二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（解析版）-2023-2024學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)分類(lèi)匯編

專(zhuān)題03二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

經(jīng)典基礎(chǔ)題

題型01比較大小

1.已知拋物線(xiàn)y=-f+2x+c,若點(diǎn)（0,%）,。,力），（3,%）都在該拋物線(xiàn)上，則%、%、%的大小關(guān)系

是（）

A.B.C.%D.必<%<%

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，再利用二次函數(shù)的增減性可判斷y值的大小.

【詳解】解：；y=-x2+2x+c=-（x-l）2+l+c,

,.拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=l,

.?點(diǎn)（0,%）,（1,%），（3,%）者在B該拋物線(xiàn)上，1-1<1-0<3-1,

；?%<%<%，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的增減性.

2.已知二次函數(shù)y=2f-4法一5。2-1）,當(dāng)—時(shí)，函數(shù)的最小值為一13,則b的值為（）

53

A.-B.2C.-D.1

22

【答案】A

【分析】先求出二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=b,則離對(duì)稱(chēng)軸越近函數(shù)值越小，再分當(dāng)

-14W1時(shí)，當(dāng)匕＞1時(shí)，兩種情況根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為-13進(jìn)

行求解即可.

【詳解】解：.??二次函數(shù)解析式為＞=2——4桁-5。2-1）,

—4Z?

???二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)=6,

2x2

離對(duì)稱(chēng)軸越近函數(shù)值越小，

當(dāng)一1V6W1時(shí)，

?.?當(dāng)一3VXW1時(shí)，函數(shù)的最小值為-13,

?1.2/72-4/?2-5=-13,解得6=±2（舍去）；

當(dāng)6＞1時(shí)，IjJiJ&-1＜Z?-（-3）=b+1,

?.?當(dāng)-3VxWl時(shí)，函數(shù)的最小值為-13,

當(dāng)尤=1時(shí)，_y=2A:2-4bx-5=-13,

2xl2-4ft-5=-13,

解得b=|;

綜上所述，b=1,

故選A.

【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，正確得到離對(duì)稱(chēng)軸越近函數(shù)值越小是解題的關(guān)鍵

3.若點(diǎn)A（-2,yJ,3（1,%），。（帆,力）在拋物線(xiàn)＞=2加+4內(nèi)+。上，且％＜為＜%，則加的取值

范圍是（）

A.-3＜zn＜-2B.-3＜根＜-2或0＜m＜1

C.〃?＜-3或勿＞1D.-3＜?7＜0或-2＜機(jī)＜1

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)》=-半=-1,根據(jù)/＜為＜必，

4a

根據(jù)離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，可得?！?,進(jìn)而可得優(yōu)的范圍

【詳解】解：.??拋物線(xiàn)y=2o?+4分+C,的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)％=-芋4/7=-1,

4Q

點(diǎn)A（-2,yJ,B（l,y2）,口〃?,％）在拋物線(xiàn)y=Zox?+4ax+c上，且

而一1-（-2）<1-（-1）,%哽為，a>0,

<,1<機(jī)一（一1）<2或1<一1一機(jī)<2

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.已知（一2,%）、［J，％］、（1,%）是二次函數(shù)y=gx2+x+c圖象上的三點(diǎn)，則%、%、%的大小

關(guān)系為（）

A.%>%>%B.必<%<%C.>2<丫3<必D.力<必<必

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可得拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸的距離即可求解.

【詳解】解:二次函數(shù)的關(guān)系式為y=；/+x+c,

,拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-l,距離對(duì)稱(chēng)軸越近，函數(shù)值越小，

1O

?.?卜2-（-1）|=1,-1--=-,|-1-1|=-2,

二T-g<|-2-（-1）|.\%>%>%，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)拋物線(xiàn)開(kāi)口向上時(shí)，距離對(duì)稱(chēng)軸越近，函數(shù)值越小,

當(dāng)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下時(shí)，距離對(duì)稱(chēng)軸越近，函數(shù)值越大.

5.二次函數(shù)、=辦2+以的圖象如圖所示，當(dāng)-i<x<小時(shí)，y隨尤的增大而增大，則加的取值范圍

A.7Z7>1B.-1<m<1C.m>0D.—l<m<2

【答案】B

【分析】結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由圖象可知，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為彳=1,

.?.當(dāng)xvi時(shí)，y隨x的增大而增大，

又,當(dāng)-1<%<小時(shí)，y隨x的增大而增大，

-1<m<1,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

II

題型02圖像的平移問(wèn)題

■?

6.二次函數(shù)y=/+l的圖象平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),則下列平移方法正確的是()

A.向左平移2個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位B.向左平移1個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位

C.向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位D.向右平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位

【答案】C

【分析】求出平移后的拋物線(xiàn)的解析式，利用待定系數(shù)法解決問(wèn)題即可.

【詳解】解：A、平移后的解析式為y=(x+2y+l-2=(x+2)Jl,當(dāng)x=2時(shí)，y=15,本選項(xiàng)不符

合題意；

B、平移后的解析式為y=(x+iy+l+2=(x+l)2+3,當(dāng)x=2時(shí)，y=12,本選項(xiàng)不符合題意；

C、平移后的解析式為y=(x-l)2+l-2=(x-l)2一1,當(dāng)x=2時(shí)，y=0,本選項(xiàng)符合題意;

D、平移后的解析式為y=（x—2y+l+l=（x—2）2+2,當(dāng)尤=2時(shí)，y=2,本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基

本知識(shí)，屬于中考常考題型.

7.將拋物線(xiàn)y=-2/向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線(xiàn)解析式為.

【答案】y=-2x2+3/y=3-2x2

【分析】根據(jù)平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，寫(xiě)出解析式即可.

【詳解】解：將拋物線(xiàn)y=-2一向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得y=-21+3

故答案為：y=-2%2+3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，此類(lèi)題目，利

用頂點(diǎn)的變化求解是解題的關(guān)鍵.

8.將拋物線(xiàn)丫=2/+以-1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則所得拋物線(xiàn)的解

析式為.

【答案】y=2f

【分析】用頂點(diǎn)式表達(dá)式，按照拋物線(xiàn)平移的公式即可求解.

【詳解】解：；y=2x2+4x-l=2（x+l）2-3

丁=2/+4.*-1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，

再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，函數(shù)的表達(dá)式為：y=2x2+4x-l=2（x+l-l）2-3+3=2^2.

故答案為：y=2/.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的平移，拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，要求熟練掌握平移的規(guī)

律：左加右減，上加下減.

系數(shù)a,b,c與圖像的關(guān)系

9.二次函數(shù)丁=0^+笈+4。彳0）的圖像如圖所示，下列說(shuō)法:

①2。+》=0；②當(dāng)—l<xV3時(shí)，y<0；③若（工,%）、（%，%）在函數(shù)圖像上，當(dāng)玉時(shí)，％<〉2；

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸判斷①，由圖像判斷②，根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)判斷③，根據(jù)x=3時(shí)，

、=。判斷④，根據(jù)已知條件可判斷⑤，由此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，>=◎?+樂(lè)+《。工0）的圖像開(kāi)口向上，與x軸的交點(diǎn)為%=-1,%=3,

與y軸的交點(diǎn)在y的負(fù)半軸上，

a>0,對(duì)稱(chēng)軸為x=：*+%==],c<0,

22

??.①由圖像可知，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)尤=1,

=1,即2〃+b=0,①正確；

2a

②由圖像可知，當(dāng)一l<x<3時(shí)，）<0,②錯(cuò)誤；

③在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，當(dāng)玉<%時(shí)，%>為；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，當(dāng)％1<%2時(shí)，M<%，③錯(cuò)誤；

④當(dāng)犬=3時(shí)，y=。，

9〃+3/?+c=0,④正確；

2a+b=0,9〃+36+。=0,

「.3a+6a+3〃+c=0,即3〃+。=0,

\a=-^c,⑤正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)丁=。/+法+。系數(shù)符號(hào)由拋物線(xiàn)開(kāi)口

方向、對(duì)稱(chēng)軸、拋物線(xiàn)與V軸的交點(diǎn)拋物線(xiàn)與無(wú)軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)〉=加+泳+4。7（））的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論:

①必。>0；②2a-b=0；③9a+36+c>0；?b2>4ac；⑤“+c<b.其中結(jié)論正確的是（填

序號(hào)）.

【答案】④⑤/⑤④

【分析】①由圖象的開(kāi)口方向，與y軸的截距，對(duì)稱(chēng)軸的正負(fù)，即可求解；②由-==i，即可求

2a

解；③-「.2<X2<3,當(dāng)元=3時(shí)，即可求解；④圖象與％軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求解；

⑤當(dāng)％二—1時(shí)，a-b+c<Q,即可求解.

【詳解】解：①由圖象得：圖象開(kāi)口向下，,。<0,與y軸的截距在正半軸上，c>o,-->o,

2a

b>0,abc<0,故此項(xiàng)錯(cuò)誤；

如圖，-1<%<0,;.2<X2<3,.?.當(dāng)天=3時(shí),9a+3b+c<0故此項(xiàng)錯(cuò)誤;

④圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，.?.廿-4碇>0,；?2>4的,故此項(xiàng)正確；

⑤由③得，當(dāng)x=-l時(shí)，a-b+c<Q,:.a+c<b,故此項(xiàng)正確；

故答案：④⑤.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象判斷式子的符號(hào)，掌握判斷方法是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a^0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,-2），圖像與無(wú)軸交于點(diǎn)B（?W）和點(diǎn)C,

且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)，那么線(xiàn)段BC的長(zhǎng)是.（請(qǐng)用含字母，"的代數(shù)式表示）

【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)，=依2+桁+。（a#0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,-2）可得對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)A2,根據(jù)點(diǎn)

川帆0）和點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)可得C（4-桃0）,進(jìn)行計(jì)算即可得到線(xiàn)段BC的長(zhǎng).

【詳解】解：,拋物線(xiàn)'=加+法+。（。工0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,-2）,

.?.拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2,

點(diǎn)3（加0）和點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，

.??設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（力,0）,

/.H+m=2x2,

,'.n=4—m,

/.C（4-m,0）,

點(diǎn)3在點(diǎn)C的左側(cè)，

BC=4—m—m=4—2m,

故答案為：4-2m.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與不軸的交點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

12.已知二次函數(shù)丫=依2+法+《。中0）的圖像如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：

（T）abc>0；②6<a+c；③4a+2b+c>0；④2c<36；（5）a+b>m^am+b）（加力1的實(shí)數(shù)）.

其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）

【答案】③④⑤

【分析】由拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向可以得出〃<o,由拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)可以判斷c>o,由拋物線(xiàn)的對(duì)

稱(chēng)軸可以判斷>>0,再根據(jù)拋物線(xiàn)與*軸的交點(diǎn)情況以及拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)進(jìn)行推理即可得到答案.

【詳解】解：①，二次函數(shù)丁=以2+及+。（。彳。）的圖象開(kāi)口方向向下，與y軸交于正半軸，對(duì)稱(chēng)

軸為直線(xiàn)x=l,

.?.〃<0,c>0,------>0,

2a

Z?>0,

/.abc<0,故①錯(cuò)誤，不符合題意；

②二次函數(shù)丁=以2+云+《。。0）的圖象與龍軸的交點(diǎn)在（-IQ）的右邊，圖象開(kāi)口方向向下，

.??當(dāng)時(shí)，y<。，

:.a-b+c<Q,

:.b>a+c,故②錯(cuò)誤，不符合題意；

③?二次函數(shù)丁=加+及+c（〃wo）的圖象與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（2,0）的右邊，圖象開(kāi)口方向向下,

?二當(dāng)x=2時(shí)，y>0,

:Aa^2b+c>Q,故③正確，符合題意；

④由①得：--=1.

2a

17

ci——b,

2

由②得：a-b+c<0,

/.—b—Z?+c<0,

2

:.2c<3b,故④正確，符合題意；

⑤二次函數(shù),=加+云+c（〃w。）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)％=1,

???當(dāng)x=l時(shí)，,取最大值，最大值為a+/?+c,

，當(dāng)彳="2（根wl）時(shí)，am2+bm+c<a+b+c^

:.a+b>m(am+b)[m^i),故⑤正確,符合題意；

綜上所述：正確的結(jié)論有：③④⑤，

故答案為：③④⑤.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子的

符號(hào)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的方法解題，是解此題的關(guān)鍵.

!產(chǎn)型04|二次函數(shù)與其他函數(shù)共存問(wèn)題

13.同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=(x-a)2與一次函數(shù)>+?的圖象可能是()

【答案】D

【分析】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷。，6的符號(hào)，再判斷二次函數(shù)圖象與實(shí)際是否相符，判斷正

誤.

【詳解】解：A、由一次函數(shù)、=。+依的圖象可得：兩個(gè)a的符號(hào)不一致，故錯(cuò)誤；

B、由一次函數(shù)y6的圖象可得：a<0,此時(shí)二次函數(shù)y=(x-a)2的頂點(diǎn)(a,。)，a>0,矛盾，

故錯(cuò)誤；

C、由一次函數(shù)>=。+以的圖象可得：a<0,由其與y軸的交點(diǎn)可知a>0,矛盾，故錯(cuò)誤；

D、由一次函數(shù)儀的圖象可得：a>0,此時(shí)二次函數(shù)y=(x-a)2的頂點(diǎn)(a,0),a>0,故正

確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)在不同情況下所在的象

限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等.

14.二次函數(shù)丁=以2+版+<?的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則a、b、c的取值范圍是()

A.a>0,b<0,。=0B.a<0,b<0,c<0

C.a<0,b<0,c>0D.a<0,b>0,c<0

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=ax1+bx+c的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限可畫(huà)出大致圖象，圖象開(kāi)口決定。的符號(hào),

與y軸交點(diǎn)決定c的符號(hào)，對(duì)稱(chēng)軸所在位置決定。的符號(hào).

【詳解】解：,二次函數(shù)尸以2+法+。的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則大致圖象為下圖所示，

由圖象即可判斷出。<0,b>0,c<0,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)>=依2+法+0不過(guò)第二象限畫(huà)出大致

圖象是解題的關(guān)鍵.

【答案】C

【分析】先分別根據(jù)函數(shù)圖像確定拋物線(xiàn)、直線(xiàn)的系數(shù)，然后看是否一致即可解答.

【詳解】解：A.由拋物線(xiàn)可知a>0,b<0,由直線(xiàn)可知。<0,b<0,故不一致，不合題意；

B.由拋物線(xiàn)可知b<0,由直線(xiàn)可知。X),b>0,故不一致，不合題意；

C.由拋物線(xiàn)可知a>0,b>0,由直線(xiàn)可知a>0,b>0,故一致，符合題意；

D.由拋物線(xiàn)可知a<0,b>0,由直線(xiàn)可知。>0,b>0,故不一致，不合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的圖像，掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)圖像的有關(guān)性質(zhì)

是解答本題的關(guān)鍵.

17.下列圖象中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)＞

【分析】分別根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)中一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象判斷出。和6的正負(fù)，然后通過(guò)比較求解

即可.

【詳解】解：A、對(duì)于直線(xiàn)y=ax+6,得a＞0,b＜0,與必＞0矛盾，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B、由拋物線(xiàn)＞=依2開(kāi)口向上得到4＞（）,而由直線(xiàn)y=or+b經(jīng)過(guò)第二、四象限得到。＜0,所以B

選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C、由拋物線(xiàn)y=依2開(kāi)口向下得到。＜（）,而由直線(xiàn)＞="+6經(jīng)過(guò)第一、三象限得到a＞0,所以C

選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、由拋物線(xiàn)開(kāi)口向下得到。＜0,則直線(xiàn)、=辦+8經(jīng)過(guò)第二、四象限，由于仍＞0,則》＜0,

所以直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，所以D選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像和一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握函數(shù)關(guān)系式的系數(shù)與圖像的位

置之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

優(yōu)選提升題

18.無(wú)論加為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)、=/+（2-7〃）為+必的圖像一定過(guò)的點(diǎn)是（）

A.(1,3)B.(1,0)C.(—1,3)D.(—1,0)

【答案】A

【分析】無(wú)論機(jī)為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=d+（2-加卜+加的圖像一定過(guò)的點(diǎn)，即該定點(diǎn)坐標(biāo)與加

的值無(wú)關(guān)，根據(jù)整理后式子中（1-x）機(jī)，該項(xiàng)中的l-x=O,求解定點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】原式可化為丫=/+2*+（1-力機(jī)，

,無(wú)論加為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)丫=*2+（2-加卜+m的圖像一定過(guò)的點(diǎn)，即該定點(diǎn)坐標(biāo)與機(jī)的值無(wú)

關(guān)，

/.1—x=0,

解得：x=-l,

此時(shí)y=1+2=3,

???圖像一定過(guò)的點(diǎn)是（L3）,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，理解定點(diǎn)坐標(biāo)與機(jī)的值無(wú)關(guān)，即整理后式子中

（1-力〃7,該項(xiàng)中的1-X=0是解題的關(guān)鍵.

19.已知點(diǎn)々（尤1，5）,鳥(niǎo)（馬,火）為拋物線(xiàn)y=aN-4or+c（80）上兩點(diǎn)，且巧C巧，則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.若看+巧<4,則”B.若4+々>4,則〃<了2

C.若a（4+巧-4）>0,則y/>y2D.若a（4+4-4）<0,則竺>>2

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的圖象與性質(zhì)，當(dāng)開(kāi)口向上時(shí)，離對(duì)稱(chēng)軸越近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越小，當(dāng)開(kāi)口向下

時(shí)，離對(duì)稱(chēng)軸越近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大.

【詳解】解：拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-?^=2,

2a

當(dāng)％+馬<4時(shí)，x2-2<2-xlf

則當(dāng)a>0時(shí)，%>%;當(dāng)。<0時(shí)，％<%;

當(dāng)王+/〉4時(shí)，％-2>2-再，

則當(dāng)。>0時(shí)，%>%;當(dāng)。<0時(shí)，%>為；

故A、B選項(xiàng)都不正確；

若G+XJT）〉。,則。與7+尤2-4同號(hào),由上可知％<必，

故C不正確；

若。(%,+彳2-4)<0,則。與否+%-4異號(hào),由上可知%>%，

故D正確；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握當(dāng)圖象開(kāi)口向上時(shí)，離對(duì)稱(chēng)軸越近的點(diǎn)

的縱坐標(biāo)越小，當(dāng)開(kāi)口向下時(shí)，離對(duì)稱(chēng)軸越近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大.

20.如圖是拋物線(xiàn)y=ov2+fct+c(awO)的一部分，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(L3),與尤軸的一個(gè)交點(diǎn)

是3(4,0),點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，且在直線(xiàn)48上方，則下列結(jié)論正確的是()

B.方程ox?+如+0=3有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.x(qx+b)<a+b

D.點(diǎn)尸到直線(xiàn)48的最大距離逑

8

【答案】C

【分析】根據(jù)圖象可知a<0，c>0,再由對(duì)稱(chēng)軸可知b=-2a>0,可判斷①；根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)

可知方程62+云+°=3有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，可判斷②；當(dāng)無(wú)=1時(shí)函數(shù)有最大值a+6+c,由此可

判斷③；求出函數(shù)的解析式和直線(xiàn)的解析式，當(dāng)?shù)拿娣e最大值時(shí)，P點(diǎn)到的距離最大,

過(guò)尸點(diǎn)作PG〃y軸交A3于點(diǎn)G,用同一參數(shù)的代數(shù)式分別表示點(diǎn)P,G的坐標(biāo)，表示出PG,運(yùn)

用二次函數(shù)性質(zhì)，可求得PG的最大值，當(dāng)PG取最大值時(shí)，一^^的面積最大，從而求得尸點(diǎn)到

的距離最大值，由此判斷④.

【詳解】解：由圖象可知開(kāi)口向下，

「?〃<0,

???函數(shù)與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，

。＞0,

對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=l,

b=-2tz>0,

abc<0,

故A不符合題意；

V拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(L3),

「?加+fcr+c=3時(shí)，方程的解為x=l,

■0?方程成:?+/?x+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

故B不符合題意；

當(dāng)％=1時(shí)，a+b+c=3,

ax1+bx+c<a+b+cBPax2+bx<a+b

故C符合題意；

設(shè)直線(xiàn)A5的解析式為丫=履+加，

4%+冽=0

k+m=3

k=-l

解得

m—4

/.y=-x+4,

設(shè)拋物線(xiàn)y=Q(x—1)2+3,將點(diǎn)5(4,0)代入,

9〃+3=0，

解得q=--,

y=-—(x-l)2+3=--X2+—X+—,

3333

過(guò)P點(diǎn)作尸G〃y軸交A5于點(diǎn)G,

設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為9-I"則G(?！?4),

.“1228/八154I,5、23

..PG=--t+-r+--(-t+4)=--r2+-t——=--(t——)+-,

333333324

553

當(dāng)，=/(lv5V4)時(shí)，尸G有最大值a，止匕時(shí)

113331

SABP=-PG\XBXA)=-?3PG-PG=-1-為最大值，

2Z2Z4o

由圖，AB=4+(4-1)2=30，設(shè)點(diǎn)尸到AB的距離為h,則

SARP=-ABlh-?3?

ABP222

當(dāng)S"BP最大時(shí)，力取最大值，

■■■T血砥大值="

解得，〃最大值二卷

二點(diǎn)尸到直線(xiàn)A2的最大距離為變,

24

故D不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能從圖象中獲取信息,

結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，尤其是配方法求極值是解題的關(guān)鍵.

21.已知A（-3,-2）,3（1,-2）,拋物線(xiàn)、=依2+版+c（a>0）頂點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，形狀保持不變，

與x軸交于C、。兩點(diǎn)（C在。的右側(cè)），下列結(jié)論：①c2-2；②當(dāng)x>0,一定有，隨x的增大

而增大；③點(diǎn)。橫坐標(biāo)的最小值為-5,則點(diǎn)C橫坐標(biāo)的最大值為3；④當(dāng)四邊形A5CD為平行四

邊形時(shí)，?=其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)頂點(diǎn)在線(xiàn)段A3上，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（O,c）,可以判斷出C的取值范圍，得

到①正確；根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷出②的錯(cuò)誤；先確定X=1時(shí)，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)取得最大值，

根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可判斷③正確；令y=。，利用根與系數(shù)關(guān)系與頂點(diǎn)的縱

坐標(biāo)求出。的表達(dá)式，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得AB=CD,然后列出方程求得。

的值，判斷出④正確.

【詳解】解：?點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（一3,-2）和（1,一2）,

???線(xiàn)段A8與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),

又「拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(o,c),

c>-2,故①正確；

拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在線(xiàn)段A8上運(yùn)動(dòng)，開(kāi)口向上，

???只有當(dāng)x>l時(shí)，一定有y隨X的增大而增大，故②錯(cuò)誤；

若點(diǎn)D的坐標(biāo)最小值為-5，此時(shí)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)為x=-3，

由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得此時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為T(mén),則8=-1-(-5)=4,

...拋物線(xiàn)的形狀不變，當(dāng)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)為x=l,此時(shí)C的橫坐標(biāo)為3,

二C的橫坐標(biāo)的最大值為3,故③正確;

令y=°,則/+區(qū)+°=0,設(shè)點(diǎn)c,D的坐標(biāo)分別為(玉,0),(%,0),

b

3十%=----，*元2

aa

1

2b-4ac

CD二上一%2「=(不一/)?

???頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)公式為，

4。

,4…、_2,即4*一萬(wàn)―8,

4aa

及一4ac1b2-4ac8

CD2=-------=---------=—,

aaaa

v四邊形ABC。是平行四邊形，

CD=AB=l-(-3)=4,

o1

?=42=16,解得4=5,故④正確；

???正確的是①③