遼寧省普通高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2024-2025學(xué)年度下學(xué)期高二年級(jí)4月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡的指定位置.考試結(jié)束后，將答題卡交回.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知是可導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)是，且，則（）A. B. C.3 D.-32.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)積，則（）A. B. C. D.3.冰雪同夢綻放光芒，亞洲同心共譜華章，2025年2月7日，第九屆亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)在黑龍江省哈爾濱市隆重開幕.在本次運(yùn)動(dòng)會(huì)滑雪比賽中攝影師利用雷達(dá)干涉儀記錄了運(yùn)動(dòng)員的滑雪過程，由起點(diǎn)起經(jīng)過秒后的位移（單位：米）與時(shí)間（單位：秒）的關(guān)系為，則運(yùn)動(dòng)員在滑雪過程中瞬時(shí)速度為零的時(shí)刻為（）A.1秒末 B.2秒末 C.3秒末 D.4秒末4.已知首項(xiàng)為1的數(shù)列滿足，則（）A.2024 B. C.2025 D.5.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A.-55 B.64 C.-80 D.1246.記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B. C. D.7.已知數(shù)列滿足，設(shè)甲：存在正整數(shù)，使得；乙：存在正整數(shù)，滿足，則（）A.甲和乙都是真命題 B.甲是真命題但乙是假命題C.乙真命題但甲是假命題 D.甲和乙都是假命題8.已知數(shù)列和數(shù)列滿足，，則下列數(shù)列為等差數(shù)列的是（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.10.已知，若數(shù)列不是遞增數(shù)列，則下列數(shù)值中的可能取值為（）A.1 B. C. D.11.化學(xué)課上，老師帶同學(xué)進(jìn)行酸堿平衡測量實(shí)驗(yàn)，由于物質(zhì)的量濃度差異，測量酸堿度值時(shí)會(huì)造成一定的誤差，甲小組進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差和乙小組進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均符合正態(tài)分布，其中，，已知正態(tài)分布密度函數(shù)，記和所對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布密度函數(shù)分別為，，則（）A.B.乙小組的實(shí)驗(yàn)誤差數(shù)據(jù)相對(duì)于甲組更集中C.D.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.曲線在點(diǎn)處切線方程為_____.13.甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同學(xué)相約到電影院觀看電影《哪吒2》，恰好買到了六張連號(hào)且在同一排的電影票，若甲不坐在6個(gè)人的兩端，乙和丙相鄰，則不同的排列方式種數(shù)為_____.14.若單調(diào)遞增數(shù)列滿足，，則取值范圍是________．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數(shù)列滿足，.（1）求；（2）記為的前項(xiàng)和，求的最小值及此時(shí)的值.16.為了響應(yīng)國家“雙減”政策，某高中將周六的作息時(shí)間由上課調(diào)整為自愿到校自主自習(xí)，經(jīng)過一個(gè)學(xué)期的實(shí)施后，從參加周六到校自主自習(xí)和未參加周六到校自主自習(xí)的學(xué)生中各隨機(jī)選取75人進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：成績有進(jìn)步成績沒有進(jìn)步合計(jì)參加周六到校自主自習(xí)552075未參加周六到校自主自習(xí)304575合計(jì)8565150（1）依據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生“周六到校自主自習(xí)與成績進(jìn)步”有關(guān)聯(lián)?（2）從調(diào)查的未參加周六到校自主自習(xí)的學(xué)生中，按成績是否進(jìn)步采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人.若從這10人中隨機(jī)抽取2人，記為成績有進(jìn)步的學(xué)生人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，.0.10.050.010.00500012.7063.8416.6357.87910.82817.已知函數(shù)，若曲線在處的切線交軸于點(diǎn)，在處的切線交軸于點(diǎn)，以此類推，在.處的切線交軸于點(diǎn)，由此能得到一個(gè)數(shù)列，且.（1）證明：為等比數(shù)列；（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和.18.2025年3月16日，我國著名乒乓球運(yùn)動(dòng)員王楚欽在WTT冠軍賽中奪得了男單總冠軍，這一振奮人心的消息再次點(diǎn)燃了全民乒乓球的激情，為此某校組織了一場乒乓球擂臺(tái)賽，其中甲、乙、丙三名同學(xué)參加了此次擂臺(tái)賽，每輪比賽都采用3局2勝制，且每局比賽的兩名同學(xué)獲勝的概率均為，首輪由甲乙兩人開始，丙輪空；第二輪由首輪的勝者與丙之間進(jìn)行，首輪的負(fù)者輪空，依照這樣的規(guī)則無限地繼續(xù)下去.（1）求甲在第三輪獲勝的條件下，第二輪也獲勝的概率；（2）求第輪比賽甲輪空的概率；（3）按照以上規(guī)則，求前六輪比賽中甲獲勝局?jǐn)?shù)的期望.19.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，.（1）求值；（2）探究是否存在唯一的最大項(xiàng)；（3）證明：.

2024-2025學(xué)年度下學(xué)期高二年級(jí)4月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡的指定位置.考試結(jié)束后，將答題卡交回.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知是可導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)是，且，則（）A. B. C.3 D.-3【答案】C【解析】【分析】通過代數(shù)變換將給定的極限表達(dá)式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的定義形式，從而求出的值.【詳解】.故選：C2.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)積，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用數(shù)列的前項(xiàng)積與前項(xiàng)積的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意當(dāng)時(shí)公式的適用性，【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)積，即；所以，當(dāng)時(shí)，，符合上式，當(dāng)時(shí)，，由題意可得.故選：A3.冰雪同夢綻放光芒，亞洲同心共譜華章，2025年2月7日，第九屆亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)在黑龍江省哈爾濱市隆重開幕.在本次運(yùn)動(dòng)會(huì)滑雪比賽中攝影師利用雷達(dá)干涉儀記錄了運(yùn)動(dòng)員的滑雪過程，由起點(diǎn)起經(jīng)過秒后的位移（單位：米）與時(shí)間（單位：秒）的關(guān)系為，則運(yùn)動(dòng)員在滑雪過程中瞬時(shí)速度為零的時(shí)刻為（）A.1秒末 B.2秒末 C.3秒末 D.4秒末【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)的物理意義得，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，得，得或（舍去），所以瞬時(shí)速度為零的時(shí)刻為4秒末.故選：D4.已知首項(xiàng)為1的數(shù)列滿足，則（）A.2024 B. C.2025 D.【答案】B【解析】【分析】由題意得，利用累乘法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入通項(xiàng)公式求解即可.詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，滿足該式，故，所以.故選：B5.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A.-55 B.64 C.-80 D.124【答案】C【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，，，令，得，因此展開式中項(xiàng)系數(shù)為.故選：C6.記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令可得的值，當(dāng)時(shí)，由得出，兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為常數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得解.【詳解】因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，令可得，故，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得到，即，故，于是為常數(shù)列，故，故，故.故選：B.7.已知數(shù)列滿足，設(shè)甲：存在正整數(shù)，使得；乙：存在正整數(shù)，滿足，則（）A.甲和乙都是真命題 B.甲是真命題但乙是假命題C.乙是真命題但甲是假命題 D.甲和乙都是假命題【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡可得，從而得甲是真命題，用特值法求出，結(jié)合數(shù)列的周期性即可判斷乙是真命題，從而得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于，存在正整數(shù)，所以甲是真命題；對(duì)于，，，不妨令，故，，，又3是數(shù)列的一個(gè)周期，所以，故存在正整數(shù)，滿足，故乙是真命題，所以甲和乙都是真命題.故選：A8.已知數(shù)列和數(shù)列滿足，，則下列數(shù)列為等差數(shù)列的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義逐一判斷即可.【詳解】依題意，對(duì)消去，得，等價(jià)于，所以，所以是等差數(shù)列，故D正確，C錯(cuò)誤；若是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，與是公差為1的等差數(shù)列矛盾，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故A錯(cuò)誤．故選：D．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可判斷BD選項(xiàng)；利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.已知，若數(shù)列不是遞增數(shù)列，則下列數(shù)值中的可能取值為（）A.1 B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特性，利用單調(diào)性即可得出結(jié)論.【詳解】若數(shù)列是遞增數(shù)列，則有，而因?yàn)椴皇沁f增數(shù)列，所以或，解得，故BD正確.故選：BD11.化學(xué)課上，老師帶同學(xué)進(jìn)行酸堿平衡測量實(shí)驗(yàn)，由于物質(zhì)的量濃度差異，測量酸堿度值時(shí)會(huì)造成一定的誤差，甲小組進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差和乙小組進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均符合正態(tài)分布，其中，，已知正態(tài)分布密度函數(shù)，記和所對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布密度函數(shù)分別為，，則（）A.B.乙小組的實(shí)驗(yàn)誤差數(shù)據(jù)相對(duì)于甲組更集中C.D.【答案】AC【解析】【分析】由正態(tài)分布密度函數(shù)曲線的圖象及性質(zhì)可判斷A，B；利用正態(tài)分布密度函數(shù)曲線的對(duì)稱性以及原則即可判斷C，D.【詳解】由正態(tài)分布密度函數(shù)曲線可知，數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)越集中在均值附近，峰值越大，反之，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)越分散，峰值越小.對(duì)于兩個(gè)小組的誤差，甲組的標(biāo)準(zhǔn)差，乙組的標(biāo)準(zhǔn)差，顯然甲組的標(biāo)準(zhǔn)差更小，故峰值更大，數(shù)據(jù)相對(duì)乙組更集中，故A正確，B錯(cuò)誤；，，，故C正確；，，而對(duì)于任何正態(tài)分布都有，故，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_____.【答案】（或）【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率即可寫出切線的點(diǎn)斜式方程.【詳解】易得，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故答案為：（或）13.甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同學(xué)相約到電影院觀看電影《哪吒2》，恰好買到了六張連號(hào)且在同一排的電影票，若甲不坐在6個(gè)人的兩端，乙和丙相鄰，則不同的排列方式種數(shù)為_____.【答案】144【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用捆綁法及插空法列式求解即得.【詳解】先將乙和丙看成一個(gè)人與丁、戊、戌排列，有種排列方式，再將甲插入這四個(gè)人中間的三個(gè)空位，有種排列方式，最后考慮乙和丙的順序有種方式，故共有種排列方式.故答案為：14414.若單調(diào)遞增數(shù)列滿足，，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)求的取值范圍.【詳解】由，可得，兩式相減可得：，又，所以..因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以，故.故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數(shù)列滿足，.（1）求；（2）記為的前項(xiàng)和，求的最小值及此時(shí)的值.【答案】（1）（2）或13，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式寫出表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值.【小問1詳解】由可知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列因?yàn)?，所以，解得【小?詳解】由（1）可得，所以當(dāng)或13時(shí)，取得最小值，最小值為.16.為了響應(yīng)國家“雙減”政策，某高中將周六的作息時(shí)間由上課調(diào)整為自愿到校自主自習(xí)，經(jīng)過一個(gè)學(xué)期的實(shí)施后，從參加周六到校自主自習(xí)和未參加周六到校自主自習(xí)的學(xué)生中各隨機(jī)選取75人進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：成績有進(jìn)步成績沒有進(jìn)步合計(jì)參加周六到校自主自習(xí)552075未參加周六到校自主自習(xí)304575合計(jì)8565150（1）依據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生“周六到校自主自習(xí)與成績進(jìn)步”有關(guān)聯(lián)?（2）從調(diào)查的未參加周六到校自主自習(xí)的學(xué)生中，按成績是否進(jìn)步采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人.若從這10人中隨機(jī)抽取2人，記為成績有進(jìn)步的學(xué)生人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生“周六到校自主自習(xí)與成績進(jìn)步”有關(guān)聯(lián)；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)公式求得，再對(duì)照臨界值表即可得解.（2）按分層隨機(jī)抽樣先得到成績有進(jìn)步同學(xué)和成績沒有進(jìn)步同學(xué)的人數(shù)，得到的可能取值為0，1，2和對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】經(jīng)計(jì)算得.所以有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生“周六到校自主自習(xí)與成績進(jìn)步”有關(guān)聯(lián).【小問2詳解】按分層隨機(jī)抽樣，成績有進(jìn)步同學(xué)抽取4人，成績沒有進(jìn)步同學(xué)抽取6人的所有可能取值是的所有可能取值為0，1，2，，，，的分布列為：012所以的期望為：.17.已知函數(shù)，若曲線在處的切線交軸于點(diǎn)，在處的切線交軸于點(diǎn)，以此類推，在.處的切線交軸于點(diǎn)，由此能得到一個(gè)數(shù)列，且.（1）證明：等比數(shù)列；（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在處的切線方程，將點(diǎn)帶入切線方程得，即可判斷為等比數(shù)列；（2）寫出的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】證明：易得，在處的切線的斜率為，所以在處的切線的方程為，因?yàn)樵谇芯€上，所以，又，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）可得，故，故①，兩邊同時(shí)乘得②，①-②得，所以．18.2025年3月16日，我國著名乒乓球運(yùn)動(dòng)員王楚欽在WTT冠軍賽中奪得了男單總冠軍，這一振奮人心的消息再次點(diǎn)燃了全民乒乓球的激情，為此某校組織了一場乒乓球擂臺(tái)賽，其中甲、乙、丙三名同學(xué)參加了此次擂臺(tái)賽，每輪比賽都采用3局2勝制，且每局比賽的兩名同學(xué)獲勝的概率均為，首輪由甲乙兩人開始，丙輪空；第二輪由首輪的勝者與丙之間進(jìn)行，首輪的負(fù)者輪空，依照這樣的規(guī)則無限地繼續(xù)下去.（1）求甲在第三輪獲勝的條件下，第二輪也獲勝的概率；（2）求第輪比賽甲輪空的概率；（3）按照以上規(guī)則，求前六輪比賽中甲獲勝局?jǐn)?shù)的期望