2024年中考數(shù)學真題分類匯編（全國）：專題15 等腰三角形與直角三角形（含勾股定理）（24題）（教師版）

專題15等腰三角形與直角三角形（含勾股定理）（24題）

一、單選題

1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在ABC中，D是AC的中點，CEAB，BD與CE交于點O，且

BECD．下列說法錯誤的是（）

A．BD的垂直平分線一定與AB相交于點E

B．BDC3ABD

C．當E為AB中點時，ABC是等邊三角形

S△BOC3

D．當E為AB中點時，

S△AEC4

【答案】D

1

【分析】連接DE，根據(jù)CEAB，點D是AC的中點得DEADCDAC，則BEDE，進而得點D

2

在線段BD的垂直平分線上，由此可對選項Ａ進行判斷；設(shè)ABD，根據(jù)BEDE得EDBABD，

的AEDEDBABD2，再根據(jù)DEAD得AAED2，則BDCAABD3，由此可對選

1

項Ｂ進行判斷；當E為AB中點時，則BEAB，CE是線段AB的垂直平分線，由此得ACBC，然后

2

11

根據(jù)BEAB，CDAC，BECD得ABAC，由此可對選項Ｃ進行判斷；連接AO并延長交BC于

22

F，根據(jù)ABC是等邊三角形得OBCOAC30，則OAOB，進而得OB2OF，AF3OF，由此

113

得SBCOF，SBCAFBCOF，由此可對選項Ｄ進行判斷，綜上所述即可得出答案．

OBC2ABC22

【詳解】解：連接DE，如圖1所示：

CEAB，點D是AC的中點，

DE為Rt△AEC斜邊上的中線，

1

DEADCDAC，

2

BECD，

BEDE，

點D在線段BD的垂直平分線上，

即線段BD的垂直平分線一定與AB相交于點E，故選項A正確，不符合題意；

設(shè)ABD，

BEDE，

EDBABD，

AEDEDBABD2，

DEAD，

AAED2，

BDCAABD3，

即BDC3ABD，故選B正確，不符合題意；

1

當E為AB中點時，則BEAB，

2

CEAB，

CE是線段AB的垂直平分線，

ACBC，

11

BEAB，CDAC，BECD，

22

ABAC，

ACBCAB，

ABC是等邊三角形，故選C正確，不符合題意；

連接AO，并延長交BC于F，如圖2所示：

當E為AB中點時，

點D為AC的中點，

根據(jù)三角形三條中線交于一點得：點F為BC的中點，

當E為AB中點時，ABC是等邊三角形，

ABCBAC60，AFBC，AF平分OAC，BD平分ABC，

OBCOAC30，

OAOB，

在Rt△OBF中，OB2OF，

OAOB2OF，

AFOAOF3OF，

113

SBCOF，SBCAFBCOF，

OBC2ABC22

S1

OBC，故選項D不正確，符合題意．

SABC3

故選：D．

【點睛】此題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，

等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形

的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．

2．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，圖1是北京國際數(shù)學家大會的會標，它取材于我國古代數(shù)學家趙爽

的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現(xiàn)將

這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（）

A．24B．36C．40D．44

【答案】D

【分析】本題考查勾股定理，設(shè)直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c，根據(jù)圖1，結(jié)合已知條件

2

得到a2b2c224，aba2b22ab4，進而求出ab的值，再進一步求解即可.

【詳解】解：如圖，直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c，

圖1中大正方形的面積是24，

a2b2c224，

小正方形的面積是4，

2

aba2b22ab4，

ab10，

1

圖2中最大的正方形的面積c24ab2421044；

2

故選：D．

3．（2024·四川巴中·中考真題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問：水深

幾何？”這是我國數(shù)學史上的“葭生池中”問題．即AC5，DC1，BDBA，則BC（）

A．8B．10C．12D．13

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用．設(shè)BCx，則BDBAx1，由勾股定理列出方程進行求解

即可．

【詳解】解：設(shè)BCx，則BDBAx1，

2

由題意，得：x152x2，

解得：x12，即BC12，

故選：C．

4．（2024·四川廣元·中考真題）如圖①，在ABC中，ACB90，點P從點A出發(fā)沿A→C→B以1cm/s

2

的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，ABP的面積ycm隨時間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該三

角形的斜邊AB的長為（）

A．5B．7C．32D．23

【答案】A

【分析】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，完全平方公式，勾股定理，

1

由圖象可知，ABP面積最大值為6，此時當點P運動到點C，得到ACBC6，由圖象可知ACBC7，

2

根據(jù)勾股定理，結(jié)合完全平方公式即可求解．

【詳解】解：由圖象可知，ABP面積最大值為6

由題意可得，當點P運動到點C時，ABP的面積最大，

1

∴ACBC6，即ACBC12，

2

由圖象可知，當x7時，y0，此時點P運動到點B，

∴ACBC7，

∵C90，

2

∴AB2AC2BC2ACBC2ACBC7221225，

∴AB5．

故選：A

1

5．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段AB，按以下步驟作圖：①過點B作BCAB，使BCAB，

2

連接AC；②以點C為圓心，以BC長為半徑畫弧，交AC于點D；③以點A為圓心，以AD長為半徑畫弧，

交AB于點E．若AEmAB，則m的值為（）

5152

A．B．C．51D．52

22

【答案】A

1

【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)垂直定義可得ABC90，再根據(jù)BCAB，設(shè)AB=a，然后在

2

51

Rt△ABC中，利用勾股定理可得ACa，再根據(jù)題意可得：ADAE，CDBCa，從而利用線段

22

的和差關(guān)系進行計算，即可解答．

【詳解】解：∵BCAB，

∴ABC90，

1

∵BCAB，設(shè)AB=a

2

1

∴BCa，

2

2

22215

∴ACABBCaaa，

22

1

由題意得：ADAE，CDBCa，

2

5151

∴AEADACCDaaa，

222

∵AEmAB，

51

∴m，

2

故選：A

1

6．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，Rt△ABC中，ABC90，分別以頂點A，C為圓心，大于AC的

2

長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M和點N，作直線MN分別與BC，AC交于點E和點F；以點A為圓

1

心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點H和點G，再分別以點H，點G為圓心，大于HG的長為

2

半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，若射線AP恰好經(jīng)過點E，則下列四個結(jié)論：

1

①C30；②AP垂直平分線段BF；③CE2BE；④SS．

△BEF6△ABC

其中，正確結(jié)論的個數(shù)有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】D

【分析】本題主要考查作圖-復雜作圖、角平分線的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，讀懂圖象信息，

靈活運用所學知識解決問題是解題的關(guān)鍵．

由作圖可知MN垂直平分線段AC、AE平分BAC，進而證明CEACBAE30可判定①；再說

明ABAF可得AP垂直平分線段BF可判定②；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AC2AB，AE2BE可判定

③，根據(jù)三角形的面積公式即可判定④．

【詳解】解：由作圖可知MN垂直平分線段AC，

∴EAEC，

∴EACC，

由作圖可知AE平分BAC，

∴BAECAE，

∵ABC90，

∴CCAEBAE30，故①正確，

∴AC2AB，

∵AFFC，

∴ABAF，

∴AP垂直平分線段BF，故②正確，

∵AE2BE，EAEC，

∴EC2BE，故③正確，

1

∴SS，

BEF3BCF

∵AFFC，

1

∴SS，

BFC2ABC

1

∴SS，故④正確．

△BEF6△ABC

故選：D．

7．（2024·山東煙臺·中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，

其中射線OP為AOB的平分線的有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】D

【分析】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)

和判定，根據(jù)作圖痕跡，逐一進行判斷即可．

【詳解】解：第一個圖為尺規(guī)作角平分線的方法，OP為AOB的平分線；

第二個圖，由作圖可知：OCOD,OAOB，

∴ACBD，

∵AODBOC，

∴△AOD≌△BOC，

∴OADOBC，

∵ACBD，BPDAPC，

∴BPD≌APC，

∴APBP，

∵OAOB,OPOP，

∴△AOP≌△BOP，

∴AOPBOP，

∴OP為AOB的平分線；

第三個圖，由作圖可知ACPAOB,OCCP，

∴CP∥BO，COPCPO，

∴DCPO=DBOP

∴COPBOP，

∴OP為AOB的平分線；

第四個圖，由作圖可知：OPCD，OCOD，

∴OP為AOB的平分線；

故選D．

二、填空題

8．（2024·遼寧·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，ADAB，ADa，AB10．以點A為

圓心，以AB長為半徑作圖，與BC相交于點E，連接AE．以點E為圓心，適當長為半徑作弧，分別與EA，

1

EC相交于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，兩弧在AEC的內(nèi)部相

2

交于點P，作射線EP，與AD相交于點F，則FD的長為（用含a的代數(shù)式表示）．

【答案】a10

【分析】本題考查了作圖﹣作角平分線，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握知識點是解題的關(guān)

鍵．

利用基本作圖得到AEAB10，EF平分AEC，，接著證明AEFAFE得到AFAE10，然后

利用FDADAF求解．

【詳解】解：由作法得AEAB10，EF平分AEC，

∴AEFCEF，

∵AD∥BC，

∴AFECEF，

∴AEFAFE，

∴AFAE10，

∴FDADAFa10．

故答案為：a10．

9．（2024·吉林·中考真題）圖①中有一首古算詩，根據(jù)詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深度，

其示意圖如圖②，其中ABAB，ABBC于點C，BC0.5尺，BC2尺．設(shè)AC的長度為x尺，可

列方程為．

2

【答案】x222x0.5

【分析】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，正確理解題意，運用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．

設(shè)AC的長度為x尺，則ABABx0.5，在Rt△ABC中，由勾股定理即可建立方程．

【詳解】解：設(shè)AC的長度為x尺，則ABABx0.5，

∵ABBC，

由勾股定理得：AC2BC2AB2，

2

∴x222x0.5，

2

故答案為：x222x0.5．

10．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一

個正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到

的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復上述步驟若干次后得到的

圖形，人們把它稱為“畢達哥拉斯樹”．若圖①中的直角三角形斜邊長為2，則10次操作后圖形中所．有．正方

形的面積和為．

【答案】48

【分析】本題主要考查了圖形規(guī)律，直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識．根據(jù)題意分別

計算出圖①、圖②和圖③的面積，得出規(guī)律即可求解．

【詳解】解：圖①中，∵ACB90，

根據(jù)勾股定理得，AC2BC2AB2224，

∴圖①中所有正方形面積和為：448，

圖②中所有正方形面積和，即1次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：

8412，

圖③中所有正方形面積和，即2次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：

84216，

?

∴n次操作后的圖形中所有正方形的面積和為84n，

∴10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為841048，

故答案為：48．

11．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形ABCD為正方形，VADE為等邊三角形，EFAB于點F，

若AD4，則EF．

【答案】2

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，根據(jù)正方形和等邊三角

形的性質(zhì)，得到△AFE為含30度角的直角三角形，AEAD4，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求

解即可．

【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，VADE為等邊三角形，EFAB，AD4，

∴FAD90,EAD60,AFE90,ADAE4，

∴FAE30，

1

∴EFAE2；

2

故答案為：2．

12．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB4，AD2．以點A為圓心，AD長為半

徑作弧交AB于點E，再以AB為直徑作半圓，與DE交于點F，則圖中陰影部分的面積為．

2

【答案】3π

3

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是學會利用分割法

求陰影部分的面積．

設(shè)弓形AmF，連接AF，F(xiàn)E，由題意知AEAFFE2，即△AFE為等邊三角形，F(xiàn)AEFEA60，

即可得出陰影部分面積為S陰S半圓S扇形DFES弓形AmF，代入數(shù)值即可求出結(jié)果．

【詳解】解：∵以點A為圓心，AD長為半徑作弧交AB于點E，AB4，AD2，

∴AEADBE2，

∴以AB為直徑作半圓時，圓心為點E，

設(shè)弓形AmF，連接AF，F(xiàn)E，即AEAFFE2，如圖：

∴△AFE為等邊三角形，

∴FAEFEA60，

故陰影部分面積為S陰S半圓S扇形DFES弓形AmF，

160π2260π2232

2

代入數(shù)值可得S陰22π23π，

236036043

2

故答案為3π．

3

13．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在ABC和VADE中，ABAC，BACDAE40，將VADE

繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，當ADBC時，BAE的度數(shù)是．

【答案】60或120

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分兩種情況分別畫出圖形，再結(jié)合等腰三角形的

性質(zhì)與角的和差運算可得答案；

【詳解】解：如圖，當ADBC時，延長AD交BC于J，

∵ABAC，BACDAE40，

∴BAJCAJ20,

∴BAE204060；

如圖，當ADBC時，延長DA交BC于J，

∵ABAC，BACDAE40，

∴BAJCAJ20,

∴BAE1802040120，

故答案為：60或120

14．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，AC6，BC4，D是邊AC的中

點，E是邊BC上一點，連接BD、DE．將CDE沿DE翻折，點C落在BD上的點F處，則CE．

3

【答案】

2

【分析】本題考查勾股定理與折疊問題，勾股定理求出BD的長，折疊得到CDDF，CEEF,EFD90，

設(shè)CEx，在Rt△BFE中，利用勾股定理進行求解即可．

【詳解】解：∵ACB90，AC6，BC4，D是邊AC的中點，

1

∴CDAC3，

2

∴BDBC2CD25，

∵將CDE沿DE翻折，點C落在BD上的點F處，

∴CDDF3，CEEF,EFD90，

∴BFBDDF2,BFE90，

設(shè)CEx，則：EFx,BEBCCE4x，

2

在Rt△BFE中，由勾股定理，得：4xx222，

3

解得：x；

2

3

∴CE；

2

3

故答案為：．

2

15．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形ABC的頂點A的坐標為0,4，點B,C

均在x軸上．將ABC繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)30得到△ABC，則點C的坐標為．

43

【答案】(4,4)

3

【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的計算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．作CFAO，

求出OF，C'F的值即可得到答案．

【詳解】解：作CFAO，交y軸于點F，

由題可得：OA4，

ABC是等邊三角形，AOBC，

∴AO是BAC的角平分線，

OAC30，

1

OCAC，

2

在RtAOC中，AO2OC2AC2，

1

即16(AC)2AC2，

2

83

解得AC，

3

83

ACAC，

3

43

OFAOAF4ACcos604，

3

833

FCACsin604，

32

43

C(4,4)，

3

43

故答案為：(4,4)．

3

16．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是AB邊的中點，將正方形紙片沿EC折

疊，點B落在點P處，延長CP交AD于點Q，連結(jié)AP并延長交CD于點F．給出以下結(jié)論：①△AEP為

3

等腰三角形；②F為CD的中點；③AP:PF2:3；④cosDCQ．其中正確結(jié)論是．（填序號）

4

【答案】①②③

【分析】設(shè)正方形的邊長為2a，1=2=，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出EAEP，根據(jù)中點的性質(zhì)得出AEEB，

BP

即可判斷①，證明四邊形AECF是平行四邊形，即可判斷②，求得tan42，設(shè)APx，則BP2x，

AP

25

勾股定理得出APa，進而判斷③，進而求得AQ，DQ，勾股定理求得CQ，進而根據(jù)余弦的定義，

5

即可判斷④，即可求解．

【詳解】解：如圖所示，

∵E為AB的中點，

∴AEEB

設(shè)正方形的邊長為2a，

則AEEBa

∵折疊，

∴12,BPEC，EPEBa

∴EAEP

∴△AEP是等腰三角形，故①正確；

設(shè)1=2=，

∴AEP1802

∴34

∴23

∴AF∥EC

又∵AE∥FC

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴CFAEa，

∴CFFDa，即F是CD的中點，故②正確；

∵BPEC，AF∥EC

∴BPAF

2

在RtADF中，AFAD2DF22aa25a，

BC2a

∵tantan12

BEa

BP

∴tan42

AP

設(shè)APx，則BP2x，

∴AB5x2a

25a

∴x

5

252535

∴APa，PF5aaa，

555

∴AP:PF2:3，故③正確；

連接EQ，如圖所示，

∵QAE90，QPEEPCEBC90，AEEP

又EQEQ

∴AEQ≌PEQ

∴AQPQ

又∵EAEP

∴EQAP

∴AQEAEQ90

又∵AEQ490

∴AQE4

∵tan2

AE

∴2

AQ

a

∴AQ

2

13

∴QD2aaa

22

2

22325

在RtQDC中，QCQDDCa2aa

22

3

a

DQ3

∴cosDCQ2，故④不正確

5

QCa5

2

故答案為：①②③．

【點睛】本題考查了正方形與折疊問題，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握

以上知識是解題的關(guān)鍵．

三、解答題

17．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點，AC、DE相交于點G，ABDF，

ACDE，BCEF．

(1)求證：GEC是等腰三角形；

(2)連接AD，則AD與l的位置關(guān)系是________．

【答案】(1)見解析

(2)ADl

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的判定：

（1）證明△ABC≌△DFE，得到ACBDEF，即可得證；

（2）根據(jù)線段的和差關(guān)系，易得AGDG，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得到CADACB，即可得出

結(jié)論．

【詳解】（1）證明：在ABC和△DFE中

ABDF

ACDE，

BCEF

∴△ABC≌△DFE，

∴ACBDEF，

∴EGCG，

∴GEC是等腰三角形；

（2）∵ACDE，EGCG，

∴ACCGDEEG，

∴AGDG，

1

∴GADGDA180AGD，

2

1

∵ACEDEF180CGE，

2

∵AGDEGC，

∴CADACB，

∴ADl．

18．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，AB25，AC2，分別以點A，

1

B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M和N，作直線MN分別交AB，BC于點D，E，

2

連接CD，AE．

(1)求CD的長；

(2)求ACE的周長．

【答案】(1)5

(2)6

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線的點到線段兩個端點的距離相等，斜中半定

理：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理等知識點，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．

（1）由題意得MN是線段AB的垂直平分線，故點D是斜邊AB的中點．據(jù)此即可求解；

（2）根據(jù)EAEB、ACE的周長ACCEEAACCEEBACBC即可求解；

【詳解】（1）解：由作圖可知，MN是線段AB的垂直平分線，

∴在Rt△ABC中，點D是斜邊AB的中點．

11

∴CDAB255．

22

（2）解：在Rt△ABC中，BCAB2AC2(25)222164．

∵MN是線段AB的垂直平分線，

∴EAEB．

∴ACE的周長ACCEEAACCEEBACBC246．

19．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，點C在線段AD上，ABAD，BD，BCDE．

(1)求證：△ABC≌△ADE；

(2)若BAC60，求ACE的度數(shù)．

【答案】(1)見解析

(2)ACE60

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明△ACE是等邊三角形是解答

的關(guān)鍵．

（1）直接根據(jù)全等三角形的判定證明結(jié)論即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ACAE，CAEBAC60，再證明△ACE是等邊三角形，利用等

邊三角形的性質(zhì)求解即可．

【詳解】（1）證明：在ABC與VADE中，

ABAD

BD，

BCDE

所以ABC≌ADESAS；

（2）解：因為△ABC≌△ADE，BAC60，

所以ACAE，CAEBAC60，

所以△ACE是等邊三角形．

所以ACE60．

20．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）（1）解一元二次方程：x24x30；

（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長．

【答案】（1）x1或x3

（2）第三邊的長是10或22

【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理．

（1）用因式分解法解即可；

（2）分情況討論，一是兩根都是直角邊，二是兩根一個是直角邊，一個是斜邊，再用勾股定理分別計算

即可．

【詳解】解：（1）x24x30

x1x30

x1或x3；

（2）當兩條直角邊分別為3和1時，

根據(jù)勾股定理得，第三邊為321210；

當一條直角邊為1，斜邊為3時，

根據(jù)勾股定理得，第三邊為321222．

答：第三邊的長是10或22．

21．（2024·甘肅蘭州·中考真題）觀察發(fā)現(xiàn)：勞動人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡單又便于操作的方法，

正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1，他用木條能快速畫出一個以點A為頂點的直角，具體作法如

下：

①本條的兩端分別記為點M，N，先將木條的端點M與點A重合，任意擺放木條后，另一個端點N的位置

記為點B，連接AB；

②木條的端點N固定在點B處，將木條繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點M的落點記為點C（點A，B，

C不在同一條直線上）；

③連接CB并延長，將木條沿點C到點B的方向平移，使得端點M與點B重合，端點N在CB延長線上的

落點記為點D；

④用另一根足夠長的木條畫線，連接AD，AC，則畫出的DAC是直角．

操作體驗：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法，如圖2，BABC，請畫出以點A為頂點的

直角，記作DAC；

推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學原理，請你補全括號里的證明依據(jù)：

證明：ABBCBD，

ABC與△ABD是等腰三角形．

BCABAC,BDABAD．（依據(jù)1______）

BCABDABACBADDAC．

DACBCABDA180，（依據(jù)2______）

2DAC180，

DAC90．

依據(jù)1：______；依據(jù)2：______；

拓展探究：（3）小亮進一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學習的尺規(guī)作圖的方法

可以減少誤差．如圖3，點O在直線l上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個以O(shè)為頂點的直角，

記作POQ，使得直角邊OP（或OQ）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）見詳解，（2）等邊對等角（等腰三角形的性質(zhì)）；三角形內(nèi)角和定理；（3）見詳解

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及尺規(guī)作圖的作垂線，

（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”延長CB至點D，且DBCB，連接CA,AD即可知以點A為頂點的DAC為直角；

（2）根據(jù)作圖可知利用了等邊對等角，以及三角形內(nèi)角和定理；

（3）根據(jù)過定點作已知直線的垂線的方法作圖即可．

【詳解】解：[操作體驗]（1）

[推理論證]（2）依據(jù)1：等邊對等角（等腰三角形的性質(zhì)）；依據(jù)2：三角形內(nèi)角和定理；

故答案為：等邊對等角（等腰三角形的性質(zhì)）；三角形內(nèi)角和定理；

[拓展探究]（3）

22．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，點D、E分別是等邊三角形ABC邊BC、AC上的點，且BDCE，

BE與AD交于點F．求證：ADBE．

【答案】見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出ABBC，

ABDBCE60，然后根據(jù)SAS證明ABD≌BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．

【詳解】證明∶∵ABC是等邊三角形，

∴ABBC，ABDBCE60，

又BDCE，

∴△ABD≌△BCESAS，

∴ADBE．

23．（2024·山東泰安·中考真題）如圖1，在等腰Rt△ABC中，ABC90，ABCB，點D，E分別在AB，

CB上，DBEB，連接AE，CD，取AE中點F，連接BF．

(1)求證：CD2BF，CDBF；

(2)將DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．

①請直接寫出BF與CD的位置關(guān)系：___________________；

②求證：CD2BF．

【答案】(1)見解析

(2)①BF⊥CD；②見解析

【分析】（1）先證明ABE≌CBD得到AECD，F(xiàn)ABBCD，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到

CDAE2BF，根據(jù)等邊對等角證明FBABCD，進而可證明BF⊥CD；

（2）①延長BF到點G，使FGBF，連接AG，延長BE到M，使BEBM，連接AM并延長交CD于

點N．先證明AGF≌EBF，得到FAGFEB，AGBE，進而AG∥BE，AGBD．證明

△AGB≌△BDC得到ABGBCD，然后利用三角形的中位線性質(zhì)得到BF∥AN，則

ABGBANBCD，進而證明ANCD即可得到結(jié)論；

②根據(jù)△AGB≌△BDC得到CDBG即可得到結(jié)論．

【詳解】（1）證明：在ABE和△CBD中，

ABBC，ABECBD90，BEBD，

ABE≌CBDSAS，

AECD，F(xiàn)ABBCD．

F是Rt△ABE斜邊AE的中點，

AE2BF，

CD2BF，

1

BFAEAF，

2

FABFBA．

FBABCD，

FBAFBC90，

FBCBCD90．

BFCD；

（2）解：①BF⊥CD；

理由如下：延長BF到點G，使FGBF，連接AG，延長BE到M，使BEBM，連接AM并延長交CD

于點N．

AFEF，F(xiàn)GBF，AFGEFB，

AGF≌EBFSAS，

FAGFEB，AGBE，

AG∥BE，

GABABE180，

ABCEBD90，

ABEDBC180，

GABDBC．

BEBD，

AGBD．

在AGB和BDC中，

AGBD，GABDBC，ABCB，

AGB≌BDCSAS，

ABGBCD．

F是AE中點，B是EM中點，

BF是ABM中位線，

BF∥AN．

ABGBANBCD，

ABCANC90，

ANCD．

BF∥AN，

BFCD．

故答案為：BF⊥CD；

②證明：∵△AGB≌△BDC，

CDBG，

BG2BF，

CD2BF．

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角

形的中位線性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與

運用，靈活添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．

24．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在ABC中，ABC90，ACB045．將線段CA繞點C

順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段CD，過點