2025版高考數(shù)學一輪復(fù)習第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第3節(jié)隨機事件的概率古典概型與幾何概型教學案理含解析新人教A版

PAGE6-第三節(jié)隨機事務(wù)的概率、古典概型與幾何概型[考綱傳真]1.了解隨機事務(wù)發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)分.2.了解兩個互斥事務(wù)的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率計算公式.4.會計算一些隨機事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率.5.了解隨機數(shù)的意義，能運用隨機模擬的方法估計概率.6.了解幾何概型的意義．1．頻率與概率的關(guān)系在相同的條件下，大量重復(fù)進行同一試驗時，隨機事務(wù)A發(fā)生的頻率fn(A)＝eq\f(nA,n)會在某個常數(shù)旁邊搖擺，則把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事務(wù)A的概率，簡稱為A的概率．2．事務(wù)的關(guān)系與運算名稱定義符號表示包含關(guān)系假如事務(wù)A發(fā)生，則事務(wù)B肯定發(fā)生，這時稱事務(wù)B包含事務(wù)A(或稱事務(wù)A包含于事務(wù)B)B?A(或A?B)相等事務(wù)若B?A，且A?B，則稱事務(wù)A與事務(wù)B相等A＝B并(和)事務(wù)若某事務(wù)發(fā)生當且僅當事務(wù)A或事務(wù)B發(fā)生，則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))A∪B(或A＋B)交(積)事務(wù)若某事務(wù)發(fā)生當且僅當事務(wù)A發(fā)生且事務(wù)B發(fā)生，則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))A∩B(或AB)互斥事務(wù)若A∩B為不行能事務(wù)，則稱事務(wù)A與事務(wù)B互斥A∩B＝?對立事務(wù)若A∩B為不行能事務(wù)，A∪B為必定事務(wù)，那么稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)A∩B＝?且A∪B＝U(U為全集)3.概率的基本性質(zhì)(1)任何事務(wù)A的概率都在[0,1]內(nèi)，即0≤P(A)≤1，不行能事務(wù)?的概率為0，必定事務(wù)Ω的概率為1.(2)假如事務(wù)A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(3)事務(wù)A與它的對立事務(wù)eq\x\to(A)的概率滿意P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1.4．古典概型與幾何概型名稱古典概型幾何概型相同點基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性相等不同點基本領(lǐng)件有有限個基本領(lǐng)件有無限個計算公式P(A)＝eq\f(\o(\a\al(A包含的基本,事務(wù)的個數(shù))),\o(\a\al(基本領(lǐng)件,的總數(shù))))P(A)＝eq\f(\o(\a\al(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域,長度面積或體積)),\o(\a\al(試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的,區(qū)域長度面積或體積))).[常用結(jié)論]假如事務(wù)A1，A2，…，An兩兩互斥，則稱這n個事務(wù)互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[基礎(chǔ)自測]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)隨機模擬方法是以事務(wù)發(fā)生的頻率估計概率．()(2)在大量的重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．()(3)對立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)，互斥事務(wù)不肯定是對立事務(wù)．()(4)概率為0的事務(wù)肯定為不行能事務(wù)．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×2．某射手在同一條件下進行射擊，結(jié)果如下：射擊次數(shù)102050100200500擊中靶心次數(shù)8194492178455這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是()A．0.80B．0.85C．0.90D．0.99C[由題意，該射手擊中靶心的頻率大約在0.9旁邊上下波動，故其概率約為0.90.故選C.]3．(教材改編)投擲兩枚勻稱的硬幣，則兩枚硬幣均正面朝上的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)A[P＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，故選A.]4．(教材改編)有四個嬉戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的嬉戲盤是()A[P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．]5．對飛機連續(xù)射擊兩次，每次放射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一次擊中飛機}，D＝{至少有一次擊中飛機}，其中彼此互斥的事務(wù)是________，互為對立事務(wù)的是________．A與B，A與C，B與C，B與DB與D[設(shè)I為對飛機連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的全部狀況，因為A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?，故A與B，A與C，B與C，B與D為互斥事務(wù)．而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事務(wù)．]隨機事務(wù)的頻率與概率【例1】(2024·全國卷Ⅲ)某超市安排按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購安排，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的全部可能值，并估計Y大于零的概率．[解](1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的全部可能值為900,300，－100.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.[規(guī)律方法]1.概率與頻率的關(guān)系,概率是常數(shù)，是頻率的穩(wěn)定值，頻率是變量，是概率的近似值.有時也用頻率來作為隨機事務(wù)概率的估計值.2.隨機事務(wù)概率的求法,利用概率的統(tǒng)計定義求事務(wù)的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事務(wù)發(fā)生的頻率會漸漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.易錯警示：概率的定義是求一個事務(wù)概率的基本方法.(2024·鄭州模擬)某商店安排每天購進某商品若干件，商店每銷售一件該商品可獲得利潤50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件退回商品虧損10元；若供不應(yīng)求，則從外部調(diào)劑，此時每件調(diào)劑商品可獲得利潤30元．(1)若商店一天購進該商品10件，求當天的利潤y(單位：元)關(guān)于當天的需求量n(單位：件，n∈N*)的函數(shù)解析式；(2)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位：件)，整理得下表：日需求量n/件89101112頻數(shù)91115105(ⅰ)假設(shè)商店在這50天內(nèi)每天購進10件該商品，求這50天的日利潤的平均數(shù)；(ⅱ)若商店一天購進10件該商品，以50天記錄的各日需求量的頻率作為各日需求量的概率，求當天的利潤大于500元的概率．[解](1)當日需求量n≥10時，利潤y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200；當日需求量n＜10時，利潤y＝50×n－(10－n)×10＝60n－100.所以日利潤y關(guān)于日需求量n的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30n＋200n≥10，n∈N*，,60n－100n＜10，n∈N*.))(2)(ⅰ)由(1)及表格可知，這50天中有9天的日利潤為380元，有11天的日利潤為440元，有15天的日利潤為500元，有10天的日利潤為530元，有5天的日利潤為560元，所以這50天的日利潤的平均數(shù)為eq\f(1,50)×(380×9＋440×11＋500×15＋530×10＋560×5)＝477.2(元)．(ⅱ)若當天的利潤大于500元，則日需求量大于10件，則當天的利潤大于500元的概率P＝eq\f(10＋5,50)＝eq\f(3,10).古典概型【例2】(1)(2024·全國卷Ⅱ)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,14)C.eq\f(1,15) D.eq\f(1,18)(2)(2024·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)(1)C(2)D[(1)不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，從中隨機選取兩個不同的數(shù)有Ceq\o\al(2,10)種不同的取法，這10個數(shù)中兩個不同的數(shù)的和等于30的有3對，所以所求概率P＝eq\f(3,C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，故選C.(2)從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的狀況如圖：基本領(lǐng)件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的事務(wù)數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D.][規(guī)律方法]1.計算古典概型事務(wù)的概率可分三步：1計算基本領(lǐng)件總個數(shù)n；2計算事務(wù)A所包含的基本領(lǐng)件的個數(shù)m；3代入公式求出概率P.2.1用列舉法寫出全部基本領(lǐng)件時，可借助“樹狀圖”列舉，以便做到不重、不漏.2利用排列、組合計算基本領(lǐng)件時，肯定要分清是否有序，并重視兩個計數(shù)原理的敏捷應(yīng)用.(1)(2024·武漢模擬)將7個相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個不同的小盒中，每個小盒中至少有1個小球，那么甲盒中恰好有3個小球的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,20) D.eq\f(1,4)(2)(2024·石家莊一模)用1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，若用a1，a2，a3，a4，a5分別表示五位數(shù)的萬位、千位、百位、十位、個位，則出現(xiàn)a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位數(shù)的概率為________．(1)C(2)eq\f(1,20)[(1)將7個相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個不同的小盒中，每個小盒中至少有1個小球有Ceq\o\al(3,6)種放法，甲盒中恰好有3個小球有Ceq\o\al(2,3)種放法，結(jié)合古典概型的概率計算公式得所求概率為eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20).故選C.(2)1,2,3,4,5可組成Aeq\o\al(5,5)＝120個不同的五位數(shù)，其中滿意題目條件的五位數(shù)中，最大的5必需排在中間，左、右各兩個數(shù)字只要選出，則排列位置就隨之而定，滿意條件的五位數(shù)有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6個，故出現(xiàn)a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位數(shù)的概率為eq\f(6,120)＝eq\f(1,20).]幾何概型【例3】(1)(2024·全國卷Ⅰ)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)(2)(2024·合肥二模)小李從網(wǎng)上購買了一件商品，快遞員安排在下午5：00到6：00之間送貨上門，已知小李下班到家的時間在下午5：30到6：00之間．快遞員到小李家時，假如小李未到家，則快遞員會電話聯(lián)系小李．若小李能在10分鐘之內(nèi)到家，則快遞員等小李回來；否則，就將商品存放在快遞柜中．則小李須要去快遞柜領(lǐng)取商品的概率為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(8,9)C.eq\f(5,12) D.eq\f(7,12)(3)已知在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點O，則四棱錐O-ABCD的體積不小于eq\f(2,3)的概率為________．(1)B(2)D(3)eq\f(27,64)[(1)這是幾何概型問題，總的基本領(lǐng)件空間如圖所示，共40分鐘，等車時間不超過10分鐘的時間段為：7：50至8：00和8：20至8：30，共20分鐘，故他等車時間不超過10分鐘的概率為eq\f(20,40)＝eq\f(1,2)，故選B.(2)如圖，設(shè)快遞員和小李分別在下午5點后過了x分鐘和y分鐘到小李家，則全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為{(x，y)|0≤x≤60,30≤y≤60}，這是一個矩形區(qū)域，y－x＞10表示小李比快遞員晚到超過10分鐘，事務(wù)M表示小李須要去快遞柜領(lǐng)取商品，其所構(gòu)成的區(qū)域是如圖所示的直角梯形ABCD的內(nèi)部區(qū)域及邊界(不包含AB)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝60，,y＝x＋10，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝60，))即A(50,60)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝30，,y＝x＋10，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝30，))即B(20,30)，所以由幾何概型的概率計算公式可知P(M)＝eq\f(\f(1,2)×50＋20×30,60×30)＝eq\f(7,12)，故選D.(3)當四棱錐O-ABCD的體積為eq\f(2,3)時，設(shè)O到平面ABCD的距離為h，則eq\f(1,3)×22×h＝eq\f(2,3)，解得h＝eq\f(1,2).如圖所示，在四棱錐P-ABCD內(nèi)作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH與底面ABCD的距離為eq\f(1,2).因為PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以eq\f(PH,PA)＝eq\f(3,4)，所以四棱錐O-ABCD的體積不小于eq\f(2,3)的概率P＝eq\f(V四棱錐P-EFGH,V四棱錐P-ABCD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PH,PA)))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64).][規(guī)律方法]解答幾何概型試題要擅長依據(jù)題目特點找尋基本領(lǐng)件所在線、面、體，找尋隨機事務(wù)所在的線、面、體，把幾何概型的計算轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的長度、面積和體積的比值的計算.1在線段上取點，則點在線段上等可能出現(xiàn)；在角內(nèi)作射線，則射線在角內(nèi)的分布等可能.2兩個變量在某個范圍內(nèi)取值，對應(yīng)的“區(qū)域”是面積.(1)隨機地取兩個實數(shù)x和y，使得x∈[－1,1]，y∈[0,1]，則滿意y≥x2的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,4)(2)如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與AB交于點M，則AM＜AC的概率為________．(1)B(2)eq\f(3,4)[(1)滿意x∈[－1,1]，y∈[0,1]的區(qū)域為矩形區(qū)域(包括邊界)(圖略)，面積為2，滿意y≥x2的區(qū)域的面積S＝eq\i\in(,1,)－1(1－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)x3))eq\o\al(1,－1)＝eq\f(4,3)，故所求概率P＝eq\f(\f(4,3),2)＝eq\f(2,3).故選B.(2)在AB上取AC′＝AC(圖略)，則∠ACC′＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°，記A＝{在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM與線段AB交于點M，AM＜AC}，則全部可能結(jié)果的區(qū)域為∠ACB，事務(wù)A構(gòu)成的區(qū)域為∠ACC′.又∠ACB＝90°，∠ACC′＝67.5°，∴P(A)＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).]1．(2024·全國卷Ⅰ)如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所探討的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3A[設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積，為S1＝eq\f(1,2)bc，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＋eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2,2)－\f(1,2)bc))＝eq\f(1,8)π(c2＋b2－a2)＋eq\f(1,2)bc＝eq\f(1,2)bc，所以S1＝S2，由幾何概型的學問知p1＝p2，故選A.]2．(2024·全國卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是()A