集合、復(fù)數(shù)、不等式與常用邏輯用語（4考點(diǎn)+19題型）-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專練（解析版）

查漏補(bǔ)缺01集合、復(fù)數(shù)、不等式與常用邏輯用語

8升考點(diǎn)大集合

Y元素與集合的關(guān)系）

-（集合的表示方法）理01元素與集合的關(guān)系及應(yīng)用

型02子集（真子集）的分?jǐn)?shù)|'^

—（[。考點(diǎn)一集合〉-型03顆集合之間的關(guān)系求參數(shù)

遜04儂極拼謝

摩05磁集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)

壁06~睡

「復(fù)數(shù)的定義

+復(fù)數(shù)的：

復(fù)數(shù)的基本概念

SMS.共匏復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的殖

復(fù)平面雙軸、時(shí)，

復(fù)數(shù)的幾何意及〉■[■（復(fù)數(shù)的幾何表示

型01復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

壁02

復(fù)平面的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算壁03復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)的四期逑法則避04蔓黜

集合、復(fù)數(shù)、不等式復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘方蛹

與常用邏輯用語復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程

復(fù)數(shù)的=翩晟鐳角

復(fù)數(shù)的三角形式

三角形式下復(fù)數(shù)的乘除法

r榜式的唾

壁oi椿

一（O考點(diǎn)三不等式-欠椿式的解集1

裁02解一元二次棒^

—重要的不等式裁03不等式恒成立與有解問題

壁04利用基本襁本最值

T基本式---,■基本不等式

壁05基科等式恒成立及有解問題

_利用基本不等式求最值

充分條件與必要條件

充分條件與必要條件

壁01充分條件與必瞰件判斷

壁02礴充雄必要共第

O考點(diǎn)四常用邏輯用語全稱量詞與全稱量詞命題

殖03量詞的命題的否定

全稱量詞與存在量詞存在量詞與存在量詞命題堂04翩鈉匹）顆趟期鈉

命題的否定

考點(diǎn)大過關(guān)

考點(diǎn)一：集合

?k核心提煉?查漏補(bǔ)缺

知識(shí)點(diǎn)1集合與元素

1、集合元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性；

2、元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，用符號(hào)e或金表示

3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法

4、常見數(shù)集的記法與關(guān)系圖

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN*(或N+)ZQR

知識(shí)點(diǎn)2集合間的基本關(guān)系

表示

文字語言符號(hào)語言圖形語言

關(guān)系

集合A的所有元素都是集合B的

子集或5衛(wèi)A

元素（龍￡人則XWB）O

或

基本

集合A是集合B的子集，且集合B

關(guān)系真子集AtjB或3VA

中至少有一個(gè)元素不屬于A

相等集合A,3的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合A的子集

知識(shí)點(diǎn)3集合的基本運(yùn)算

1、集合交并補(bǔ)運(yùn)算的表示

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

而

圖形語言0?

符號(hào)語言A\jB={尤卜￡A,或xG藥A=ix\xeU,SJCeA}

2、集合運(yùn)算中的常用二級(jí)結(jié)論

(1)并集的性質(zhì)：AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；

(2)交集的性質(zhì)：AH0=0；AnA=A；AnB=BHA；AHB=A^AQB.

(3)補(bǔ)集的性質(zhì)：AU([uA)=U；An((uA)=0.Ct/(Ct/A)=A；

[u(AU2)=([:以)n([uB)；CJ7(AnB)=(Cf/A)U(CC/B).

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

【題型1元素與集合的關(guān)系及應(yīng)用】

利用集合元素的“三性”尤其是互異性是解題的關(guān)鍵，求解過程中務(wù)必注意：用描述法表示的集合，

要先認(rèn)清代表元素的含義和集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他類型的集合。如果是根據(jù)已知列

方程求參數(shù)值，一定要將參數(shù)值代入集合中檢驗(yàn)是否滿足元素的互異性.

(1)確定性的運(yùn)用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值;

(2)互異性的運(yùn)用：根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn).

1.(24-25高三上?貴州貴陽?期末)以下選項(xiàng)中，是集合4={(%切2%+卜1=0}的元素的是()

A.{(-2,2)}B.(-2,2)C.{(1,-1)}D.(1,-1)

【答案】D

【解析】集合A的元素表示的是平面直角坐標(biāo)系中一條直線上的點(diǎn)(數(shù)對(duì))，

選項(xiàng)A和選項(xiàng)C表示的都是只有一個(gè)點(diǎn)作為元素的集合，可以首先排除；

再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入到集合A的直線方程當(dāng)中，可知(-2,2)不在直線上，(1,-1)在直線上.故選D.

2.(24-25高三上?云南楚雄?期末)已知集合人=卜|/-(2。+1江+儲(chǔ)+。<。},若2VA,貝心的取值范圍為

()

A.(1,2)B.(2,3)C.[1,2]D.[2,3]

【答案】A

【解析】由X?—(2a+l)x+o~+。<。，解得a<x<4+l,則A=(a,a+1).

因?yàn)?eH,所以a<2<a+l,解得1<。<2,故。的取值范圍為(1,2).故選：A.

3.(24-25高三上?江西新余?月考)已知集合4=卜|1<106€用，8={2,3,4,5},C=A[yB,

M=^y\y=^-,aeA,ceC^,則M中所有元素和為：()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】4={0』,2,3},所以C={2,3},

f11731

則M中所有元素和為4.故選：C.

4.(24-25高三上?廣東河源?月考)已知集合人={4尤>。},5={x|x2-ar-3>0},若且則

。的取值范圍是()

A.[—2,1)B.(-2,1)C.[-2,+oo)D.(-oo,l)

【答案】A

1>a

【解析】因?yàn)閘eA且所以解得一2W〃<1.故選：A.

l-a-3<0"

xk-x

5.（24-25高三下?遼寧?月考）已知集合。=｛尤|｝恰有一個(gè)元素，則k的取值集合為.

尤一2尤2-2X

【答案】,-；，0,6

xk-x元2-2尤w0

【解析】方程化為:

x-2x2-2xX2+x—k-0'

由已知集合只有一個(gè)元素,

①△=l+4A=0,解得％=」,

4

此時(shí)方程的解為x=符合題意;

xk-xx-x

②x=0是方程無?+x-k=0的一個(gè)根，此時(shí)左=0,方程即為

x-2x2-2xx-2x2-2x

此時(shí)方程的解為x=-1,符合題意;

xk-x即為*=-^,

③x=2是方程/+彳-左=0的一個(gè)根，止匕時(shí)笈=6,方程

x-2-2元x-2x-2x

此時(shí)方程的解為x=-3,符合題意;

所以k的取值集合為0,6）.

【題型2子集（真子集）的個(gè)數(shù)問題】

注意：空集是集合的子集，也是非空集合的真子集；集合是它自身的子集。

如果集合A中含有n個(gè)元素，則有

（1）A的子集的個(gè)數(shù)有2"個(gè).（2）A的非空子集的個(gè)數(shù)有2"—1個(gè).

（3）A的真子集的個(gè)數(shù)有2"-1個(gè)（4）A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2"-2個(gè).

1.（24-25高三下?重慶?月考）集合A=｛xeN，-2x-8<0｝的非空真子集個(gè)數(shù)為（）

A.14B.15C.30D.31

【答案】C

【解析】解不等式f_2x-8W0,得—2VXV4,又xeN,所以A={0,1,2,3,4},共5個(gè)元素,

所以集合A的非空真子集個(gè)數(shù)為25-2=30,故選：C.

2.（24-25高三下?河北保定?模擬預(yù)測）設(shè)集合”=舊0<區(qū)<3},N={-3,-2,l,4,6},則集合McN的非空

子集的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因?yàn)榉?{x|0<|x|<3},N={-3,-2,1,4,6},

故加0雙={-2,1},含有兩個(gè)元素，故其非空子集的個(gè)數(shù)為”-1=3.故選：C.

3.（24-25高三下?安徽淮北?開學(xué)考試）若集合&=卜|143-1卜0,無€武卜集合8=卜|/-5一―6<0},

則Ac3的非空真子集個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

［解析】因?yàn)榧螦={尤IIn-1）<0,xeN*}=10<m-1<1,尤eN*j={x13<x<6,xeN*}={4,5},

集合3={x|x?—5尤一6<0}={尤|—1<尤<6},

則4口8={4,5},所以AcB的非空真子集個(gè)數(shù)為：2?-2=2個(gè).故選：B

已知集合{尤())

4.（24-25高三下?安徽?月考）A=eN|2*-16-(log2x)<0，則集合A的子集個(gè)數(shù)為（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

2X<16"29216

X

【解析】(2-16)?(log2x)<0,得或,C，解得或空集,

log2x>0log2x<0

又xeN,所以A={1,2,3,4},

則集合A的子集個(gè)數(shù)為2,=16.故選：C

5.（24-25高三下?廣東廣州?模擬預(yù)測）滿足卜產(chǎn)+2>3=0仁4{-3,-1,0,1,3}的集合A的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.7C.8D.15

【答案】B

【解析】由丁+2%一3=0,整理可得(x+3/x—1)=0,解得x=—3或1,

則{-3』仁4{-3,-1,0,1,3},設(shè)8={_3,1},所以6”{-1,0,3},可得23-1=7.故選:B.

【題型3根據(jù)集合之間的關(guān)系求參數(shù)】

空集不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問題中，往往容易

因忽略空集的特殊性而導(dǎo)致漏解。

第一步：弄清兩個(gè)集合之間的關(guān)系，誰是誰的子集；

第二步：看集合中是否含有參數(shù)，若

且A中含參數(shù)應(yīng)考慮參數(shù)使該集合為,空集的情形；

第三步：將集合間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組），求出相關(guān)的參數(shù)的值或取值范圍.

常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答.

1.(24-25高三上?福建泉州?期末)設(shè)集合A={/-。-2,1,2},3={0,a+2},若則。=()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】D

【解析】由題意可得：a2—a—2=0,解得：。=2或q=-1,

當(dāng)a=2時(shí)，A={0,l,2},3={0,4},不符合3=4舍去，

當(dāng)a=-1時(shí),A={0,l,2},B={0,l},符合BqA,

故a=-l,故選：D

2.（24-25高三下?廣東惠州?月考）已知集合人=卜|1<工<2},B={x\x<a\,若A=則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是（）

A.（2,+oo）B.（-co,2）C.（-℃,2]D.[2,+<?）

【答案】D

【解析】由題意，因?yàn)?=3,即集合A是集合8的子集，所以.故選：D.

3.（24-25高三上?新疆喀什?月考）設(shè)集合A={0,a},B={%|0<X<2?-2},若4=3,則實(shí)數(shù)。的取值范

圍為（）

A.a>2B.a<2C.a>2D.a<2

【答案】A

【解析】因?yàn)樗設(shè)E5且GEB.

由0￡3=0<2。-2=>a'l；

由〃==

綜上可知：aN2.故選：A

4.（24-25高三上?湖南婁底?期末）已知集合4={訓(xùn)，5={X|X2+X-2<0）,若A=則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是（）

A.{-2,1}B.{-1,0,2}C.[-2,1]D.[-2,1）

【答案】D

【解析】由Y+x—2M0,解得—24xWl,所以8={x|—2VxV1},因?yàn)锳={a,l},

又因?yàn)樗?2Wa<l.故選：D.

5.（24-25高三下?山東聊城?開學(xué)考試）已知集合”={1,3,9},N={m,3m}.若N=M,則相的取值范圍

是.

【答案】〃z=l或加=3

【解析】因N={m,3?i},M={1,3,9）,N^M,則機(jī)=1或〃=z3.

故答案為：m=1或加=3

【題型4集合的交并補(bǔ)運(yùn)算】

求解集合的基本運(yùn)算問題需掌握“3種技巧”（1）先“簡”后“算“：進(jìn)行集合的基本運(yùn)算之前要先對(duì)其進(jìn)行

化簡，化簡時(shí)要準(zhǔn)確把握元素的性質(zhì)特征，如區(qū)分?jǐn)?shù)集與點(diǎn)集等.

（2）遵“規(guī)”守”矩”：定義是進(jìn)行集合基本運(yùn)算的依據(jù)，交集的運(yùn)算要抓住“公共元素”；并集的運(yùn)算中

“并”是合并的意思；補(bǔ)集的運(yùn)算要關(guān)注“你有我無”的元素.（3）借“形”助“數(shù)”：在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)

要盡可能地借助Venn圖或數(shù)軸使抽象問題直觀化，用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍.

1.(24-25高三下?江蘇揚(yáng)州?月考)設(shè)集合4={2,4,6,8},3={尤|*=2〃+4,”陰，則4C3=()

A.0B.{6}C.{6,8}D.{4,6,8)

【答案】D

【解析】由&。8={2,4,6,8}1{》次=2〃+4,"?陰={4,6,8}.故選：D

2.(24-25高三下?安徽?一模)己知集合4={尤|-/+》+2>。},3={尤€刈*一1區(qū)1},則408=()

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2)

【答案】B

【解析】由題意得，A={x|X2-X-2<0]={X\-1<X<2],B={XGN|0<X<2}={0,1,2},

4。8={0,1}.故選：B.

3.（24-25高三下?云南昆明?一模）已知集合A=51國工1},B={x\2x2-x-l>0},則AU3=（）

【答案】D

【解析】由得到—IVxVl,所以A={x|TVxWl},

由2/一廠1>0，Bp（2x+l）（x-l）>0,解得x<-；或%>1,

所以‘℃,一!?卜（1,+co）,

所以AU3=R，故選：D.

4.(24-25高三上?天津和平?期末)己知集合。={尤eN^M4},集合A={2,3,4},B={x|x+leA},則

e(An6=()

A.{1,2}B.{1,4}C.{0,1,2}D.{0,1,4}

【答案】D

【解析】U={xeN|x44}={0,l,2,3,4},

令x+l=2得x=l,令x+l=3得x=2,令x+l=4得x=3,故3={1,2,3},

8={2,3,4*{1,2,3}={2,3},

所以d(An3)={0,l,4}.故選：D

5.(24-25高三上?河北?期末)若集合A={x|xWl},8={x|ln尤<1},則低A)I3=()

A.(0,1)B.(l,e)C.(1,+s)D.(e,+oo)

【答案】B

【解析】由lnx<l,解得0<x<e,所以&A）nB=（l,e）.故選：B.

【題型5根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)】

法一：根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果確定集合對(duì)應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)值之間的大小關(guān)系，確定參數(shù)的取值范圍.

法二：（1）化簡所給集合；（2）用數(shù)軸表示所給集合；

（3）根據(jù)集合端點(diǎn)間關(guān)系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗(yàn).

【注意】（1）確定不等式解集的端點(diǎn)之間的大小關(guān)系時(shí)，需檢驗(yàn)?zāi)芊袢　?"；（2）千萬不要忘記考慮空集。

1.（24-25高三下?江蘇南通?模擬預(yù)測）已知集合4=5,>。},3=『108及上>,若4口3=3,則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為（）

A.卜B.C.{a|aWO}D.[a\a<0^

【答案】C

【解析】l°gix>1^0<x<-,

22

因?yàn)?口3=8,所以3=4,

所以即實(shí)數(shù)。的取值范圍為故選：C

2.（24-25高三下?山東臨沂?一模）己知集合4={刃2尤一〃《。},3=5|1<彳<2}.若人口8=0,貝I。的取值范

圍為（）

A.（-℃,1）B.C.（-<?,2）D.

【答案】D

[解析]4={尤|2_￥_。<0}=卜卜W』，

因?yàn)槿丝?=0，所以?jwl，解得。42,

所以。的取值范圍為（TO,2].故選：D.

3.（24-25高三上?湖北?一模）已知集合4={-1,0,1,2},3="|歸-用？2},若AUB=3,則加的取值范圍

是（）

A.（0,1）B.（-1,1）C.[0,1]D.[-1,1]

【答案】C

【解析】由卜-同42解得"2—2VXV"，+2,

因?yàn)锳U8=3,所以A=

所以解得0d,即加的取值范圍是[0』，故選：C.

2

4.（24-25高三下?河北石家莊?開學(xué)考試）已知集合4=3x<2},B=[x\log2（x-2x-2）>o},C={x|x>a},

且Au（\3）uC=R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.（f,-1]C.（-℃,3）D.（-oo,3]

【答案】C

【解析】由題得B={x|現(xiàn)2（尤2-2元-2）20}=卜|X2-2X-3>0}={X|XM-1或XN3},

所以=所以AU隔8）={X|X<3},

又因?yàn)锳u（43）uC=R,所以a<3.故選：C.

5.（24-25高三下?遼寧?模擬預(yù)測）已知集合/=卜歸<1},A={x,<尤},3={尤/+如+〃<。},若人口3=0,

A\JB=I,貝l]m+〃=.

【答案】1

【解析】由題意得集合A={x[x<-1或0<x<l},

因?yàn)槿丝?=0，AU3=/，所以8={x|—lWx4。},

則-l+O=-〃z,-1x0—n,解得m=1,〃=0,所以a+〃=l

故答案為：1

【題型6集合的新定義問題】

常見的新定義問題有定義新概念、新公式、新運(yùn)算和新法則等類型。解決以集合為背景的新定義問

題，要抓住兩點(diǎn)：

①緊扣新定義。首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體

的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在。

②用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集

合的性質(zhì)。

1.（24-25高三上?河南新鄉(xiāng)?期中）定義非空數(shù)集M的“和睦數(shù)H”如下：將M中的元素按照遞減的次序排列，

然后將第一個(gè)元素交替地加上、減去后繼的數(shù)所得的結(jié)果.例如，集合口,2,3,4,5}的“和睦數(shù)”是

5+4-3+2-1=7,{2,4}的“和睦數(shù)”是4+2=6,{1}的“和睦數(shù)”是1.對(duì)于集合A其

所有非空子集的“和睦數(shù)”的總和為（）

A.82B.74C.12D.70

【答案】A

【解析】A=]“一eN,〃eN；={l,2,3,6},非空子集有2,一1=15個(gè).

當(dāng)子集M為單元素集{1}，{2},⑶，{6}時(shí)，“和睦數(shù)”分別為1,2,3,6,和為12；

當(dāng)子集-為雙元素集{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}時(shí),

“和睦數(shù)”分別為3,4,7,5,8,9,和為36；

當(dāng)子集M為三元素集{1,2,3},{1,2,6},{1,3,6},{2,3,6}時(shí)，

“和睦數(shù)”分別為4,7,8,7,和為26；

當(dāng)子集M為四元素集{1,2,3,6}時(shí)，“和睦數(shù)”為6+3-2+1=8.

故"和睦數(shù)''的總和為12+36+26+8=82.故選：A

2.（24-25高三下?浙江溫州?模擬預(yù)測）（多選）給定〃處,若集合尸三{1,2,3,…且存在

滿足a<b《c<d,b-a=d-c,則稱尸為“廣義等差集合”.記尸的元素個(gè)數(shù)為1尸1,貝|（）

A.{1,2,3}是“廣義等差集合”

B.{1,3,4,6}是“廣義等差集合”

C.若尸不是“廣義等差集合”，當(dāng)〃=8時(shí)，IPI的最大值為4

D.若尸不是“廣義等差集合”，若IPI的最大值為4,則〃可以是13

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,取a=l/=c=2,d=3,則符合“廣義等差集合”的定義，故A正確，

對(duì)于B,取Q=l,6=3,c=4,d=6=>Z?—〃=d—c=2,故B正確，

對(duì)于C,當(dāng)幾=8時(shí)，尸&{1,2,3,…,8},如|尸|=5時(shí)，設(shè)2=佃,%,%/，%}，

由題意可知“2-。3-a2以4-a3，〃5-44兩兩不相同，

則%—%=（%—%）+（%—%）+（%—。2）+（%—q）Nl+2+3+4=10>8矛盾,故|P|<5,

當(dāng)|P|=4時(shí)，取尸=｛1,2,4,8｝,滿足P不是“廣義等差集合”，故IPI的最大值為4,故C正確，

對(duì)于D,當(dāng)〃=13時(shí)，取尸=｛1,2,4,8,13｝,這與歸|厘=4矛盾，故D錯(cuò)誤，

故選：ABC

3.（24-25高三下?湖北武漢?二模）（多選）已知〃eN*,記網(wǎng)為集合A中元素的個(gè)數(shù)，min（A）為集合A中

的最小元素.若非空數(shù)集A屋｛1,2,…㈤，且滿足|Hwmin（A）,則稱集合A為“”階完美集”.記凡為全部”階

完美集的個(gè)數(shù)，下列說法中正確的是（）

A.%=7

B.將〃階完美集A的元素全部加1,得到的新集合，是〃+1階完美集

C.若A為（〃+2）階完美集，|4|>1且〃+2eA,滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為

D.若A為（w+2）階完美集，同睡且"+2LA,滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為。田-"-1

【答案】ABD

【解析】當(dāng)非空數(shù)集A是｛1,2,3,4｝子集中含1個(gè)元素的子集時(shí)，|A|=1.根據(jù)“n階完美集”的定義，

｛123,4｝中大于等于I的數(shù)有1、2、3、4共4個(gè),

所以此時(shí)A可以是⑴、｛2是｛3｝、｛4｝.

當(dāng)非空數(shù)集A是｛1,2,3,4｝子集中含2個(gè)元素的子集時(shí)，

|A|=2.｛1,2,3,4｝中大于等于2的數(shù)有2、3、4共3個(gè)，

所以此時(shí)A可以是｛2,3｝、｛2,4｝、｛3,4｝.

當(dāng)非空數(shù)集A是｛1,2,3,4｝子集中含3個(gè)元素的子集時(shí)，

|A|=3.｛1,2,3,4｝中大于等于3的數(shù)有3、4共2個(gè)，不滿足“n階完美集”的定義，

所以｛1,2,3,4｝中3個(gè)元素的子集不滿足.

同理，｛1,2,3,4｝中含4個(gè)元素的子集也不滿足.

綜上，4階完美集有⑴、｛2｝、｛3｝、｛4｝、｛2,3｝、｛2,4｝、｛3,4｝,所以%=7,故A正確.

若將“n階完美集“A中元素全部加1,A中元素個(gè)數(shù)不變，

但min（A）力口1變大，均不違背“〃+1階完美集”的定義，

所以得到的新集合是一個(gè)“〃+1階完美集”，故B正確.

對(duì)于滿足“九+2階完美集”的所有A,〃+2屬于所有A或不屬于所有A,

均可視為同一情形，即退化為“〃+1階完美集”的情況，總個(gè)數(shù)為

又因?yàn)樗詽M足條件的集合A要排除掉“〃+1階完美集”中只含有1個(gè)元素的情形

（排除”+1個(gè)單元素集合），

因此滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)均為。向-5+1）=。用-，L1,故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：ABD.

4.(24-25高三下?湖南長沙?月考)記集合A的元素個(gè)數(shù)為⑶，若網(wǎng)上2,定義集合“A)=

{z\z=xy,x,y^A,x^y},我們稱集合歹(A)為集合A的積集.

⑴當(dāng)A={1,2,4,8}時(shí)，寫出集合A的積集產(chǎn)(A)及但(A)|；

⑵若A={q,%,%,%}是由4個(gè)有理數(shù)構(gòu)成的集合，積集尸(A)=>18,-2,-}-31,3，，求集合A中的所有

元素之和；

⑶現(xiàn)給定一個(gè)正實(shí)數(shù)集合X,|X|=8,試求滿足F(A)=X的非空有限正數(shù)集合A的個(gè)數(shù)的最大可能值.

【答案】⑴"A)={2,4,8,16,32}；忸⑷|=5；⑵土學(xué)；(3)2

6

【解析】⑴圖為4={1,2,4,8},所以戶(A)={2,4,8,16,32},戶(A)|=5.

(2)對(duì)一個(gè)4元集合A,產(chǎn)(4)中的元素個(gè)數(shù)最多的情況為4出，4。3，％%，。2a3，電4，生。4，

是6個(gè)互不相同的數(shù).

同時(shí)F(A)中沒有兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，因此A其中沒有兩個(gè)數(shù)是互為相反數(shù)，

由此知，4,。2，。3,。4的絕對(duì)值互不相等，不妨設(shè)同<|%|<|/|<|%|，

那么則有：同同(l^i<j<4)中最小的與次小的兩個(gè)數(shù)分別是悶間及同同，

最大的與次大的兩個(gè)數(shù)分別是同間及同同，

從而必須有：q%=3,。3。4=T8,

6

113

于是％=~，〃3=—，〃4=—=_18〃1,

結(jié)合％6Q,只可能取4=±g,

—

由此易知，%=—,622=，%=3,〃4=_6或%=一耳，%=5，%=3,Cl4=6,

19

經(jīng)檢驗(yàn)知這兩組解均滿足問題的條件，故4+%+/+為=±丁.

6

(3)設(shè)A={q,4,…,凡},不妨設(shè)。<％<生va3V…<?！?，

因?yàn)閍1a2<axa3<???<axan<a2an???<an_xan,

所以有2|4卜34團(tuán)4"N'T),

則由21Al-3484"N'T),聞22且⑶為正整數(shù)，

解得阿=5,即A為5元集.

設(shè)集合X的元素為占〈無2<…<%，A的元素為a<b<c<d<e,

7.bx1cx.11

于玉=ab,x?=etc,Xj=cc,Xg=de=>—=—}=—,一=—=—,%％〉1，

-cx2qxdxs%

由bcvbdvcd知七,%，/，/中有三項(xiàng)分別為3加，。/，已知〃c：M：cd=1：%：/%，

下證明至多存在2組(7,j,相3<i<j<k<6)滿足匕:xj-.xk=l:q2:%%,

假設(shè)存在2組@/㈤記為mJo￡)，a，K"),則…。/-/溫一片中不存在0,

否則由為：丐：4=1:%：比例給定立即得到(X，K")=體J。,%)矛盾!

于是自，髭人)，(3左，工)必為⑶4,5)和(4,5,6),

這同時(shí)也說明了A至多只有2組.

另一方面，根據(jù)上述說明容易給出存在2個(gè)A的構(gòu)造,

X=[a2q,a1q1,a2q3,a2q4,a2q5,a1qb,a2q1,a2qs,〃￡R+應(yīng)>1,

aaq2aq3aq4aq'5

A=1aq,aq2,aq3,aq51=<

所以，滿足/(A)=X的非空有限正數(shù)集合A的個(gè)數(shù)的最大可能值為2.

5.(24-25高三下?浙江?開學(xué)考試)定義：A\尤為在集合A中去掉一個(gè)元素x后得到的集合；S(A)為集合A

中的所有元素之和.已知由"個(gè)正整數(shù)組成的集合人={4",…,q}("eN*,〃23),若對(duì)于

Va;eA(z=l,2,...,M),都存在兩個(gè)集合氏C,使得A\q=8uC,3cC=0,且S(3)=S(C),就稱集合A

為“完美集”.

(1)若4={1,2,3,5,6},判斷A是否為“完美集”，并說明理由；

⑵若集合4={弓,%,…,qJ("N*,"23)是“完美集"，證明："是奇數(shù)；

(3)若集合A={?1M2,…M"}(〃eN*,〃23)是“完美集”，且A中所有元素從小到大排序后能構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,

則稱A為“等差完美集”.已知集合A={勾,％…,4}(〃wN*,〃23)是“等差完美集“，求”的最小值.

【答案】(1)不是；理由見解析；⑵證明見解析；(3)7

【解析】⑴{123,5,6}不是，完美集”，

因?yàn)槿サ?時(shí)，{1,3,5,6}所有元素和為15,無法拆分為兩個(gè)和相等的集合；

（2）記S（A）為集合A中的所有元索之和，S（A）-a,=S（為+S（C）=2S（3）是偶數(shù),

所以S（A）與火必定同奇同偶.

當(dāng)5（A）為奇數(shù)時(shí)，。，也是奇數(shù)，S（A）是奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加，故”是奇數(shù)：

當(dāng)S（A）為偶數(shù)時(shí)，。，也是偶數(shù)，設(shè)q=2麗則他,％…也}也是“完美集”，

重復(fù)上述操作有限次，便可得各項(xiàng)均為奇數(shù)的“完美集”，此時(shí)集合元索個(gè)數(shù)是奇數(shù)；所以得證:

（3）w最小值是7.

設(shè){%}是等差數(shù)列，A={%%,

當(dāng)九=3時(shí)，去掉q時(shí)，%十網(wǎng),不成立：

當(dāng)〃=5時(shí)，4={%,%必嗎，%}，不妨設(shè)＜。4＜%，

去掉。2，假設(shè){%,