導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型突破（單調(diào)性、不等式、零點(diǎn)、恒成立）【10大題型】解析版-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)（人教A版選擇性必修第二冊）

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型突破

(單調(diào)性、不等式、零點(diǎn)、恒成立)110大題型】

【題型歸納】

＞題型一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題

＞題型二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題

＞題型三、利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題

＞題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題

＞題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題

＞題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根問題

＞題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和圖像問題

＞題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題

＞題型九：利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問題

＞題型十、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題

【題型探究】

題型一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題

1.(23-24高二下?遼寧?期末)若對任意的國,X2C(e,+。)，且再＜%,都有他紅血也＜機(jī)，則加的最小值是

?^2

()

A.y/cB.eC.0D.1

【答案】c

【分析】根據(jù)題意將原不等式轉(zhuǎn)化為"皿〈竺也，令/(x)="主婦(x＞e),則/(9)＜/(占)，則可得/(x)

X?再X

在(e,+8)上遞減，則/(x)W0,再次轉(zhuǎn)化為加Nl-lnx在(e,+s)上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=l-lnxa＞e),求出

g(x)＜g(e)=0,從而可求出機(jī)的范圍，進(jìn)而可求得答案.

【詳解】因?yàn)檎紤?€(6,+(?),Xx＜X2,所以工2-再＞0,

xAnx-^Inx,

?m

所以由------------＜,得再lax2一％2辰1〈加(％2一%)，

所以加玉+再止比2＜加工2+121nx1，所以須(加+1研2)＜%2(加+1皿1)，

m+lnxm+Inx.

所以------9-＜------

x2x1

令f(x)=＞e),則f(x2)＜/&),

X

1

所以/(X)在(e,+8)上單調(diào)遞減，所以/'(x)=1二("lnx)V0,

X

所以7〃21-lnx在(e,+oo)上恒成立，

令g(x)=1-lnx(x>e),則g'(x)=一<0(x>e),

x

所以g(x)在(e,+co)上遞減，所以g(x)<g(e)=O,

所以加20,所以用的最小值是0.

故選：C

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=(x-2)ei-ax2+2ax.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求〃x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(尤)在x=l處取得極小值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

⑵

【分析】(1)在a=e時(shí)，對函數(shù)求導(dǎo)后分解因式，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性；

(2)對函數(shù)求導(dǎo)后，對aWO,0<a<|,“=的情況進(jìn)行討論，由題意即得參數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)a=e時(shí)，/(x)=(x-2)ei-1-ex2+2ex,

則/[x)=(x-l)ei-2e(x-l)=(x-D(e*T-2e),

令/'(x)=0,解得x=1或x=2+ln2.

令尸3<0,解得1〈尤<2+ln2,所以/(x)在(l,2+ln2)上單調(diào)遞減;

令/，(x)>0,解得[<1或x>2+ln2,即/(x)在(-?1),(2+ln2,+s)上單調(diào)遞增.

綜上,函數(shù)/(x)在(-嗎1),(2+ln2,+s)上單調(diào)遞增，在(l,2+ln2)上單調(diào)遞減.

(2)由/(x)=(x-2)e*T—爾+2ax求導(dǎo)得/'(x)=(x-l)e%-1—2a(x-l)=(x-l)(e'-1-2a),

①當(dāng)aWO時(shí)，e、i-2a>0恒成立，

令/'(x)<0,解得x<l,即/(x)在(-雙1)上單調(diào)遞減；

令/(x)>0,解得x>l,即/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

故aWO時(shí)，函數(shù)/(x)在x=l處取得極小值，符合題意；

2

②當(dāng)0<a<；時(shí)，令/'(x)=0,解得X1=l,x2=l+ln(2a),且網(wǎng)〉馬,

當(dāng)l+ln(2a)<x<l時(shí)，/,(x)<0,函數(shù)/(x)在(l+ln(2a),l)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時(shí)，r(x)>0,函數(shù)/'(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(尤)在x=l處取得極小值，符合題意.

③當(dāng)。=；時(shí)，令/'("=0,解得%=X2=1,此時(shí)/'(x"0恒成立且/'(x)不恒為0,

/(x)單調(diào)遞增，故函數(shù)/'(x)無極值，不符合題意.

④當(dāng)■時(shí)，令/'(x)=0,解得再=1,%=l+ln(2a),且王</，

當(dāng)x<l時(shí)，/，(x)>0,函數(shù)/(x)在上單調(diào)遞增;

當(dāng)l<x<l+ln(2a)時(shí)，r(x)<0,函數(shù)〃x)在(1,1+In(2a))上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(x)在無=1處取得極大值，不符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-8,；).

3.(23-24高二下?山東臨沂?期中)已知函數(shù)/3=辦+/-*g(x)=ln(x+l)--^-+l

⑴當(dāng)。=0時(shí)，討論/'(x)的單調(diào)性；

⑵若任意不，％式。，+8),都有/(xJ+lWgG)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)函數(shù)/(X)在R上單調(diào)遞減.

(2)(-co,e-2].

【分析】(1)利用二次導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)首先由單調(diào)性判斷函數(shù)g(x)的最小值，轉(zhuǎn)化為“xJ+lWO,再利用參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求

解.

【詳解】(1)當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=x2-e\定義域?yàn)镽,

則/'(x)=2x-e"

令尸(x)=2x-e*,則尸，(x)=2—e",

令,(x)>0,解得x<ln2,

3

7?,(x)<0,解得x>ln2.

.?涵數(shù)/(x)在(-8,ln2)上單調(diào)遞增，在(ln2,+s)上單調(diào)遞減,

.?.當(dāng)x=ln2時(shí)，函數(shù)月⑴取得最大值，

.-.F(x)<F(ln2)=21n2-2=2(ln2-l)<0,

???函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減.

(2)易知g(x)=ln(x+l)——2+1在[0,+8)上單調(diào)遞增

二任意/G[0,+OO),都有g(shù)(%2"g(0)=0,

???任意X],x2e[0,+oo),都有/(xj+14g(x2)恒成立

ax+x2-ex+1VO在[o,+℃)上恒成立，

當(dāng)x=0時(shí)，不等式可化為0V0,恒成立，

當(dāng)x>0時(shí)，a<--------,xe(0,+co)

X

令〃(x)=^——-——-,xe(0,+oo),

則〃⑴=卜—力—⑹――])=(xT)(e*el),

?.?當(dāng)x>0時(shí)，eA>x+l,即e*-x-l>0,

.?.當(dāng)xw(O,l)時(shí)，h'(x)<0,函數(shù)〃(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(,+oo)時(shí),〃(x)>0,函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增，

.?.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)無)取得最小值MD=e-2,.?.aWe-2,

綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍是(-*e-2].

題型二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題

4.(23-24高二下?安徽蕪湖?期中)若函數(shù)/(力=33-^-:在(-*0)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，則/(力的零點(diǎn)之和為.

【答案】2

【分析】運(yùn)用參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)，借助導(dǎo)數(shù)和條件(一雙。)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，求出。，再根據(jù)零點(diǎn)概念求解零

4

點(diǎn)，再求和.

【詳解】/(x)=1x3-ax-y=O,即/-?=3a在(一叫0)內(nèi)有一個(gè)根.

即//(無)=--個(gè)，與了=3。在(-8,0)內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn).

〃(i+與2x+生3"生?2(X+2)(X：+2X+4)=°,

XXXX"X

解得X=-2,xe(-8,-2),力口)<0,//(x)單調(diào)遞減；X€(-2,0),"(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增.

因此方(x)極小=〃(-2)=12.當(dāng)x—-oo時(shí)，h(x)->+co；當(dāng)x<0,x.O時(shí)，—+<?,

〃(x)的圖象與y=3a在(-8,0)內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn).則12=3a,則a=4.

,/、13,16X3-12X-16尤3-4工2+4--12》-16

f(x)=-x-4x-----=-----------------

v73333

X2(X-4)+4(X2-3X-4)X2(X-4)+4(X-4XX+1)(x-4)(x+2)2

即〃x)=

333

令/(x)=0，解得再=-2,%=4,則/'(x)的零點(diǎn)之和為王+々=-2+4=2

故答案為：2.

5.(23-24高二下?吉林?期中)已知函數(shù)/(x)=e'"-ax.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間并求出極值；

(2)若〃》)2/111工73+；/+/在［；,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析；

(2)aWgin2.

【分析】(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，分aWO、a>0兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值.

(2)變形給定不等式，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，再求出函數(shù)的最大值即可得解.

【詳解】(1)函數(shù)〃x)=e*-辦的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得/'(x)=e、-a,

當(dāng)aW0時(shí),/'0)>0恒成立,函數(shù)〃x)在R上單調(diào)遞增，/(x)無極值;

當(dāng)。>0時(shí)，由/''(x)>0,得x>lna；由/'(x)<0,得x<lna,

則函數(shù)/(x)在(Ina,+8)上單調(diào)遞增，在(-啊Ina)上單調(diào)遞減，

在X=lna處取得極小值/(lna)=eM"-alna=a-alna,無極大值,

所以當(dāng)a40時(shí)，”X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,+?0,無單調(diào)遞減區(qū)間，無極值；

當(dāng)。>0時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(Ina,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(-%Ina),極小值為a-alna,無極大值.

5

(2)不等式/(x)之x2\nx-x3+e“=-ax>x2Inx-x3+-^-x2<^>-a>xInx-x2+；%，

令g(x)=xInx-%,依題意，-aNg(x)在［；,+oo)上恒成立,

3311

求導(dǎo)得g'(x)=lnx-2x+—,h(x)=lnx-2x+—,x>—,求導(dǎo)得〃'(x)=——2<0,

’222x

函數(shù)〃(X),即g。)在［；,+8)上單調(diào)遞減，g,(x)<g,(1)=1-ln2<0,

因此函數(shù)g(x)在［；,+<?)上單調(diào)遞減，g(x)Vg(；)=-；ln2,貝『aN-：ln2,解得a4；ln2,

所以實(shí)數(shù)Q的取值范圍是Q〈；ln2.

6.(2024?江蘇?二模)已知函數(shù)/(%)=-——-+aInx(aeR).

x

⑴當(dāng)。=0時(shí),證明：/(X)>1;

⑵若〃x)在區(qū)間(1,+8)上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)(y,T)

,、

【分析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的定義域?yàn)?0,y),當(dāng)。=。時(shí)，/(x)=」e'-1,將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x>。時(shí)，efx+1,

X

構(gòu)造函數(shù)p(x)=e，-x-l,利用導(dǎo)數(shù)研究P(x)的值域即可證明；

(2)求導(dǎo)f\x)=L［(De'+l+。］,令g(x)=+a(x>口，再求導(dǎo)g'(x),利用放縮可知g'(x)>0,得至Ijg(x)

XXX

在(1,+8)單調(diào)遞增，g(x)>g(l)=l+a,分類討論“2-1和”<-1時(shí)g(x)的正負(fù)，從而確定是否有極值點(diǎn)以及極值

點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】(1)證明：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的定義域?yàn)?0,討)，當(dāng)a=0時(shí)，=」.

X

要證/(無)>1,只需證：當(dāng)x>0時(shí)，e1>x+1.

令p(x)=e*-x-1,則p'(x)=ex-1>0,

則O(x)在xe(0,+8)單調(diào)遞增，

所以0(x)>M0)=0,即e，>x+l,

所以/(無)>1.

(2)由/，(x)=二—1),+1+巴=L[(XT)1+1+?,

XXXX

令g(x)=d)e'+l+“a>。,

X

XXX

6

所以g(x)在(1,+00)單調(diào)遞增,g(x)>g⑴=\+a,

①a2-1時(shí)，g(x)>g(l)=l+a>0,/((x)>0.

則〃x)在(1,+⑹為增函數(shù)，/(X)在(1,+刈上無極值點(diǎn)，矛盾.

②當(dāng)。<一1時(shí)，g(l)=l+a<0.由(1)知，e>x+l>x,

(x1)eJ+1(x1)eA

g(x)=-+a>-+a>l￡zl)￡+a=x_i+a,貝i]g(l-a)>0,貝1]三七?(1,1-0使8(%)=0.

XXX

當(dāng)xe(l,x。)時(shí)，g(x)<0,f'(x)<0,則〃x)在(1,%)上單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(xo，+co)時(shí)，g(x)>0,f'(x)>0,貝lj/(x)在(無o，+oo)上單調(diào)遞增.

因此，〃x)在區(qū)間(1,+co)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，

所以。的取值范圍為(-8,-1).

題型三、利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題

7.(23-24高二下?江蘇南通?期末)己知函數(shù)〃刈=/+加/,若V七,x2eR,x產(chǎn)馬，都有"再)一〃")>_2,

一一x,-x2

則實(shí)數(shù)加的最大值為()

A.V3B.V6C.2百D.2n

【答案】B

【分析】先化簡不等式得出函數(shù)單調(diào)性，再把單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)恒為正即可求出參數(shù)最值.

【詳解】假設(shè)王>馬,又因?yàn)?6/02)>_2,可得/(再)-/(七)>-2(占-%)Ja)+2再>〃/)+2X2,

設(shè)《%)=f(x)+2x,vx1,x2丙>X2，/(石)>《工2))=，(%)單調(diào)遞增,

^(x)=x3+mx2+2X/(X)=3%2+2加x+220恒成立，

所以A=4m2-4x3x2<0,m2<6,即可得一指<m<V6.

故選：B.

8.(23-24高二下?浙江?期中)已知函數(shù)/(x)=〃C-l),對任意xw(0,+8),總有/(%)22x成立，則實(shí)數(shù)Q的取值

范圍為()

1

A.a>—B.0<a<2

2

C.a>2D.0<6z<—

2

【答案】C

7

2

【分析】根據(jù)給定條件，可得。>0,等價(jià)變形不等式，構(gòu)造函數(shù)g(x)=e'-1——x,%>0,按與0<。<2分段

a

討論g(x)即可得解.

[詳解】依題意，VGxG(0,+oo),f(x)>2x<=>a(ex-l)>2x<^>a(ex-l)-2x>0,

2

顯然e“一l>0,貝!J有Q>0,于是a(e*—1)—2x20oe"-1—x>0,

a

22

令g(x)=e"-1-一x,x>0,求導(dǎo)得g(x)=e'——,

aa

2

當(dāng)aN2,即一Ml時(shí)，gV)>0,函數(shù)g(x)在(0,E)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0,gp/(x)>2x；

a

222

當(dāng)0<。<2,即一>1時(shí)，當(dāng)0<x<ln—時(shí)，g'(%)<0,函數(shù)g(x)在(0,ln—)上單調(diào)遞減，

aaa

2

xe(0,ln-),g(x)<g(0)=0,此時(shí)/(x)<2x,不符合題意，

a

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為。之2.

故選：C

9.(23-24高二下?天津?期末)已知函數(shù)/(x)=lnx-+/-2x存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

B.:(,+]

-31八、

C.--,+ooID.(L+8)

【答案】B

【分析】由題意轉(zhuǎn)化為存在％>0,使/'(“<0,參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即可求解.

【詳解】f(x}=---ax-2=~~2ax2~6X,x>0,

v7x33x

由題意可知，存在x>0,使/'(x)<0,即3-2亦2-6X<0,

,3—6x。(3—6x^

則2Q〉——,x>0,2a>\——,

當(dāng)X=1時(shí)，-3取得最小值-3,

3

即2a>-3,得。>-].

故選：B

題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題

8

10.(23-24高三上?云南昆明)函數(shù)/(x)=(3Y-6x+a+3)e*,若存在與eR,使得對任意xeR,都有

則。的取值范圍是()

A.?>0B.6Z<0C.。>3D.a<3

【答案】B

【分析】因?yàn)槿我鈞eR,都有所以,(x。)是函數(shù)/(x)的最小值，也是極小值，又當(dāng)x--8時(shí)，

/(x)-?0+,故只需/(%)40即可.

【詳解】由/。)=(3，+。-3)*又/>0,

因?yàn)槿我鈞eR,都有"x"4%),

所以/(%)是函數(shù)/'(x)的最小值，也是極小值，

故/'(%)=0有兩實(shí)根，即3工；+。-3=0有兩實(shí)根，則a<3,

記二次函數(shù)g(x)=3x?+a-3的零點(diǎn)為再，x0,

且網(wǎng)</，則/(X)在(一°0,再),(飛,+°0)上單調(diào)遞增,在(W，/)上單調(diào)遞減,

當(dāng)xf-8時(shí)，〃x)f0+,因?yàn)榱?X。)是最小值，

所以/(%)40,即"%)=(3x；-6x。+a+3)e'。=(6-6%)e'。V0,

解得故"3-3北40,

故選：B.

11.(22-23高二下?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))若存在無e-,e,使得不等式2xlnx+/-〃zx+3N0成立，則實(shí)數(shù)加的最

e

大值為()

1rc3c,

A.-+3e-2B.e+-+2C.4D.e2-l

ee

【答案】A

3「113

【分析】求出加W2hu+x+—在-,e有解，構(gòu)造函數(shù)歹=21nx+x+士，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出加的最大值即可.

XLeJ%

【詳解】由存在xe-,e,使得不等式2xlnx+f-〃?x+320成立得：

e

3ri~\

m<21nx+x+—-,e有解，

xLeJ

3mi,(x+3)(x-1)

令A(yù)y=21nx+x+;則y=---------,

xx

y

故xe-51時(shí)，j/V0,此時(shí)函數(shù)是單調(diào)遞減，

e

xe(l,e)時(shí)，y'>0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

11,3

故x=一時(shí)，y=3e+—2,X=e時(shí)，y=2+e+—,

eee

137

又(3e+——2)-(2+e+-)=2e-4——>0,

eee

a1

故函數(shù)歹=21nx+%+-的最大值是3e+--2,

xe

m<3e+——2,

e

故選：A.

2m—1

12.(24-25高二上?重慶渝中?期末)已知函數(shù)〃x)=e'-----的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃?的取值

x+1

范圍是()

【答案】C

(分析］問題化為y=(x+l)e*且xxT,>=2加-1圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究g(無)=(x+l)e*的性質(zhì)并畫出函數(shù)

圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍.

【詳解】由題，方程/。)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即(x+l)e'=2〃Ll,

所以>=(x+l)e*且=2加一1圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

設(shè)g(x)=(x+l)e\貝！］g'(無)=(x+2)e",令g'(x)=0,解得x=-2,

當(dāng)xe(-00,-2),g'(x)<0,g(x)在(-?),-2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(-2,內(nèi)),g'(x)>0,g(x)在(-2,內(nèi))上單調(diào)遞增，

所以g(x)有極小值g(-2)=-1,

e

當(dāng)Xf-oo時(shí)，g(x)f0且g(x)<0,當(dāng)xf+8時(shí)，g(x)f+8,

作出g(x)函數(shù)的大致圖象，

1U

12-11

故-侖＜2加一l＜0,解得e昔＜比弓.

故選：C

題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題

13.(24-25高二上?江蘇南京?期末)己知函數(shù)/("=尤3+3/+機(jī)在R上有三個(gè)零點(diǎn)，則掰的取值范圍是()

A.(-4,0)B.(-20,0)C.(0,4)D.1-叱￡|

【答案】A

【分析】令g(x)=x3+3/,分析可知，直線本=-加與函數(shù)g(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的單

調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)比的取值范圍.

【詳解】令/("=/+3/+加=0,可得一加=X3+3/，

令g(x)=d+3x2,則直線V=-〃?與函數(shù)g(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，

g,(x)=3x2+6x,令g'(x)=0,可得尤=-2或x=0,列表如下:

X(-<%>,-2)-2(-2,0)0(0,+8)

g'(x)+0-0+

g(x)增極大值4減極小值0增

如下圖所示:

＜]4/

Iji-2MO\x

由圖可知，當(dāng)0〈一冽＜4時(shí)，即當(dāng)一4＜機(jī)＜0時(shí)，

直線V=與函數(shù)g(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，

因此，實(shí)數(shù)加的取值范圍是(-4,0).

故選：A.

14.(23-24高二下,四川涼山,期中)函數(shù)》=》3-辦+!存在3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為()

11

33

C.(-,+°o)D.[-,+oo)

【答案】C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再借助三次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組求解即得.

【詳解】函數(shù)歹=Y-辦+；,求導(dǎo)得V=3X2—Q,

當(dāng)QWO時(shí)，y>o,函數(shù)歹=/一"+；在R上單調(diào)遞增，該函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)Q>0時(shí)，由3'2一q>0,得X<或X>,由3/一〃<0,得<X<,

貝IJ函數(shù)>=丁-亦+；在(-00,_1),([,+00)上單調(diào)遞增，在(_"E)上單調(diào)遞減，

當(dāng)》=口時(shí)，函數(shù)了=/+J取得極大值幺口+工>0,

丫343V34

當(dāng)x口時(shí)，函數(shù)尸八辦+：取得極小值一幺口+工，

V343V34

函數(shù)了=d一辦+J存在3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)一2口+!<(),解得

43V344

3

所以〃的取值范圍為(二,+8).

4

故選：C

15.(23-24高二下?山東東營?期末)已知函數(shù)/。)=(/-3)e)若方程f(x)=。有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍為()

A.^0,—B.(―2e,0)C.^-2e,—JD.16e]

【答案】A

【分析】先利用導(dǎo)數(shù)刻畫f(x)的圖像，再根據(jù)直線了=。與V=/(x)的圖像有3個(gè)不同的交點(diǎn)可得實(shí)數(shù)。的取值

范圍.

【詳解】/'(x)=(/_3+2x)e，=(x-l)(x+3)e，,

當(dāng)％<-3或x>l時(shí)，/(x)>0；當(dāng)一3<x<l時(shí)，/'(X)<0,

故/(X)在(一嗎-3),(1,+功上為增函數(shù),在(-3,1)上為減函數(shù)，

故/'(x)的極大值為〃-3)=g,/(%)的極小值為/⑴=-2e,

當(dāng)Xf+8時(shí)，當(dāng)Xf-00時(shí)，/(%)—(),

12

故f(x)的圖像如圖所示:

故選：A.

題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根問題

16.(23-24高二下?重慶?期末)若方程x?+3x+l=品，恰有三個(gè)不相等的實(shí)根，則上的取值范圍是()

2

0,|-e,|2

A.B.C.(0,+<?)D.-e,+oo

【答案】A

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為x,+3x+l4+3X+1,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合

=人有三個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)造y(x)=

ee

函數(shù)圖象求解.

+3x+17

【詳解】由％2+3、+1=后”可得=k,

ex

x2+3x+1x2+x-2_(x+2)(x-l)

記〃X)=,貝(無)=-

當(dāng)x<-2或X>1時(shí)，r(x)<0,當(dāng)-2<X<1時(shí)，r(x)>0,故/(x)

在(-s,-2),(1,+e)上單調(diào)遞減，在(-2,1)上單調(diào)遞增，

故/(x)在x=-2取得極小值，/⑵=*,在x=l處取得極大值，/(1)=1,

而X>1時(shí)，恒有/(x)>o成立，

方程無2+3x+l=ke恰有三個(gè)不相等的實(shí)根，即曲線“X)與直線y=左恰有三個(gè)不相等的交點(diǎn),

/(X)與直線了=左圖象如下，

13

故選：A

17.(2024?四川攀枝花?二模)若關(guān)于x的方程x?=e(e，-")存在三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

1

A.--e,+coB.e——,+ooC.-co,--eD.-oo,e--

【答案】B

【分析】方程轉(zhuǎn)化為U+aJ］-l=0,令f(x)=g

,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和極值，確定關(guān)于無的方程存在三

個(gè)不等實(shí)數(shù)根的條件，求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】關(guān)于x的方程-=e，(e，-辦)存在三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,

等價(jià)于方程(1+彳十］-1=0存在三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

令f(x)=。，f'(x)=T，/(x)>0解得x<l，f'(x)>0解得x>l,

ee

所以在(-8,1)上/(X)單調(diào)遞增，在(1,+8)上t(x)單調(diào)遞減，

且x<0時(shí)［x)<o,x>0時(shí)1x)>0,當(dāng)x=l時(shí)，*X)有極大值《1)=1,

e

方程〃+或_1=0,A=a2+4>0,方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且兩根之積為-1,

則方程〃+m-1=0有一正根一負(fù)根，且正根位于區(qū)間，上，

此時(shí)關(guān)于x的方程-1=0存在三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,

所以+C1>°'解得a>e-：

所以0的取值范圍為(e

故選：B.

14

18.(23-24高二下?甘肅蘭州?期中)若不等式2xe，-“x-l)<0(其中。<1)的解集中恰有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)4的

取值范圍是()

3,43

A，店"B.23WQ<1

1141

C.一<Q<ID.--<a<-

e3e2e

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/口)=2泥，/(尤)=2(》+1)/的單調(diào)性，進(jìn)而畫出圖象，令g(x)=a(x-l),數(shù)形結(jié)合

列不等式組求解即可.

【詳解】</(x)=2xeJC,/,(x)=2(x+l)e\

當(dāng)時(shí)，//(x)<0,當(dāng)x>-l,/'(x)>0,

故1(x)在(-8,-l)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)min=/(T)=-［，且/(°)=°，

而當(dāng)x無限趨向于負(fù)無窮大時(shí)，/卜)無限趨向于0,

當(dāng)X無限趨向于正無窮大時(shí)，/(X)無限趨向于正無窮大,

令g(x)=a(x-l),該函數(shù)圖象為恒過(1,0)的動(dòng)直線,

因?yàn)椴坏仁?(x)<”x-l)的解集中恰有一個(gè)整數(shù),

[〃T<g(T)—2e1<—2〃41

結(jié)合圖象可得V(-2)>g(-2)即““3一所以

故選：D

題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和圖像問題

19.(23-24高二上?廣東深圳?期末)過點(diǎn)(1,。)可以做三條直線與曲線丁=皮相切，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

15

【答案】A

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程，過點(diǎn)(L。)，代入化簡得。=(-需+/+1k'。，將問題轉(zhuǎn)化為該方程有三個(gè)不

等實(shí)根，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為rynxe*,.J=(x+l)eX,

處的切線斜率斤=E+l)e”,則過點(diǎn)尸的切線方程為了=(/+1卜'。(%-/)+/例,

代入點(diǎn)(1,。)的坐標(biāo)，化簡得a=(-x；+Xo+l)e'。，

???過點(diǎn)(1,。)可以作三條直線與曲線C：y=xe'相切,

二方程a=(r；+x。+l)e'。有三個(gè)不等實(shí)根.

令/(x)=(--+x+De，,求導(dǎo)得到尸(x)=(-Y-x+2)e，,

可知/'(x)在(---2)上單調(diào)遞減，在(-2,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程，關(guān)鍵點(diǎn)在于將問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，根據(jù)方

程的根的個(gè)數(shù)，求解參數(shù)的取值范圍，考查導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

20.(22-23高二下?黑龍江齊齊哈爾?期中)己知函數(shù)”x)=a(x2-x)—-,若不等式〃x)<0有且僅有1個(gè)整數(shù)解,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

In2In3]fIn31「In2In21「In31n2)

A?卜丁一哥hrjc[iraJD.[RKJ

【答案】D

Inx

【分析】將不等式/(x)<o有且僅有1個(gè)整數(shù)解，轉(zhuǎn)化為>=2—x的圖像在直線了=a的上方僅有1個(gè)大于1的

XIX-XI

16

Inx

整數(shù)解，利用導(dǎo)數(shù)求得占=c的單調(diào)性,構(gòu)造出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式，解之即可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍

XIX-XI

【詳解】由/⑴=0,可得不等式〃x)<0有且僅有1個(gè)整數(shù)解，

即不等式“X)<0有且僅有1個(gè)大于1的整數(shù)解，

X>1時(shí)，X2-x=x(x-1)>0,

/、InYInx

不等式M%2—X—貯<0可化為

\)X-X)

Inx

即v=v的圖像在直線歹=°的上方僅有1個(gè)大于1的整數(shù)解，

XIX-XI

7/、Inx*_2x)lnx

令(x)=/2Q(X>1)，則"(x)=-----77--「一(X>1)

x\x-x)x2(x2-x)

令k(x)=x2-x-(3x2-2x)Inx(x>1),

則k\x)=2x—1一[(6x—2)Inx+3x—2]=(1—x)—(6x—2)Inx<0

則左(X)在(1,+8)上單調(diào)遞減，又左⑴=0,

則左(%)<0在(1,+8)上恒成立,則似X)<0在(1,+8)上恒成立,

則〃(X)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

Inx

又v="丫2丫)的圖像在直線歹=。的上方僅有1個(gè)大于1的整數(shù)解，

則這個(gè)整數(shù)解為2,則〃⑶<a<力(2)

2L(22-23高三上.山東煙臺(tái).期中)若對任意正實(shí)數(shù)”都有2T(ini")-《。，則實(shí)數(shù)用的取值范圍為

()

17

A.(0,1]B.(0,e]

C.(-oo,0)u[l,+oo)D.(-oo,0)u[e,+co)

【答案】A

【分析】將不等式變式為[2-]]閆4，，設(shè)―后轉(zhuǎn)化為J恒成立，只需求函數(shù)”)的最

大值即可.

【詳角軍】因?yàn)?2y——Iny)—.WO，

所以￡一三][in2]K，,設(shè)一=%,

I聲八y)myke；

r」,/、In,21“、Ine21

則/(0=----+-----，f(e)=-----+-----=0,

etQeee

人/、InZ21

令gQ)=----+-----

ete

i7

g，0=一上-彳<0恒成立，故y=f'⑴單調(diào)遞減，

當(dāng)fe(O,e)時(shí)，/'(f)>0,函數(shù)人)單調(diào)遞增；

當(dāng)te(e,+⑹時(shí)，函數(shù)/⑺單調(diào)遞減；.

故/⑺max=/(e)=1

所以,21,得到機(jī)e(0J.

m

故選:A.

題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題

22.(20-21高二下?重慶九龍坡?期中)已知函數(shù)〃x)=a-lnx,g(x)=x2e1若對任意的項(xiàng)e[l,e],都存在唯一的

旃€[-1,1],使得〃xj=g(無2)成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[1,e]B.1―,1+eC.flH—,eD.—,e+l)

【答案】C

【分析】先利用導(dǎo)數(shù)可求得g(x)的單調(diào)性及在[T,1]上的取值情況，再根據(jù)題意可得/(xje(±e]或/(三)=0,由

e

此建立關(guān)于。的不等式組，解出即可.

【詳解】g，(x)=2xex+x2ex=x(x+2)ex,

18

當(dāng)xe(-l,O)時(shí)，gV)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g\x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

且g(T)=Lg(D=e,g(0)=0,

e

又對任意的e],都存在唯一的％e[T,U，使得/'(玉)=g(無2)成立，

；?/(Xi)e(Le]或/(再)=0,

e

又王￡[1,e],故。一1((西)(〃，

1I

Q_I>_I

<e,角牛得一+l<a(e.

a^ee

故選：C

]nt

23.(20-21高三上?安徽?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x/,g(x)=xlnx,若/(再)=g(%)=%，t>0,則——的最大值

X\X2

為()

1412

A.B.—rC.—D.一

eeee

【答案】C

【解析】首先由％111%=0叱/11%=/,再結(jié)合函數(shù)函數(shù)/(x)=x-e*的圖象可知，玉=ln%,這樣轉(zhuǎn)化

‘上=乎，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)〃(。=叱的最大值.

"1"2It

【詳解】由題意得，x,eXl=t,1出/=由即e*lnX2=/,f'(x)=(l+x)ex,易得/(x)在(心，用上單調(diào)遞減,在(1,

+8)上單調(diào)遞增，又當(dāng)xe(-8,0)時(shí)，f(x)<0,xe(0,+8)時(shí)，/(x)>0,作函數(shù)/(x)=xe"的圖象如圖所示.由圖可知,

當(dāng)t>0時(shí)，/(x)=，有唯一解，故再=111工2，且%>0,

==—，/>0貝V,⑺=上鑼，令"⑷=0解得t=e,易得的)在(0,e)上單調(diào)遞增，在

(e,+00)上單調(diào)遞減，.?.〃?)(〃(￡)」，即史■的最大值為L

e中2e

故選：C.

19

lnx

e2，inx=t

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，本題的關(guān)鍵是觀察與變形，x并且由函數(shù)

x1-e'=t

圖象判斷〃x)=t>0,只有一個(gè)零點(diǎn)，所以西=lnx2,這樣后面的問題迎刃而解.

24.(23-24高二下?山東荷澤,期中)若函數(shù)〃x)=e，-alnx+1在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(e,e2)B.(e,2e2)C.(-℃,e)U(e2,+co)D.(l,e2)

【答案】B

【分析】對求導(dǎo)并將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=xex-a在(0,1)上存在變號(hào)零點(diǎn)，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合零

點(diǎn)存在性定理列不等式求參數(shù)范圍.

【詳解】由題設(shè)，==又〃x)在(1,2)上不單調(diào)，