數(shù)學(xué)分析高等數(shù)學(xué)題庫

綜合試卷第=PAGE1*2-11頁（共=NUMPAGES1*22頁） 綜合試卷第=PAGE1*22頁（共=NUMPAGES1*22頁）PAGE①姓名所在地區(qū)姓名所在地區(qū)身份證號密封線1.請首先在試卷的標(biāo)封處填寫您的姓名，身份證號和所在地區(qū)名稱。2.請仔細(xì)閱讀各種題目的回答要求，在規(guī)定的位置填寫您的答案。3.不要在試卷上亂涂亂畫，不要在標(biāo)封區(qū)內(nèi)填寫無關(guān)內(nèi)容。一、選擇題1.下列函數(shù)中，哪一個(gè)是連續(xù)函數(shù)？

A.\(f(x)=\frac{1}{x}\)，定義域?yàn)閈(x\neq0\)

B.\(f(x)=x\)，定義域?yàn)閈(x\in\mathbb{R}\)

C.\(f(x)=\sqrt{x}\)，定義域?yàn)閈(x\geq0\)

D.\(f(x)=\sin(x)\)，定義域?yàn)閈(x\in\mathbb{R}\)

2.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^23x2\)，則\(f(2)\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

3.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{x}=2\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{x^2}\)的值為：

A.1

B.2

C.4

D.無窮大

4.設(shè)\(f(x)=\frac{x^21}{x1}\)，則\(f'(1)\)的值為：

A.2

B.3

C.4

D.無窮大

5.設(shè)\(f(x)=e^x\)，則\(f''(x)\)的值為：

A.\(e^x\)

B.\(e^xx\)

C.\(e^xx\)

D.\(e^x1\)

6.設(shè)\(f(x)=\ln(x)\)，則\(f'(x)\)的值為：

A.\(\frac{1}{x}\)

B.\(\frac{1}{x^2}\)

C.\(\frac{1}{x}\ln(x)\)

D.\(\frac{1}{x}\ln(x)\)

7.設(shè)\(f(x)=\cos(x)\)，則\(f'(0)\)的值為：

A.0

B.1

C.1

D.無窮大

8.設(shè)\(f(x)=\arctan(x)\)，則\(f'(1)\)的值為：

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{1}{2}\frac{\pi}{4}\)

C.\(\frac{1}{2}\frac{\pi}{4}\)

D.\(\frac{1}{2}\)

答案及解題思路：

1.答案：D

解題思路：函數(shù)\(f(x)=\sin(x)\)是基本三角函數(shù)，在整個(gè)實(shí)數(shù)域上連續(xù)。

2.答案：A

解題思路：直接代入\(x=2\)到函數(shù)\(f(x)=x^23x2\)得到\(f(2)=462=0\)。

3.答案：C

解題思路：由于\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{x}=2\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x}=1\)。再乘以\(2\)得到\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{x^2}=2\)。

4.答案：D

解題思路：函數(shù)\(f(x)=\frac{x^21}{x1}\)在\(x=1\)處有間斷，因此\(f'(1)\)不存在。

5.答案：A

解題思路：函數(shù)\(f(x)=e^x\)的二階導(dǎo)數(shù)仍然是\(e^x\)，即\(f''(x)=e^x\)。

6.答案：A

解題思路：\(f(x)=\ln(x)\)的導(dǎo)數(shù)是\(f'(x)=\frac{1}{x}\)。

7.答案：C

解題思路：\(f(x)=\cos(x)\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)\(f'(0)=1\)。

8.答案：A

解題思路：\(f(x)=\arctan(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=\frac{1}{1x^2}\)，代入\(x=1\)得到\(f'(1)=\frac{1}{2}\)。二、填空題1.若$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$，則$\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x}$的值為________。

2.設(shè)$f(x)=x^33x2$，則$f'(x)$的值為________。

3.設(shè)$f(x)=\ln(x)$，則$f''(x)$的值為________。

4.設(shè)$f(x)=e^x$，則$f^{(3)}(x)$的值為________。

5.設(shè)$f(x)=\cos(x)$，則$f^{(4)}(x)$的值為________。

6.設(shè)$f(x)=\arctan(x)$，則$f^{(n)}(x)$的值為________。

7.設(shè)$f(x)=\frac{x^21}{x1}$，則$f(x)$的反函數(shù)為________。

8.設(shè)$f(x)=\ln(x)$，則$f(x)$的反函數(shù)為________。

答案及解題思路：

1.答案：3

解題思路：利用極限的線性性質(zhì)，我們有$\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x}=\lim_{x\to0}3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}=3\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=3\cdot1=3$。

2.答案：$3x^23$

解題思路：求導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，根據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)法則，得到$f'(x)=3x^23$。

3.答案：$\frac{1}{x^2}$

解題思路：求二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)$，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法則，得到$f''(x)=\frac{1}{x^2}$。

4.答案：$e^x$

解題思路：求三階導(dǎo)數(shù)$f^{(3)}(x)$，由于$e^x$的導(dǎo)數(shù)仍然是$e^x$，所以$f^{(3)}(x)=e^x$。

5.答案：$\sin(x)$

解題思路：求四階導(dǎo)數(shù)$f^{(4)}(x)$，由于$\cos(x)$的導(dǎo)數(shù)是$\sin(x)$，所以$f^{(4)}(x)=\sin(x)$。

6.答案：$\frac{(1)^nn!}{(1x^2)^{n1}}$

解題思路：$\arctan(x)$的高階導(dǎo)數(shù)可以用遞推公式求出，即$f^{(n)}(x)=\frac{(1)^nn!}{(1x^2)^{n1}}$。

7.答案：$x1$

解題思路：求反函數(shù)，首先將$f(x)=\frac{x^21}{x1}$化簡為$f(x)=x1$，因此反函數(shù)為$f^{1}(x)=x1$。

8.答案：$e^x$

解題思路：求反函數(shù)，由于$f(x)=\ln(x)$，其反函數(shù)為$f^{1}(x)=e^x$。三、計(jì)算題1.求$\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)2\sin(x)}{x}$。

解題思路：使用泰勒公式對$\sin(2x)$和$\sin(x)$進(jìn)行展開，然后求極限。

解答：根據(jù)泰勒公式，我們有$\sin(2x)=2x\frac{(2x)^3}{3!}o(x^3)$和$\sin(x)=x\frac{x^3}{3!}o(x^3)$。因此，

$$

\sin(2x)2\sin(x)=(2x\frac{8x^3}{6})2(x\frac{x^3}{6})=\frac{5x^3}{3}o(x^3).

$$

所以，

$$

\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)2\sin(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{5x^3}{3}o(x^3)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{5x^2}{3}o(x^2)=0.

$$

2.求$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1x)x}{x^2}$。

解題思路：使用泰勒公式對$\ln(1x)$進(jìn)行展開，然后求極限。

解答：泰勒公式給出$\ln(1x)=x\frac{x^2}{2}\frac{x^3}{3}o(x^3)$。因此，

$$

\ln(1x)x=\frac{x^2}{2}\frac{x^3}{3}o(x^3).

$$

所以，

$$

\lim_{x\to0}\frac{\ln(1x)x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{2}\frac{x^3}{3}o(x^3)}{x^2}=\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2}\frac{x}{3}o(1)\right)=\frac{1}{2}.

$$

3.求$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)x}{x^3}$。

解題思路：使用泰勒公式對$\sin(x)$進(jìn)行展開，然后求極限。

解答：泰勒公式給出$\sin(x)=x\frac{x^3}{6}o(x^3)$。因此，

$$

\sin(x)x=\frac{x^3}{6}o(x^3).

$$

所以，

$$

\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{6}o(x^3)}{x^3}=\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{6}o(1)\right)=\frac{1}{6}.

$$

4.求$\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)1}{x^2}$。

解題思路：使用泰勒公式對$\cos(x)$進(jìn)行展開，然后求極限。

解答：泰勒公式給出$\cos(x)=1\frac{x^2}{2}o(x^2)$。因此，

$$

\cos(x)1=\frac{x^2}{2}o(x^2).

$$

所以，

$$

\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)1}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{2}o(x^2)}{x^2}=\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2}o(1)\right)=\frac{1}{2}.

$$

5.求$\lim_{x\to0}\frac{\arctan(x)x}{x^3}$。

解題思路：使用泰勒公式對$\arctan(x)$進(jìn)行展開，然后求極限。

解答：泰勒公式給出$\arctan(x)=x\frac{x^3}{3}o(x^3)$。因此，

$$

\arctan(x)x=\frac{x^3}{3}o(x^3).

$$

所以，

$$

\lim_{x\to0}\frac{\arctan(x)x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{3}o(x^3)}{x^3}=\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{3}o(1)\right)=\frac{1}{3}.

$$

6.求$\lim_{x\to0}\frac{e^x1x}{x^2}$。

解題思路：使用泰勒公式對$e^x$進(jìn)行展開，然后求極限。

解答：泰勒公式給出$e^x=1x\frac{x^2}{2}o(x^2)$。因此，

$$

e^x1x=\frac{x^2}{2}o(x^2).

$$

所以，

$$

\lim_{x\to0}\frac{e^x1x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{2}o(x^2)}{x^2}=\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2}o(1)\right)=\frac{1}{2}.

$$

7.求$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1x)\sin(x)}{x^2}$。

解題思路：使用泰勒公式對$\ln(1x)$和$\sin(x)$進(jìn)行展開，然后求極限。

解答：泰勒公式給出$\ln(1x)=x\frac{x^2}{2}\frac{x^3}{3}o(x^3)$和$\sin(x)=x\frac{x^3}{6}o(x^3)$。因此，

$$

\ln(1x)\sin(x)=(x\frac{x^2}{2}\frac{x^3}{3})(x\frac{x^3}{6})=\frac{x^2}{2}\frac{x^3}{2}o(x^3).

$$

所以，

$$

\lim_{x\to0}\frac{\ln(1x)\sin(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{2}\frac{x^3}{2}o(x^3)}{x^2}=\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2}\frac{x}{2}o(1)\right)=\frac{1}{2}.

$$

8.求$\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)\ln(1x)}{x^2}$。

解題思路：使用泰勒公式對$\cos(x)$和$\ln(1x)$進(jìn)行展開，然后求極限。

解答：泰勒公式給出$\cos(x)=1\frac{x^2}{2}o(x^2)$和$\ln(1x)=x\frac{x^2}{2}\frac{x^3}{3}o(x^3)$。因此，

$$

\cos(x)\ln(1x)=(1\frac{x^2}{2})(x\frac{x^2}{2}\frac{x^3}{3})=1x\frac{x^3}{3}o(x^3).

$$

所以，

$$

\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)\ln(1x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1x\frac{x^3}{3}o(x^3)}{x^2}=\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^2}1\frac{x}{3}o(1)\right)=1.

$$四、證明題1.證明：$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$。

解題思路：利用泰勒公式展開$\sin(x)$在$x=0$附近，可以得到$\sin(x)\approxx\frac{x^3}{6}O(x^5)$。代入極限表達(dá)式，然后計(jì)算極限。

2.證明：$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1x)}{x}=1$。

解題思路：考慮$\ln(1x)$在$x=0$附近的泰勒展開，即$\ln(1x)\approxx\frac{x^2}{2}O(x^3)$。將此展開代入極限表達(dá)式中，計(jì)算極限。

3.證明：$\lim_{x\to0}\frac{e^x1}{x}=1$。

解題思路：使用$e^x$在$x=0$附近的泰勒展開，得到$e^x\approx1x\frac{x^2}{2}O(x^3)$。然后代入極限表達(dá)式計(jì)算。

4.證明：$\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)1}{x^2}=\frac{1}{2}$。

解題思路：對$\cos(x)$進(jìn)行泰勒展開，$\cos(x)\approx1\frac{x^2}{2}O(x^4)$。將展開式代入極限表達(dá)式，計(jì)算得到結(jié)果。

5.證明：$\lim_{x\to0}\frac{\arctan(x)}{x}=1$。

解題思路：泰勒展開$\arctan(x)$，$\arctan(x)\approxx\frac{x^3}{3}O(x^5)$。將展開式代入極限表達(dá)式，計(jì)算得到結(jié)果。

6.證明：$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)x}{x^3}=\frac{1}{6}$。

解題思路：對$\sin(x)$進(jìn)行三次泰勒展開，$\sin(x)\approxx\frac{x^3}{6}O(x^5)$。然后計(jì)算極限。

7.證明：$\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)\ln(1x)}{x^2}=\frac{1}{2}$。

解題思路：分別對$\cos(x)$和$\ln(1x)$進(jìn)行泰勒展開，并代入極限表達(dá)式，計(jì)算極限。

8.證明：$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1x)\sin(x)}{x^2}=\frac{1}{2}$。

解題思路：同樣對$\ln(1x)$和$\sin(x)$進(jìn)行泰勒展開，然后代入極限表達(dá)式，計(jì)算極限。

答案及解題思路：

1.答案：$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$。解題思路：泰勒展開$\sin(x)$，$\sin(x)\approxx\frac{x^3}{6}O(x^5)$，代入后極限為1。

2.答案：$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1x)}{x}=1$。解題思路：泰勒展開$\ln(1x)$，$\ln(1x)\approxx\frac{x^2}{2}O(x^3)$，代入后極限為1。

3.答案：$\lim_{x\to0}\frac{e^x1}{x}=1$。解題思路：泰勒展開$e^x$，$e^x\approx1x\frac{x^2}{2}O(x^3)$，代入后極限為1。

4.答案：$\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)1}{x^2}=\frac{1}{2}$。解題思路：泰勒展開$\cos(x)$，$\cos(x)\approx1\frac{x^2}{2}O(x^4)$，代入后極限為$\frac{1}{2}$。

5.答案：$\lim_{x\to0}\frac{\arctan(x)}{x}=1$。解題思路：泰勒展開$\arctan(x)$，$\arctan(x)\approxx\frac{x^3}{3}O(x^5)$，代入后極限為1。

6.答案：$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)x}{x^3}=\frac{1}{6}$。解題思路：泰勒展開$\sin(x)$，$\sin(x)\approxx\frac{x^3}{6}O(x^5)$，代入后極限為$\frac{1}{6}$。

7.答案：$\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)\ln(1x)}{x^2}=\frac{1}{2}$。解題思路：分別對$\cos(x)$和$\ln(1x)$進(jìn)行泰勒展開，代入后計(jì)算極限。

8.答案：$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1x)\sin(x)}{x^2}=\frac{1}{2}$。解題思路：分別對$\ln(1x)$和$\sin(x)$進(jìn)行泰勒展開，代入后計(jì)算極限。五、應(yīng)用題1.某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為$10$元，銷售價(jià)格為$15$元。假設(shè)市場需求函數(shù)為$Q=1002P$，其中$P$為銷售價(jià)格，$Q$為需求量。求該工廠的最大利潤。

解：利潤$L$可以表示為銷售收入減去成本，即

\[

L=P\timesQ10\timesQ=(P10)\timesQ

\]

根據(jù)市場需求函數(shù)$Q=1002P$，代入上式得到

\[

L=(P10)\times(1002P)=100P2P^2100020P=2P^2120P1000

\]

這是一個(gè)關(guān)于$P$的二次函數(shù)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為

\[

P=\frac{2a}=\frac{120}{2\times(2)}=30

\]

將$P=30$代入利潤公式得到最大利潤

\[

L_{\text{max}}=2\times30^2120\times301000=800

\]

2.某商品的原價(jià)為$500$元，現(xiàn)在進(jìn)行打折促銷，折扣函數(shù)為$f(x)=0.8x$，其中$x$為原價(jià)。求該商品打折后的售價(jià)。

解：根據(jù)折扣函數(shù)$f(x)=0.8x$，原價(jià)為$500$元的商品打折后的售價(jià)為

\[

0.8\times500=400\text{元}

\]

3.某人從$A$地出發(fā)，以每小時(shí)$5$公里的速度勻速行駛，行駛$t$小時(shí)后到達(dá)$B$地。求$A$地到$B$地的距離。

解：根據(jù)勻速直線運(yùn)動的公式，距離$d$等于速度$v$乘以時(shí)間$t$，即

\[

d=v\timest=5\timest

\]

4.某人從$A$地出發(fā)，以每小時(shí)$5$公里的速度勻速行駛，行駛$t$小時(shí)后到達(dá)$B$地。求$A$地到$B$地的平均速度。

解：平均速度$v_{\text{avg}}$等于總路程$d$除以總時(shí)間$t$，由于是勻速行駛，總路程等于速度乘以時(shí)間，所以

\[

v_{\text{avg}}=\frac9osqzsw{t}=\frac{5t}{t}=5\text{公里/小時(shí)}

\]

5.某人從$A$地出發(fā)，以每小時(shí)$5$公里的速度勻速行駛，行駛$t$小時(shí)后到達(dá)$B$地。求$A$地到$B$地的行駛時(shí)間。

解：行駛時(shí)間$t$等于總路程$d$除以速度$v$，即

\[

t=\fracznr9lwk{v}=\frac{5t}{5}=t\text{小時(shí)}

\]

6.某人從$A$地出發(fā)，以每小時(shí)$5$公里的速度勻速行駛，行駛$t$小時(shí)后到達(dá)$B$地。求$A$地到$B$地的路程。

解：見第3題解，$A$地到$B$地的路程為$5t$公里。

7.某人從$A$地出發(fā)，以每小時(shí)$5$公里的速度勻速行駛，行駛$t$小時(shí)后到達(dá)$B$地。求$A$地到$B$地的平均速度。

解：見第4題解，$A$地到$B$地的平均速度為$5$公里/小時(shí)。

8.某人從$A$地出發(fā)，以每小時(shí)$5$公里的速度勻速行駛，行駛$t$小時(shí)后到達(dá)$B$地。求$A$地到$B$地的行駛時(shí)間。

解：見第5題解，$A$地到$B$地的行駛時(shí)間為$t$小時(shí)。六、綜合題1.題目：某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為$10$元，銷售價(jià)格為$15$元。假設(shè)市場需求函數(shù)為$Q=1002P$，其中$P$為銷售價(jià)格，$Q$為需求量。求該工廠的最大利潤。

解答：

工廠的總成本為$10Q$元，總收入為$PQ$元，利潤$L$為總收入減去總成本，即$L=PQ10Q$。

根據(jù)市場需求函數(shù)，$Q=1002P$，代入利潤公式得$L=(1002P)P10(1002P)$。

化簡得$L=2P^2120P1000$。

求利潤的最大值，對$L$求導(dǎo)得$L'=4P120$，令$L'=0$解得$P=30$。

將$P=30$代入需求函數(shù)得$Q=40$。

所以，最大利潤為$L=2(30)^2120(30)1000=400$元。

2.題目：某商品的原價(jià)為$500$元，現(xiàn)在進(jìn)行打折促銷，折扣函數(shù)為$f(x)=0.8x$，其中$x$為原價(jià)。求該商品打折后的售價(jià)。

解答：

打折后的售價(jià)為$f(500)=0.8\times500=400$元。

3.題目：某人從$A$地出發(fā)，以每小時(shí)$5$公里的速度勻速行駛，行駛$t$小時(shí)后到達(dá)$B$地。求$A$地到$B$地的距離。

解答：

距離$D$為速度$v$乘以時(shí)間$t$，即$D=5t$公里。

4.題目：某人從$A$地出發(fā)，以每小時(shí)$5$公里的速度勻速行駛，行駛$t$小時(shí)后到達(dá)$B$地。求$A$地到$B$地的平均速度。

解答：

平均速度為總路程除以總時(shí)間，由于路程與時(shí)間成正比，平均速度等于恒定速度，即$v=5$公里/小時(shí)。

5.題目：某人從$A$地出發(fā)，以每小時(shí)$5$公里的速度勻速行駛，行駛$t$小時(shí)后到達(dá)$B$地。求$A$地到$B$地的行駛時(shí)間。

解答：

行駛時(shí)間$t$已經(jīng)給出，即行駛時(shí)間為$t$小時(shí)。

6.題目：某人從$A$地出發(fā)，以每小時(shí)$5$公里的速度勻速行駛，行駛$t$小時(shí)后到達(dá)$B$地。求$A$地到$B$地的路程。

解答：

路程$S$為速度$v$乘以時(shí)間$t$，即$S=5t$公里。

7.題目：某人從$A$地出發(fā)，以每小時(shí)$5$公里的速度勻速行駛，行駛$t$小時(shí)后到達(dá)$B$地。求$A$地到$B$地的平均速度。

解答：

由于是勻速行駛，平均速度等于恒定速度，即$v=5$公里/小時(shí)。

8.題目：某人從$A$地出發(fā)，以每小時(shí)$5$公里的速度勻速行駛，行駛$t$小時(shí)后到達(dá)$B$地。求$A$地到$B$地的行駛時(shí)間。

解答：

行駛時(shí)間$t$已經(jīng)給出，即行駛時(shí)間為$t$小時(shí)。

答案及解題思路：

第1題：利潤函數(shù)$L=2P^2120P1000$，求導(dǎo)得$L'=4P120$，解得$P=30$，代入求得$L=400$元。

第2題：應(yīng)用折扣函數(shù)$f(x)=0.8x$，直接計(jì)算$f(500)=400$元。

第3題：距離$D=5t$公里，速度乘以時(shí)間。

第4題：平均速度等于恒定速度，$v=5$公里/小時(shí)。

第5題：行駛時(shí)間$t$小時(shí)，題目已給出。

第6題：路程$S=5t$公里，速度乘以時(shí)間。

第7題：平均速度等于恒定速度，$v=5$公里/小時(shí)。

第8題：行駛時(shí)間$t$小時(shí)，題目已給出。七、證明題1.證明：$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$

解題思路：

利用拉格朗日中值定理，考慮函數(shù)$f(x)=\sin(x)$在區(qū)間$[0,x]$上的性質(zhì)。由中值定理知，存在$\xi\in(0,x)$使得：

$$f(x)f(0)=f'(\xi)(x0)$$

即

$$\sin(x)\sin(0)=\cos(\xi)x$$

當(dāng)$x\to0$時(shí)，$\xi\to0$，因此$\cos(\xi)\to1$，從而得到：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to0}\cos(\xi)=1$$

2.證明：$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1x)}{x}=1$

解題思路：

使用洛必達(dá)法則，由于$\ln(1x)$和$x$在$x\to0$時(shí)均趨于0，因此：

$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\fracwwu5soi{dx}[\ln(1x)]}{\fracu5vxgox{dx}[x]}=\lim_{x\to0}\frac{1/(1x)}{1}=1$$

3.證明：$\lim_{x\to0}\frac{e^x1}{x}=1$

解題思路：

同樣使用洛必達(dá)法則，對$e^x1$和$x$分別求導(dǎo)，得到：

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=