第四章《比例》知識(shí)歸納與題型突破-2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊

第四章比例知識(shí)歸納與題型突破

01思維導(dǎo)圖

02知識(shí)速記

一'圖形的放大與縮小

1.圖形的放大和縮?。喊褕D形按n：1放大，就是把圖形的每條邊都放大n倍；把圖形按

1：n(n>1)縮小，就是把圖形的每條邊都縮小到原來的

n

2.在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小分為三步：一看，看原圖形每邊占幾格；二

算，按指定的比計(jì)算出將圖形放大或縮小后得到的新圖形每條邊各占幾格；三畫，按計(jì)算出的

邊長畫出原圖的放大圖或縮小圖。

二'比例的意義和組比例

1.比例的意義：表示兩個(gè)比相等的式子叫作比例。

2.判斷兩個(gè)比能否組成比例：要看它們的比值是否相等。若比值相等，則能組成比例；若

比值不相等，則不能組成比例。

三'比例的各部分名稱及比例的基本性質(zhì)

1.比例的項(xiàng)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫作比例的項(xiàng)。

2.比例的內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)：兩端的兩項(xiàng)叫作比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫作比例的內(nèi)項(xiàng)。

3.比例的基本性質(zhì)：（1）在一個(gè)比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，這叫作比例的

基本性質(zhì)。⑵如果用字母表示比例的四個(gè)項(xiàng)，即a：b=c：d,那么比例的基本性質(zhì)可以表示

成：ad=bco

四、解比例

1.解比例的依據(jù)是比例的基本性質(zhì)，已知比例中的任意三項(xiàng)，就可以求出未知的一項(xiàng)。

2.求比例中的未知項(xiàng)的過程是解比例，解比例的步驟如下：第一步，根據(jù)比例的基本性

質(zhì)把比例轉(zhuǎn)化成外項(xiàng)的積與內(nèi)項(xiàng)的積相等的形式；第二步，利用等式的性質(zhì)解方程求出比例中

的未知項(xiàng)。

五'比例尺的意義

1.一幅圖的圖上距離和實(shí)際距離的比，叫作這幅圖的比例尺。

2.圖上距離：實(shí)際距離=比例尺或空|整=比例尺

實(shí)際距禺

六'比例尺的應(yīng)用

1.求實(shí)際距離：根據(jù)比例尺和圖上距離求實(shí)際距離，可以根據(jù)“實(shí)際距離=圖上距離+比

例尺”求，也可以根據(jù)“萼瞥=比例尺”列比例式來求。

實(shí)際距禺

2.求圖上距離：圖上距離=實(shí)際距離X比例尺。

七'平面圖形按比例放大后面積的變化規(guī)律

2

如果把一個(gè)圖形按n：1的比放大，放大后與放大前圖形的面積比是n：10

03題型歸納

題型一比例的意義'基本性質(zhì)和解比例

例1.（2024春?商水縣期中）下面哪幾組中的兩個(gè)比可以組成比例？把組成的比例寫出來。

2：9和5：22.5

0,8：0.2和10：5

12：9和27：20

當(dāng)：上■和0.2：0.05

【分析】根據(jù)比例的意義，表示兩個(gè)比相等的式子叫比例，求出各組比的比值，比值相等的可

以組成比例。

【解答】解：2：9

=24-9

=2

9

5：22.5

=5?22.5

=2

9

1=所以2：9和5：22.5可以組成比例；

yy

0.8：0.2

=0.84-0.2

=4

10：5

=104-5

=2

4羊2,所以0.8：0.2和10：5不能組成比例；

12：9

=124-9

3

27：20

=274-20

=1_

20

打圣，所以12：9和27：20不能組成比例;

2工

7：14

-7-14

=yX14

=4

0.2：0.05

=0.24-0.05

=4

4=4,所以苒：三和020.05能組成比例。

714

【點(diǎn)評(píng)】此題考查比例的意義。

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?南昌）可以用圖與圖的數(shù)據(jù)組成比例，寫成比例是:

【分析】根據(jù)題意，把圖A按比例放大得到圖C,所以圖形對(duì)應(yīng)邊數(shù)值成正比例，再運(yùn)用比例

的基本性質(zhì)作答，即兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積等于兩個(gè)外項(xiàng)的積寫出比例即可，注意寫出的比例答案不唯

O

【解答】解：可以用圖A與圖C的數(shù)據(jù)組成比例，寫成比例是：2：1=4：2。

故答案為：A,C；2：1=4：2O（答案不唯一）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是比例的意義和比例基本性質(zhì)的運(yùn)用，靈活地運(yùn)用比例的基本性質(zhì)是解答

本題的關(guān)鍵。

2.（2024?高密市）求未知數(shù)的值

x5

-：x=4：4

【分析】(1)先根據(jù)比例基本性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，化簡方程，再依據(jù)等式的性

質(zhì)，方程兩邊同時(shí)除以8求解;

(2)先根據(jù)比例基本性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，化簡方程，再依據(jù)等式的性質(zhì)，方

程兩邊同時(shí)除以《解;

O

(3)先根據(jù)比例基本性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，化簡方程，再依據(jù)等式的性質(zhì)，方

程兩邊同時(shí)除以4求解.

【解答】解:

(1)上第

2.48

8x=2,4X5

8x=12

8x4-8=124-8

x=1.5

x=:4

⑵Ti

ix=lX4

ix=3

ixH=34

x=24

(3)X：0.5=-

4

x：0.5=3：4

4x=0.5X3

4x=1.5

4x=-

2

3

4x4-4=44-4

2

x=3

8

【點(diǎn)評(píng)】本題考查知識(shí)點(diǎn)：依據(jù)等式的性質(zhì)，以及比例基本性質(zhì)解方程，解方程時(shí)注意對(duì)齊等

3.（2024?大冶市）根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果3x=4y（x,y均不為0）,那么工=二

【分析】比例的基本性質(zhì)：在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。如果3x=4y,則3

和x要么都是外項(xiàng)，要么都是內(nèi)項(xiàng)；同理，4和y要么都是外項(xiàng)，要么都是內(nèi)項(xiàng)。據(jù)此解答。

【解答】解：通過分析可得：根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果3x=4y（x,y均不為0）,那么工=

y

4,工=3：4。

3x

故答案為：y;3；4O

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了學(xué)生根據(jù)比例的基本性質(zhì)構(gòu)成比例的能力。

題型二比例尺及應(yīng)用

例2.（2024?清徐縣）張老師買了一套新房，客廳是長6m,寬4.8m的長方形，請(qǐng)用1：200

的比例尺畫出張老師家客廳的平面圖，并寫出求圖上距離的過程。

【分析】根據(jù)比例尺的意義：比例尺=圖上距離：實(shí)際距離，分別計(jì)算平面圖上客廳的長和寬，

完成作圖即可。

【解答】解：6米=600厘米

4.8米=480厘米

600X六=3（厘米）

480X^=2.4（厘米）

張老師家的客廳如圖：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查應(yīng)用比例尺作圖，關(guān)鍵是根據(jù)比例尺計(jì)算客廳圖上的長和寬。

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?東莞市）如圖是小明坐出租車從家出發(fā)經(jīng)文化館去展覽館的路線圖。已知出租車在

3千米以內(nèi)（含3千米）按起步價(jià)8元計(jì)算，超出后每增加1千米車費(fèi)就增加2元。請(qǐng)你按

圖中提供的信息算一算，小明從家出發(fā)經(jīng)文化館去展覽館需要付多少元車費(fèi)？

文化館

比例尺=1:200000

【分析】根據(jù)實(shí)際距離=圖上距離+比例尺得出展覽館到少年宮和少年宮到小明家的實(shí)際距離,

然后計(jì)算需要付多少車費(fèi)。

【解答】解：展覽館到文化館的距離：84--^—=1600000（厘米）

1600000厘米=16千米

文化館到小明家的距離：4-；=800000（厘米）

800000=8千米

8+（16+8-3）X2

=8+21X2

=8+42

=50（元）

答：小明從家出發(fā)經(jīng)文化館去展覽館需要付50元車費(fèi)。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是比例尺的實(shí)際應(yīng)用。

2.（2024?永城市）在比例尺是1：4000000的地圖上，量得兩地間的距離是5厘米。甲、乙

兩輛汽車同時(shí)從兩地相向開出，言小時(shí)后相遇，甲汽車與乙汽車速度比是2：3,甲、乙兩

輛汽車每小時(shí)各行多少千米？

【分析】先依據(jù)“實(shí)際距離=圖上距離+比例尺”求出兩地的實(shí)際距離，進(jìn)而依據(jù)“路程+相

遇時(shí)間=速度和”求出二者的速度和，又因甲車的速度與乙車速度的比是2：3,分別求出兩

車的速度分別占速度和的幾分之幾，再根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，即可得解。

=5X4000000

=20000000（厘米）

=200（千米）

2004--

3

=200X-

4

=150（千米/時(shí)）

2

150X/

2+3

2

=150X4

5

=60（千米/時(shí)）

150X工

2+3

=150x4

5

=90（千米/時(shí)）

答：甲汽車每小時(shí)行60千米，乙汽車每小時(shí)行90千米。

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圖上距離、實(shí)際距離和比例尺的關(guān)系，以及行程問題、按比例分配的方法。

3.（2024?博白縣）在一幅比例尺是1：5000000的地圖上量得甲'乙兩地之間的公路長4厘

米。一輛汽車以平均每小時(shí)80千米的速度從甲地開往乙地，需要多少小時(shí)才能到達(dá)？

【分析】已知比例尺和圖上距離求實(shí)際距離，求出實(shí)際距離，再根據(jù)路程+速度=時(shí)間，列式

解答。

【解答】解：44---1—=20000000（厘米）

bUUUUUU

20000000厘米=200千米

2004-80=2.5（小時(shí)）

答：需要2.5小時(shí)才能到達(dá)。

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查比例尺的意義及已知比例尺和圖上距離求實(shí)際距離，注意單位的換算。

題型三圖形的放大與縮小

例3.（2024?汶上縣）根據(jù)要求填一填、畫一畫。

（1）以圖中的虛線為對(duì)稱軸作4ABC的軸對(duì)稱圖形，與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱為B1,B，所在的位

置是o

（2）將4ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形。

（3）若將aABC按3：1放大，則放大后的三角形面積是平方厘米。

Icm

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱圖形的意義：對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等，對(duì)稱點(diǎn)的連線垂直于對(duì)稱

軸，在對(duì)稱軸另一邊畫出圖形的關(guān)鍵對(duì)稱點(diǎn)，依次連接即可圖形；再根據(jù)數(shù)對(duì)中第1個(gè)數(shù)表示

列，第2個(gè)數(shù)表示行解答；

（2）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的特征，點(diǎn)A的位置不動(dòng)，其余各部分均繞此點(diǎn)按相同方向旋轉(zhuǎn)相同的度

數(shù)，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形；

（3）若將AABC按3：1放大，則放大后的三角形的底和高分別是原來三角形底和高的3倍,

即底是4X3=12（厘米），高是2X3=6（厘米），據(jù)此求出面積。

（1）與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱為夕，B，所在的位置是（3,6）

⑶4X3=12（厘米）

2X3=6（厘米）

12X6X-1=36（平方厘米）

答：則放大后的三角形面積是36平方厘米。

故答案為：（3,6）；36O

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、放大圖形的畫法，軸對(duì)稱圖形的畫法，準(zhǔn)確畫圖是關(guān)鍵。

鞏固訓(xùn)練

1.(2024?播州區(qū)模擬)畫一畫.

【分析】三角形A的兩條直角邊是2格，放大后兩條直角邊8格.據(jù)此畫出圖形B.

將B按1：2縮小后直角邊變?yōu)?格，據(jù)此畫出圖形C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的放大與縮小.

2.(2024?高新區(qū))如圖每個(gè)小正方形的邊長是1cm,按要求畫圖并填空。

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(1)在方格紙上畫一個(gè)三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)的位置分別是A(3,7)、B(1,4)、C(3,

4),它是一個(gè)三角形。

(2)畫出這個(gè)三角形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形。

(3)按2：1畫出原三角形擴(kuò)大后的圖形。

【分析】(1)用數(shù)對(duì)表示位置時(shí)，先表示第幾列，再表示第幾行，據(jù)此在方格紙上畫一個(gè)三角

形，它的三個(gè)頂點(diǎn)的位置分別是A(3,7)、B(1,4)、C(3,4),它是一個(gè)直角三角形。

(2)根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的方法，點(diǎn)C不動(dòng)，畫出這個(gè)三角形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形即可。

(3)根據(jù)圖形放大的方法，把原三角形的各條邊的長度擴(kuò)大到原來2倍，形狀不變，據(jù)此畫

出按2：1放大后的圖形即可。

【解答】解：(1)在方格紙上畫一個(gè)三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)的位置分別是A(3,7)、B(1,4)、

C(3,4),如圖：

根據(jù)圖示可知，它是一個(gè)直角三角形。

(2)畫出這個(gè)三角形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形。如圖：

(3)按2：1畫出原三角形擴(kuò)大后的圖形。如圖:

故答案為：直角。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)對(duì)表示位置、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的放大知識(shí)，結(jié)合題意分析解答即可。

3.(2024?鳳凰縣)按要求畫圖并回答問題。

(1)畫出三角形ABC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的圖形。

(2)畫出三角形ABC按2：1放大后得到的圖形，放大后的圖形與原圖的面積之比