【貴州】2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)綜合競(jìng)賽

2023貴州數(shù)學(xué)綜合競(jìng)賽第一試一、填空題(每題8分，共64分)2.已知a>0,b>0,log,a=log??b=log?6(a+b),則的值為3.若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則使得a,取最個(gè)不同的實(shí)數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)表，從上往下第k(k=1,2,…,n)行中有k個(gè)數(shù)，設(shè)第k行的最大數(shù)為M,則M?<M?<…<M的概率為6.已知圓x2+y2=4及點(diǎn)P(2,1),過(guò)點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線(xiàn)與圓分別相7.已知正四面體P-ABC中，D、E、F分別在棱PA、PB、PC上，若PE≠PF,且DE=DF=√7,EF=2,則四面體P-DEF的體積為二、解答題(共56分)9.(16分)設(shè)f(x)=ax?+bx3+cx2+dx+e,對(duì)任意x∈[-1,1],有f(x)∈[-1,1],11.(20分)記[x],{x}分別為取整函數(shù)和小數(shù)函數(shù).已知方程的解可以從小到大排列成遞增數(shù)列,求數(shù)列{x,}的通項(xiàng)公式.(考生選做其中一題。兩題都作答的，只計(jì)入得分最高的一題的分值。)1、(80分)如圖1,△ABC中，I為內(nèi)心，AI交BC于點(diǎn)D,AD的中點(diǎn)為M,MB,MC與△BIC的外接圓的第二個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F.則以下結(jié)論成(1)AE⊥EC,AF⊥FB;(2)若BF交CE于點(diǎn)H,則AH⊥BC;2、(80分)給定整數(shù)n≥2,求最大的常數(shù)C,使得對(duì)任意實(shí)數(shù)a?,a?,…,a,a?+a?+…+a,=0,均有(這里約定a+1=a?)即a=9'=32,b=12',a+b=16'=424解析：設(shè)所求概率為P,則M?<M?<…<M_的概率為P_1,而最大數(shù)在第n行的概率于是因此(PM·NC+PN·MB)2≤(PM2+PN2)(MB2+MC2)=15.故四邊形ABCD面積的最大值為√15.相減整理得x=y+z,于是對(duì)△PEF應(yīng)用余弦定理得y2+z2-yz=4.結(jié)論1:若x=m2+r(m∈Z*,r=1,2,…,m),則xk+1=m2+m+r,xA+2=(m+1)2+r-1,…,xk+2=(m+r)2.結(jié)論2:若xk=m2(m∈Z+),則xk+1=m2+m,xk+1+2m=4m2.由結(jié)論2,由于x?=12,故x=m2,于是x?+2=22n-2.根據(jù)結(jié)論1知x?-=2-2+2“-,….,x?+-+2=(2”1+k)2+2”-1-k,k=1,2,…,2^-X?=x?6+54213=452+19≥2019.而故x?4=1956+44=2000<2019.9,則對(duì)任意x∈[0,1],都有|g(x)|≤1.有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1<a≤√2,所以離心率的取值范圍√x[x3]+√x{x3}≤√([x]+{x)([x3]+{x})=x2[x]{x3}=[x3]{x}=[x](x3-[x3])=[x3](x-Lx))→[kkx2=[x3].[x]x2=[x]-[x]([x]+{x})2=[([x]+{x})],整理得2[x2{x}+[x]{x2=[3[x2{x}+3[x]{x}2+{x}3]=r.r=2[x]2{x}+[x]{x}2≤2[x]2{x}+4[x]{x}2+2{x}3=2([x]+{x})2{x}=2x2{x}<2.故r=0,1.由r=2[x]2{x}+[x]{x}2解得故加試1、如圖1,△ABC中，I為內(nèi)心，AI交BC于點(diǎn)D,AD的中點(diǎn)為M,MB,MC與△BIC的外接圓的第二個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F.則以下結(jié)論成立：(1)AE⊥EC,AF⊥FB;(2)若BF交CE于點(diǎn)H,則AH⊥BC;證明(1)如圖2,延長(zhǎng)AD,交△ABC的外接圓于點(diǎn)N.易知N為少弧BC的中由于N為△BIC的外接圓圓心，利用圓冪的性質(zhì)知ME·MB=MN2-N2=MN2-NB2由M為AD的中點(diǎn)得ND·NA=MN2-MD2.故ME·MB=MN2-ND·NA由內(nèi)心性質(zhì)知命題得證.則90°→AHLBC命題得證.恰有λ個(gè)數(shù)等于b,則2+2?+…+λ=n.而在和式中b最多出現(xiàn)λ-1次；bk_1,b合起來(lái)最多出現(xiàn)b?,…,b?,b合起來(lái)最多出現(xiàn)λ?