活用隱圓的五種定義妙解壓軸題（解析版）

專題26活用隱圓的五種定義妙解壓軸題

【題型歸納目錄】

題型一：隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長

題型二：隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值

題型三：隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90°

題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補、數(shù)量積定值

題型五：隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值

【典例例題】

題型一：隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長

例1.（2022?和平區(qū)校級月考）平面內(nèi)，定點A,B,C,。滿足|ZM|=|￡?|=|QC|=2,且

DA.DB=DB.DC=DC.DA=-2,動點尸，M滿足|AP|=1,PM=MC,則的最大值為（）

,37+66H37+2亞?43n49

4444

【解析】解：由題可知|D4|=|DB|=|DC|,則D到A,B,C三點的距離相等，

所以。是AABC的外心，

又DA.DB=DB.DC=DC.DA=-2,

變形可得DA.DB-DB-DC=DB（DA-DC）=DB-CA=0,

所以同理可得ZM_L3C,DCLAB,

所以。是AABC的垂心，

所以AABC的外心與垂心重合，

所以AABC是正三角形，且。是AABC的中心；

則8(3,C=(3,B,0(2,0),\AP\=l,

可設P(cos0,sin。)，其中。e[0,2汨，而尸M=MC,

即M是尸。的中點，則M(3+c°s"W+sin",

22

JI

IBMI-(^1)2+(Sin。+3,)2=37+由(。-彳)3=竺，

22444

當e=2"時，IBMF取得最大值為絲.

34

故選：D.

例2.(2022春?溫州期中)已知a,b是單位向量，ab=O,若向量c滿足|c-a+6|=1,則|c-6|的取值范

圍是()

A.[>/2-1,A/2+1]B.[1,A/2+1]C.[0,2]D.[^-1,A/5+1]

【解析】解：由a,b是單位向量，JLiz-Z?=0,則可設a=(l,0),b=(0,l),c=(x,y)；

向量e滿足|e-a+b1=1,

.-.|(x-l,y+l)|=l,

Jd)2+(y+l)2=1,

即(x-l)2+(y+l)2=l,

它表示圓心為C(1,T)，半徑為r=l的圓；

又|c-》|=|(x,y-1)|=yjx2+(y-l)2,它表示圓C上的點到點2(0,1)的距離，如圖所示：

且|3。|=、產(chǎn)+(-1_1)2=6,

75-11IJ|PB|后+1；

即|c-b|的取值范圍是[逐-1,V5+1].

【點評】本題考查了向量的垂直與數(shù)量積的關系、數(shù)量積的運算性質、點與圓上的點的距離大小關系，也

考查了推理能力和計算能力，是綜合性題目.

例3.(2022?延邊州一模)如果圓(x-4)2+(y-q)2=8上總存在兩個點到原點的距離為應，則實數(shù)。的取

值范圍是()

A.(-3,3)B.(-1,1)

C.(-3,1)D.(-3,-1)0(1,3)

【解析】解：問題可轉化為圓(x-ar+(y-a)2=8和圓尤2+9=2相交，

兩圓圓心、星巨d=7(?-0)2+(a-0)2=y/2\a\,

由R-r<\OC\\<R+r得2四-抗〈及\a\<20+版,

解得：l<|a|<3,即。w(-3,-1)U(1,3)

故選：D.

例4.(2022?花山區(qū)校級期末)設點M為直線x=2上的動點，若在圓。:V+V=3上存在點N,使得

NOMN=30。,則M的縱坐標的取值范圍是()

A.[-1,1]B.C.[-2直,20]D.

2222

【解析】解：設M(2,y”)，

在AOMN中，由正弦定理可得，———=———,

sinZONMsinZOMN

ZOACV=30°,ON=G

.巨亙=jf=2石,

sinMNM1

2

整理得，yM=±?26sinZONM’-4,

由題意知，00<ZONM<150°,/.sinZONMe(0,1].

當sinNOW=1時，加取得最值，

即直線MN為圓O的切線時yM取得最值.

yMe[-272,2A/2].

故選：C.

y

例5.(2022?廣元模擬)在平面內(nèi)，定點A,B,C,。滿足|D41=|DB|=|DC|=2,

DA.BC=DB.AC=DC.AB=0,動點尸，M滿足|AP|=1,PM=MC,則|8AZ『的最大值為.

【解析】解：平面內(nèi)，|ZM|=|O8|=|DC|=2,DA.BC=DB.AC=DC.AB=0,

DA±BC,DBA.AC,DCLAB,

可設￡)(0,0),4(2,0),B(-1,A/3),C(-1,-A/3),

.,動點P,M滿足14Pl=1,PM=MC,

可設P(2+cos0,sin。)，M(l+/,sinOjG，

BM=(3+COS0,sin"3g

22

_JT

23+cos0sin0-3\/337+12sin(--^)

,BM=("c°s")2+T-3)2=-----------------------6_竺,

2244

當且僅當sin￡-3)=1時取等號,

的最大值為絲.

4

故答案為：—.

4

題型二：隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值

例6.(2022?普陀區(qū)二模)如圖，AABC是邊長為1的正三角形，點P在A4BC所在的平面內(nèi)，且

|「4|2+|尸8|2+|「口2=°(。為常數(shù)).下列結論中，正確的是()

B

A.當0<a<l時，滿足條件的點尸有且只有一個

B.當a=l時，滿足條件的點尸有三個

C.當a>l時，滿足條件的點P有無數(shù)個

D.當“為任意正實數(shù)時，滿足條件的點P是有限個

【解析】解：以3c所在直線為x軸，3c中點為原點，建立直角坐標系，如圖所示

則4(0,弓)，B(-1,0),C(1,0),設尸(x,y),可得

\PA\=x2+(y-^-f,\PB\=(x+^)2+y2,\PC\=(x-^)2+y2

|PA|2+|PB|2+|PC|2=a

x2+(y--^-)2+(x+g)?+y2+(x—gy+y2=a

化簡得：3x2+3/-^y+|-a=0,即Y+V〉+卷一]=0

配方，得犬+(,_曰y=g(a_i)…(])

當時，方程(1)的右邊小于0,故不能表示任何圖形；

當°=1時，方程(1)的右邊為0,表示點(0,絡)，恰好是正三角形的重心；

當時，方程(1)的右邊大于0,表示以(0,*)為圓心，半徑為J(a-l)的圓

由此對照各個選項，可得只有C項符合題意

例7.(2022?江蘇模擬)在平面直角坐標系xOy中，圓。:/+/=1,圓M：(x+a+3了+(y-2a)2=1(〃為

實數(shù)).若圓。和圓M上分別存在點P,Q,使得/OQP=30。，則。的取值范圍為.

【解析】解：由題意，圓A/:(x+a+3)2+(y-2a)2=1(〃為實數(shù))，圓心為-3,2〃)

圓〃上任意一點Q向圓。作切線，切點為尸，NPQO=30。，

所以無2+y2=4與圓M有交點掇取4+3)2+413,

解得

—g轟女0,

故答案為：-g強力o,

5

例8.(2022?通州區(qū)月考)在平面直角坐標系xOy中，尸(2,2),。(01)為兩個定點，動點加在直線x=-L

上，動點N滿足NO2+NQ2=16,則1PM+PN|的最小值為.

【解析】解：NO2+N02=16,;.N在以OQ為直徑的圓上，

不妨設N(2cos9-2,2sine),,

則PM=(-3,m-2),PN=(2cos6-4,2sine-2),

PM+PN=(2cos0-l,2sin0+m-4),

PM+PN|2=(2cos6(-7)2+(2sin6+機-4)2=m2-Sm+69+4［(m-4)sin6,-7cos6}

=(m-4)2+53+4j(〃z-4)2+49sin(，-<p),

令-4)2+49=t,sin(^-(p)=a,則f..7,-啜b1.

:］PM+PN\"=t2+4+4at,

令/(1)=r+4+4成=(/+2a)2+4-4/,A.7,一段W1,

在［7,+8)上單調(diào)遞增，

故當f=7時，/⑺取得最小值53+28a,

再令g(°)=53+28。，一掇W1,

顯然g(a)在［-1,1］上單調(diào)遞增，

故a=-l時，g(a)取得最小值53-28=25,

綜上，當"7,。=-1時，1PM+PNF取得最小值25.

故|PM+/W|的最小值為5.

故答案為：5.

例9.(2022?鹽城三模)已知A,B,C,。四點共面，BC=2,AB2+AC2=20,CD=3CA,貝的

最大值為.

【解析】解：以C為原點，以直線CB為x軸建立平面坐標系，

設3(2,0),D(x,y),CD=3CA,A(|,1).

AB2+AC2-20,

十一方黃2乎2上2孫

(x-3)2+y2=81,

.?.點。在以E(3,0),以廠=9為半徑的圓E上,

BD的最大距離為BE+r=10.

故答案為：10.

例10.(2022?大武口區(qū)校級期末)已知圓C:(x-3)2+(>-4)2=1,點4(-1,0),3(1,0),點P是圓上的動點,

則d=|PA『+1PB|2的最大值為,最小值為.

【解析】解：設尸點的坐標為(3+sin(z,4+cosa),

貝Id=\PA\"+|P8/=(4+sina)2+(4+cosa)2+(2+sina)2+(4+cosa)2=54+12sina+16cosa=54+20sin(6?+a)

.,.當sin(e+a)=l時,即12sintz+l6costz=20時，d取最大值74,

當sin(6+a)=-1時，即12sinct+l6cosc=-20,d取最小值34,

故答案為:74,34.

例11.(2022?大觀區(qū)校級期中)正方形ABCD與點P在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長為1,且

|PA|2+|PB|2=|PC|2,求|PD|的取值范圍.

【解析】解：以點A為坐標原點，他所在直線為X軸建立平面直角坐標系，如圖所示，

D--------------------iC

By

則A(0,0),8(1,0),C(l,l),0(0,1),

設點P(x,y),則由IPA『+1PBI2=|PC|2,

得(/+丁)+(x―1)2+丁=(x_1)2+(y_1)2,

整理得-+(y+l)2=2,

即點P的軌跡是以點M(0,-1)為圓心，72為半徑的圓,

圓心M到點D的距離為||=2,

所以1尸。1“加=2-&，\PD\max=2+^/2,

所以|PD|的取值范圍是[2-后，2+72].

例12.已知?C:(x-3)2+(y-4)2=l,點A(-1,O)，2(1,0)，點尸是圓上的動點，求d2+1尸8]的最

大值、最小值及對應的P點坐標.

【解析】解：設P點的坐標為(3+sina,4+cosa),

貝|Jd=|尸A『+1PB/=(4+sina)2+(4+cosa)2+(2+sina)2+(4+cosa)2=54+12sina+16cosa=54+20sin(6?+a)

.?.當sin(6+tz)=1時，即12sintz+l6costz=20時，〃取最大值74,

止匕時sine=3,cosa=—

55

24

尸點坐標

T

當sin(6+(z)=-1時，即12sintz+l6cos0=-20,d取最小值34,

止匕時sinx=-3,cosa=--,P點坐標(L,—).

5555

題型三：隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90。

例13.(2022春?湖北期末)已知a,b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c).(b-2c)=0,

貝l]|c|的最大值是()

A.A/2B.—

2

【確軍析】解：(。一右)?3—2°)=0,.?.(Q-c)?gb-c)=0,

設。4=Q,OB=b,OC=c,設Q5的中點為O,則a—c=C4,-b-c=CD,

2

/.CA.CD=0,

故。在以AD為直徑的圓M上，

OALOB,在圓M上，

.Ic|的最大值為圓M的直徑AD=yJOA2+OD2=—.

2

故選：B.

A

MC

ODB

例14.(2022春?龍鳳區(qū)校級期末)已知圓C:(x-l)2+(y-3)2=10和點M(5j),若圓。上存在兩點A,3使

得則實數(shù)r的取值范圍是()

A.[3,5]B.[2,4]C.[2,6]D.[1,5]

【解析】解：由題意圓C:(無-l)2+(y-3)2=10和點M(5,^),若圓C上存在兩點A,B,使得

可得|CM|”

二.(5-1)2+(7-3)2,,20,

.?,O5,

故選：D.

例15.(2022?荊州區(qū)校級期末)已知M,N是圓?！?+尸=4上兩點，點尸(1,2),且尸M.PN=0,貝

的最小值為()

A.A/5-1B.#C.痛-GD.灰-血

【解析】解：如圖所示：

設R(x,y)是線段MN的中點，則ORLMN,

PM.PN=0,PM±PN,

于是|刊?|」|腦”=|歡|,

2

在RTAO2W中，|ON|=2,|OR|=卜+y

\RN\=\RP\=7(x-l)2+(y-2)2,

由勾股定理得：

22=x2+y2+(x-l)2+(_y-2)2,

整理得(X—g)2+(y一l)2=j,

故R(x,y)的軌跡是以C(；,1)為圓心，廠=弓為半徑的圓,

故l0RU=l℃l+r=1+gT+g,

V4222

=2,4一專+^)2=,8.2厲AA

2=/5-/3,

故IMN|m,,=21NR2yl\ON\-\OR\mJ

例16.(2022?浙江期中)已知點A(l-私0),B(\+z/1,0)，右圓C:Y+y?—8x—8y+31=0上存在一*點P，

使得則實數(shù)m的最大值是()

A.4B.5C.6D.7

【解析】解：根據(jù)題意，圓。:爐+/一8%一8>+31=0,即(九—4)2+(y-4)2=1；

其圓心為(4,4),半徑r=l,

設AB的中點為M,

又由點A(l—九0),B(l+m,0),則M(l,0),\AB\=2\m\,

2

以AB為直徑的圓為(％-1)2+V=m,

若圓C:/+y2—8%—8y+3i=o上存在一點尸，使得如，依，則圓。與圓〃有公共點,

又由|MC|=J(l—4)2+(0—4)2=5,

即有|切-L,5且|加+1..5,

解可得：4麴jm|6,即-6轟弧-4或4張弧6,

即實數(shù)用的最大值是6；

故選：c.

例17.(2022?彭州市校級月考)設機eR,過定點A的動直線X+畋=0和過定點3的動直線

〃比-y-?i+3=0交于點尸(x,y),則|PA|+|的取值范圍是()

A.[75,2A/5]B.[2際,4A/5]C.[y/10,475]D.h/IU,,2后

【解析】解：由題意可知，動直線工+陽=0經(jīng)過定點A(0,0),

動直線mr-y-〃2+3=O即m(x-1)—y+3=0,經(jīng)過定點2(1,3),

.■動直線x+〃zy=0和動直線〃a-y-m+3=0始終垂直，P又是兩條直線的交點，

:.PA±PB,.-.|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.

222

由基本不等式可得|PA|2+|pB|2^|PA|+|PS|)2(1FAI+|PB|),

即1譚(|尸川+|尸3|)220,可得^/1^^4|+|尸3|2y/5.

故選：D.

例18.(2022?安徽校級月考)設〃zeA,過定點A的動直線x+〃沙+機=0和過定點3的動直線

〃zx-y—〃z+2=0交于點尸(x,y),則|上4|+|尸2|的取值范圍是()

A.[75,2A/5]B.[710,2A/5]C.[加,4百]D.[2q,4e]

【解析】解：由題意可知，動直線無+沖+%=。經(jīng)過定點A(0,-l),

動直線mr-y-%+2=0即m(x-l)-y+2=0,經(jīng)過點定點3(1,2),

.?動直線x+〃4+“7=0和動直線mx-y-m+2=0的斜率之積為-1,始終垂直，

尸又是兩條直線的交點，BPA『+|PBF=|ABF=10.

設NABP=6>,貝iJ|PA|=Msin。，|PB|=710cos6>,

由|PA|..O且IPBI..0,可得(9e[0,-]

2

PA\+\PB\=屈(sin6+cos0)=2亞sin(。+-),

4

0e[0,-J,,-.6>-[-,—],

244+4e

sin(6+?)e,1],

275sin(6>+-)e[710,2我,

4

故選：B.

例19.(2022?北京模擬)已知根cH，過定點A的動直線znx+y=0和過定點B的動直線x-沖-機+3=0交

于點P,則|尸川+若|尸2|的取值范圍是()

A.(?2MlB.(V10,A/30]C.[而,病)D.[疝2師

【解析】解：由題意可知，動直線M+y=O經(jīng)過定點A(0,0),

動直線x—rny—%+3=0CP—tn(^y+l)x+3=0,經(jīng)過點定點B(—3,—1),

動直線+y=0和過定點B的動直線x-7〃y-〃?+3=0滿足加xl+lx(-m)=0,兩直線始終垂直，

尸又是兩條直線的交點，.?.K4LPB,BPA|2+|PBF=|AB|2=1O.

設NABP=6>,貝IJ|PA|=JI^sinO,\PB\=y[iOcos0,

由|PA|..O且可得(9e[0,-]

2

則|PA\+百\PB\=y/idsine+瓜Mcos0=2而sin(6?+y),

C冗兀5冗I.//I1、r1-I

<9+—e[r—,—]，.-.sin(6>+—)e[-,1l],

33632

2Msin(<9+§e[A/10,2M],

故選：D.

例20.(2022春?大理市校級期末)已知圓0(彳-3)2+。-4)2=1和兩點4(-私0),B(m,0),(m>0).若

圓C上存在點P,使得NAPB=90。，則機的最小值為()

A.7B.6C.5D.4

【解析】解：NAPB=90。，.?.點P的軌跡是以至為直徑的圓O,

故點P是圓O與圓C的交點，

因此兩圓相切或相交,即|“-1|儂爐彳777+1,

解得4轟帆6.

m的最小值為4.

故選：D.

例21.(2022春?紅崗區(qū)校級期末)已知圓C:Y+y2-6龍—8y+24=0和兩點A(-”2,0),B(m,0)(m>0),

若圓C上存在點尸，使得APBP=0,則機的最大值與最小值之差為()

A.1B.2C.3D.4

【解析】解：圓C:(x-3)2+(y-4)2=1的圓心C(3,4),半徑廠=1,

設尸3,6)在圓C上，則AP=(a+%b),BP=(a-m,b),

由APBP=O,

可得(a+m)(a-ni)+b2=0,

^\im2=a2+b2=\OP^,

m的最大值即為|0尸|的最大值，等于|OC|+r=5+l=6.

m的最小值即為|0尸|的最小值,等于|OC|-r=5-1=4.

則m的最大值與最小值之差為6-4=2.

故選：B.

例22.(2022?蘭州一模)已知圓C:(x-石)2+。-1)2=1和兩點4-/,0),B(t,0)(1。)，若圓C上存在點

P,使得NAPB=90。，則當f取得最大值時，點P的坐標是()

【解析】解：圓C：(X-石)2+(丁一1)2=1,其圓心CG/L1),半徑為1,

「圓心C到0(0,0)的距離為2,

，圓C上的點到點。的距離的最大值為3.

再由/4依=90。，以鉆為直徑的圓和圓C有交點，可得==故有4,3,

2

.-.A(-3,0),8(3,0).

?圓心C(石，1),直線O尸的斜率左=@,

3

直線O尸的方程為y=^x

[昱].迪

聯(lián)立：)‘一3”解得：2.

(X->/3)2+(J-1)2=1y=|

故選：D.

例23.(2022?海淀區(qū)校級三模)過直線/:y=2x+a上的點作圓C:V+y2=i的切線，若在直線/上存在一

點使得過點M的圓C的切線MP,MQ(P,。為切點)滿足NPMQ=90。，則。的取值范圍是(

)

A.[-10,10]B.[-40,阿

C.(-co,-10][J[10,+oo)D.(-8,-ViojjtTio,+00)

【解析】解：圓C：/+y2=l,圓心為：（0,0）,半徑為1,

.?在直線/上存在一點使得過M的圓C的切線MP,MQ（P,。為切點）滿足/尸”。=90。,

在直線I上存在一點M,使得M到C（0,0）的距離等于V2,

只需C（0,0）到直線l:y=2x+a的距離小于或等于四，

故齡”收解得-同物業(yè)，

故選：B.

例24.（2022春?東陽市校級期中）如圖，四邊形AOCB中，OA±OC,CA±CB,AC=2,CB=?,

則OB的長度的取值范圍是—.

【解析】解：設NOG4=〃，^e（0,1）

顯然OB>BC=0,

/.OC=2msO,

OB2=OC2+CB2-2XOCXCB.cos（e+-）=4cos20+2-2叵x2cos6>.cos（6?+-）

22

=4+2（cos20+&sin20）

=4+2^3sin（26）+（p）（其中tan9=^-）,

,,4+2/=（括+1）2,

:.OB,,A/3+11

綜上03的長度的取值范圍是（&,A/3+1].

故答案為：（&,^+1].

例25.(2022春?淮安校級期中)若實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，點P(-l,0)在動直線方+勿+。=0上的射影

為M,點N坐標為(3,3),則線段長度的最小值是.

【解析】解：「實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，

:.2b=a+c即a—2Z?+c=0,

可得動直線ax+by+c=0恒過。(1,-2),

.?點尸(-1,0)在動直線依+與+c=0上的射影為M,

:.ZPMQ^9Q°,則Af在以尸。為直徑的圓上，

，此圓的圓心A坐標為(―，f)，即AQT)，

半徑廠」|/0|」>/4+4=后,

22

又N(3,3),.-JAN|=7(3-0)2+(3+1)2=5>A/2,則點N在圓外，

貝U|MN|*=5-0，

故答案為：5-叵.

題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補、數(shù)量積定值

例26.(2022?長治模擬)已知4,6是平面向量，。是單位向量，若非零向量°與e的夾角為工，向量b,

3

e滿足b2-6e.b+8=0,則|。-b|的最小值為.

【解析】解：b2-6b.e+8=0,

b~-6b.e+8e2=(6—2e)(6-4e)=0,

b的終點在以2e和4e的終點為直徑端點的圓上運動，設如=2e,OE=4e,則圓心為OC=3e的終點C,

半徑為1的圓上運動，如圖所示，

其中，OB=b,。的終點在射線。4上運動，顯然當CFLtM交圓于點3,交。4于點尸時，|a-b|=|BP|最

小，

此時|C用=|OC|sin工=3x3=速，\BF\=\CF=-.

3222

故答案為：--1.

2

/----------M~~——>l￡

ozAcJ

例27.(2022春?瑤海區(qū)月考)在平面四邊形ABCD中，連接對角線BD,已知CD=9,BD=16,NBDC=90。,

4

sinA=-,則對角線AC的最大值為()

A.27B.16C.10D.25

【解析】解：根據(jù)題意,建立如圖的坐標系,則0(0,0),C(9,0),8(0,16),

班?中點為G,則G(0,8),

設曲三點都在圓E上，其半徑為R,

在RtAADB中，由正弦定理可得，一=學=2氏=20,即R=10,

sinA4

5

即E3=10,BG=8,則EG=6,

則E的坐標為(-6,8),

故點A在以點E(-6,8)為圓心，10為半徑的圓上，

當且僅當C、E、A三點共線時，AC取得最大值，此時AC=10+EC=27；

例28.(2022秋?沈河區(qū)校級期中)設向量占，b,C滿足：|a|=|6|=l,a?b=——,<a—c,b—c>=60°,

2

貝l)|c|的最大值為()

A.2B.6C.屈D.1

【解析】解：由題意可得IaH。1=1,a?b=—jIxlxcos<<7,b>=――,

22

「.cosva,b>=—,:.<d,b>=120°.

2

<d—c,b—c>=60°,:\a-b\=—a)2=y/a2+Z?2—2a?b=,

設。4=a,OB=b,OC=C,則CA=a—c,CB=b—c,

AB=b-a,AB=3—a)2=3.

ZACB+ZAOB=60°+120°=180°,「.A、O、B、。四點共圓，

:.OC=2R,R為該圓的半徑.

AAOC中，由正弦定理可得2R=———=—-—=2,

sinZACOsin30°

當且僅當OC是NAQ5的平分線時，取等號，此時，2R=OC,

故選：A.

例29.(2022?閘北區(qū)一模)在平面內(nèi)，設A,3為兩個不同的定點，動點P滿足：P4PB=4左為實常數(shù))，

則動點尸的軌跡為()

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.不確定

【解析】解：設A(-c,0)，B(C,0)(C>0),P(x,y).

則PA=(-c-x,-y),PB=(c-x,-y).

，滿足：P4P2=r(k為實常數(shù))，

(-c-x,-y).(c-x,-j)=k2,

化為x2-c2+y2=k2,

即x2+y2=c2+k2

故動點尸的軌跡是原點為圓心，以為半徑的圓.

故選：A.

例30.(2022?和平區(qū)校級一模)如圖，梯形ABCD中，AB//CD,AB=2,CD=4,BC=AD=^5,E和

尸分別為與BC的中點，對于常數(shù)力，在梯形ABCD的四條邊上恰好有8個不同的點P,使得

尸E.P尸=2成立，則實數(shù)力的取值范圍是()

595

A.-—)B.C.

420449GT

【解析】解：以DC所在直線為x軸，DC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系

則梯形的高為^/^=T=2,A(-l,2),8(1,2),C(2,0),E>(-2,0),E(-1,1),F(1,1).

1)當P在DC上時，設P(x,0)(—2領k2),則尸E=(—]—x,1),PF=(1,1).

335

T>PE.PF=(---X)(--X)+1=X2--=2,

.?.當％=時，方程有一解，當一U時，丸有兩解；

444

(2)當尸在AB上時，設P(尤，2)(-1領k1),貝!!「￡1=(-1-;(:,-1),PF=(j,-1).

335

PE.PF={------x)(——x)+l=x2——=2,

224

.?.當彳=-?時，方程有一解，當-*<%,-工時，2有兩解；

444

(3)當P在AD上時，直線AD方程為y=2x+4,

33

設尸(x,2%+4)(-2＜%＜-1),則PE=(-/-x,-2x-3),PF=(--x,-2x-3).

3327

于是PE.PF=(---x)(--x)+(-2x-3)2=5X2+12X+—=A.

，當2=-2或」＜2＜2時，方程有一解，當一2＜九＜二時，方程有兩解；

2044204

(4)當P在CD上時，由對稱性可知當彳=-2或-工時，方程有一解，

2044

Q1

當-2＜彳＜」時，方程有兩解；

204

綜上，若使梯形上有8個不同的點P滿足PE-PF=X成立，

則力的取值范圍是(一3，—]n(--,--]n(-—,

4444204204204

故選：D.

例31.（2022?寧城縣一模）如圖，正方形ABCD的邊長為6,點E,尸分別在邊45,3c上，l.DE=2AE,

CF=2BF.如果對于常數(shù)；I,在正方形ABCD的四條邊上，有且只有6個不同的點P使得PE.P尸=4成

立，那么2的取值范圍是（）

A.(0,7)B.(4,7)C.(0,4)D.(-5,16)

【解析】解：以。C為無軸，以D4為y軸建立平面直角坐標系，如圖，則E(0,4),F(6,4).

(1)若P在CD上，設尸(x,0),O6.P￡=(-x,4)，PF=(6-x,4).

.?.PE.PJFMY-GJV+IG,■xe[0,6],7張pE.PF16.

.?.當X=7時有一解，當7〈兒,16時有兩解.

(2)若「在AD上，設P(0,y),0<y?6.PE=(0,4-y),PF=(6,4-y).

PE.PF=(4-yf=y2-Sy+16,0<y?6,:.0?PE.PF<16.

.?.當彳=0或4<2<16,有一解，當0<%,4時有兩解.

(3)若P在AB上，設P(x,6),0<%,6.PE=(-x,-2),PF=(6-x,-2).

PE.PF=^-6%+4,0〈蒼，6..'.-SiJPE.PF4.

.?.當2=—5或4=4時有一解，當—5<九<4時有兩解.

(4)若尸在3C上，設P(6,y),0<j<6,，尸E=(-6,4-y),PF=(0,4-y).

PE.PF=(4-y)2=y2-Sy+16,0<y<6,:.0?PE.PF<16.

.?.當2=0或4,,2<16時有一解，當0<4<4時有兩解.

綜上，.-.0<2<4.

故選：C.

例32.（2022?黃浦區(qū)校級三模）在邊長為8的正方形ABCD中，A1是3c的中點，N是ZM邊上的一點，

且|OV|=3|N4|,若對于常數(shù)根，在正方形ABCD的邊上恰有6個不同的點尸滿足：PM.PN=m,則實數(shù)

m的取值范圍是.

【解析】解：以AB所在直線為x軸，以4）所在直線為y軸建立平面直角坐標系如圖：

(1)若P在AB上，設尸(x,0),噂於8

PN=(-x,2),PM=(8-x,4)

PN.PM-8x+8,

-xe[0,8],-S^N.PM8,

二當根=-8時有一解，當-8〈見,8時有兩解;

(2)若「在AD上，設P(0,y),0<y,,8,

PN=(0,2-y),PM=(8,4-y)

PN-PM=(2-y)(4-y)=y2-6y+8

0<y?8,.-.-I,,PN.PM<24

.?.當〃z=-1或8</<24時有唯一解；當-1<m,,8時有兩解

(3)若尸在￡>C上，設P(x,8),0<%,8

PN=(一x,—6),PM=(8-x,-4),

PN.PM=x2-8x+24,

0<X,8,&NPM24,

.?.當〃z=8時有一解，當8<血,24時有兩解.

(4)若尸在3c上，設尸(8,y),0<y<8,

:.PN=(-8,2-y),PM=(0,4-y),

PN-PM=(2-y).(4-y)=/一6y+8

-0<y<8,-1,,PN.PM<24,

二.當加=—1或8<相<24時有一解，當-1<%,8時有兩解.

綜上，在正方形ABCD的四條邊上有且只有6個不同的點尸，使得=M成立，那么機的取值范圍是

(-1,8)

故答案為(-1,8)

題型五：隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值

例33.(2022?湖南?長沙縣第一中學模擬預測)古希臘三大數(shù)學家之一阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》

中指出：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)左(％>0且左N1的點的軌跡是圓，已知平面內(nèi)兩點A(右，0),

B(2小,0),直線依-y-無+2=0,曲線C上動點尸滿足,=，2,則曲線C與直線/相交于M、N兩點，

L

則的最短長度為()

A.非B.回C.275D.2回

【答案】C

222

【解析】設動點尸的坐標為(尤，y),則|尸2F=(尤-2w°+y2,|PA|=(X-A/5)+J

由?魯?=正得：|PB|2=2|PAFn(x-2如『+/=2

化簡后得：曲線C：x2+/=10,故尸點軌跡為圓，

又依-y-k+2=0可化為、-2=左(％-1)

直線/過定點A(1,2),

則圓心到直線的距離的最大值為|。4|,此時的長度最短.

所以腦VI的最短長度為2To=2.-5=2小.

故選：c.

例34.（2022?全國?高三專題練習）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷

山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》

一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知動點/與兩定點的距離之比

曙=〃X＞0"wl）,那么點/的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點/的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為

V+y2=i,其中，定點Q為x軸上一點，定點尸的坐標為（J,O）%=3,若點3（1,1）,則31Mpi+|MB|的最

小值為（）

4.曬B.VTTC.715D.V17

【答案】D

【解析】設Q（a,。），M（x,y）,所以眼@=4＞域+",由p'g,。］,

過衛(wèi)=0

整理可得/+/+三￡X=土口，又動點M的軌跡是/+丁=1,所以＜4

-48a2-l,

----=1

解得。=_3,所以。(-3,0),又|MQ|=3|MP|,

所以3|MP|+|M8|=|MQ|+|MB08Q|,

因為5(1,1),所以31Mpi+1MB|的最小值忸Q|=7(1+3)2+(1-0)2=后，

當M在位置或M2時等號成立.

故選：。

例35.（2022?全國?高三專題練習）阿波羅尼斯（公元前262年~公元前190年），古希臘人，與阿基米德、

歐幾里得一起被譽為古希臘三大數(shù)學家.阿波羅尼斯研究了眾多平面軌跡問題，其中阿波羅尼斯圓是他的

PA

論著中的一個著名問題：已知平面上兩點A,B,則所有滿足=4（Z>0,且；Iwl）的點尸的軌跡是一

PB

個圓.已知平面內(nèi)的兩個相異定點P,Q,動點又滿足|以卜21M2|,記M的軌跡為C,若與C無公共點

的直線/上存在點R,使得|M/?|的最小值為6,且最大值為10,則。的長度為（）

A.2"B.4兀C.8萬D.16萬

【答案】B

【解析】依題意，M的軌跡C是圓，設其圓心為點半徑為，，顯然直線/與圓C相離，令點。到直線/

的距離為d,

由圓的性質得：\[八，解得d=8,r=2,

[d+r=10

所以C的長度為4萬.

故選：B

例36.（2022?全國?高三專題練習）阿波羅尼斯（約公元前262790年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到

兩定點距離之比為常數(shù)左色>0且左片1）的點的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點A,