第十一屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽（個(gè)人賽）試題答案

?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'第十一屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽（個(gè)人賽）試題答案本試卷分為基礎(chǔ)題和提高題兩部分滿分120分時(shí)間3說(shuō)明：個(gè)人賽獎(jiǎng)項(xiàng)分為全國(guó)獎(jiǎng)和賽區(qū)獎(jiǎng).全國(guó)獎(jiǎng)先以提高題得分為篩選標(biāo)準(zhǔn)，再按總得分排名，根據(jù)名次最終確定獲獎(jiǎng)人；賽區(qū)獎(jiǎng)直接按賽區(qū)內(nèi)總成績(jī)排名確定獲獎(jiǎng)人.全國(guó)獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)人不再重復(fù)獲得賽區(qū)獎(jiǎng).注意：答卷中各題所得的最后計(jì)算結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示或用小數(shù)表示均可.基礎(chǔ)題部分(填空題，共60分)一、(6分)如圖1所示，正方體邊長(zhǎng)為c，其上作用四個(gè)力F1,F2,F3,F4，各力大小之間的關(guān)系為F1=F2=Fa，F(xiàn)3=F4=Fb.試計(jì)算以下問(wèn)題，并將結(jié)果填在相應(yīng)的空內(nèi).(1)(2分)力系對(duì)OA軸之矩的大小為Fac—(2)(2分)若此力系可簡(jiǎn)化為一個(gè)力，則Fa與Fb的數(shù)量關(guān)系為(3)(2分)若Fa=Fb=F，力系簡(jiǎn)化為一力螺旋，則其中的力偶矩為本文于2017–08–01收到.Fx=0,Fy=Fa,Fz=Mx=0,My=—Fbc,Mz=Fac—Fbc.問(wèn)題：MO·FR=0)Fb=問(wèn)題：Mmin=MO·eFR=二、(6分)如圖2所示，兩勻質(zhì)輪A和B的質(zhì)量同為m，半徑同為r.輪A位于水平面上，繞于輪B的細(xì)繩通過(guò)定滑輪C后與輪A的中心相連，其中CA段繩水平，CB段繩鉛直.不計(jì)定滑輪C與細(xì)繩的質(zhì)量，且設(shè)細(xì)繩不可伸長(zhǎng).系統(tǒng)處于鉛垂平面內(nèi)，自靜止釋放.試計(jì)算以下問(wèn)題，并將結(jié)果填在相應(yīng)的空內(nèi).(重力加速度用g表示)(1)(2分)若輪A既滾又滑，則系統(tǒng)的自由度數(shù)(2)(4分)若輪A與水平支承面光滑接觸，輪B下落的高度與時(shí)間的關(guān)系為gt2.第5期第十一屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽(個(gè)人賽)試題答案531?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'解答:FT=maAΣMB=0,FTr—Jα=0ΣMD=0,m(aA+rα)r+Jα—mgr=0)aA=)aB=aA+rα=以上結(jié)果或通過(guò)求解剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程得到.三、(6分)桁架的桿件內(nèi)力可以應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法、截面法以及虛位移原理進(jìn)行求解.如圖4所示，靜定平面桁架由水平桿、豎直桿和45。斜桿組成，在B處受固定鉸支座約束，A,C兩處由可水平運(yùn)動(dòng)的鉸支座支承.桁架上作用了3個(gè)大小同為F的載荷，試計(jì)算以下問(wèn)題，并將結(jié)果填在相應(yīng)的空內(nèi).(1)(2分)桿DH的內(nèi)力為F(受拉)；(2)(4分)桿BE的內(nèi)力為3√2F/2(受壓).解答：FDH=F(受拉)解法1——應(yīng)用虛位移原理求解解法2——幾何靜力學(xué)方法，需要列多個(gè)平衡方程，下面列舉其中一種解法.取整體ΣMB=0)FC—FA=0(1)ΣFX=0)FBx—F=0(2)ΣFY=0)FBy+FA+FC—2F=0(3)取最右邊三角形構(gòu)成的局部ΣMJ=0)√FBEh+FC·3h=0(4)?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'最后取節(jié)點(diǎn)BFBE=四、(6分)如圖8所示，小車上斜靠著長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB，其傾角以θ表示.桿處于鉛垂平面內(nèi)，B端與小車壁光滑接觸，A端與小車底板的摩擦角為?m=30。.小車由動(dòng)力裝置驅(qū)動(dòng)(圖中未畫(huà)出)，沿水平直線軌道向左運(yùn)動(dòng)，且其運(yùn)動(dòng)可以被控制.小車運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，桿AB相對(duì)于小車始終保持靜止，試計(jì)算以下問(wèn)題，并將結(jié)果填在相應(yīng)的空內(nèi).(1)(3分)若小車作勻速運(yùn)動(dòng)，則傾角θ要滿足的條件為tan?1(√3/2)≤θ<90。；(2)(3分)若小車作加速度向右的減速運(yùn)動(dòng)，則小車加速度a與傾角θ應(yīng)滿足的關(guān)系為:若解答:因?yàn)閏osθ=lsinθ·tan?m所以tan?1≤θ<90。平衡方程結(jié)合物理方程可得結(jié)果.第5期第十一屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽(個(gè)人賽)試題答案533?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'加速度a的上限由A點(diǎn)臨界滑動(dòng)確定所以amax=gtanψ=g定，所以amax=gcotθ.以上過(guò)程也可以采用解析法求解.五、(6分)如圖12所示，圓形細(xì)環(huán)管在相連部件(圖中未畫(huà)出)帶動(dòng)下沿水平直線軌道純滾動(dòng)，管內(nèi)有一小壁虎，相對(duì)于環(huán)管爬行，壁虎可被視為一點(diǎn)，在圖中以小球B代替.圖示瞬時(shí)，壁虎與環(huán)管的中心處于同一水平線上，壁虎相對(duì)環(huán)管的速率為u，相對(duì)速度的方向朝下，相對(duì)速度大小的改變率等于0，環(huán)管中心O點(diǎn)的速度向右，速度大小也為u，加速度為0.環(huán)管中心圓的半徑等于R.試計(jì)算以下問(wèn)題，并將結(jié)果填在相應(yīng)的空內(nèi).(1)(2分)在此瞬時(shí)壁虎相對(duì)地面的速度大小為√5u；(2)(2分)在此瞬時(shí)壁虎相對(duì)地面的加速度大小為4u2/R；(3)(2分)在此瞬時(shí)壁虎在相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)軌跡上所處位置點(diǎn)的曲率半徑為5√5R/8.解答:動(dòng)點(diǎn):小球；動(dòng)系:細(xì)圓環(huán)vB=ve+vr則v=√5uvBx=vecos45。=uvBy=?2uaB=ae+ar+aC,為小球絕對(duì)加速度?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'=aB·?B=?為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的切向加速度,與絕對(duì)速度的夾角大于90±,a=為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的法向加速度，曲率半徑六、(5分)圖15所示結(jié)構(gòu)中，鉛垂桿①和斜桿②均為彈性桿，斜桿②與水平線夾角為θ,直角三角形ABC2為剛體，邊BC2處于水平位置.現(xiàn)將C1和C2聯(lián)結(jié)在一起，已知a,δ和θ,則求該兩桿軸力用到的(1)(2分)平衡方程(桿①、桿②的軸力分別用FN1和FN2表示)為2FN1?FN2cosθ=0；(2)(3分)變形條件方程(桿①、桿②的變形分別用?l1和?l2表示)為?l1+2?l2/cosθ=δ.解答：(1)以三角形剛體為研究對(duì)象，ΣmB=0?2FN1?FN2cosθ=0.(2)設(shè)三角形剛體繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)小角?,*?l2/cosθ=a?δ??l1=2a?:?l1+2?l2/cosθ=δ七、(5分)一種能量收集裝置，可簡(jiǎn)化為圖17所示懸臂梁模型.梁AB長(zhǎng)l，彎曲剛度為2EI；梁BC和BD長(zhǎng)均為l，彎曲剛度均為EI.梁AB與梁BC和BD通過(guò)剛節(jié)點(diǎn)B連接，三梁均處于水平位置.梁和剛節(jié)點(diǎn)B的重量均不計(jì).梁BC和BD端部固定有重量均為W的物塊，該兩梁之間有小間隙.則梁端D的撓度與物塊重量之比f(wàn)D/W=8l3/(3EI).解答fD=fB+θBl+f其中八、(6分)已知一危險(xiǎn)點(diǎn)的單元體處于平面應(yīng)力狀態(tài)，最大切應(yīng)變?chǔ)胢ax=5×10?4，通過(guò)該點(diǎn)相互垂直的微截面上正應(yīng)力之和為28MPa.若材料的彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.25.則(1)(3分)該點(diǎn)主應(yīng)力σ1=54MPa，σ2=0MPa，σ3=?26MPa；(2)(3分)用最大切應(yīng)力強(qiáng)度理論校核時(shí)相當(dāng)應(yīng)力σr3=80MPa.第5期第十一屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽(個(gè)人賽)試題答案535?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'解答：=80GPa,σz=0；所以σx—σy=2×5×104×0.8×105=80MPa，又σx+σy=28MPa，解得：σ1=54MPa，σσ3=—26MPa；于是τmax==40MPa，σr3=2τmax=80MPa.桿①、②均為細(xì)長(zhǎng)彈性桿，只考慮與紙面平行的平面內(nèi)的失穩(wěn).則(1)(2分)剛架失穩(wěn)時(shí)載荷的最小值F由桿①(2)(4分)剛架失穩(wěn)時(shí)載荷的最小值F=π2EI/(2l2).解答：最低臨界載荷對(duì)應(yīng)兩豎桿均朝一邊變形，在該變形情況下柱內(nèi)無(wú)剪力，相當(dāng)于懸臂柱，于是有十、(8分)圖19所示等截面直角剛架ACB，桿件橫截面為圓形，彎曲剛度為EI，扭轉(zhuǎn)剛度為0.8EI.C處承受大小為m、方向如圖所示的外力偶，該力偶矢量方向與剛架軸線處于同一平面內(nèi).則(1)(4分)截面A的彎矩(2)(4分)截面B的扭矩或或?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'提高題部分(計(jì)算題，共60分)十一、(共15分)如題圖21(a)所示，質(zhì)量均為m的圓輪和細(xì)直桿AC固結(jié)成一組合剛體.其中，桿AC沿圓輪徑向，O為圓輪輪心，C點(diǎn)為輪與桿的固結(jié)點(diǎn)，也是組合剛體的質(zhì)心.初始時(shí)刻，組合剛體靜止于水平面，左邊緊靠高度為r的水平臺(tái)階，然后，在圖示不穩(wěn)定平衡位置受微小擾動(dòng)后向右傾倒，以?表示組合剛體在桿端A與地面接觸之前的轉(zhuǎn)動(dòng)角度(參見(jiàn)圖21(b)).圓輪，半徑為r，組合剛體關(guān)于過(guò)輪心O并垂直于圓輪的軸之轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO.略去各處摩擦，試求解如下問(wèn)題.(a)(b)(1)(5分)圓輪與臺(tái)階B點(diǎn)開(kāi)始分離時(shí)的角度(2)(6分)組合剛體的角速度與角度?的關(guān)系？(3)(4分)圓輪右移的距離S與角度?的關(guān)解答:組合剛體的運(yùn)動(dòng)存在兩個(gè)階段，一是繞O的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；二是質(zhì)心水平速度保持不變的平面運(yùn)動(dòng).首先確定由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)到平面運(yùn)動(dòng)的臨界轉(zhuǎn)角.問(wèn)題(1),剛體繞O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng).依動(dòng)能定理式(7)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)sin?(8)式(7)也可由對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理得到.由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理FN2=2m(—asin?+acos?)(9)a=rω2,a=rα.方程(9)也可由動(dòng)靜法得到.式(9)中代入加速度FN2=sin?(2分)球與凸臺(tái)分離的角度由FN2=0確定.?0=cos?1(1分)對(duì)應(yīng)角速度ω0=2√當(dāng)?≤?0,ω=2√(1分)當(dāng)?>?0時(shí)，組合剛體與臺(tái)階脫離接觸，作平面運(yùn)動(dòng)，水平方向動(dòng)量守恒，質(zhì)心C的水平速度不變，為第5期第十一屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽(個(gè)人賽)試題答案537?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'O點(diǎn)速度vO水平，以其為基點(diǎn)，質(zhì)心C的速度表示為vC=vO+vCO(1分)質(zhì)心C的水平速度為vCx=vO+rωcos?=rω0cos?0(1分)(10)依動(dòng)能定理，有2mgr(1?cos?)(2分)(11)其中，JC=JO?2mr2.(當(dāng)?>?0)(1分)其中，ω0=2√,?0=cos?1當(dāng)?≤?0時(shí)，S=0(1分)當(dāng)?>?0時(shí)，圓盤(pán)向右發(fā)生水平移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng).注意到(1分)?rcosθ(1分)積分上式，并注意到sin?0=得m的均質(zhì)正方形剛性平板靜置于水平面上，且僅在角點(diǎn)A、C和棱邊中點(diǎn)B處與水平面保持三點(diǎn)接觸.位于水平面上的小球以平行于AC棱邊的水平速度vb與平板發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞點(diǎn)至角點(diǎn)A的距離以b表示.已知平板關(guān)于過(guò)其中心的鉛直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=mh2/6，在A、B和C三點(diǎn)處與水平支承面的靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因素均為μ.略去碰撞過(guò)程中的摩擦力沖量，試求(1)(3分)碰撞結(jié)束瞬時(shí)，平板的速度瞬心位(2)(3分)若b=5h/6，計(jì)算碰撞結(jié)束瞬時(shí)平板(3)(9分)設(shè)小球的質(zhì)量為m/21.碰撞后，板在水平面內(nèi)繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，則碰撞點(diǎn)的位置b和碰撞前解答:兩物體碰撞及速度突變都發(fā)生在水平面內(nèi)，在鉛直方向，方板仍然處于平衡狀態(tài).由空間平行力系的平衡知三個(gè)支撐點(diǎn)的鉛直方向反力.支承面對(duì)方板的水平約束力就是動(dòng)或靜摩擦力，由摩擦定律知摩擦力與鉛直反力成比例.因此，在碰撞階段，水平摩擦力的沖量略去不計(jì).?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'記碰撞沖量為I，考察板mh2，由式解出碰撞結(jié)束瞬時(shí)，板作平面運(yùn)動(dòng)的速度瞬心位于通過(guò)點(diǎn)B/和點(diǎn)B的直線上.當(dāng)b=h/2時(shí)，板作平移，速度瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)處.式中，x坐標(biāo)的原點(diǎn)在點(diǎn)O，向右為正，向左為負(fù).將b=5h/6代入式(13)，有x=—h/2，板逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).此時(shí)，板的速度瞬心在AC棱邊中點(diǎn).碰撞結(jié)束瞬時(shí)，板的角加速度由相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理確定.JOα=MO(1分)(14)板在水平面內(nèi)受3個(gè)滑動(dòng)摩擦力作用，如下圖所示.(1分)順時(shí)針)(1分)B點(diǎn)速度vB=0，由式(13)知由對(duì)B點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒得到h=JBω0—其中，v為小球的反彈速度碰撞點(diǎn)D的法向速度為完全彈性碰撞條件為v+[vD]n=vb(1分)(16)第5期第十一屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽(個(gè)人賽)試題答案539?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'(1分)B點(diǎn)的靜摩擦力滿足由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對(duì)B點(diǎn)的動(dòng)量矩定理其中由式解出?0=(1分)此后，板作減速轉(zhuǎn)動(dòng)，!<!0,a<!,所以F<F0.可見(jiàn)，板在停止轉(zhuǎn)動(dòng)之前，其B端能保持靜止不動(dòng).(1分)十三、(15分)圖30示圓環(huán)細(xì)桿，材料的彈性模量為E，受集度為m、矢量方向與環(huán)桿軸線相切的均布力偶載荷，變形時(shí)桿件始終保持彈性狀態(tài)，且橫截面符合平面假設(shè).環(huán)桿軸線半徑為R，環(huán)桿橫截面為圓，其半徑為r，且r=R冬1.試確定：(1)(3分)橫截面上的內(nèi)力；(2)(10分)橫截面的轉(zhuǎn)角'；(3)(4分)求橫截面上內(nèi)力的最大值.【提示】：當(dāng)Y=X冬1時(shí)可做簡(jiǎn)化：X+Y≈X.解答:(1)橫截面上的內(nèi)力:由半環(huán)桿的力偶平衡得Mz=—mR(←)(1分)(19)以右端為例.通過(guò)(?;μ)點(diǎn)的圓周線正應(yīng)變"為(5分)?=E"≈E(20)Mz=y?dA;My=—z?dA考慮到轉(zhuǎn)角'比較大，因此在變形后截面上一點(diǎn)的位置坐標(biāo)表達(dá)為y=?sin(μ+');z=?cos(μ+')將式(20)及上述二式代入Mz和My表達(dá)式，有sin(μ+')[cos(μ+')—cosμ]dμ?3d??1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'計(jì)算出積分可得Mz=?sin?(21)My=?(22)sin?=(23)由此式可見(jiàn)，為了m恒正，即m與題目中所畫(huà)方向相同而不矛盾，?的取值限定為0≤?<π.My=?(2分)總之，橫截面上的非零內(nèi)力為彎矩Mz=?mR(←)，(其余內(nèi)力分量為零，不用寫(xiě)出)式(21)或式(23)也可用能量法求得.?=sin?1(2分)(3)內(nèi)力的最大值Mmax利用式(21)和式(22)算出橫截面上的合彎矩可見(jiàn)，當(dāng)?=π時(shí)，M=Mmax(1分)Mmax=(2分)十四、(15分)圖34和圖35所示的薄壁圓環(huán)管壓力容器，壁厚為t，環(huán)管橫截面平均直徑為D，環(huán)管軸線半徑為R.為了加固壓力容器，用一根直徑為d的細(xì)鋼絲纏繞圓管，鋼絲纏繞時(shí)拉緊，以至于鋼絲與壓力容器間的摩擦力達(dá)最大.纏繞的鋼絲相鄰兩圈間相互緊挨，但可忽略其相互擠壓作用.只考慮鋼絲因長(zhǎng)度方向拉伸引起的變形，即可忽略鋼絲的彎曲、扭轉(zhuǎn)等變形.設(shè)t/D冬1，D/R冬1且d/D冬1.鋼絲材料的彈性模量為Es，壓力容器材料的彈性模量和泊松比分別為E和ν,鋼絲與壓力容器間的摩擦因數(shù)為μ.第5期第十一屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽(個(gè)人賽)試題答案541?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'(1)已知：鋼絲纏繞圈數(shù)的最大值n為偶數(shù)，當(dāng)環(huán)管外表面纏滿鋼絲時(shí)，如圖35所示，鋼絲最大拉力為P.環(huán)管外表面纏滿鋼絲后將鋼絲兩端互相連接，并讓鋼絲緩慢松弛.求此時(shí)：①(3分)鋼絲的伸長(zhǎng)量?l0;②(2分)鋼絲的張力F0;③(5分)環(huán)管橫截面上的應(yīng)力σl及環(huán)管柱面形縱截面(參考圖36)上的應(yīng)力σv.(2)(5分)在(1)中狀態(tài)的基礎(chǔ)上，壓力容器施加內(nèi)壓，壓強(qiáng)為p.試寫(xiě)出關(guān)于鋼絲張力增量?F、環(huán)管柱面形縱截面上應(yīng)力增量?σv的聯(lián)立方程組.Y+X≈Y.(1)鋼絲纏繞圈數(shù)的最大值n記那么鋼絲纏繞圈數(shù)的最大值n為記D,=D+δ①鋼絲的伸長(zhǎng)量?l0由力的平衡可得qD,?F>2=?θ=(26)>q=μg>Fjθ=2nπ=P,>F(θ)=Peμ(θ?2nπ)(27)始端拉力可通過(guò)鋼絲末端拉力P表達(dá)為F(0)=Pe?2nπμ鋼絲繞滿環(huán)管表面后兩端剛連接之前，鋼絲伸長(zhǎng)量即D,D,1②鋼絲的張力F0兩端連接的鋼絲松弛后，鋼絲伸長(zhǎng)量將保持不變，從而拉力將沿鋼絲長(zhǎng)度不變，即F=F0,恒定.?l0=(29)由此得鋼絲的張力③環(huán)管的應(yīng)力σl和σv?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'求管道橫截面上的應(yīng)力σl：用一個(gè)豎直平面沿管道環(huán)線的直徑將壓力容器切開(kāi)成相等的兩半，由力的平衡可知σl=0(31)求環(huán)管柱面形縱截面上的應(yīng)力σv：先用一個(gè)豎直平面沿管道環(huán)線的直徑切開(kāi)，再用過(guò)管道軸線的豎直圓柱面將管道切成兩半.可分兩種情形討論.α=2π/n，記θj=(j—1/2)α,平衡方程為由圖不難看出