二次根式（講義）解析版-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題04二次根式的核心知識(shí)點(diǎn)精講

o復(fù)習(xí)目標(biāo)O

1.了解二次根式的概念及其有意義的條件.

2.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念，并會(huì)把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式.

3.掌握二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)）力口、減、乘、除、乘方運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有管的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算.

O考點(diǎn)植理O

/二;欠根式的定義：f地，形如，5（。20）的式子

一二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)

有關(guān)概念

1.被開(kāi)方數(shù)不含根號(hào)（分母不含根號(hào)）

最簡(jiǎn)二次根式：同時(shí)滿足兩個(gè)條件一

2.被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)方開(kāi)得盡得因數(shù)或因式

1(癡)、a(aNO)

a(aNO)

2.癡=忖=-

La(a>0)

性質(zhì)

、3.v^a,x/b=\/ab(a>0,d>0)

二次根式

I令卜2）

5.Va(a>0)

廣加減法：先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并

運(yùn)算乘法：二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變

（除法：二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變

.先對(duì)二次根式平方

2.找出與平方后所得數(shù)字相鄰的兩個(gè)開(kāi)得盡方的整數(shù)

估值

3.對(duì)以上兩個(gè)整數(shù)平方

4.確定這個(gè)根式的值再開(kāi)方后所得兩個(gè)整數(shù)之間

A碼典例引領(lǐng)

【題型i：二次根式有意義的條件】

11_

【典例1】（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）在函數(shù)y=行二+七中，自變量x的取值范圍是_____.

V3+x為十/

【答案】x>—3且X7—2

【分析】本題考查了求自變量的取值范圍，根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等

式組解答即可求解，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可得，隹：518，

解得%>一3且久W-2,

故答案為：%>—3目.%。一2.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?江蘇徐州?中考真題）若V7TT有意義，則X的取值范圍是（）

A.%之一1B.%W—1C.%>—1D.X<—1

【答案】A

【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，即二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).根據(jù)二次根式有意

義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可.

【詳解】解：???二次根式V7TT有意義，

?1?%+1>0,解得尤2-1.

故選：A.

2.（2024?四川巴中?中考真題）函數(shù)y=G，自變量的取值范圍是（）

A.%>0B.%>-2C.%>-2D.x豐一2

【答案】C

【分析】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍、二次根式的定義，熟練掌握二次根式的有意義的條件是

解題關(guān)鍵.根據(jù)二次根式的有意義的條件建立不等式求解即可解題.

【詳解】解：由題知，x+2>0,

解得%>-2,

故答案為：C.

3.（2024?云南?中考真題）式子石在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.%>0B.%>0C.%<0D.%<0

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件.根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求解.

【詳解】解：???式子y在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,

?,?%的取值范圍是久>0.

故選：B.

*弓典例引領(lǐng)

【題型2：二次根式的性質(zhì)】

【典例2】(2024,內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)實(shí)數(shù)a力在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則伍工"一-2)

的化簡(jiǎn)結(jié)果是()

I[II?I?1A

-3-2-1012

A.2B.2a—2C.2-2bD.-2

【答案】A

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的化簡(jiǎn)法則，根據(jù)數(shù)軸可得

3<a<-2,0<b<l,,再利用二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的化簡(jiǎn)法則，化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【詳解】解:由數(shù)軸知：3Va<—2,0<Z)<1,

：.a—b<0,

???J(a-b)2-(b-a-2)

=|a—Z)|—(h—a—2)

=—(a—b)—(b—a—2)

=-CL+b—b+a+2

=2,

故選：A.

◎，即時(shí)檢測(cè)

1.(2023?湖北?中考真題)化簡(jiǎn)二次根式可的結(jié)果等于.

【答案】3

【分析】本題主要考查了化簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)后=|初進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：7(-3)2=|-3|=3,

故答案為：3.

2.(2024?四川樂(lè)山?中考真題)已知1<久<2,化簡(jiǎn)+|%—2|的結(jié)果為()

A.-1B.1C.2x-3D.3—2%

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，去絕對(duì)值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)而=3化簡(jiǎn)二次根式，然后再根據(jù)1<x<2去絕對(duì)值即可.

【詳解】解:V（X—I）2+\x—2\—\x—l\+|x—2|?

1<%<2,

?,?％—1>0,x—2<0,

1|+\x-2\=x—1+2—x=1,

???J（%-1）2+\x-2\—L

故選：B.

3.（2024?四川德陽(yáng),中考真題）將一組數(shù)心2,痣2立畫2片…，后…，按以卜方式進(jìn)行排列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2VIV102V3

則第八行左起第1個(gè)數(shù)是（）

A.742B.8V2C.V58D.4"

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.求出第七行共有28個(gè)數(shù),

從而可得第八行左起第1個(gè)數(shù)是第29個(gè)數(shù)，據(jù)此求解即可得.

【詳解】解：由圖可知，第一行共有1個(gè)數(shù)，第二行共有2個(gè)數(shù)，第三行共有3個(gè)數(shù)，

歸納類推得：第七行共有1+2+3+4+54-6+7=28個(gè)數(shù)，

則第八行左起第1個(gè)數(shù)是我又方=屈，

故選：C.

.弓典例引領(lǐng)

【題型3：二次根式的運(yùn)算】

【典例3】（2024?甘肅蘭州?中考真題）計(jì)算：V27-JjXV8.

【答案】V3

【分析】本題考查二次根式的運(yùn)算，先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，進(jìn)行乘法運(yùn)算，再合并同類二次根

式即可.

【詳解】解：原式=3百—百8

=3V3-2V3

=百.

電刃）即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?江蘇南通?中考真題）計(jì)算歷xj：的結(jié)果是（）

A.9B.3C.3V3D.百

【答案】B

【分析】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】解：727X^1=^27x|=79=3,

故選B.

2.（2024?山東威海?中考真題）計(jì)算：V12^—V8,V6=.

【答案】-2V3

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求

解.

【詳解】解：V12-V8-V6=2V3-4V3=-2V3

故答案為：-2百.

40.（2024?甘肅?中考真題）計(jì)算：V18-V12XJ|.

【答案】0

【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】V18-V12x3=V18-V18=0.

O好題沖關(guān)O

&式基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.（23-24八年級(jí)上,黑龍江綏化?期末）下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.I-B.y/sC.V4D.Vo.8

【答案】B

【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的判別.最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：①被開(kāi)方數(shù)中不能含有分

母；②被開(kāi)方數(shù)不能含有開(kāi)得盡的因數(shù)或因式.根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，依次作出判斷即可.

【詳解】解：A.J筮開(kāi)方數(shù)含有分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.而是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)正確；

C.在被開(kāi)方數(shù)含有開(kāi)的盡的因數(shù)4,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.被開(kāi)方數(shù)含有分母，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

2.（23-24八年級(jí)上?湖南張家界?期末）下列運(yùn)算正確的是（）

A.V（-2）2X3=-2V3B.V18-V8=V2

C.V25=±5D.g+42=3+4=7

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，二次根式的加減運(yùn)算，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次

根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變.

【詳解】A.7（-2）2X3=V4x3=V12=2V3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.V18-V8=3V2-2V2=V2>故本選項(xiàng)正確；

C.V25=5,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.V32+42=79+16=V25=5,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

3.（2024?湖北恩施?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=竺的自變量的取值范圍是（）

x—2

A.%<-3B.%之一3且%。2

C.%4-3且%。2D.%>—3

【答案】B

【分析】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式組，解不等式組得到答案.

【詳解】解：由題意得：%+320且%—200,

解得：工之一3且久。2,

故選：B.

4.（2024?重慶南岸?模擬預(yù)測(cè)）估計(jì)百x（返—J）的值在（）

A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間

【答案】A

【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，不等式的性質(zhì)，二次根式的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握如何

估算無(wú)理數(shù)在哪兩個(gè)整數(shù)之間.

先計(jì)算得到-1,再估算/石的范圍，再根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：V3X

=V15-l>

,?'V9<V15<V16,

■,-3<V15<4,

.■.2<V15-I<3,

.??V3x（詆-勺值在2和3之間,

故選：A.

_______1

5.（2024?河北邢臺(tái)?模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：2024+,2024義石肅的值為（）

v2024

A.2024B.1012C.1D.V2024

【答案】C

【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，先變除法為乘法，再根據(jù)二次根式乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】解：20244-V^ix^|==2O24X壺X盍=2024x/=1,

故選C.

6.（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）下列二次根式中，與百是同類二次根式的是（）

A.V6B.V81C.D.V18

【答案】C

【分析】此題考查同類二次根式的概念，根據(jù)同類二次根式的概念，需要把各個(gè)選項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根

式，被開(kāi)方數(shù)是3的即和百是同類二次根式.

【詳解】A.痣與百不是同類二次根式，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.倔：=9與百不是同類二次根式，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.4=理與百是同類二次根式，故該選項(xiàng)正確；

D.=3五與其不是同類二次根式，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

7.（2024?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算（-場(chǎng)的結(jié)果是（）

A.V3B.9C.2V3D.3

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式性質(zhì)即可得到結(jié)果.

2

【詳解】解：（一百）=3,

故選：D.

8.(2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè))實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則在不+1+|a-1|的化簡(jiǎn)結(jié)果是

()

a

-1012

A.2B.2a-lC.0D.l-2a

【答案】A

【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸.先根據(jù)數(shù)軸分析出a的取值范圍，再根據(jù)二次

根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：由數(shù)軸知0<a<l,

a—1<0,

J(-a)?+1+|a—1|=a+1+1—a—2.

故選：A.

9.(2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和8C,如果4C=與以8,則稱線段AB

被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段4B的黃金"右割”點(diǎn)，根據(jù)圖形不難發(fā)現(xiàn)，線段上另有一點(diǎn)。把線

段4B分成兩條線段4。和BD,若3。=告58,則稱點(diǎn)。是線段4B的黃金"左割"點(diǎn)，若AB=2,貝北。=

()

IIII

ADCB

A.Vs_1B.Vs_2C.2VD.5—2V5

【答案】C

【分析】本題主要考查了黃金分割，解題的關(guān)鍵是理解題意，先根據(jù)4。=與。3,BD=^1AB,求

出BD=4C=逐一1,再求出8。=3-詆，再根據(jù)CD=BD—BC求出結(jié)果即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：BD=AC=^AB=x2=V5-1-

：.BC=AB-AC=2—-1)=3—

??.CD=BD-BC=V5-l-(3-V5)=2y-4,

故選：C.

10.(2023-2024七年級(jí)下?河南信陽(yáng)?期末)若丫=4與+萬(wàn)3+3,則必的值為—.

【答案】8

【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，先根據(jù)二次根式有

意義的條件求出工的值，進(jìn)而得出y的值，代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意得，x—2>0,2—x>0,

y=3,

■?.xy=23=8.

故答案為：8.

11.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）若恒有式子后下=久-1,則實(shí)數(shù)比的取值范圍是

【答案】%>1/1<%

【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)存={*:氣0q,列出不等式求解即可.

【詳解】解：：V（x-l）2=X-1,

x—1>0,

解得：X>1,

故答案為：X>1.

12.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）比較大小：-亨____一咚（填">或"=

【答案】<

【分析】本題考查二次根式比較大小，先取-等、*的絕對(duì)值，再平方，比較大小即可得到答案，熟

練掌握無(wú)理數(shù)比較大小的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

22

【詳解】解「俘）與俘）號(hào)，用日，

?冷,則收〈哼

故答案為：<.

13.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：（IT一百）°+2cos30。-V12-|V3-2|-2-1

【答案】-5

【分析】本題考查實(shí)數(shù)計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值，二次根式化簡(jiǎn)，絕對(duì)值化簡(jiǎn)，負(fù)指數(shù)嘉等.根據(jù)題

意先將每項(xiàng)整理計(jì)算，再?gòu)淖蟮接乙来斡?jì)算即可.

【詳解】解：（IT—西）°+2cos30。-V12-|V3-2|-2-1,

=1+2x咚-2百-2+百-弓，

ZZ

=1+V3—2V3—2+V3—

_3

=~2-

14.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：4|-（2024-兀）°

【答案】12

【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算及二次根式的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算

時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要

先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.首先計(jì)算零指數(shù)累、負(fù)整數(shù)指數(shù)累和絕對(duì)值,

然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可.

【詳解】原式=4—2V^—1+9+2V^,

=12

能力提升

1.（2024?四川樂(lè)山?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，矩形O4BC中，04=6,OC=4/COx=6O。，則點(diǎn)8的坐標(biāo)為

A.(2-3百,3+2圾B(niǎo).(-2+3V3,2+3V3)

C.(-2+V3,2+V3)D.(2-373,2+3V3)

【答案】A

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，過(guò)點(diǎn)/作y軸的平行線交x軸與點(diǎn)E,

過(guò)點(diǎn)3過(guò)作該平行線的垂線垂足為點(diǎn)/,交y軸于點(diǎn)K過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)。，解直角三

角形，求出CD=2百,OD=2,4E=3,OE=3Vi，利用矩形的性質(zhì)得到乙4/B=30。/8=OC=4,求出

BI=2,AI=2V3，進(jìn)而求出E/=H/+4E=3+2百,BF=OE—B/=3，5—2,即可得到點(diǎn)3的坐標(biāo).

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)/作y軸的平行線交x軸與點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)3過(guò)作該平行線的垂線垂足為點(diǎn)/,交

y軸于點(diǎn)R過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)。，則NCDO=N力EO=NBL4=NBFO=90°,

Dx

?.?矩形。4BC中，OA=6,OC=4,ACOx=60°,

.-.^AOC=^OAB=4ABC=90°,AB=OC=4,

■,AAOE=180°-^AOC-Z.0CD=30°,

：./.OAE=90°-ZXO￡=60°,

同理，N4B/=60。，

.,.在RtZkOCD中，

OD=OC-cos60°=2,CD=OC-sin60°=2百，

.,.在RtzXAOE中，

AE=OAcos60。=3,OE=OX-sin60°=3百，

.?.在RtUB/中，

BI=AB-cos600=2,4/=XB-sin60°=2百，

■：/-BFO=乙FOE=/.1E0=90°,

.??四邊形/EOF是矩形，

■,IF=OE=3V3

.-.EI=AI+AE=3+2?BF=OE-BI=3百一2,

???點(diǎn)B在第二象限，

.??點(diǎn)B的坐標(biāo)為:（2-3省,3+2百）

故選：A.

2.（2024.貴州畢節(jié).模擬預(yù)測(cè)）若7Vt<9,則化簡(jiǎn)|5—1|+J（t—IO-的結(jié)果是（）

A.5B.-5C.2t—15D.15—2t

【答案】A

【分析】本題主要考查可化解絕對(duì)值，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)7<t<9化簡(jiǎn)絕對(duì)值，求出

J（t-10）2的算術(shù)平方根,然后計(jì)算求解即可.

【詳解】解:?.?7<t<9,

+V（t-10）2

=t—5+10—t

=5,

故選：A.

3.（2024?山東臨沂?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形4BCD邊長(zhǎng)為1,以4C為邊作第2個(gè)正方形4CEF,再以CF為邊

作第3個(gè)正方形FCGH,…，按照這樣的規(guī)律作下去，第2024個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，圖形的規(guī)律

探究等知識(shí).由題意知，第1個(gè)正方形力BCD的邊長(zhǎng)為1；第2個(gè)正方形4CEF的邊長(zhǎng)AC為五；第3個(gè)

23

正方形FCGH的邊長(zhǎng)CF為（加）；第4個(gè)正方形FGMN的邊長(zhǎng)FG為（&）；......，可推導(dǎo)一般性規(guī)律為第n

個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（?）"T,然后求解作答即可.

【詳解】解：由題知，第1個(gè)正方形4BCD的邊長(zhǎng)為1；

第2個(gè)正方形2CEF的邊長(zhǎng)4C為+/=五；

第3個(gè)正方形FCGH的邊長(zhǎng)CF為24。=2=（V2）；

第4個(gè)正方形FGMN的邊長(zhǎng)FG為正CF=（加）,

???第九個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（五）7,

.?.當(dāng)幾=2024時(shí)，第2024個(gè)正方形的邊長(zhǎng)（、②?°24.

故選：C.

4.（2024?甘肅隴南?三模）如圖，矩形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形，其面積分別為8和32,則圖中陰影部分的面

積為（）

A.8B.8近C.10D.12

【答案】A

【分析】本題考查了算術(shù)平方根，二次根式的應(yīng)用，先求出大、小正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而列式計(jì)算陰影

部分的面積即可，解題的關(guān)鍵是明確題意，求出大小正方形的邊長(zhǎng)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

【詳解】解：由題意可知，大正方形的邊長(zhǎng)為宿=4加，小正方形的邊長(zhǎng)為e=2加,

二圖中陰影部分的面積為：2&x（4V2-2V2）=2五x2&=8,

故選：A.

5.（23-24九年級(jí)上,河南南陽(yáng)?階段練習(xí)）若％=百-1,則代數(shù)式/+2%+3的值為（）

A.7B.4百C.3-2V3D.5

【答案】D

【分析】本題考查代數(shù)式求值，二次根式的混合運(yùn)算，完全正確平方公式.能夠靈活運(yùn)用完全平方公

式是解答本題的關(guān)鍵.

將代數(shù)式化簡(jiǎn)為（久+1）2+2,然后再代入求解即可.

【詳解】解：?久=百一1

2

.../+2久+3=（久+I）2+2=（V3-1+1）+2=5.

故選：D.

6.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出了"三斜求積術(shù)”，即若已知三角形的三條邊長(zhǎng)分

別為a,b,c,則三角形的面積S可由公式S=Jp（p—a）（p—b）（p—c）求得,其中「=亨，這個(gè)公式也

被稱為海倫一秦九韶公式,如圖，△4BC的邊長(zhǎng)分別為48=4C=5,8C=6,則此三角形面積為.

【答案】12

【分析】先計(jì)算「=亨=亨=8,代入公式S=Jp(p-a)(p_6)(p_c)計(jì)算即可.

本題考查了二次根式的應(yīng)用，熟練掌握公式，精準(zhǔn)化簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???AB=2C=5,BC=6,

：.c=b=5,a=6,

a+b+c5+5+6?

.?.p=——=F-=8，

???S=，8(8-5)(8-5)(8-6)

=12.

故答案為：12.

7.(2024?山西晉中?三模)有這樣一類題目：將〃+2同化簡(jiǎn),若你能找到兩個(gè)數(shù)機(jī)和n，

使?7?+打2=&且根幾=詆，則a+2乃可變?yōu)闄C(jī)2+九2+2nm,即變成(根+冗)？，從而使得石化

簡(jiǎn).例如：5+2V6=3+2+2A/6=(V3)2+(V2)2+2返=(V3+,Vs+2V6=J(V3+V2)2=V3

+我.請(qǐng)你仿照上例，化簡(jiǎn)：V7-2V10=.

［答案］V5_V2/_V2+V5

【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解題關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和二次根式的性

質(zhì).把被開(kāi)方數(shù)中的7寫成5+2,然后利用完全平方公式分解因式，最后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即

可.

［詳解］77-2V10=Vs+2-2V10=J(V5-V2)2=V5-V2

故答案為：V2

8.(2024?山東東營(yíng)?二模)如圖，點(diǎn)4是y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在式軸的正半軸上，48=4,以AB為邊在

第一象限作正方形4BCD,連接OC,貝UOC的最大值為.

【答案】2V5+2

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，三角形的

三邊關(guān)系，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可

求0H=2,由勾股定理可求CH的長(zhǎng)，再由三角形的三邊關(guān)系可求得H在0C上時(shí)，0C有最大值，從而求

得答案.

【詳解】如圖，取4B的中點(diǎn)H,連接。H,HC,

???四邊形力BCD是正方形

.-.AABC=AAOB=90°,AB=BC=4

???”是AB的中點(diǎn)

11

OH=BH=-AB=-x4=2

CH=+BC2="+42=2V5

在△OC”中，OC<0H+HC

???當(dāng)H在OC上時(shí)，OC有最大值，最大值為2代+2

故答案為：2V5+2.

9.（2024?湖南益陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）小靜、小智、小慧是同一學(xué)習(xí)小組里的成員，小靜在計(jì)算時(shí)出現(xiàn)了一步如下

的錯(cuò)誤：V2+V3=V5

小智與小慧分別從不同的角度幫助小靜加深對(duì)這一錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)：

小智的思路：將我+百，行兩個(gè)式子分別平方后再進(jìn)行比較；

小慧的思路：以VLV5,代為三邊構(gòu)造一個(gè)三角形，再由三角形的三邊的關(guān)系判斷我+打與行的大

小關(guān)系.

根據(jù)小智與小慧的思路，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

⑴填空：

22

??,（V2+V3）=,（V5）=,

22

??.（&+百）力（遮），???V2+V3*V5.

⑵如圖，以VL百，而為三邊構(gòu)造△2BC,

c

①請(qǐng)判斷△力BC是什么特殊的三角形，并說(shuō)明理由；

②根據(jù)圖形直接寫出我+省與標(biāo)的大小關(guān)系.

【答案】⑴5+2而5

⑵①直角三角形，見(jiàn)解析；@V2+V3>V5

【分析】本題考查二次根式的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理

解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

(1)根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算判斷即可；

(2)①利用勾股定理的逆定理判斷即可；

②利用三角形三邊關(guān)系判斷即可.

22

【詳解】([)解：(V2+V3)=2+2丘+3=5+2尼，(V5)=5,

???(V2+V3)*(V5)，

?-?V2+V3*V5.

故答案為：5+2^6>5；

(2)解：①△ZBC是直角三角形.

理由：???(V2)2+(V3)2=(V5)\

N4=90°,

.?.△ABC是直角三角形；

②■：AB+AOBC,

■■■V2+V3>V5.

10.(2024?安徽池州?模擬預(yù)測(cè))觀察下列等式:

2

①3-2加=(&-1)；

2

②5-2遙=(b-女)；

___2

③7-271^=(V4-V3);

請(qǐng)你根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問(wèn)題：

⑴寫出第6個(gè)等式：_；第〃個(gè)等式:

(2)計(jì)算：75-2V6+V7-2V12+V9-4V5+V11-2V30.

【答案】(1)13-2742=(V7-V6)，(2n+I)-2，”"+1)=(4/+1-夜)

(2)V6-V2

【分析】本題考查規(guī)律探索，根據(jù)已知的式子總結(jié)出等式與序數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.由已知的等式,

總結(jié)規(guī)律求解即可.

(1)由已知的等式，即可歸納出規(guī)律；

(2)根據(jù)歸納的規(guī)律進(jìn)行變形計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：13—2V42=(V7—V6)

(2n+1)—2^/21(71+1)=(Vn+1—\/n)2

(2)原式=-5-2芯+V7-2V12+-9-2癡+711-2V30

=J(V3-V2)2+J(V4-V3)2+J(V5-V4)2+J(V6-V5)2

=V3—V2+V4—V3+V5—V4+V6-V5

=V6-V2.

皿?真題感知

1.(2024?山東濟(jì)寧?中考真題)下列運(yùn)算正確的是()

A.V2+V3=V5B.V2XV5=V10

C.2-?V2—1D.J(—5)2=-5

【答案】B

【分析】此題考查二次根式的運(yùn)算法則，根據(jù)二次根式的加法法則對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法

法則對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷.

【詳解】A.企與百不能合并，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.V2xV5=V10，所以B選項(xiàng)正確；

C.2+&=〃+2=五，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.[(-5)2=|-5|=5,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

2.(2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題)計(jì)算J92-62所得結(jié)果是()

A.3B.V6C.3V5D.±3V5

【答案】C

【分析】本題考查化簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：V92-62=V81-36=V45=3V5;

故選C.

3.（2024?黑龍江綏化?中考真題）若式子痂與有意義，則a的取值范圍是（）

2332

A.<3B-m-~C.zn之5D.m<--

【答案】c

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)題意可得2巾-320,即可求解.

【詳解】解：???式子痂三有意義，

.,.2m—3>0,

解得：m>-,

故選：C.

4.（2024,江蘇鹽城?中考真題）矩形相鄰兩邊長(zhǎng)分別為&cm、返cm,設(shè)其面積為Scm?,則S在哪兩個(gè)連續(xù)

整數(shù)之間（）

A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5

【答案】C

【分析】本題主要考查無(wú)理數(shù)的估算，二次根式的乘法，先計(jì)算出矩形的面積S,再利用放縮法估算無(wú)

理數(shù)大小即可.

【詳解】解：5=近又返=寸6

9<10<16,

V9<V10<V16，

3<V10<4,

即S在3和4之間，

故選：C.

5.（2024?重慶?中考真題）估計(jì)遮）的值應(yīng)在（）

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間

【答案】C

【分析】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，無(wú)理數(shù)的估算，先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再估算即

可.

【詳解】解：???JU（女+百）=2返+6,

而4<2尼<5,

--10<2V6+6<11,

故答案為：C

6.（2024?山東淄博,中考真題）計(jì)算：V27-2V3=.

【答案】V3

【分析】本題主要考查了二次根式的減法計(jì)算，先化簡(jiǎn)二次根式，再計(jì)算二次根式減法即可.

【詳解】解：V27-2V3=3V3-2V3=V3>

故答案為：V3.

7.(2024?天津?中考真題)計(jì)算(VH—1)(VH+1)的結(jié)果為

【答案】10

【分析】利用平方差公式計(jì)算后再加減即可.

【詳解】解：原式=11—1=10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則及平方差公式是解題的關(guān)鍵.

8.(2024?青海?中考真題)計(jì)算：V18-tan45°+71°-1-V21.

【答案】2V2

【分析】本題考查了特殊值的三角函數(shù)值、零指數(shù)嘉和絕對(duì)值，根據(jù)相關(guān)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)后合并即可.

【詳解】解：V18-tan45°+TT°-|-