為偶函數(shù)

C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1,2]D.函數(shù)“X）的圖像關(guān)于直線x=-l對(duì)稱

11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為（犬+/）3=//,則下

列說法正確的是（）

A.四葉草曲線有四條對(duì)稱軸

B.設(shè)尸為四葉草曲線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，過P作兩坐標(biāo)軸的垂線，則兩垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積

的最大值為:

O

C.四葉草曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為:

D.四葉草曲線的面積小于:

4

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若直線>=3x+。與曲線y=lnx+2x相切，則實(shí)數(shù)4的值為.

13.已知雙曲線C：5—《=l（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)為尸，過尸的直線/交圓于人，8兩點(diǎn)，交C的右支

于點(diǎn)0,若|足4|=|/同=忸。|,則C的離心率為.

14.數(shù)學(xué)家高斯在各個(gè)領(lǐng)域中都取得了重大的成就.在研究一類二次型數(shù)論問題時(shí)，他在他的著作《算術(shù)研究》中首

次引入了二次剩余的概念.二次剩余理論在噪音工程學(xué)、密碼學(xué)以及大數(shù)分解等各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.已知對(duì)于

正整數(shù)a,"（"開2）,若存在一個(gè)整數(shù)x,使得〃整除/-a,則稱。是〃的一個(gè)二次剩余，否則為二次非剩余.從1到

20這20個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)整數(shù)。，記事件/="a與12互質(zhì)"，8="a是12的二次非剩余”，貝!]

//）=；.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）記V4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,點(diǎn)。在邊/C上，且滿足:D4:OC=2:3:4,

試卷第2頁(yè)，共9頁(yè)

VN8C的面積sm'

2

⑴證明：=7ac

⑵求cosN/BC.

16.（15分）新冠肺炎疫情期間，某市為了了解本地居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從市居民中隨機(jī)抽取若干居民

進(jìn)行評(píng)分（滿分為100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖，已知評(píng)分在［70,90］的居民有2200人.

（1）求頻率分布直方圖中a的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；

（2）從頻率分布直方圖中，估計(jì)本次評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的眾數(shù)和平均數(shù)（精確到0.1）；

（3）設(shè)該市居民為50萬人，估計(jì)全市居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ髟u(píng)分在85分以上的人數(shù).

一x2V2BF

17.（15分）橢圓二+#=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)為尸、右頂點(diǎn)為N,上頂點(diǎn)為3,且滿足行V3

2

（1）求橢圓的離心率e；

⑵直線/與橢圓有唯一公共點(diǎn)與〉軸相交于N（N異于M）.記。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|（W|=|0N|,且的面

積為由，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

18.（17分）已知四棱錐尸一A8CD的底面/2CO是直角梯形，ADUBC,ABLBC,BC=2AD=2,=

E為CZ）的中點(diǎn)，PBLAE.

試卷第3頁(yè)，共9頁(yè)

p

⑴證明：平面尸平面48C。；

JT

(2)若PB=PD,PC與平面4BC。所成的角為7,試問在側(cè)面PCD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使得

8N,平面PCD?若存在，求出點(diǎn)N到直線尸。的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.(17分)用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇，衡量曲線彎

曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若/'(X)是"X)的導(dǎo)函數(shù)，/"(X)是/'(X)的導(dǎo)函數(shù)，則曲線

|?。﹟

V=/(X)在點(diǎn)(無,/(尤))處的曲率"

⑴求曲線"X)=lnr+x在(1,1)處的曲率%的平方;

⑵求正弦曲線〃(x)=sinx(xeR)曲率的平方KZ的最大值.

⑶正弦曲線〃(x)=sinx(xeR),若g(x)=e*-2x-〃(x),判斷g(x)在區(qū)間(一^5上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并寫出證明過

程.

試卷第4頁(yè)，共9頁(yè)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

12345678

DBCADDCA

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的

得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

91011

ACDBDABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.-1

13.叵

5

一75

14.——

207

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

19

15.(13分【答案】⑴證明見解析;(2)-萬或-§

【解析】(1)點(diǎn)。在邊4。上，且滿足。氏。/:。。=2:3:4,

234

所以DA=—b,DC=—b3分

777

BD-b?siaS

S=—acsinB=,4分

22

2

故皿二甲,BP2b2=lac;6分

(2)由圖可知cos/ADB+cosZCDB=....................7分

23

2x-bx-b

77

、2

可得3/一8〃。+4。2=o,解得。=2c或。=..........9分

1。當(dāng)a=2c時(shí)，b2=^-ac=lc2,cosa43c=3上二&t=；...............11分

22x2cxc2

f2cV27

277Hr+c~2C27

2°當(dāng)。時(shí)，b2=-ac=-c2,cosZABC=13J?！?_=——；.........地分

323.2c3

2x——xc

3

12

綜上所述cos/NBCu-j或一百................................................13分

試卷第5頁(yè)，共9頁(yè)

A

16.【答案】(1)0.025,4000人;(2)眾數(shù)為85.0,平均數(shù)80.7;(3)212500

【解析】(1)有頻率分布直方圖矢口(0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+。)>10=1

BP10x(0.075+a)=\,解得Q=0.025...................................................................................2分

2200

設(shè)總共調(diào)查了〃人，則—=(0.020+0.035)x10,

n

解得"=4000,即調(diào)查的總?cè)藬?shù)為4000人；...................................5分

(2)最高小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)，可得眾數(shù)為雙了=85.0,...................7分

由頻率分布直方圖知各段的頻率分別為：0.02,0.04s0.14,0.20,0.35s0.25,

所以設(shè)平均數(shù)為工

則元=45x0.02+55x0.04+65x0.14+75x0.2+85x0.35+95x0.25=80.7....................11分

035

(3)由頻率分布直方圖知評(píng)分在85分以上的頻率為一「+0.25=0.42513分

2

所以估計(jì)該市居民評(píng)分在85分以上的人數(shù)為:500000x0.425=21250015分

17.【答案】⑴。：逅⑵工+片=1

362

a

【角軍析】(1)n4a2—3僅2+/0a2=3b?,

+a22

離心率為5分

(2)由(1)可知橢圓的方程為V+3/=/,

易知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為>=丘+加，..........................6分

22得0+3左2卜2+66X+(3加2_Q2

聯(lián)立=0,8分

X+3V—Cl

2=0=>3加2=(]+3左2),①

由A=36左2冽2—4(1+3k2)(3m-/9分

3km7m

“=一素口'%=跖+加=由，11分

m2(%2+l)

由|。叫=|。叫可得//一不，②12分

(3尸+1)

試卷第6頁(yè)，共9頁(yè)

由Jaw=6可得JR?=石'③.......................................13分

2,'1J+?3無z!

聯(lián)立①②③可得/="/=4,“2=6,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+二=1...............15分

362

18.【答案】(1)見解析;(2)率

【解析】(1)由四邊形N8CD是直角梯形，AB地,BC=2AD=2,ABVBC,

TT

可得。C=2,ABCD=j,從而ABCD是等邊三角形，BD=2,BD平濟(jì)NADC.

?.?￡為CD的中點(diǎn)，:.DE=AD=\,BDLAE,.................................................3分

又?：PBLAE,PBcBD=B,BOu平面尸20,P5u平面PAD.......................4分

.?./￡_L平面尸8。，............................................................................................................5分

/Eu平面48CA,所以平面尸3D_L平面...........................6分

(2)在平面PBD內(nèi)作于O,連接OC,Q/E'平面尸2。，

又?；AEu平面ABCD,J.平面PSD_L平面ABCD.

因?yàn)槠矫媸珺DPl平面48c7)=2。，POu平面尸80,PO_L平面48CD

7T

??.ZPCO為PC與平面4BCD所成的角，貝!]/PCO=:，

J.由題意得OP=OC=J^

■：PB=PD,POLAD,為助的中點(diǎn),:.OCVBD..........................................8分

以。8,OC,0P所在的直線分別為x,V,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則80,0,0),C(0,百,0),2)(-1,0,0),網(wǎng)0,0,百)，......................9分

假設(shè)在側(cè)面PCD內(nèi)存在點(diǎn)N,使得8NL平面PCD成立，

設(shè)麗=2而+〃無(4,〃20"+〃VI),

由題意得N(—A,sf3jU,―+〃—1)),......................................................................10分

W=(-2-1,V3/7,-A/3(2+Z/-1)),FC=(0,V3,-V3),TO=(-1,0,-^),

BN-PC=Q3"+3(%+4-1)=0

rhJ.........................................................11分

\BNPD=04+1+3(丸+4—1)=0'

試卷第7頁(yè)，共9頁(yè)

1?J12g2M

解得彳=3〃=’,滿足題意，.1N一，￡>(-1,0,0),12分

7

取1=加=*￥2"

P5=(-I,O,-^),I=2,

5

、

2(26丫

一PDo1"28

,a2=DN++

5J55

7J

一一4X—1,

a-u=—x15分

52

求出點(diǎn)N到直線PD的距離為：yja2-(a-u)2=16分

所以N點(diǎn)直線9的距離為姮

17分

5

19.【答案】(1)圭;(2)1;(3)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,證明見解析

【解析】(1)因?yàn)?(x)=lnx+x,所以r(x)=：+i,/"(可=-3

1分

『(1)111

所以4

3333分

(1+"'⑴療(1+吁5?

/、2

11

(舄)2=[5分

125

52J

sinx

(2)由〃(x)=cosx,〃"(x)=-sinx,則*=36分

1+cos2x2

K2=—SIN2%sin2x