解三角形及其應(yīng)用（8題型+高分技法+限時提升練）解析版-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專練（新高考）

熱點(diǎn)3-3解三角形及其應(yīng)用

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

解三角形及其應(yīng)用是高考數(shù)學(xué)的高頻考，在選擇正弦定理和余弦定理及其變形依然是2025年高考

題、填空題及解答題中都有出現(xiàn).命題側(cè)重考查正的重點(diǎn)內(nèi)容.題型包括選擇題、填空題和解答題，

弦定理、余弦定理和面積公式的應(yīng)用，難度適中。難度多為中檔，除利用正、余弦定理解三角形外，

也與三角恒等變換、三角函數(shù)等知識結(jié)合、注重考還可能結(jié)合三角形的中線、高線、角平分線等性質(zhì)

查解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用.考查三角形的面積、周長、最值和范圍問題.

熱點(diǎn)題型解讀

題型1利用正、余弦定理解三角形題型5解三角形中的中線問題

題型2利用正、余弦定理判斷三角形形狀題型6解三角形中的角平分線問題

解三角形及其應(yīng)用

題型3與三角形面積有關(guān)的問題題型7測量距離、高度、角度問題

題型4平面多邊形中的解三角形問題題型8解三角形與三角函數(shù)綜合應(yīng)用

題型1利用正、余弦定理解三角形

:利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：

1、選定理.

(1)已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；

(2)已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊所對的角，利用正弦定理；

(3)已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；

(4)已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；

(5)已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊，利用余弦定理.

2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之

間的關(guān)系，則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡.

3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），

：并注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等.

1.（24-25高三上?陜西西安?一模）在VABC中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,若b=Lc=6,C=^~,

則a的值為（）

A.2B.3C.1D.4

【答案】C

[.2兀

【解析】由正弦定理得：三二七，則.nA.石

sinCsinBsm萬-—耳—--

又因為NC=/,所以,

所以cosB>0,cosB=Jl-[J=,

在VABC中由余弦定理得：b2=a2+c2-2ac-cosB.代入得:

1=a2+(^3)-2xax^/3x^-.解得：a=l或a=2,

又因為NC=q,貝ija<5故a=l,故選：C.

2.(24-25高三上?河南?期末)已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=l,c=2,B=2C,

則6=()

A.72B.73C.2D.76

【答案】D

【解析】B+A+C=n,:.A=it-3C,

ac21-.——,

由正弦定理得，即—7；=—7—彳，2sm3C=smC,

sinAsmCsinCsin(兀-3C)

2sin(C+2C)=2(sinCeos2C+cosCsin2C)=2^sinCcos2C+2sinCcos2C)=sinC,

0<A<7C,，sinCwO,

/.2(cos2C+2cos2。)=1,2(cos2C+cos2C+1)=1cos2C=--,

4

由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=5-4cos2C=6,:.b=y[6；故選：D.

.nsinAb

3.(24-25高三下?山東淄博?開學(xué)考試）VABC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為，且sin5+sinc+|=l'

則。為()

712兀5兀

B.C.D.

T~6

【答案】B

sinAb-r，目ab1

【解析】由—----；——+----=1可得；一+——=1，

sinB+sinCa+cb+ca+c

所以+a。+/+兒="+a。+歷+。2,所以〃之十/一二"，

所以所以cosC=L,因為0<C<7i,所以C=2.故選：B.

2ab223

4.(24-25高三上?貴州?月考)在VABC中,內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,8c,若

b

2V3sinAsinBsinC=3sin2B+3sin2C-sin2A，貝!j—=()

a

A.|B.且C.皂D.2

232

【答案】B

【解析】由題可得20bcsinA=3b2+3c2-a2,?-a2=3b2+3c2-2瓶csinA=b2+c2-2bccosA,

ObesinA-bccosA=b2+c2,&sinA-cosA="十，=—+—22,

becb

.?.2sin|^A-^>2,/.sin|^A-^=l,當(dāng)且僅當(dāng):=］取等號，

??c4?4兀兀?A2兀

?0<A<TI,??A—=—,??A=—,

623

si.n—兀

,bsinB手.故選：B.

所以B=C=~^,6

2兀

6sinAsin——

3

題型2利用正、余弦定理判斷三角形形狀

1、通過正弦定理和余弦定理，化邊為角(如a=2HsinA,a2+b2-c2=2^cosC^)?利用三角變換

得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷。此時注意一些常見的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關(guān)系，如

I

i

.71

sinA=sin50A=5,sin(A-B)=0oA=3；5111274=51112504=5或4+5=一等.

2

ah2A-c1—a1

2、利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如sinA=——,cosA==^~匕等，通過代數(shù)恒等變換，求；

2R2bc

出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.

I

3、注意無論是化邊還是化角，在化簡過程中出現(xiàn)公因式不要約掉，否則會有漏掉一種情況的可能.

i

1.（23-24高三下?河北秦皇島?三模）在VABC中，內(nèi)角A,3,C的對邊分別為。，6,c,且3=2C,6=任,

則（）

A.VABC為直角三角形B.VABC為銳角三角形

C.VABC為鈍角三角形D.VABC的形狀無法確定

【答案】A

【解析】由6=友°，可得51113=0$11171,

則sin2C=應(yīng)sin（兀-3C）=0sin3C,

sin2C=6sin2CcosC+A/2COS2C-sinC>

2cosC=2V2cos2C+V2（2cos2C-l）,

即4&cos?C—2cosc-0=0，

由B=2C>C,故C只能為銳角，可得cosC=Y2,

2

因為0<C<W，所以C=；,2=5.故選：A.

242

2.（24-25高三上?四川綿陽?月考）在VABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c,且acosB+〃cosA=b,

則VA3C一定是（）

A.等腰三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.直角三角形

【答案】A

【解析】acosB+bcosA=b,

由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sinB,則sin（A+B）=sinB,

又A+B+C=7t,可得sinC=sin3,

氏C為三角形的內(nèi)角，.1臺二。，

所以VABC一定是等腰三角形.故選：A.

a2+b2_sin（A+B）

3.（24-25高三上?江蘇揚(yáng)州?月考）在VABC中，角A,B,C分別為。，b,c三邊所對的角,

a2-b2sin（A-B）

則VABC的形狀是（）

A.等腰三角形但一定不是直角三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形但一定不是等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【答案】C

a2+b2sin（A+B）

【解析】由得,+/).sin(A-3)=(々2-Z?2^sin(A+B)且awZ7,

/.(^a2+b2y(sinAcosB-cosAsinB)=(6^-b1^(sinAcosB+cosAsinB),且awb,

/.(a?+62).(acos5-Z?cosA)=(〃-b1^(acosB+Z;cosA),

2x(+c2—b2b2+c2—a1y12\(a2+c2-b1b2+c2-a

.?.(〃2+/?)?a-----------------b---------------\=(a2-b)\a----------------+b--------------

(lac2bc)(lac2bc

化簡整理得：(/+/).(4一k)=(q2一"卜2,即(/+62-°2)(〃-62)=0,

a2=b2^cr+b2=c2,又"b,

??.VABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.故選：C.

4.（24-25高三上?福建南平?期中）在AABC中，內(nèi)角A,民C的對邊分別為c,已知向量

ir（A、r/ITrC、

根=[0,8$彳），“=[6,8$萬卜？=卜,＜：0$5）共線，則△ABC的形狀為（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形

7T

C.有一個內(nèi)角是7的直角三角形D.等腰直角三角形

6

【答案】A

【解析】因為向量a=1,cosT],w=（仇cos9]共線，

則acos0=bcos4,由正弦定理可得：sinAcos—=sin5cos4,

2222

則2sin&"c"=2sinOs&",

222222

因為A,5￡（0,TI）,則萬,,￡（0,71—rk.Acos-,sin-,cosO均不為0,

，可知sin二,

2222

_4口AB?AB

可r得sm彳nsmu，n則7=工，o即nA=8；

2222

同理由向量機(jī)二,cosg，P=[c，cos￡）共線可得：A=c；

綜上所述：A=8=C.

所以VABC的形狀為等邊三角形.故選：A

題型3與三角形面積有關(guān)的問題

1、常用的三角形面積公式：

在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB邊上的高分別記作4,hb,hc,

廠為內(nèi)切圓半徑，R為外接圓半徑，O為內(nèi)切圓心.

(1)S=—ah=—bh,=—ch(2)S=—acsinC=—Z>csinA=—acsinB

222222

(3)S=-(a+b+c)-r(4)S-

24R

2、與三角形面積有關(guān)問題的解題策略

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；

(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.

22

1.(24-25高三上?浙江寧波?期末)在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是。,b,c4c+b=4"sinC,

b=L則VABC的面積是()

A.—B.—C.■-D.1

842

【答案】B

【解析】因為4c2+4=4/7sinC,b=l,所以4c?+1=4〃sinC,

又_2訪cosC,BPc2=a2+1—2^cosC?

所以4(/+1_2acosC)+1=4asinC,

所以4/+5-8acosC=4asinC,

所以4/+5-(sinC+2cosC)=0,

因為A=16(sinC+2COSC)2-80>0,即(sinC+2cosC)2>5,

又sinC+2cosc=?sin(C+0)(其中tan(p=2),

所以(sinC+2cosc丫45,則(sinC+2cosC)2=5,

即sin2C+4sinCcosC+4cos2C=5,

又sir?C+cos2C=l,BP(2sinC-cosC)2=0,即2sinC=cosC,

sinC=——

5

又?！?0,兀)，所以sinC>0,解得<

r2逐'

cosC=-----

5

2_2、475

C=4+1--------CL

5,解得a=好,

所以

2

4r+l=—a

5

所以S=JabsinC=j.故選：B

ABC22254

2.（24-25高三上?貴州安順?模擬預(yù)測）已知VABC的內(nèi)角A3,C的對邊分別為a,6,c,且匝=1±￡2".

csinC

（1）求角A；

7T

(2)若C=：,c=4,求VA6C的面積.

4

【答案】⑴；⑵6+2有

【解析】（1）因為息=叵電4=1±空空，所以百sinA=l+cosA,

csinCsinC

即百sinA-cosA=2sin[A—6)=1,得到sinf

62

■V7A(r\\n>I4兀(兀5兀ILLt、i4兀兀以714口.71

又A?0,7i),貝"一^6一72，所以A—：=解得A二不

0\o0y663

/一、」/<、￡-4兀TT-兀ALLIT-*兀兀57c

(2)由(1)知A=z，又C=：,c=4,所以3=兀一彳一~,

343412

.71

4Asin—

又，=￡,所以。=——之=2網(wǎng),

.71

sinAsinCsm—

4

7171V21V26+岳

Xsin-=sin—+—=x—H---x=--------

124322224

所以SABC=；acsinB=]x2Wx4x?；"=6+2指.

3.（24-25高三上?浙江?期末）在VABC中，角A,3,C對應(yīng)的邊分別為a,8c,

sin2A—sin2B=sin2C—6sinBsinC.

⑴求角A；

（2）若852=述，a+b=5,求VA3c的面積.

3

【答案】（1）A=￡;⑵2后+百

62

【解析】（1）由sin2A-sin?B=sin2c-百sin3sinC及正弦定理，

可得〃2一/=c2-y/3bc,故后bc=c?+b2-a2，

由余弦定理，可得COSA=-+'-"2==@,

2bc2bc2

由于Ae(O,?r),故A=$,

6

兀1

(2)由(1)可知A=—,所以sinA=—

62

因為COSB=R1,所以sin8==

33

所以嗎=；=［，由a+b=5

sinBb2

所以。=3，b=2

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB="

所以SABC=；absinC=2點(diǎn);石

4.（24-25高三下?安徽?月考）在VABC中，角A,3,C的對邊分別為a,ac,2a-26cosC+c=0.

⑴求8；

（2）若。=3,6=7,。為8C邊上一點(diǎn)，且△AB￡＞的面積為更，證明：BD^-BC.

43

2兀

【答案】（1）3=3；（2）證明見解析.

【解析】（1）由2Q—2bcosC+c=2〃-2Z7---------------+c=0,貝！J〃+/一〃2+.。=。，

2ab

所以cos3="一+｝一”Be(o,嘰則8=".

lac23

(2)由/=a?+/-2accosB=c?+3c+9=49,可得c=5(負(fù)值舍),

mil01-15A/3而1DC.D5A/3

則SABc=5acsinBD=^p，而S居。n/BD-csmB=丁，

所以q產(chǎn)aBC

即=得證.

ABDBDBD

題型4平面多邊形中的解三角形問題

0?；?/p>

將復(fù)雜的多邊形分割成若干個三角形，通過逐一解決每個三角形的問題，求解整個多邊形的邊長和角

■度，有時還需結(jié)合三角恒等變換逐步.

1.（24-25高三上?山東淄博?期末）在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a2,b2,c?成等差數(shù)

（1）求證：VABC為等邊三角形；

（2）如圖，點(diǎn)。在邊8C的延長線上，且3c=2CD,AD=幣，求sin/54￡＞的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）返

14

【解析】（1）因為b2,°?成等差數(shù)列，則"=￡1±￡：

JT

又因為5=§,由余弦定理可得b2=a2^c2-2accosB,

7+X

即------=a2+c2—ac9解得a=c,

2

所以NABC為等邊三角形.

(2)設(shè)3C=2CD=2無＞0,則45=2%助=3x,

在AABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosZB,

即7=4爐+9%2—2x2xx3xxg,解得％=1,gpAB=2,BD=3,

aJ3

ADBD

由正弦定理可得…3XT_3V21.

sin/BsinZBAD

2.（24-25高三上?甘肅酒泉?月考）如圖，已知VABC的內(nèi)角A,昆C所對的邊分別是。,6,c,

49兀

sinBsinA=sin2A+sin2B-sin2C,且VABC的外接圓面積為不一.

⑴求邊C；

⑵若。=5,延長CB至使得COS/AMC=4,求8M.

7

【答案】（1）7；（2）5

【解析】（1）設(shè)VABC的外接圓半徑為R,

由題意兀代=學(xué)，解得R=遞.

33

由sinBsinAusidA+sin3B—sin2c和正弦定理，可得：ab=a2+b2—c2

又由余弦定理，可得cosC="=L

lab2

TT

因為OvCv兀，故C=§

由正弦定理，c=2RsinC=2x拽x且=7；

32

TT

(2)由(1)已得a=5,c=7,C=1,

則cosC」25+〃一49

22x5x/?

化簡得：fo2--24=0,解得6=8,(b=—3舍去).

C2I72_Q2

由余弦定理，可得cos/ABC=/上--1

2x5x77

4>/3

所以sin/ABC=

7

由cos/AMC=^^—，可得sin/AMC=2不

77

故sinZBAM=sin(ZABC-ZAMC)

4A/3A/2112a10幣

=sinZABCcosZAMC—cosZABCsinZAMC=-----x-----------x------=

777749

BMc

在dABM中，由正弦定理,

sinZBAMsinZAMB'

710幣

c-sinZBAM_x49

即得=二5

sinZAMB277

7

3.（24-25高三上?安徽亳州?期末）如圖，在平面四邊形ABC。中，AD±AC,ABLBC,AC平分NBCO.

B

---------------------

■jr

(1)^ZACD=~,CD=2,求BD;

o

⑵若BD=CD,求sin4CD.

【答案】⑴半；⑵半

jrjr

【解析】(1);AC平分N3CD,：.ZACB=ZACD=~,故N5CO=2ZACD=—,

63

VADLAC,AB±BCf

3

/.AC=CDcosZACD=5BC=ACcosZACB=-,

在/\BCD中，由余弦定理得BD=VSC2+CD--2BC-CDcosZBCD=—

2

(2)設(shè)/ACD=0(0＜，＜5),則/3CD=2夕

CD=BD=a,則AC=acos6,BC=acos?6,

在ABCD中，由余弦定理得cos20="+"8s=1cos2。，

2a?〃cos82

e.■cos29=2cos2〃一1,-cos26=2cos?6-1,

2

._A/6.a_幣

??cosuQ=—,sinu=—f

33

sin/BCD=sin20=2sin6cos0=.

3

4.（24-25高三上?浙江?月考）如圖，四邊形ABCZ）中，AB=1,CD=AD=2,BC=3,ZBAD+ZBCD=7i.

D

//\

，2c

⑴求44D；

（2）P為邊BC上一點(diǎn)，且△PCD的面積為由，求aAB尸的外接圓半徑.

【答案】（1）與；（2）立

34

【解析】(1)因為NBAD+/BCD=7r,所以cos—3Ao=—cos/BCD,

在△ABD中，由余弦定理得：BD-=AB2+AD2-2AB-ADcosABAD=5-4cosABAD,

在△BCD中，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2-IBC-CDcosZBCD=13+12cosZBAD,

兩式作差得：8+16cosZBAD=0,解得cos/BAD=-',

2

2兀

因為/BADe(0,兀)，所以/胡。=

(2)因為AB=LC￡)=AD=2,BC=3,/BAD+NBCD=7t

由⑴知必=5-4cos亨=7,可得BD=8,S.ZPCD=ZBCD=^,

則=；PC.CDsinZPCD=gPC='，所以尸C=2,

在△尸CD中，可得HD?=a>2+PC2—2C7>PCcosNPCD=4,所以PD=2,

+?-…nAB2+BD1-AD11+7-4_2

在△ABD中，XT1#cosZABD=-----------------------

2xABxBD2x1x77-77

BD?+BC2-CD27+9-4_2

在△及?中,可得cos/D8C=

2xBDxBC2'77'3一"

可得ZABD=NDBC,所以cosZABP=2cos2ZABD-1=-,貝ijsinZABP=—

77

5

所以A/?=AB2+BP?-2AB-APcosZABP=—,解得AP=

77

設(shè),AB尸的外接圓半徑為R,

2^/21

由正弦定理得2R=—1^=二%=￥，解得R=也,

sinZABP4,324

7

所以,A3P的外接圓半徑為五.

4

題型5解三角形中的中線問題

1、中線長定理：在AABC中，4。是邊BC上的中線，則ZB?+/。2=2啰。2+人。2)

2、向量法：標(biāo)2=((爐++2bccos4)

【點(diǎn)睛】適用于已知中線求面積(已知總的值也適用).

1.(24-25高三上?福建廈門?一模)在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosC=(J5b-c)cosA.

⑴求A;

(2)設(shè)。為邊AB的中點(diǎn)，若c=2,且sin/CZ)B=d叵，求或

10

【答案】(1)4=弓；(2)〃=叵或〃=巫

442

【解析】(1)在VABC中，由acosC=(^/5z?-c)cos4及正弦定理得5111AcosC-A/5sin3cosA+sinCcosA=0,

即sin(A+C)—2sin3cosA=0,即sin與—夜sinBcosA=0,

而5￡(0,兀)，即sin^wO,貝lJcosA=也，又AE(0,兀)，

2

所以A=：.

(2)依題意，ZCDB+ZCDA=TI,則sin/CD4=±叵，cos/CDA=叵或cos/CZM=-叵，

101010

當(dāng)cosNCD4=叵時，由NACD=兀一NCZM—/54C,

10

4B._.上「、一A/2_2A/5

,fvpsinN/ACrDn—sin(z_CL)A.+/BAC)-........x------1-------x-------,

1021025

3Vw

在ACD中，由正弦定理得，.藝..=-.,則-C=lx0器=4^，

sinZACDsmZCDA2154

亍

在VABC中，由余弦定理得/=從+C2一26CCOSA,

因此用J(述)”一2x2x￡lx也=叵,

V4424

吆麗口十?/“八_3M6M母—非

當(dāng)cosNCDA--------n;jfsin/ACD=-------x-------------x=—,

101021025

13M_

「宇華.J(述)”一2x2x述x"=①,

V52V2222

5

QI西卡

所以Q=------或〃=-V--W-?

42

A

a

Bc

2.(24-25高三上?湖北武漢?期末)在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,點(diǎn)。為線段AC的

中點(diǎn)，A,C(sinA-sinC)2=sin2(A+C)-sinAsinC.

(D求&

⑵若VABC的面積為石，b=岳,求中線8。的長.

【答案】(l)B=60；(2)畫

2

【解析】(1)因為A+3+C=JI,所以，sin2A-2sia4sinC+sin2C=sin2(TC-B)-sinAsinC.

又因為旦=—乙=工.

sinAsinBsinC

所以，a1—2ac-^-c2=b2—ac得〃=/+/一改，

所以，由余弦定理得COSB="-+L—/=旦=1,

2ac2ac2

又B為三角形內(nèi)角，

所以，8=60.

(2)因為VABC的面積為由，b=413,B=60°,

所以，!acsinB=石，所以℃=4,JLa2+c2=b2+ac=ll,

因為BD為VABC的中線，所以，BD=^BA+BC),

所以，[8￡)[2=；d+a2+2accosB)=；117+2x4x；1=m,

所以忸4=浮.

3.(24-25高三上?海南?？?期末)已知。，b,c分別為VA3C三個內(nèi)角A,B,C的對邊,

a1+3Z?2=3abcosC—3bccosA,a=6.

⑴求慶?的最大值；

(2)若VABC的面積為述,3為2C中點(diǎn)，求sin/ADC的值.

2

【答案】（1）12；（2）sinNADC=^

6

7.222

【解析】（1）由余弦定理cosA="0一a

2bc

因為儲+3b2—3bacosC—3Z?ccosA,

222

a+b-cioZ+C?2

即a?+3b2=3bax

2ab2bc

整理，得3/+3。2=2/,^b2+c2=—.

3

由于a=6,則/+0?=24.

Vb2+c2>2bc,.I仇:《12當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，等號成立

be的最大值為12

(2)由題知，2AD=AB+AC^CB=AB-AC

平方可得4AD2=A52+AC+2AB-AC，cS=AB+AC-2ABAC，

聯(lián)立得：AB2+AC2=23+1—J,S.BD=DC=3,

即+人2=2[A￡>2+9]=24聯(lián)立解出AD二道，

SMC=‘SABC=-V3x3sinZADC=^^,sinZADC=—.

2246

2cosB+cosC

4.(24-25高三上?山東濟(jì)南?期末)記VA3C的內(nèi)角A3,C的對邊分別為瓦c,已知一：

a2-cosA

(1)求A的值；

⑵若3cAe邊上的兩條中線AM,BN相交于點(diǎn)P,且2AM=&Tc,求"PN的正切值.

【答案】(l)g;(2)正

32

?e、，c2cosB+cosCsinC2cosB+cosC

【解析】(1)在VABC,因為一=「------,由正弦定理得：—-----，

a2-cosAsinA2—cosA

BP2sinC-cosAsinC=2sinAcosB+sinAcosG

BP2sinC=2sinAcosB+(sinAcosC+cosAsinC),

因為sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C),

所以2sinC=2sinAcosB+sinB,

而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以2sinAcos_B+2cosAsinB=2sinAcosB+sinB,整理得2cosAsinB=sinB,

因為VABC中，sinB>0,所以cosA=—,

2

又Ae(O,萬)，所以A=g；

(2)因為AM是邊BC的中線，所以AM=萬(AB+AC),

貝I]AM2AB?+AC?+21|cos

不妨設(shè)c=1,則AM=呼，所以,（孝）2=；（］?+〃+外,

b

即。2+〃—20=0,解得，6