江西省南昌市2025屆高三第一次模擬測試數(shù)學試題（含答案解析）

江西省南昌市2025屆高三第一次模擬測試數(shù)學試題

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一、單選題

1.二項式（x+lf的展開式中，％的系數(shù)為（）

A.-10B.-5C.10D.5

2.已知復數(shù)z滿足z+2彳=6+i,則2=（）

A.2+iB.2-iC.l-2iD.l+2i

3.設P關于％的方程百sinx+cosx=Q有實數(shù)解，則夕是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不

充分也不必要條件

4.已知則方程/（x）=8所有的根之和為（）

A.1B.2C.5D.7

5.已知｛〃“｝為等比數(shù)列，若〃2+4%=4〃3,則｛4｝的公比夕=（）

,11

A.—2B.2C.—D.-

22

6.直線歹=2x與圓Y+/一2%-3=0交于4,5兩點，|。4|二石，則|。a二（）

AV5u275r375n4指

A?D?----------Vz.---------U?----------

5555

7.我們約定：若兩個函數(shù)的極值點個數(shù)相同，并且圖象從左到右看，極大值點和極小值點

分布的順序相同，則稱這兩個函數(shù)的圖象''相似已知/卜）=/-；區(qū)2+[-1）2,則下列給

出的函數(shù)其圖象與y=/（x）的圖象“相似”的是（）

A.y=x2B.y=-x2C.y=x3-3xD.y=-x3+3x

8.已知雙曲線=1的左、右焦點分別為耳為雙曲線。第一象限上一點，4坐

的角平分線為/，過點。作坐的平行線，分別與尸片，/交于M,N兩點，若|〃2V|=m尸乙

則AP片鳥的面積為（）

A.20B.12C.24D.10

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.現(xiàn)從甲、乙兩名射擊運動員中選擇一人參加大型選拔賽，各進行了10次射擊，射擊成績

（單位：環(huán)）如下表所示:

次數(shù)12345678910

甲77898910999

乙89781071010710

依據(jù)該次選拔賽成績，下列說法中正確的是（）

A.甲的平均成績高于乙的平均成績

B.預計對手平均成績較差，穩(wěn)定發(fā)揮水平就能獲得冠軍，則選擇乙參加比賽

C.預計對手平均成績9.2環(huán)，則選擇乙參加比賽

D.預計對手平均成績8.8環(huán)，則選擇甲參加比賽

10.如圖，平行六面體N8CD-44GA的體積為6,點P為線段45上的動點，則下列三

棱錐中，其體積為1的有（）

B.三棱錐尸

C.三棱錐尸-。4cD.三棱錐尸-D/C

11.已知/'（x）是R上的連續(xù)函數(shù)，滿足有/（x+y）+/（x-y）=/（x）/（y）,且

/⑴=1.則下列說法中正確的是（）

A./（0）=0B.y（x）為偶函數(shù)

D.弓,（）］是的一個對稱中心

C.〃無）的一個周期為6

三、填空題

試卷第2頁，共4頁

12.已知集合/=卜孫＜1},8={0,1,2,3,4},則4小3的元素個數(shù)為.

13.已知等差數(shù)列{%}各項不為零，前〃項和為S"，若5"=。"%,則％3=.

14.三角形是常見的幾何圖形，除了我們已經(jīng)學習的性質外，三角形還有很多性質，如：性

11------------

質1:丫/8(7的面積$=—/8-/。51114=—/8-/。12必；

22

性質2：對于V/BC內(nèi)任意一點尸，有存?萬+元?麗+而?岳=方?%+前?茄+山?屈;

性質3：V/BC內(nèi)存在唯——點、P,使得/P4B=NPBC=NPCA=a.這個點P稱為V4BC

的“勃羅卡點”，角a稱為V/2C的“勃羅卡角”.

若V/5C的三邊長分別為1,1,百，根據(jù)以上性質，可以計算出V/2C的“勃羅卡角”的正

切值為.

四、解答題

15.在V/BC中，角4瓦。的對邊。也，成公差為2的等差數(shù)列.

(1)若VN8C為銳角三角形，求a的取值范圍；

(2)若7siiU=3sinC,求V4BC的面積.

16.如圖，在三棱錐尸一/8C中，Rl_L平面48C,N8=8C=l,NN8C=120。,尸/=/C,D為

PC的中點.

(1)求證：BDVAC-,

(2)求8。與平面PAB所成角的正弦值.

17.E!^D/(x)=xln(x-l)-ax(awR).

(1)若f(x)在定義域上單調(diào)遞增，求”的取值范圍;

⑵若v=/(x)有極大值加，求證：加＜-4.

試卷第3頁，共4頁

22W

18.已知橢圓C:=+4=l(a>6>0)的離心率e=",過點尸(4,0)作直線/與橢圓C交于

ab2

48兩點(A在8上方)，當/的斜率為時，點A恰與橢圓的上頂點重合.

4

⑵己知"(1,0),設直線M4,M8的斜率分別為配質，設的外接圓圓心為E,點B關

于x軸的對稱點為。.

⑴求左+傷的值;

(ii)求證：MELPD.

19.通過拋擲骰子產(chǎn)生隨機數(shù)列｛4｝,具體產(chǎn)生方式為：若第后(左=123,…典)次拋擲得到點

數(shù)中=1,2,3,4,5,6),則ak=i.記數(shù)列｛%｝的前?項和為S”,X”為S”除以4的余數(shù).

(1)若〃=2,求邑=4的概率；

(2)若〃=2,比較尸(蒼=0)與尸(3=3)的大小,說明理由;

62n0

(3)若"=20,設(x+x?+x'+x"+x，+xy°=b0+bxx+b2xH—+bl20x,試確定該展開式中

各項系數(shù)與事件S“=j(jeN+!/-<120)的聯(lián)系，并求X20=0的概率.

試卷第4頁，共4頁

《江西省南昌市2025屆高三第一次模擬測試數(shù)學試題》參考答案

題號12345678910

答案DBAADCCCCDACD

題號11

答案BCD

1.D

【分析】利用二項展開式的通項計算即可求得結果.

【詳解】設二項展開式中的第左+1（丘N）項含有x,即C*5-處中含有x項，

令5-k=l,可得左=4；

所以含x的項為C214=5X,可得x的系數(shù)為5.

故選：D

2.B

【分析】根據(jù)復數(shù)及共軌復數(shù)的定義結合復數(shù)的加法，應用復數(shù)相等得出參數(shù).

【詳解】設復數(shù)2=。+研%北R）,

滿足z+2亍=a+6i+2（a—6i）=3。一bi=6+i,

\a=2

所以八，，貝Uz=2-i.

也=-1

故選：B.

3.A

【分析】先結合輔助角公式及正弦函數(shù)性質求出4對應的范圍，然后結合充分必要條件的定

義即可判斷.

【詳解】因為Gsinx+cosx=a，所以J§sinx+cosx=2sin[x+卜2,2],即-24a42.

因為p:0<a<l,q:-2<a<2

所以由夕可以推出4,由9不可以推出夕，所以夕是9的充分不必要條件.

故選：A.

4.A

【分析】求方程的所有根，然后相加即可.

【詳解】若x<0,由f-2》=8=?+2加-4）=0,所以x=-2；

答案第1頁，共14頁

若%>0,由2"=8nx=3.

因為-2+3=1,所以方程/(x)=8的所有根的和為1.

故選：A

5.D

【分析】利用等比數(shù)列通項公式列方程即可解得公比g=

【詳解】根據(jù)等比數(shù)列定義由。2+4。4=4%可得出+^^?=42夕，

顯然。2工0,所以4g2—4q+l=0,

解得q=g.

故選：D

6.C

【分析】直線方程與圓的方程聯(lián)立，求出力(1,2),8(-3-￡|,利用兩點之間的距離公式即

可求得結果.

【詳解】

/\/xIy=2x

設N(X1,必),8(尤2,%),聯(lián)立[2，c,八，消去?整理得：5X2-2X-3=0,

[x+y-Zx-5=

解得占=1,%=—,故/(1,2),4-1，-g),

利用兩點之間的距離得|。同=o]+1o]=手，

故選：C

7.C

【分析】先利用導數(shù)求出函數(shù)/(x)的極值點，再逐一判斷各個選項即可.

答案第2頁，共14頁

【詳解】r(x)=ex-er+2x-2,貝i]/")=0,

令/'(x)=0,貝|e，=(e-2)x+2,

如圖，作出函數(shù)了=巴了=小-2卜+2的圖象,

由圖可知函數(shù)7=e*,了=(e-2)x+2的圖象有兩個交點，

即函數(shù)N=/'(x)有兩個零點1,%,且不<0,

令/''(x)>。，貝!]x>l或x<x°,令/''(x)<0,貝”o<無<1,

所以/■(%)在(-叫尤⑹上單調(diào)遞增，在伉,1)上單調(diào)遞減，

所以/'(x)的極大值點為甚,極小值點為1.

對于A,函數(shù)了=/在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)有極小值點，無極大值點，故A選項不符；

對于B,函數(shù)>在(-咫0)上單調(diào)遞增，在(0,+e)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)有極大值點，無極小值點，故B選項不符；

對于C,y'=3x2-3,

當x<-l或x>l時，了=3%2-3>0,當一l<x<l時，y'=3尤2-3<0,

所以函數(shù)y=/-3x的極大值點為T,極小值點為1,故C選項符合題意;

對于D,夕=-/+3尤=-(尤3-3尤)，

則函數(shù)>=-d+3x的極小值點為-1,極大值點為1,故D選項不符.

故選：C.

8.C

答案第3頁，共14頁

【分析】因為肱v//尸耳，故ON為改3的中位線，Io河1=口尸尸2L由此得至力ON1=。尸鳥I,

26

再…利用WKN?△工KP得，到|O局K|=/|ON|=z1推出\K口E\=可4，結合角1平分線,定理

IK卜2I依2I6I—2I3

*=鎮(zhèn)=：,找出|母；|=8,|「￡1=6,進而得解；

1^21IKt213

【詳解】如圖，記/與X軸交于點K,

由雙曲線的定義，口耳HP且1=2。=2,|O^|=|O^|=5,

因為MN//P￡,。為片與中點，故OM為△尸片居的中位線，|。朋＞；|尸工

211

\ON\=\MN\-\OM\=-\PF\--\PF\=-\PF\,

322262

易知，-F",故|Q屈K|=\扇ON\一1故\K屈E\=41

由/耳坐的角平分線為/,由角平分線的性質得：哥IFF,=I當IKF",I=34，

I^2113|3

所以|尸耳|=8,|%|=6/耳名|=10,

故AP片鳥為直角三角形，面積為gx6x8=24.

故選：C.

9.CD

【分析】選項A根據(jù)平均數(shù)比較可得；選項B根據(jù)方差比較可得；選項C根據(jù)射擊一次大

于9.2環(huán)的概率比較可得；選項D根據(jù)射擊一次大于8.8環(huán)的概率比較可得.

-7x2+8x2+9x5+10.

【詳解】選擇A：甲的平均數(shù)為:x=------------------=Xo.5,

10

_8x2+9+7x3+10x40r

乙的平均數(shù)為:y=------------------=8.6,故A錯誤;

10

選擇B：甲的方差為：lx"-""1//"-"0）：?！?

答案第4頁，共14頁

2X（8-8.6）2+（9-8.6）2+3X（7-8.6）2+4X（10-8.6）2

乙的方差為：S2=

10

因百＜$2,故B錯誤；

142

選擇C：甲射擊一次大于9.2環(huán)的概率為正，乙射擊一次大于9.2環(huán)的概率為正=二，

故C正確；

選擇D：甲射擊一次大于8.8環(huán)的概率為缶=：,乙射擊一次大于8.8環(huán)的概率為記=9

故D正確，

故選：CD

10.ACD

【分析】根據(jù)線面平行的性質，將動點到面的距離轉換成定點到面的距離，利用等體積法依

次求解即可.

【詳解】記平行六面體ABCD-44GA的體積為憶=6,

對于A,由平行六面體的性質，43〃平面DQCG，故點尸到平面的距離等于點3到

平面D.DCQ的距離，故VP_CiCD=VB_C1CD=gxgk=l,故A正確；

對于B,因為匕底面面積固定，點?在線段4B上位置不同，高不同，故

體積不為定值，故B錯誤；

對于C,因為AXBHCDX,AXBCZ平面，耳C,DCu平面DM，故43//平面D^C,

點P到平面自用。的距離等于點B到平面28c的距離，

故Vp-D\B、C=VB-D；BC=L-BCB,=/=1,故C正確；

對于D,因為4?〃CR,42①平面RACRCU平面DtAC,故////平面DtAC,

點尸到平面。/C的距離等于點B到平面。的距離，

故Vp-D[AC=—B-DiAC=VD「BCA=1X1K=1,故D正確；

故選：ACD.

11.BCD

【分析】令x=V=0,解得/（0）=2判斷A,再令x=0結合偶函數(shù)定義分析判斷B；計算

答案第5頁，共14頁

得出對稱中心判斷D,再分析可知/(x)是以6為周期的周期函數(shù)判斷C.

【詳解】因為/■(x+y)+/(x-y)=/(x)/(力，且/⑺的定義域為R,關于原點對稱,

對于選項A：令x=y=O,則2/(O)=r(o),解得/(o)=o或/(o)=2,

若/(0)=0,令k0時，/(x)+/(x)=2/(x)=/(x)/(O)=0,

這與/⑴=1矛盾，故/'(0)=2,故A錯誤；

對于選項B：令x=0,則/3+/(-了)=/(0"3=2/3，

即/'(-了)=/(力，可知/("是偶函數(shù)，故B正確；

對于選項D：因為/(0)=2,/⑴=1,當x=1,y=1時，/'(2)+/(0)=/(1)/(1)，故/(2)=-1,

當尤=2,y=l時，/(3)+/(1)=/(2)/(1),故〃3卜一2,

當x=F=|時,〃3)+/(0)=/圖,又"0)=2,故/(|)=0,

當x=1時,/■(|+1+/(泊=m/[)=0,

所以/(|+jj=o，(|,oj是“X)的一個對稱中心，故D正確；

對于選項c：因為/(|+即(|+)-，河，即

+=則〃x+3)=-〃x),

所以;■(x+6)=-/(x+3)=/(x),故/'(X)是以6為周期的周期函數(shù)，故C正確;

故選：BCD.

12.2

【分析】求出集合A,利用交集的定義求出集合/C8,即可得出結果.

【詳解】因為/={x|lnx<l}={x[0<x<e},5={0,1,2,3,4},貝！I/Cl8={1,2}.

因此，集合/c3的元素個數(shù)為2.

故答案為：2.

、13.1,,

13.—/6—/6.5

22

【分析】根據(jù)已知等式及等差數(shù)列基本量運算，計算求解即可.

【詳解】在等差數(shù)列{4}中，。"不為零，設公差為d,

答案第6頁，共14頁

因為S〃=%a〃+i，令〃=1時，Sx=a[=a[a2,所以4=1,

令〃=2時，S2=a2a3,貝U1+4=%=4+2d,所以d=g,

1113

貝！J〃掃=出+1Id—1+.

13

故答案為：v-

2

14.—

5

【分析】在V4BC中，由余弦定理得/=120°,在AA8尸中，用正弦定理得8P=2sine,在

△P8C中,得2sina=2&sin（30。-a）,利用切弦互化法即可得到結果.

【詳解】

因為V/2C的三邊長分別為1,1,百，不妨設/3=1,4?=1,3。=6,如上圖，

御+北上時=

1+1-3:，得4=120°,

由余弦定理得cosA=

-2x|^|x|^c|_一-

故3=30℃=30°,在AABP中,乙4尸8=180°-a-（300-a）=150°,

BPABBP1c

_------=--------------s-------=—=2,

用正弦定理得sinasin/APBsina￡，得到5尸=2sina,

2

在△尸中，ZSPC=180o-a-（30°-a）=150o,

BP二BCBP巨n

用正弦定理得sin（300-a）sinACPBsin000-a）j_-

2

得到2sina=2百sin（30°—a）,

用差角的正弦公式得：sina=>A-cosa--sina

（22）

且c°santana="

W—sincr=

225

答案第7頁，共14頁

故答案為：

5

【點睛】關鍵點點睛：在△/B尸中，用正弦定理得5尸=2sina,

在△心(?中，得2sina=2百sin(30。-c),兩次轉化后再利用切弦互化法即可得到結果.

15.(l)a>6

。、15百

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列得到a,b,c的關系，確定最大角為角C,且Ce(0,］；利用cosC>0

可得結果；

(2)根據(jù)正弦定理得到7a=3c,求出。的值，利用余弦定理求出COSC的值，進而得到sinC

的值，利用面積公式可得結果.

【詳解】(1):a,仇，是公差為2的等差數(shù)列，

,6=。+2,c=a+4,

由三角形三邊關系得，a+(a+2)>(〃+4),

：.a>2,又???V45C為銳角三角形，

,最大角?！?。母，

cosC>0,BPQ+"———>0，

2ab

**-c2<a2+b2即〃2_4"i2>0,解得"-2或a>6,

a>6.

(2)V7siiL4=3sinC,

???由正弦定理可得7a=3c,

7〃=3(〃+4),尚牟得a=3,貝lJ6=5,c=7,

._a2+b2-c2_1.._^3

??cosC/——,??sinCz——,

2ab22

=

S^ABC=^absinC=；x3x5x~^~"f.

16.(1)證明見解析

⑵小

4

【分析】(1)取NC的中點為E,連接BE,DE,即可證明DE1NC,BELAC,從而得到

/C_L平面8DE,即可得證；

答案第8頁，共14頁

(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.

【詳解】(1)取NC的中點為E,連接BE,DE,

P

因為。為PC的中點，所以DE//P4,

因為尸/_L平面4BC,所以DE_L平面43C,又/Cu平面4BC

所以DE」4c,

因為所以3E_L/C,

因為DEcBE=E,DE,BEu平面ADE,

所以/C_L平面且BDu平面2DE,

所以8DL/C；

(2)以點A為坐標原點，以/民/尸為x,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

所以尸N=/C=Vl2+l2-2xlxlcosl20°=百,

皂回

所以2(1,0,0),尸(0,0,b),C,貝I。3

所以礪=

.9,5.

442

平面P/8的法向量為五=(0,L0),

答案第9頁，共14頁

所以cos3￡),方=BD-nIT旦

阿洞1x14

即BD與平面PAB所成角的正弦值為2.

4

17.(1).42

⑵證明見解析

【分析】(1)先求/'(x),令gOOulnG-D+T-a,通過求導判斷函數(shù)的單調(diào)性求解最

小值，結合題意列不等式即可求解；

(2)由(1)可知，當y=f(x)-“Z有兩個不同的零點時，a>2,由/'(x)=O,貝!|x=X],

x=X2(l<X]<2</)，判斷/(x)的單調(diào)性，可得機=/(%)，通過求導即可證明.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=xln(x-l)-"的定義域為(1,+s),

可得/'(x)=ln(x-l)+———a,

X—1

令g(無)=ln(xT)+—,

因為l<x<2時，g")<0,所以/'(x)單調(diào)遞減,

x>2時，g'(無)>0,所以/'(x)單調(diào)遞增，

所以八心一廣⑵二？-明

因為/(X)在定義域上單調(diào)遞增，所以/'(x"0恒成立，

所以2—a20,即QV2；

(2)由(1)可知，當了=/(x)-加有兩個不同的零點時，a>2,

此時/'(x)而"=/'⑵=2-。<0,

且xfl時/〈X)—>+00,X—>+00時(無)—>+00,

所以/'(尤)=0,則X=X],x=x2(1<%!<2<x,),其中111(匕-1)+「^=。?=1,2),

因為I。.時，r(x)>o,y(x)單調(diào)遞增，

答案第10頁，共14頁

再<》<三時，/，(x)<0,/(X)單調(diào)遞減,

x>超時，r(x)>0,〃x)單調(diào)遞增，

所以x=再為/(x)的極大值點,則m=/(%1),

且/(X])=X][Ing_1)_°]=網(wǎng)In-1)-In-1)——=——,

—1玉一1

設g(x)=_y0<x<2),貝Ug，(x)=—^^>0,

所以g(x)在(1,2)單調(diào)遞增，

所以g(x)<g(2)=-4,即加<-4.

18.⑴1+/=i

⑵(i)0：(ii)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)條件求出橢圓上頂點坐標即可得到6的值，利用離心率可得橢圓標準方程.

(2)(i)聯(lián)立直線/與橢圓方程，借助韋達定理可得左+/的值.

(ii)根據(jù)外心為三角形三邊垂直平分線的交點表示點E的坐標，計算直線ME的斜率，利

用斜率之積為-1可證明結論.

【詳解】⑴當/的斜率為時，直線/：1-%+1,與V軸交點為(0])，故6=1,

.?cL—啟一V3?c

?e=—=l----r-=—，??〃=/，

aA\a22

橢圓C的標準方程為—+/=1.

4

(2)(i)由題意得，直線/斜率存在且不為0,設直線/:尤"+4,4(占,%),8(%2，%),

x=my+4

聯(lián)立方程X22?消去X得:（冽2+4）/+8切+12=0,

一+V=1

4,

-8m12

m2+4

+左=必?%「2%+”2-（必+%）

2

再一1%2-1（匹一1）（工2一1）

...再％+叼-(乂+幻=2孫%+3(必+幻=2沖，)+3-舄=。,

答案第11頁，共14頁

_2町％+3(必+%)

.ML('-帆-1)

y.

（ii）解法一：力，,中點坐標為

/.MA垂直平分線方程為y-^=-—小，

2V1

丫2Xj—13片o

由土+才=1得，垂直平分線方程為〉=-x+蕓①.

41必8%

同理得，八四垂直平分線方程為了=-迤」x+狂②.

%8%

由-。可得；+七=。，即?+胃=。,

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國一49—4

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解法二：設圓E:x2+y2+dx+ey+f=0,

在圓E上，.\l+d+f=0

:直線/與圓E交于48,

，聯(lián)立『+y+；+*+/—°得"+1)/+(8加+d?7+e)y+16+4d+/=0