立體幾何-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)易錯(cuò)題（新高考）

專題05立體幾何

考點(diǎn)01空間幾何體

1.（24-25高三上?河北唐山?期末）如圖，在三棱柱N5C-4耳。中，CC］，平面/Bq,AB=BC=CA=2,

cq=&,則三棱柱/8C-44G的體積為（）

A

A.苧B.V2C.272D.30

【答案】B

【分析】根據(jù)條件求出A/BG的面積，把求三棱錐C-/2C的體積轉(zhuǎn)化成求三棱錐C-48。的體積，再根

據(jù)嚏棱柱aBC-dqq=3匕棱雒q_?6c的關(guān)系進(jìn)行求解.

【詳解】???。。1平面/35

CClA.ACl,CClA.BCl,

?;AB=BC=CA=2,CQ=V2,

AQ=BCX=V4^2=V2,

.?.A/G8是等腰直角三角形，

■■-^CI=1^C1.5C1=1XV2XV2=1!

.,“k棱錐G-ZBC=棱錐C-Z8C1=gxCC/S.啊=；x后xl=#,

所以Q棱fe?C-4BiG=3喔棱鏈G-4BC=3X—=也，

故選：B.

易錯(cuò)分析：求幾何體的體積時(shí)，若幾何體是規(guī)則圖形可直接利用公式求解，若幾何體是不

規(guī)則圖形，可考慮用“割補(bǔ)法”求解.

2.（24-25高三上?北京順義?期末）某同學(xué)在勞動實(shí)踐課中，用四塊板材制作了一個(gè)簸箕（如圖1）,其底面

擋板是等腰梯形，后側(cè)擋板是矩形，左右兩側(cè)擋板為全等的直角三角形，后側(cè)擋板與底面擋板垂直.簸箕

的造型可視為一個(gè)多面體（如圖2）.若/8=24cm,CD=30cm,AE=\5cm,48與8之間的距離為

28cm,則該多面體的體積是（）

C.5460cm3D.5670cm3

【答案】C

【分析】將幾何體的體積轉(zhuǎn)化為四棱錐和三棱錐的體積后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)樗倪呅?8尸E為矩形，故而平面N3FEJ_平面N3CZ),

ABFEAABCD=AB,AEABFE,

故"E_L平面N8CD,

在平面/BCD中過A作4sl_L_DC,垂足為S,則/S_L/8,

同理可證NSJ■平面48匹￡,

而萬=28,^^=-xl5x-x28x30=2100Cm3,

1R

V4RFF=-x28x24xl5=3360cm3,

Cc—ADre,3

故幾何體的體積為5460cm3,

故選：C.

3.（24-25高三上?江蘇?階段練習(xí)）若在長方體N5CO-44G2中，23=3,8C==4.則四面體/班?

與四面體4G3。公共部分的體積為（）

【答案】C

【分析】先確定兩個(gè)四面體的公共部分，再利用錐體的體積公式求體積.

【詳解】如圖：

取/用與/田的交點(diǎn)為E,取AD中點(diǎn)G,連接4G,交NG于點(diǎn)尸,

則三棱錐斤G即為四面體N34G與四面體4c田。的公共部分.

11____3八7

因?yàn)橐亟小秞/BxBC]=-x3x71+16=^—.

AFAG11_22，—

又FC]=4C=5'所以S./BF=]S/BCJ所以S.BFQ=§S/BG=§X[=后，

過用作甲l/L8G于點(diǎn)M,

因?yàn)镹81,平面8CG4，平面8CC￡,所以

因?yàn)镹B,BGu平面所以用ML平面/BQ.

1x444后

所以片M為名到平面ABC,的距離，其值為

71+42"V17'-IT-

點(diǎn)E為/片的中點(diǎn)，所以點(diǎn)￡到平面N8G的距離為：：1、處=巫

21717

所以％BFC=」xgx3叵=2-

EM3173

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：幾何圖形的公共部分和體積計(jì)算：通過分析兩個(gè)幾何體公共部分的幾何位置，逐步構(gòu)

造關(guān)鍵點(diǎn)，利用三角形面積和錐體體積公式，最終得出公共部分的體積，此方法清晰有效，能充分展示邏

輯推理與代數(shù)運(yùn)算等解題技巧.

4.（24-25高二上?貴州遵義?階段練習(xí)）如圖，這是正四棱臺被截去一個(gè)三棱錐后所留下的幾何體，其中

AB=AA^4,4〃=2,則該幾何體的體積為（）

C.26而D.26V14

【答案】A

【分析】由正四棱臺的性質(zhì)，可求得正四棱臺的高，從而可得正四棱臺的體積.補(bǔ)全圖中幾何體可知截去的

三棱錐的底面為三角形4耳高為正四棱臺的高從而可得截去的三棱錐的體積.兩者做差即可得到

題目中幾何體的體積.

AB

因?yàn)?5=44=4,an=2,根據(jù)正四棱臺性質(zhì)，其高為

2

MO=AXE=y]AA^-AE=^AA；-（AO-AXM^={16-（272-可=5，

則該正四棱臺的體積為廠=上+S下+Js上S=g（4+16+j4xl6bV14=池外.

又由圖可知截去三棱錐底面積為',MG=2x2=2,

所以三棱錐體積為LSaBc4￡=」x2x?=R@,

3]33

即所求幾何體體積為生且-3但=生恒.

333

故選：A

5.（24-25高三上?吉林長春?期末）若圓臺上、下底的面積分別為兀，4TI,高為2,則圓臺的側(cè)面積為（）

A14n7兀r-3A/571

A.—nB.—C.3A/5兀D.--------

332

【答案】c

【分析】利用給定條件結(jié)合圓臺側(cè)面積公式求解即可.

【詳解】因?yàn)閳A臺上、下底的面積分別為兀，4兀，設(shè)上底半徑為彳，下底半徑為2,

所以說=兀，nr；=4n,解得4=1,々=2（負(fù)根舍去）,

設(shè)圓臺母線為/,由勾股定理得/=萬彳=石，且設(shè)圓臺側(cè)面積為S,

故5=屈（1+2）=36兀，故C正確.

故選：C

易錯(cuò)分析：空間幾何體的面積問題要注意區(qū)分表面積和側(cè)面積的區(qū)別.

6.（24-25高三上?重慶?期末）在正四棱臺/BCD-中，AXB{=2,AB=A,且正四棱臺存在內(nèi)切球,

則此正四棱臺外接球的表面積為（）

【答案】A

【分析】由內(nèi)切球切點(diǎn)的截面性質(zhì)，確定內(nèi)切圓的圓心與半徑，從而結(jié)合勾股定理得四棱臺的高度，再由

外接球幾何性質(zhì)建立關(guān)系得外接球的半徑，從而得所求.

【詳解】因?yàn)檎睦馀_內(nèi)切球存在時(shí)，內(nèi)切球大圓是圖中梯形〃LN的內(nèi)切圓，圓心為￡,

設(shè)上下底面的中心分別為a,a.

過E作EFLNL于F,連接EN,EL,

由圖可知。E=M=￡a，

則⑶=液+也=0囚+02￡=：（小+x（2+4）=3,

過N作NK1JL于K,Oa=NK=JjVZ?—Ki}=3?土3=2啦,

即四棱臺的高為2拒,

設(shè)外接球球心為。，設(shè)外接球的半徑為R,

則on=Q。+°°2={4。-4。；+1OA2-AO；

=也j+,_（2用=2后,

解得屋=當(dāng),

O

則外接球表面積為4成2=手

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)于正四棱臺的內(nèi)切球問題，關(guān)鍵是要通過截面法確定內(nèi)切圓的圓心與半徑，從而

轉(zhuǎn)換為幾何體的內(nèi)切球，由幾何性質(zhì)確定正四棱臺的高度，從而再根據(jù)外接球的性質(zhì)求解外接球半徑，即

可得所求。

7.（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，圓臺內(nèi)有一個(gè)表面積為1的球。，該球與圓臺的側(cè)面和底面均

相切，則該圓臺的表面積的可能取值為（）

【答案】A

【分析】設(shè)圓臺的下底面半徑為4,上底面半徑為弓，球。的半徑為尺,根據(jù)幾何體的特征可得笈=斗弓,

根據(jù)基本不等式可得邑=；,從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】不妨設(shè)圓臺的下底面半徑為外，上底面半徑為2,球。的半徑為太，

如圖，作出圓臺的軸截面4BCD,過點(diǎn)。作。尸1BC于點(diǎn)、F,

由題意知圓。與梯形ABCD的四條邊均相切，則。C=+。夕=2+6，

又DC=yjDF2+CF2=,4&+化_力,

1

故?R2+(4=4+2,化簡可得R=rxr2,

設(shè)圓臺與球的表面積分別為H，S?，

貝1之二可］+馬+伍［々）（外+々）］=廠；+&2+5（外＞々，故取不到等號）

S24兀氏22V］々2斗弓2

故3邑=3:.由3于:，:Tl，?4都不大3于7［i＞3:,故圓臺的表面積的可能取值為兀

222332222

故選：A.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決幾何體與球相切問題的基本邏輯是找空間關(guān)系或找一個(gè)特殊截面，將問題轉(zhuǎn)化為

平面問題進(jìn)行解決.求內(nèi)切球半徑的兩種方法：①等體積法，先將幾何體的內(nèi)切球球心與幾何體各個(gè)頂點(diǎn)

113V

用線段連接，運(yùn)用等體積法就有憶=14廠+三邑廠+…（岳石2,…為幾何體各表面的面積），于是就有，=

其中r為幾何體內(nèi)切球的半徑，修為幾何體的體積，S為幾何體的表面積；②平面化，通過找特殊截面（一

般為球的截面剛好與幾何體截面相切的截面），將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而通過求得某幾何圖形

的內(nèi)切圓半徑，求出原問題中內(nèi)切球的半徑.

8.（24-25高三上?廣東茂名?階段練習(xí)）已知圓臺GO?的上、下底面圓的半徑分別為1和3,母線長為6,且

該圓臺上、下底面圓周上的點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.24兀B.36兀C.48兀D.54兀

【答案】D

【分析】求出圓臺的高，球心在上、下底圓心的連線上，利用勾股定理建立等量關(guān)系，求出球心位置，即

可得到球的半徑，從而解出球的表面積.

【詳解】取圓臺的一條母線43,連接/Q、BO2,

過點(diǎn)A在平面/臺外。內(nèi)作么￡，8。2,垂足為點(diǎn)E，如圖：

由題意可知，四邊形為直角梯形，且BC）2=3,AB=6,

因?yàn)?0］//BO2,AE_LBO2,OXO2_LBO2,

所以四邊形力七。2。1為矩形，所以。2七="。1=1，則5￡=3。2-。2七=3-1=2,

所以/￡=yiAB--BE2=A/62-22=472，

設(shè)OOI=x,則Oa=4收-x,

因?yàn)閳A臺的上、下底面圓周上的點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,

故選：D.

易錯(cuò)分析：空間幾何體的外接球問題要注意先確定球心位置，然后根據(jù)截面圓半徑、球半

徑'球心距組成的直角三角形求解.

9.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）已知三棱錐S-/BC的側(cè)棱長相等，且所有頂點(diǎn)都在球的球面上，

其中M=2,N8=l,NC=2,/8/C=60°,則球的表面積為（）

A.――B.16TIC.3KD.4n

3

【答案】A

【分析】由三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，結(jié)合余弦定理可得8C的長，從而得

于是可得△/8C截球。所得的圓4的半徑「，由此能求出球。的半徑，從而能求出球。的表面積.

【詳解】

如圖，三棱錐S-4BC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，

二標(biāo)

\\\b/

s

vAB=1,AC=2,ABAC=60°,

由余弦定理得BC=yjAC2+AB2-2AC-AB-COS60°=^4+l-2x2xlx1=>/3,

AB2+BC2=AC2,則4B_L8C,

:.“BC截球。所得的圓Q的圓心Q為/C的中點(diǎn)，半徑r=g/C=1,

由于三棱錐S-Z8C的側(cè)棱長相等，所以Q,。,s共線，且SQL/C,

sox=6

設(shè)球的半徑為尺,由尺2=（力一區(qū)）?+/得：R=年.

???球0的表面積S=4nR2=—.

3

故選：A.

10.（24-25高三上?湖南株洲?期末）已知長方體的長，寬，高分別為。，43,連接其各面的中心，得到一個(gè)

八面體.已知該八面體的體積為8,則該長方體的表面積的最小值為.

【答案】80

【分析】由已知條件作出示意圖，可以把八面體分成兩個(gè)同底等高的四棱錐，并且得出四棱錐的底面積和

高與長方體的關(guān)系，，從而可求得仍=16,再由長方體表面積公式，利用基本不等式，即可求得長方體表面

積的最小值.

【詳解】

如上圖所示，

八面體分成兩個(gè)同底等高的四棱錐-。2。3。4。5和四棱錐Q-。2。3。4。5，

=

所以％-O2O3O4O5⑵-。2。3。4。5=5%=2、8=4,

因?yàn)樗睦忮FQ-。2。3。4。5的底面面積是長方體底面面積的一半，高是長方體高的一半，

113

所以5.。必。皿=§*（5仍）*5=4,化簡得：仍=16,

所以長方體的表面積為：

S=2（ab+36+3a）=2x[16+3（a+6）]=32+6（。+6）232+6x2瘋=32+12*而=80

當(dāng)且僅當(dāng)。=6=4時(shí)，取等號，所以長方體的表面積的最小值為80.

故答案為：80.

11.（24-25高三上?山東淄博?期末）己知三棱錐S-N8C的底面N3C是邊長為2的正三角形，點(diǎn)/在側(cè)面

SBC上的射影H是4SBC的垂心,三棱錐S-ABC的體積為Q，則三棱錐S-ABC的外接球半徑等于.

31

【答案】R

【分析】做輔助線，根據(jù)題意結(jié)合垂直關(guān)系可證8。，/6,同理可得/。，86,/2，。6,可知點(diǎn)6為4/8。

的垂心，即可知點(diǎn)G為△/SC的中心，根據(jù)體積可得PG=3,結(jié)合外接球的性質(zhì)列式求解即可.

【詳解】延長陽交8c于點(diǎn)。，連接

因?yàn)辄c(diǎn)〃是△S8C的垂心，則SDL5C,

又因?yàn)镹“_L平面5BC,5Cu平面5BC,則

且SDn//f=H,SO,/Xu平面1s40,可得8C_L平面￡4。，

由SWNOu平面S4D,可得8C_L&4,BC1AD,

且底面/8C是邊長為2的正三角形，則點(diǎn)。為5c的中點(diǎn)，

過點(diǎn)S作SGL平面N8C,垂足為點(diǎn)G,

且2Cu平面/8C,可得SG_L8C,

且/SnSG=S,45,SGu平面”G,可得8CL平面"G,

由/Gu平面514G,可得8c

同理可得AC1BG,AB±CG,可知點(diǎn)G為"C的垂心，

因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，可知點(diǎn)G為△ABC的中心，

則Ge/。，且/G=2/D=幽，

33

因?yàn)槿忮FS-42C的體積為:SGX；X2X6=VL可得SG=3,

可知三棱錐S-ABC的外接球的球心0wSG,設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的半徑為R,

貝1［尺2=+（3-滅）2,解得尺=

31o

31

所以外接球的半徑為3.

Io

31

故答案為：.

Io

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法

1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，把

空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；

2.正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；

3.球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對角線長；

4.利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置,

弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

考點(diǎn)02點(diǎn)線面的位置關(guān)系

1.（24-25高三上?天津?階段練習(xí)）已知〃?，/是兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，則尸的一

個(gè)充分條件是（）

K.m工I,mu（3,I工aB.mil,ac/3=l,mua

C.mlII,mLa,IL/3D.ILa,mlH,mlIp

【答案】D

【分析】對A,&與￡相交或平行；對B,a與6可能相交但不垂直；對C,可推出&//4；對D,可得

mla,結(jié)合加〃夕，得到答案.

【詳解】對于A,由則a與/?相交或平行，故A錯(cuò)誤；

對于B,由加_L/,aC/3=1,mua,則a與4可能相交但不垂直，故B錯(cuò)誤；

對于C,由加///,/，夕，則故C錯(cuò)誤；

對于D,由/_La,m//l,則加la,又加//力，則1_1〃，故D正確.

故選：D.

易錯(cuò)分析：利用空間中的平行、垂直問題時(shí)，一定要注意判定定理成立的前提條件.

2.（2025?云南昆明?模擬預(yù)測）設(shè)加，”是兩條不同的直線，名￡是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是

（）

A.若加///加〃力，則々〃月B,若則”?〃￡

C.若加J_〃,加_La,"_L/，則a_1_夕D.若a加///〃//￡,則〃?

【答案】C

【分析】利用空間中線線，面面的位置關(guān)系判斷即可.

【詳解】對于選項(xiàng)A：若mlla,ml1/3,當(dāng)機(jī)，〃都平行于a,/?的交線時(shí).滿足條件，此時(shí)兩個(gè)平面a,分相交.

故A錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)B：若機(jī)//%□//￡,則有可能加<=尸，故B錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)C：若加_1_”,加_La,則〃//々或〃ua,又因?yàn)椤?",如果"ua根據(jù)面面垂直的判定定理可得

；如果”//a,假設(shè)過〃作平面/與［相交于直線/,由"http://&,可得//〃,因?yàn)椤?，力，所以■?

而/ua,根據(jù)面面垂直判定定理即可得到a，/?,故C正確

對于選項(xiàng)D：若/，則機(jī)，〃可能平行或異面.故D錯(cuò)誤.

故選：C

易錯(cuò)分析：平行關(guān)系的辨析問題，容易忽略直線在平面內(nèi)這一特殊位置而致錯(cuò).

3.（24-25高三上?天津河北?期末）已知a,/?是兩個(gè)平面，I,〃?是兩條不同的直線，則下列說法正確的是

（）

A.若Z±?,則加〃/B.若a，0,則機(jī)_L/

C.若nj_La,I±m(xù),則/〃aD.若a〃尸，mLa,則加_L/?

【答案】D

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【詳解】對選項(xiàng)A,若"?//a,/JLa,則加故A錯(cuò)誤；

對選項(xiàng)B,若加//a,aljB,則羽//尸，mua,或小與a相交，故B錯(cuò)誤；

對于C,若機(jī)_La,I,貝!J///c或/ua,故C錯(cuò)誤；

對于D,若a〃/?,m_La,則加_L4，

即一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè)，D正確.

故選：D

4.（24-25高三上?天津北辰?期末）已知見方是空間中的兩個(gè)不同的平面，I,m,〃是三條不同的直線.下列

命題正確的是（）

A.若加ua,"ua,/_1_加1_1_"，貝!|/_LaB.若mua,nup,mIn,則a_L分

C.若IUm,mua,貝?。?//aD.若///加,掰//〃,/1c,貝!］〃_Lar

【答案】D

【分析】對于A：根據(jù)線面垂直的判定定理分析判斷；對于B：根據(jù)面面垂直的判定定理分析判斷；對于

C：根據(jù)線面平面的判定定理分析判斷；對于D：根據(jù)平行關(guān)系可知///〃，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)分析判斷.

【詳解】對于選項(xiàng)A：根據(jù)線面垂直的判定定理可知：需保證〃?，〃相交，故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B：根據(jù)面面垂直的判定定理可知：需推出線面垂直，現(xiàn)有條件不能得出，故B錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)C：根據(jù)線面平面的判定定理可知：需保證/<za,故C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D：/lm,mlIn,則///〃，

且/_La,所以〃J,a,故D正確；

故選：D.

5.（2024?山東?模擬預(yù)測）設(shè)1是空間中的一個(gè)平面，/,也〃是兩兩不重合的三條直線，則下列命題中，真

命題的是（）

A.若機(jī)uua,/_L加，/-L〃，貝!!/_!_a

B.若/_La,〃則加//a

C.若///旭，m_La,"_La,貝!]/_!_〃

D.若I"m,mlIn,IA_a,則〃_La

【答案】D

【分析】利用線面垂直判定定理可判斷A；結(jié)合線面垂直與線線垂直的性質(zhì)分析可判斷B；由線面垂直性質(zhì)

可判斷C、D.

【詳解】對于A,由muc,〃uc,機(jī),力，只有直線加與〃相交時(shí)，可得/La,故A錯(cuò)誤；

對于B,由加，知加//a或加utz,故B錯(cuò)誤；

對于C,由///私機(jī)_La,"_La,貝lj〃/力，故C錯(cuò)誤；

對于D,由可得又因?yàn)樾?/〃，所以"J.c,故D正確.

故選：D.

6.（24-25高三上?河北邢臺?階段練習(xí)）已知a,力是兩個(gè)互相平行的平面，I,加，“是不重合的三條直線,

且/_1&,"ZUa,77U^,則（）

A.Z±nB.mLnC.11InD.機(jī)〃〃

【答案】A

【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系的有關(guān)判定、性質(zhì)定理，可得正確結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閍〃尸，所以

又加ua,〃u￡,所以/_1,心，/!?,

m,n平行或異面.

故選：A

7.（24-25高三上?天津和平?期末）已知加,〃為兩條不同的直線，a,〃為兩個(gè)不同的平面，則下列說法

中正確的是（）

A.若加//a,〃ua,則加//〃B.若加_La,mlI/3,則a_L/?

C.若m_La,mLn,則〃//aD.若〃?//a,a11/3,則加〃力

【答案】B

【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.

【詳解】對于A：若加//a,〃ua,則機(jī)〃力或加與"異面，故A錯(cuò)誤；

對于B：在內(nèi)任取一點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)尸與直線機(jī)確定一個(gè)平面7,且￡cy=左，

由加〃尸，由線面平行的性質(zhì)定理，可得加//左，

因?yàn)??_La,所以左_Le,因?yàn)樽髐〃，所以a_L〃，故B正確；

對于C：若機(jī)_La且加_1_〃，則〃//a或〃在a內(nèi)，故C錯(cuò)誤；

對于D：若m//a,al1/3,則m〃夕或故D錯(cuò)誤.

故選：B.

8.（24-25高三上?山東?階段練習(xí)）己知見分為兩個(gè)不同的平面，/,加為兩條不同的直線，則加，夕的一個(gè)

充分不必要條件可以是（）

A.加與〃內(nèi)所有的直線都垂直B.a1/3，=mil

C.根與￡內(nèi)無數(shù)條直線垂直D.ILa,I上B,mla

【答案】D

【分析】A項(xiàng)由線面垂直定義可知；BC項(xiàng)在長方體中舉反例可知；D項(xiàng)由推證可得充分性，必要性顯然不

成立.

【詳解】A項(xiàng)，由直線與平面垂直的定義可知小與〃內(nèi)所有的直線都垂直是機(jī)，尸的充要條件，選項(xiàng)A錯(cuò);

B項(xiàng)，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，缺少條件加ua,

如圖長方體ABCD-/4GQ中，

設(shè)平面4名。。1為平面a,設(shè)平面440〃為平面/，直線為加，

則==/,滿足a_L〃，aP\/3=l,mH,

但加u〃，不與平面￡垂直，故不能推出機(jī)JL",

故條件“a，〃，aCp=l,加，/”也不是小，￡的充分不必要條件，選項(xiàng)B錯(cuò)；

D\G

c項(xiàng)，如圖長方體ABCD-4與G。中，

設(shè)平面4gGA為平面B，直線3c為加，

則直線加與平面力內(nèi)無數(shù)條與BC垂直的直線都垂直，但加〃力，不與平面廣垂直，

故由機(jī)與/內(nèi)無數(shù)條直線垂直不能推出加，/，所以不是機(jī)，尸的充分不必要條件，選項(xiàng)c錯(cuò);

D項(xiàng)，由/_La,/1■￡,得fz〃?，又因?yàn)榧觢a,所以加_L〃；

反之，由加，方推不出/_La,/J-Q,加la,

所以/La,機(jī)La是“，尸的一個(gè)充分不必要條件，選項(xiàng)D正確.

故選：D.

9.（24-25高三上?河北張家口?期末）已知a是一個(gè)平面，6是兩條不同的直線，bcza,p:a1a,q:alb,

則。是夕的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由線面垂直的性質(zhì)定理及空間中直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合充分條件與必要條件定義判定即可

得.

【詳解】若a_La,由bua,則"_L^；

若之則。與&可能垂直、可能相交也可能平行，還有可能au平面a；

故。是4的充分不必要條件.

故選：A.

10.（24-25高三上?天津河西?期末）設(shè)機(jī)，〃是兩條不同的直線，/夕是兩個(gè)不同的平面，則下列說法中正確

的是（）

A.若"2//a,機(jī)///，則a//〃

B.若僅_La,m±n,則〃_La

C.若al_況加_La,則加//月

D.若7〃_La,比///，則a_L/?

【答案】D

【分析】根據(jù)各項(xiàng)給定的線面、面面的位置關(guān)系，結(jié)合平面的的基本性質(zhì)及空間想象判斷正誤即可.

【詳解】A：若加///加//〃，則"、/可能平行或相交，故A錯(cuò)；

B：若"2_La,，〃_L〃，則"〃a或"ua,故B錯(cuò)；

C：則"z//6或加u〃，故C錯(cuò)；

D：若比加//4，則存在直線"u萬，使得m//r?,

又加_La,所以〃_La,所以aJ■4.故D對.

故選：D

11.（2025?上海?模擬預(yù)測）如圖，/BCD-4月GA是正四棱臺，則下列各組直線中屬于異面直線的是

（）.

A.和CQ；B.和C￡；C.2〃和耳，D.4。和A8.

【答案】D

【分析】根據(jù)棱臺的性質(zhì)及直線與直線的位置關(guān)系即可判斷.

【詳解】因?yàn)?8C。-44GA是正四棱臺，所以/8//44//G2,故A錯(cuò)誤，

側(cè)棱延長交于一點(diǎn)，所以44與C。相交，故B錯(cuò)誤，

同理84與。，也相交，所以3,綜9,0四點(diǎn)共面，所以8"與耳。相交，故C錯(cuò)誤，

4。與48是異面直線，故D正確.

故選：D

12.（2025高三?全國?專題練習(xí)）在正方體/BCD-4瓦G2中，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

C

A./4與2c異面B.B{D±4i

C.平面NC，//平面48GD.平面與RC

【答案】D

【分析】根據(jù)異面直線的性質(zhì)即可求解A,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷B,根據(jù)線線平行可證明線面平行判

斷D,根據(jù)面面平行的判定求解C.

【詳解】由于而2c與。G相交，結(jié)合正方體的性質(zhì)易知44與2c異面，所以A正確；

因?yàn)?。。，平面AxBxcxDx,4。U平面4月GA,所以。2_L4。，

又在正方體中易知14G,BRnDtD=D,,

BR,DQu平面4DD1,所以4G，平面4DD1,

又"Du平面BQ。，所以所以B正確；

因?yàn)?G///C，/Cu平面/c，，4。/平面4CD1，所以/?//平面/c。，

又BC\UAD\,/"u平面NCR,8^/平面AC%,所以8C"/平面NCR,

因?yàn)?G，8Gu平面42C1,

所以平面/CD"/平面所以C正確；

因?yàn)?8//2C,，。＜=平面。啰。，43,平面，80,

所以48//平面。0C，所以D錯(cuò)誤.故選D.

故選:D

考點(diǎn)03空間角

1.(24-25高三上?甘肅白銀?期末)若-為正方體，則異面直線8G與C。所成角的大小為

()

A.-B.-C.-D.2

3428

【答案】A

【分析】由題意作圖，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，利用異面直線夾角的定義，可得答案.

【詳解】連接/，，AC,如下圖:

易知所以/4DC為異面直線與C0所成的角（或其補(bǔ)角）,

冗

易知△/C〃為等邊三角形，所以442c=§.

故選：A.

易錯(cuò)分析：求異面直線所成角的方法一般有兩種：一是幾何法，即平移作角、通過解三角

形求解；二是向量法，即通過空間向量進(jìn)行求解，無論何種方法都要注意異面直線所成角的范

圍為心.

2.（23-24高三上?江蘇南京?期中）己知矩形中，N5=1,8C=板,E是邊5c的中點(diǎn)./￡和2。交于

點(diǎn)M,將沿NE折起，在翻折過程中當(dāng)43與垂直時(shí)，異面直線胡和CO所成角的余弦值為

（）

,1152

A.-B.-C.—D.一

64123

【答案】D

【分析】證明三角形相似得到/ELM）,進(jìn)而證明出線面垂直，面面垂直，作出輔助線，得到NB'/B或其

補(bǔ)角即為異面直線夕/和CD所成角，結(jié)合余弦定理求出答案

【詳解】如圖1,在矩形48co中，N8=1,5C=后,￡■是邊8C的中點(diǎn)，

,,V2,,BEAB

故B￡=J，故七=不，

2ABAD

又/BAD=NABE=90。,故"BE?ADAB,所以NB4E=N4DB,

則NBAE+ZABD=NADB+NABD=90°>故ZE_LMD.

圖①圖②

如圖2,將沿4&折起，點(diǎn)3的對應(yīng)點(diǎn)為夕，在翻折過程中，當(dāng)工"與"D垂直時(shí)，

因?yàn)?Ec/"=A,AE,u平面ABE,所以MD_L平面AB'E,

因?yàn)?Du平面4ECD,所以平面4B，E_L平面NECD,

因?yàn)锽'M±AE,B'Mu平面AB'E,平面AB'EPl平面AECD=AE,

所以B'M_L平面NEC。，

連接8Z，因?yàn)?8//。，

所以ZB'AB或其補(bǔ)角即為異面直線8N和C。所成角，

11A

因?yàn)橐籄B-BE=—AE-BM,所以=火，

223

故B'M=g,則BB'=yjBM。+B'M?=坐,又AB'=AB=1,

故cos/B,AB='+34-8郎=1+=2,即所求角的余弦值為-,

2AB-AB'233

故選：D.

3.（24-25高三上?吉林?期末）正三棱臺/8C-DEF中，AB=2AD=2DE,G,〃分別為OE的中點(diǎn),

則異面直線G〃，B尸所成角的余弦值為（）

【答案】C

【分析】先做ET//G",得出/TBE=m，再得出昉=6,進(jìn)而應(yīng)用空間向量的線性表示及數(shù)量積公式

計(jì)算，最后應(yīng)用異面直線所成角的向量法求解.

【詳解】

設(shè)AB=2AD=2DE=2,過點(diǎn)E做ET〃G8,7是G3中點(diǎn),

因?yàn)镚,"分別為48,的中點(diǎn)，所以所以￡7^/8,

因?yàn)锽T=g,BE=l,所以GH=ET=、U=也,

2V42

7T

所以/以￡=],因?yàn)檎馀_N3C-DEF中，三個(gè)側(cè)面是全等的等腰梯形，

2兀

所以NBEV=亍，BF2=l+l-2xlxlxcosZBEF=3,BF=^3

所以瓦?麗=-麗?麗=-IxlxcosNBEF=—,BE-BG=MxcosZGBE=~,

22

EFBG=-BCBG=lxlxcosZABC=-

22

又因?yàn)辂?花=而-的=而_:數(shù)，BF=BE+EF，

2

所以曲?麗=（屜+而）＜礪數(shù)）=屁2_3前,屁+屁,而數(shù),而=]_；+g_；=l,

設(shè)異面直線G〃，B尸所成角為e

M.研

12

所以cos。1曲,互斗

故選：C.

4.（2024?四川綿陽一模）三棱柱N8C-44G，底面邊長和側(cè)棱長都相等.ZBAA,=ZCAAt=60°,則異面

直線/月與3G所成角的余弦值為（）

A.eB.yC.—D.—

2236

【答案】D

【分析】由題意設(shè)48=a,AC=b,AAl=3同=|^|=|c|=1,a,b-b,c-c,a=60°,ABX-a+c,BCl=-a+b+c,

由數(shù)量積的運(yùn)算律、模的運(yùn)算公式以及向量夾角的余弦的關(guān)系即可運(yùn)算求解.

【詳解】

￡

設(shè)AB=a,AC=b,AAt=3,同=問=同=1,

由題意扇彼=尻3=，而=60°,ABt-a+c,BCX=-a+b+c,

|葩卜7a*2+c2+2a-c=Vl+l+2-llcos60°=,

西卜＞Ja2+b2+c2-2a-b-2a-c+2b-c=&,

22

yCAB}-~BCx={a+c\(-a+b+c=b-a+b-c+c-a=-+-+1-1=1,

22

設(shè)異面直線/月與3G所成角為0,貝Ijcosd=cos

V3-V2

故選：D.

5.（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）在三棱錐尸-/8C中，平面P/8_L平面NBC,AP48是邊長為2省的

等邊三角形，△NBC是直角三角形，且/C=8C,則以與8c所成角的余弦值為（）

41V14

.V

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得上4與8c所成角的余弦值.

【詳解】設(shè)。是N8的中點(diǎn)，連接。尸,。。，則OP

由于平面平面4BC且交線為N3,OPu平面尸48,

所以。尸_L平面45C,由于OCu平面45C,所以。P_L。。,

由于△ZBC是直角三角形，^AC=BC,

所以O(shè)C_L/B,且0c=5

由此以。為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

尸（0,0,3）,0,0）,川-6,0,0）,C（0,6,0）,

A4=(V3,0,-3),5C=(V3,A/3,0),

PA-BC3y/2

則PA與BC所成角的余弦值為

HR273x76-4

故選：A

6.（24-25高三上?四川宜賓?階段練習(xí)）在平行六面體力5CQ-45c中，

7T

/DAB=/A,AB=/A、AD=小=3,AB=AD=2,則ZQ與平面48CZ）所成角的正弦值為（）

AR

V6V22rV22nV6

11112233

【答案】B

【分析】證明而是平面N8CD的法向量后，可得直線NG與平面/8C。所成角的正弦值即為苑與而所

成角的余弦值，借助空間向量夾角公式計(jì)算即可得.

連接/08。/(7門助=0,。為8。的中點(diǎn),

AB-AD=2x2xcos—=2x2x—=2,

32

AB-AA.=2x3xcos—=2x3x—=3,

132

AD-AA,=2x3xcos—=2x3x—=3,

132

AC^AC+CC^AC+AA^AB+AD+AA^

2AB-AD+2AB-AAX+2AD-AAt

=74+4+9+4+6+6=V33：

AO=Ad-AA.=-AB+-AD-AA,,

11221

又在.而=方.［而+：而_而）,可+!■荏.而一方〃

=2+1—3=0,

1―?1―?

又ADAQ=AD,-AB+-AD-+-AB-AD-AD-AA.

2221

=2+1—3=0,

故4O_L45,4。：。

又AD、平面/8C。，且=

故4。，平面45C。，即好是平面/BCD的法向量,

ACAO={AB+H5+AA^

ei河w

=；|西2+存.近-；刀.怒+；|近『-；筋.布；-|布；

=2+2—3+2—9=—6

=^AB^+^AD\+^-AB.AD-AB.AAx-AD.AAx

=71+1+9+1-3-3=V6

設(shè)g與平面ABCD所成角為e

Afi-AQ642V22

所以同同一而酒一萬一F

故選：B.

m-ri一一

易錯(cuò)分析：利用空間向量求線面角的公式是sin9=尸而，也〃是異面直線的方向向量，不

網(wǎng)W

要誤認(rèn)為公式求出的是余弦值.

7.（24-25高三上?云南昆明?期中）在正方體/BCD-44G2中，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.孫，4。B.與2。所成角為方

c.40,平面助GD.與平面/CG所成角為1

【答案】D

【分析】設(shè)正方體N2CD-4瓦G2的棱長為1，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為X、

了、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為1,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、所在直

線分別為X、7、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(1,0,0)、3(1,1,0)、C(0,1,0),￡>(0,0,0),4(1,0,1)、.(1,1,1)、G(0,1,1)、。(0,0,1),

對于A選項(xiàng)，疝=(一1,0,1),4C=(-1,1,-1),

貝?。萜?蘋=1+0-1=0,所以，ADxYAf,A對;

AD、DB-i_i

則cosAD^DB

對于B選項(xiàng),麗=。,1,0）,HRV2x72-2

所以，與2。所成角的大小為1jr,B對;

對于C選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為而=（無”％zj,DG=（0,1,1）,

m?DB=x,+y,=0、

則一一，取乂=一1,貝U成=z（1,一1,1）,

m-DCt=乂+Z[=0

貝I]西?云=一1+0+1=0,所以，AD.Lm,

又因?yàn)椤?仁平面跳又；，所以，〃平面8DC，C對:

對于D選項(xiàng)，設(shè)平面/CG的法向量為五=（%，%，z?）,西=（0,0,1）,G4=（l,-l,0）,

HCC=z=0一/、

貝匹一.9，取％2=1，則乃=（14，0），

n-CA=x2-y2=0

一、AD,n

所以，蟲/-叫ryr"”阿Xri1

所以，與平面/CG所成角為為J,D錯(cuò).

O

故選：D.

8.（2024?河南?模擬預(yù)測）為體現(xiàn)市民參與城市建設(shè)、共建共享公園城市的熱情，同時(shí)搭建城市共建共享平

臺，彰顯城市的發(fā)展溫度，某市在中心公園開放長椅贈送點(diǎn)位，接受市民贈送的休閑長椅