2025屆甘肅省高三4月二?？荚嚁?shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2025年甘肅省高三月考試卷（4月）數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號框涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)z=i（i+1）（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i2.已知，，則（）A. B. C. D.3.對于數(shù)列，“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（）A.充分非必要條件； B.必要非充分條件；C.充要條件； D.既非充分又非必要條件.4.已知，是兩個單位向量，與的夾角為，則（）A. B.1 C. D.5.若為坐標(biāo)原點，，當(dāng)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至?xí)r，坐標(biāo)為（）A. B. C. D.6.在數(shù)列的項和之間插入個構(gòu)成新數(shù)列，則（）A13 B. C.14 D.7.若函數(shù)的圖象上存在兩個不同點，使得在這兩點的切線與直線垂直，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8.如圖，在三棱錐中，平面，且，若在內(nèi)（包括邊界）有一動點，使得與平面所成角的正切值為，則點的軌跡長為（）A. B. C. D.6二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)22，18，19，23，24，30，25，24，26，23的第35百分位數(shù)為22B.數(shù)據(jù)組成一個樣本，其回歸直線方程為，其中，去除一個異常點后，得到新的回歸直線必過點C.若隨機(jī)變量，則函數(shù)偶函數(shù)D.在列聯(lián)表中，若每一個數(shù)據(jù)均變?yōu)樵瓉淼?倍，則變?yōu)樵瓉淼?倍（，其中）10.函數(shù)，則（）A.函數(shù)最小正周期為B.是函數(shù)的一條對稱軸C.函數(shù)圖象有對稱中心D若有四個解，則11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線交的右支于，兩點，則下列命題錯誤的是（）A.在直線上取不同于的點，若，則的面積為1B.若直線的斜率存在，則斜率范圍為C.當(dāng)直線的斜率為時，的面積為D.為雙曲線右支上任意一點，過作的兩條切線，，切點分別為H，K，則的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在遞增等比數(shù)列中，已知，，則________．13.已知實數(shù)，滿足，則的最小值為________．14.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中描述了一種五面體——芻甍（chúméng），其底面為矩形，頂棱和底面矩形的一組對邊平行．現(xiàn)有如圖所示一芻甍，，側(cè)面和為等邊三角形，且與底面所成角相等，則該幾何體中異面直線共有________對；若，到底面的距離為，則該芻甍的體積為________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.中，，．（1）角，所對的邊為，，若，，求的長；（2）若，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求．16.如圖，在四棱錐中，是一個等邊三角形，底面是平行四邊形，且平面平面，，．（1）證明：；（2）求平面與平面所成角正切值．17.2022年，商湯科技（SenseTime）軟件公司研制的第一款A(yù)I下棋機(jī)器人——象棋專業(yè)版“元蘿卜SenseRobot”問世．2024年，商湯將大模型植入機(jī)器人推出行業(yè)首款家用四合一下棋機(jī)器人，為推介這款機(jī)器人，該公司與某市青少年活動中心聯(lián)合舉辦了“挑戰(zhàn)AI下棋機(jī)器人”的象棋對弈活動，由于活動中心機(jī)器人的數(shù)量有限，每人每天最多獲得一次對弈資格，活動中心每天只抽簽6次，每人在第次被抽中的概率為（取1，2，…，6）．（1）求張明同學(xué)在第3次抽簽時獲得對弈資格的概率；（2）在活動中心參與測試的有A-1型和A-2型兩款機(jī)器人，活動規(guī)定：每位參賽者與機(jī)器人對弈三局，每局均可從這兩款中任選一款，假設(shè)選手選擇A-1型與A-2型的可能性相同，且每局比賽結(jié)果相互獨立．若選擇A-1型進(jìn)行對弈，選手獲勝概率為，獲勝后可得1分，若選擇A-2型進(jìn)行對弈，選手獲勝概率為，獲勝后得2分，平局或失敗均不得分，記參賽者得分為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．18.已知圓心在軸上移動的圓經(jīng)過點，且與軸、軸分別交于，兩個動點．（1）求點的軌跡的方程；（2）過作直線與曲線相交于，兩點．（i），直線，與曲線的另一個交點分別為，，證明直線過定點，并求出該定點；（ii）為點列，直線，與曲線的另一個交點分別為，，若數(shù)列的前項和為，證明．19.對于任意兩個正數(shù)，記區(qū)間上曲線下的曲邊梯形面積為，并規(guī)定，，記，其中．（1）若時，求證：；（2）若時，求證：；（3）若，直線與曲線交于，兩點，求證：（其中為自然常數(shù)）．

2025年甘肅省高三月考試卷（4月）數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號框涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)z=i（i+1）（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i【答案】A【解析】【詳解】∵z=i(i+1)=i2+i=?1+i，∴復(fù)數(shù)z=i(i+1)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是?1?i.本題選擇A選項.2.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式及求解不等式，再由交集運算即可求解.【詳解】，由可得：，則，所以，故選：D3.對于數(shù)列，“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（）A.充分非必要條件； B.必要非充分條件；C.充要條件； D.既非充分又非必要條件.【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列的定義、通項公式以及充要條件的定義即可求解.【詳解】解：若數(shù)列的通項公式為，則(為常數(shù))，由等差數(shù)列的定義可得數(shù)列為等差數(shù)列；若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)首項為，公差為，則通項公式為，令，則數(shù)列的通項公式可寫為，為常數(shù)，.所以對于數(shù)列，“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件.故選：C.4.已知，是兩個單位向量，與的夾角為，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)量積的定義求出，再由及數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】因為，是兩個單位向量，與的夾角為，所以，所以.故選：B5.若為坐標(biāo)原點，，當(dāng)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至?xí)r，的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點所在終邊的關(guān)系并利用三角函數(shù)定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得解.【詳解】設(shè)點在角α的終邊上，則在角的終邊上，由三角函數(shù)的定義，可知，則，則點，即.故選：B.6.在數(shù)列的項和之間插入個構(gòu)成新數(shù)列，則（）A.13 B. C.14 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意條件，求出新數(shù)列中不超過的數(shù)的個數(shù)，再分組計算.【詳解】在和之間插入個構(gòu)成數(shù)列,，則數(shù)列中不超過的數(shù)的個數(shù)為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.故選：A7.若函數(shù)的圖象上存在兩個不同點，使得在這兩點的切線與直線垂直，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由存在兩個不同的點滿足條件，可得出存在兩個大于1的解，結(jié)合根的分布討論得出的取值范圍.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，．因為函數(shù)圖象上存在兩點處的切線與直線垂直，故有兩個不同的大于1的解，即有兩個不同的大于1的根．令，則，即，所以．故選：A8.如圖，在三棱錐中，平面，且，若在內(nèi)（包括邊界）有一動點，使得與平面所成角的正切值為，則點的軌跡長為（）A. B. C. D.6【答案】C【解析】【分析】過作平面，為等邊的中心，由等體積發(fā)可得，則與平面所成角為，所以，的軌跡為以為圓心，以為半徑的落在內(nèi)的圓?。驹斀狻窟^作平面，因為，所以是邊長為2的等邊三角形，易知為的中心，由，則，則，與平面所成角為，因為與平面所成角的正切值為，所以，解得，所以的軌跡為以為圓心，以為半徑的落在內(nèi)的圓弧．根據(jù)，可知四邊形是菱形，且，根據(jù)對稱性可知：所形成的軌跡是三段等長的圓弧，故的軌跡長為．故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)線面角的定義找到與平面所成角，從而得的軌跡是解題關(guān)鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)22，18，19，23，24，30，25，24，26，23的第35百分位數(shù)為22B.數(shù)據(jù)組成一個樣本，其回歸直線方程為，其中，去除一個異常點后，得到新的回歸直線必過點C.若隨機(jī)變量，則函數(shù)為偶函數(shù)D.在列聯(lián)表中，若每一個數(shù)據(jù)均變?yōu)樵瓉淼?倍，則變?yōu)樵瓉淼?倍（，其中）【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義即可判斷A；根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)回歸方程的性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)的公式計算即可判斷D.【詳解】對于A，數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為，因為，所以數(shù)據(jù)第35百分位數(shù)是從小到大的第4個數(shù)，故A錯誤；對于B，數(shù)據(jù)組成一個樣本，其回歸直線方程為，其中，則，去除一個異常點后，其中，則，得到新的回歸直線必過點，故B正確；對于C，因為隨機(jī)變量，所以對稱軸為，則函數(shù)為偶函數(shù)，故C正確；對于D，在列聯(lián)表中，，若每一個數(shù)據(jù)均變?yōu)樵瓉淼?倍，則，則變?yōu)樵瓉淼?倍，故D正確.故選：BCD.10.函數(shù)，則（）A.函數(shù)最小正周期為B.是函數(shù)的一條對稱軸C.函數(shù)圖象有對稱中心D.若有四個解，則【答案】AB【解析】【分析】畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像判斷各個選項的對錯即可.【詳解】對于A：，函數(shù)圖像如下：可得函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對于B：由圖可得是函數(shù)的一條對稱軸，故B正確；對于C：根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù)沒有對稱中心，故C錯誤；對于D：由圖可得當(dāng)函數(shù)時，，所以有四個解，則也可以是，D選項錯誤.故選：AB.11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線交的右支于，兩點，則下列命題錯誤的是（）A.在直線上取不同于的點，若，則的面積為1B.若直線斜率存在，則斜率范圍為C.當(dāng)直線的斜率為時，的面積為D.為雙曲線右支上任意一點，過作的兩條切線，，切點分別為H，K，則的最小值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)，可得是直角三角形，利用勾股定理和雙曲線定義可得的面積，判斷A；設(shè)的方程為：，聯(lián)立方程組，由方程有兩個不互為相反數(shù)的異號根得解，判斷B；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，由求解判斷C；設(shè)，，則，先求出的范圍即可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，即，所以是直角三角形，則，又因為，所以，解得的面積為，故A正確；對于B，因為，直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為：，聯(lián)立方程得：，因為直線交的右支于，兩點，故，解得：，所以斜率的范圍為，或，故B錯誤；對于C，因為直線的斜率為，故直線的方程為，設(shè)，，由B可知，聯(lián)立方程得：，故，，，故C正確；對于D，設(shè)，，則，因為，令，則，設(shè)，則，因為對稱軸為，故，則，所以，故的最小值在時取得，最小值為，故D錯誤．故選BD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于D，設(shè)，，則，先求出的范圍即可判斷D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在遞增等比數(shù)列中，已知，，則________．【答案】9【解析】【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)通項公式求出，再根據(jù)數(shù)列遞增確定和，進(jìn)而求出等比數(shù)列公式.【詳解】在等比數(shù)列中，由等比數(shù)列性質(zhì)可知.又已知，則、可看作方程的兩個根.解這個方程，可得或，即或.因為是遞增的等比數(shù)列，所以，.設(shè)公比為，可得，即，化簡得，解得或舍，又因為數(shù)列遞增，所以，.故答案：9.13.已知實數(shù)，滿足，則的最小值為________．【答案】#【解析】【分析】考慮每個選項和圓的關(guān)系，考慮每個選項的幾何意義即可求解【詳解】因為，所以，所以，所以，因為，所以，當(dāng)時取等號，所以，則的最小值為.故答案為：14.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中描述了一種五面體——芻甍（chúméng），其底面為矩形，頂棱和底面矩形的一組對邊平行．現(xiàn)有如圖所示一芻甍，，側(cè)面和為等邊三角形，且與底面所成角相等，則該幾何體中異面直線共有________對；若，到底面的距離為，則該芻甍的體積為________．【答案】①.12②.【解析】【分析】第一空：由異面直線的概念逐個判斷即可，第二空：分別取，的中點，，將芻甍被分為四棱錐和三棱柱．進(jìn)而可求解.【詳解】由異面直線的判定定理易知：與成異面直線，與成異面直線，與成異面直線，與成異面直線，成異面直線，成異面直線，共12對；在芻甍中，過作底面的垂線，垂足為，則，取的中點，則，，所以．分別取，的中點，，則芻甍被分為四棱錐和三棱柱．又因為，，又因為所以，所以該芻甍的體積為．故答案為：12；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.中，，．（1）角，所對的邊為，，若，，求的長；（2）若，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用邊化角和二倍角公式得，所以，或，分情況求的長；（2）根據(jù)題意，的軌跡是以為圓心，2為半徑的且除去及中點的圓，顯然當(dāng)時，的面積最大，可得，再利用兩角和的正弦公式求解.【小問1詳解】因為，，所以，．因為，根據(jù)正弦定理，可知，由二倍角公式得：，所以，或，即，或，①時，因為，所以，在中，根據(jù)余弦定理可得：，故；②時，因為，所以是邊長為6的等邊三角形，因為，故，解得．所以，或；【小問2詳解】因為，所以的軌跡是以為圓心，2為半徑的且除去及中點的圓，顯然當(dāng)時，的面積最大．此時，，，所以．16.如圖，在四棱錐中，是一個等邊三角形，底面是平行四邊形，且平面平面，，．（1）證明：；（2）求平面與平面所成角的正切值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，由面面垂直可得平面，利用余弦定理可得，，從而，可證平面，可得證；（2）如圖，以，所在直線為軸，軸，過作的平行線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解平面與平面所成角的余弦值，再由同角基本關(guān)系求解.【小問1詳解】取的中點，連接，，因為是一個邊長為2的等邊三角形，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為，，解得，在中，根據(jù)余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，即，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，得到；【小問2詳解】如圖，以，所在直線為軸，軸，過作的平行線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．，，，，，，．設(shè)平面法向量為，則，令得，，所以平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則，令得，所以平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成角為，為銳角．則，，．17.2022年，商湯科技（SenseTime）軟件公司研制的第一款A(yù)I下棋機(jī)器人——象棋專業(yè)版“元蘿卜SenseRobot”問世．2024年，商湯將大模型植入機(jī)器人推出行業(yè)首款家用四合一下棋機(jī)器人，為推介這款機(jī)器人，該公司與某市青少年活動中心聯(lián)合舉辦了“挑戰(zhàn)AI下棋機(jī)器人”的象棋對弈活動，由于活動中心機(jī)器人的數(shù)量有限，每人每天最多獲得一次對弈資格，活動中心每天只抽簽6次，每人在第次被抽中的概率為（取1，2，…，6）．（1）求張明同學(xué)在第3次抽簽時獲得對弈資格的概率；（2）在活動中心參與測試的有A-1型和A-2型兩款機(jī)器人，活動規(guī)定：每位參賽者與機(jī)器人對弈三局，每局均可從這兩款中任選一款，假設(shè)選手選擇A-1型與A-2型的可能性相同，且每局比賽結(jié)果相互獨立．若選擇A-1型進(jìn)行對弈，選手獲勝概率為，獲勝后可得1分，若選擇A-2型進(jìn)行對弈，選手獲勝概率為，獲勝后得2分，平局或失敗均不得分，記參賽者得分為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）設(shè)“張明同學(xué)在第3次抽簽時獲得對弈資格”為事件，第（取次被抽中為事件，則，根據(jù)題意求解即可；（2）因為每局比賽結(jié)果相互獨立，則可以取0，1，2，3，4，5，6，求得每個值對應(yīng)概率，可得分布列，即可求得數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】設(shè)“張明同學(xué)在第3次抽簽時獲得對弈資格”為事件，第（取次被抽中為事件，則，又因為每個報名者在第次被抽中的概率為（取）．所以；【小問2詳解】設(shè)：表示選手在某一局得到了分，則，，，因為每局比賽結(jié)果相互獨立，則可以取0，1，2，3，4，5，6，且：“三局比賽均得0分”，：“三局比賽中1局得1分，2局各得0分”，：“三局中1局得0分，2局各得1分”或“三局中1局得2分，2局各得0分”，：“三局中1局得0分，1局得1分，1局得2分”或“三局均得得1分”，：“三局中1局得0分，2局各得2分”或“三局中1局得2分，2局各得1分”，：“三局中1局得1分，2局各得2分”，：“三局比賽均得2分”．所以，，，，，，．所以參賽者得分分布列為0123456所以．18.已知圓心在軸上移動的圓經(jīng)過點，且與軸、軸分別交于，兩個動點．（1）求點的軌跡的方程；（2）過作直線與曲線相交于，兩點．（i），直線，與曲線的另一個交點分別為，，證明直線過定點，并求出該定點；（ii）為點列，直線，與曲線的另一個交點分別為，，若數(shù)列的前項和為，證明．【答案】（1）（2）（i）證明見解析，定點為；（ii）證明見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，與的中點為該圓的圓心，故圓心為，再由，可得點的軌跡的方程；（2）（i）設(shè)弦所在直線方程為，設(shè)，，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，得，同理可得：，解得，故猜想若為定值時，直線過的定點在軸上，證明即可得定點坐標(biāo)；（ii）根據(jù)（i）的方法可得直線過定點，從而得，再利用放縮法和裂項相消法求證.【小問1詳解】因為圓的圓心在軸上移動，所以與的中點為該圓的圓心，故圓心為．又因為在圓上，所以，即，化簡得：，所以點的軌跡的方程為；【小問2詳解】因為弦的斜率必不為0，故設(shè)弦所在直線方程為，聯(lián)立方程，得，因為交于兩點，故，解得，或，設(shè)，，故，．（i）證明：因為，直線，與曲線的另一個交點分別為，，設(shè)直線．聯(lián)立方程，得，所以，，同理可得：．所以，解得．由上述解答可知：過軸上一定點的直線與拋物線交于兩點時，這兩點的橫坐標(biāo)之積為定值，故猜想若為定值時，直線過的定點在軸上，下面進(jìn)行證明．因為，可得直線的方程為：，令，解得，又因為，根據(jù)題目可知，，同號，故，所以，故直線恒過定點，定點為；（ii）由（i）可知：若拋物線的弦與軸交于點，若，，則有，．由證明出的結(jié)論可知，，，因為為點列，直線，與曲線的另一個交點分別為，，故，，，．所以，解得．因為，可得直線的方程為：，由（i）同理可得：時，解得，又因為，根據(jù)題目可知，同號，故，所以，故直線過定點，所以，，于是．故，顯然，當(dāng)時，，故，