銳角三角函數(shù)綜合題拓展訓(xùn)練（10考點(diǎn)65題）原卷版-2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

銳角三角函數(shù)綜合題拓展訓(xùn)練（10考點(diǎn)65題）

目錄與鏈接

考點(diǎn)一、利用三角函數(shù)求最值....................................................2

考點(diǎn)二、一次函數(shù)與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題..........................................14

考點(diǎn)三、二次函數(shù)與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題..........................................26

考點(diǎn)四、反比例函數(shù)與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題........................................56

考點(diǎn)五、三角形與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題............................................69

考點(diǎn)六、四邊形與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題............................................86

考點(diǎn)七、圓與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題..............................................105

考點(diǎn)八、相似三角形與三角函數(shù)的綜合..........................................116

考點(diǎn)九、網(wǎng)格圖背景下的三角函數(shù)應(yīng)用..........................................136

考點(diǎn)十、構(gòu)造直角三角形求值..................................................144

考點(diǎn)一、利用三角函數(shù)求最值

I.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4（6,0）、40,8）,點(diǎn)C在y軸正半軸上，點(diǎn)。在x軸正半軸上，且

CD=6,以CO為直徑在第一象限作半圓，交線段N3于E、F,則線段E尸的最大值為.

2.如圖，在平行四邊形4BCD中，NC與AD交于點(diǎn)。，ZOAB=45°,ZABO=60°,BD=8.點(diǎn)、P仄B

點(diǎn)出發(fā)沿著2。方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)。停止運(yùn)動(dòng).連接的，點(diǎn)8關(guān)于直線相的對(duì)稱點(diǎn)為。.當(dāng)點(diǎn)0落在/C

上時(shí)，則。2=,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)。到直線8。的距離的最大值為.

3.如圖，在ZUBC中，已知48=/C,/8/C=45。，。為直線8c邊上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)/逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)45。得到/E,連接8E,若3。=2,則班的最小值為

3

4.如圖，sinNNO6=5,點(diǎn)尸在射線08上，且0P=5,點(diǎn)。是射線CM上一動(dòng)點(diǎn).將/。沿折疊,

點(diǎn)。落在平面內(nèi)點(diǎn)C處.點(diǎn)。在射線。4上，且00=2.5,則8的最小值為.

B0

P

5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/、2的坐標(biāo)分別440)、8(0,2).以N8為斜邊在右上方作RtA/BC.設(shè)

點(diǎn)C坐標(biāo)為(X/),則x+2〉的最大值為.

6.如圖，△ABC中，4B=/C=5,3C=8,。為2c中點(diǎn)，以3為圓心，3。長(zhǎng)為半徑作。8,交4B與點(diǎn)

E.M為。8上一點(diǎn)，連接將繞/點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)N2/C的度數(shù)，得線段4V、連接。/、BN.

備用圖

(1)求證：AABN咨AACM

(2)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)。重合時(shí)，求證：4V與08相切；

(3)A^CM面積的最大值為.

7.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題：如何將物品搬過(guò)直角過(guò)道?

情境：如圖1是一直角過(guò)道示意圖,0、尸為直角頂點(diǎn)，過(guò)道寬度都是1.2m.矩形是某物品經(jīng)過(guò)該

過(guò)道時(shí)的俯視圖，寬48為0.8m.

圖1圖2圖3

步驟動(dòng)作目標(biāo)

1靠邊將如圖1中矩形Z3CD的一邊4。靠在S。上

2推移矩形ABC。沿SO方向推移一定距離，使點(diǎn)。在邊AD上

3旋轉(zhuǎn)如圖2,將矩形A8CD繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90°

4推移將矩形ABCD沿07方向繼續(xù)推移

操作:

探究:

(1)如圖2,已知3c=1.6m,<9Z)=0.6m.小明求得OC=lm后，說(shuō)：“OC<1.2m,該物品能順利通過(guò)直角

過(guò)道”.你贊同小明的結(jié)論嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

3

(2)如圖3,物品轉(zhuǎn)彎時(shí)被卡住(C、8分別在墻面PQ與PR上)，若sin/C8P=w，求。。的長(zhǎng).

(3)請(qǐng)直接寫出過(guò)道可以通過(guò)的物品最大長(zhǎng)度，即求8c的最大值__________.(結(jié)果保留根號(hào))

考點(diǎn)二、一次函數(shù)與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線y=gx-3分別交于x軸、y軸于/、2兩點(diǎn)，一次函數(shù)了=履+6

的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)2和點(diǎn)C(4,l),與x軸交于點(diǎn)D

(1)求一次函數(shù)了=h+6的解析式及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)求證：NOAB=NCAD；

(3)如果點(diǎn)P在射線AB上，且與A/DC相似，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖)，一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像相交于點(diǎn)4(-1,3)和8(3,0),點(diǎn)

>0)是該反比例函數(shù)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接/C,與y軸的正半軸交于點(diǎn)。.

?J

------------1--------------

(1)求一次函數(shù)解析式及△NOB的面積；

DC3

(2)當(dāng)K=7時(shí)，求點(diǎn)。到x軸的距離；

AD2

(3)當(dāng)。。與x軸夾角與/。48相等時(shí)，求a的值.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線歹=6+2(左<0)交x軸于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)8.

(1)求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)如圖1,點(diǎn)A在第一象限，連接48、AC,44c8=90。，ZABC=60。,若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為八點(diǎn)A的橫

坐標(biāo)為d,求d與/之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出/的取值范圍)；

⑶如圖2,在(2)的條件下，在歹軸上取點(diǎn)尸(0,7),連接CR點(diǎn)￡為N8的中點(diǎn)，在y軸上存在一點(diǎn)G,

若NAGE=NCFO,且/G/E+/F3C=180°,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/(2,0)和點(diǎn)3(-1,3),點(diǎn)。(1,-1).

(1)求直線5。的表達(dá)式和線段N8的長(zhǎng)度；

(2)連接線段2。、AD,求tan/48D的值；

(3)設(shè)線段2。與x軸交于點(diǎn)P,如果點(diǎn)C在x軸上，且△48C與“BP相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

考點(diǎn)三、二次函數(shù)與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題

12.如圖，拋物線丁="2+樂(lè)+°(4<0)經(jīng)過(guò)，(-1,0),5(3,-4)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式(用含。的式子表示)；

(2)連接AB,BC,若tanN48C=；,求。的值.

13.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y^x2+bx(6是常數(shù))經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),點(diǎn)/、8均在

拋物線上，橫坐標(biāo)分別為3-加，過(guò)點(diǎn)/作直線軸，過(guò)點(diǎn)B作直線軸，兩條直線相交于

點(diǎn)C,連結(jié)43、BC、AC.

(1)求拋物線y=/+云的解析式；

⑵當(dāng)機(jī)=-2時(shí)，求tan/8/C的值；

(3)設(shè)點(diǎn)/的縱坐標(biāo)為必，點(diǎn)2的縱坐標(biāo)為％,當(dāng)弘一y2<o時(shí)，求加的取值范圍；

(4)當(dāng)△4BC的邊與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)P在直線NC下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作尸￡||x軸，交直線NC于點(diǎn)￡,作刊7〃y軸.交直線/C于點(diǎn)尸，求

EF的最大值；

②若ZPCB=3/0CB,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

15.如圖，已知拋物線了=/?2+"x+p與y=d+6x+5關(guān)于了軸對(duì)稱，與了軸交于點(diǎn)與x軸交于點(diǎn)A

和5.

^y^mx2+nx+p的解析式一，試猜想出與一般形式拋物線y=ax2+法+c關(guān)于"軸對(duì)稱的二次函數(shù)解析式

為一

(2)A,8的中點(diǎn)是點(diǎn)C,則sin/CW=_.

(3)如果過(guò)點(diǎn)M的一條直線與y=/wx2+〃x+0圖象相交于另一點(diǎn)N(a，6),a,。滿足/-。+加=。，

16.如圖，拋物線)=/+云+<:交x軸于點(diǎn)/(-3,0),點(diǎn)8(1,0)交丁軸于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，連接NC,8C,點(diǎn)尸為線段NC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸軸交/C于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。

3

作〃x軸交于點(diǎn)7/,求尸。+了。打的最大值以及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)將二次函數(shù)沿射線/C平移一定的單位長(zhǎng)度，使得平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)(1,-4),記平移后的點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

C',連接C"點(diǎn)G為平移后新拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若滿足N/C'G=N0C8,直接寫出符合題意所有點(diǎn)G的橫

17.新定義：對(duì)于拋物線>=辦2+瓜+°,若/=QC,則稱該拋物線是黃金拋物線，若拋物線歹=工2一2x+加

是黃金拋物線，與天軸交于點(diǎn)4頂點(diǎn)為。.

yk

1-

」」」」」」」」」??

-101X

-1■

(1)求：此黃金拋物線的表達(dá)式及D點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)3(2㈤在這個(gè)黃金拋物線上.

①點(diǎn)C卜-在這個(gè)黃金拋物線的對(duì)稱軸上，求：/03C的正切值.

②在射線上找一點(diǎn)尸，使以點(diǎn)尸、/、。所組成的三角形與A/。。相似，求：尸點(diǎn)坐標(biāo).

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，以y軸正半軸上一點(diǎn)4(0,加)(加為非零常數(shù))為端點(diǎn)，作與y軸正

方向夾角為60。的射線/,在/上取點(diǎn)3,使A3=4左(左為正整數(shù))，并在/下方作48C=120。，

BC=2OA,線段/民OC的中點(diǎn)分別為。，E.

(1)當(dāng)加=4,左=1時(shí)，直接寫出2,C兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)若拋物線了=-友絲Wx+加的頂點(diǎn)恰好為。點(diǎn)，且。E=2g,求拋物線的解析式及此時(shí)

k+23(k+2)

cosNODE的值;

(3)當(dāng)k=1時(shí)，記線段/民。。的中點(diǎn)分別為。，耳，當(dāng)左=3時(shí)，記線段43,OC的中點(diǎn)分別為2，外，求直

線&區(qū)的解析式及四邊形。2月片的面積(用含m的代數(shù)式表達(dá)).

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+4與X軸、了軸分別相交及c,拋物線

⑴求。和6的值.

(2)點(diǎn)尸是直線3C上方拋物線上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為人連接/C.四邊形/CPB的面積為S,求S

與t的函數(shù)關(guān)系式.

(3)點(diǎn)尸為拋物線上的一點(diǎn)，連接/C,當(dāng)/尸8。+/4c。=45。，求尸的坐標(biāo).

考點(diǎn)四、反比例函數(shù)與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=H+8與了軸交于點(diǎn)C,與反比例函數(shù)了=—在第一象限內(nèi)的圖象

tanZBOC=^,則加的值是()

交于點(diǎn)B,連接05,若工℃=16,

C.40D.32

21.如圖，在RtA/O8中，兩直角邊0408分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，且tan/A4O=2,將

1?

繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到△HO6,若反比例函數(shù)>=一的圖象恰好經(jīng)過(guò)斜邊的中點(diǎn)C,則

14

22.已知點(diǎn)A與點(diǎn)3分別在反比例函數(shù)》=((x>0)與的圖像上，且。4_LO8,貝Utan/840

24

—(x>0)

23.已知函數(shù)歹=*的圖象如圖所示，點(diǎn)P是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作夕軸的垂線交圖象于

——(x<0)

A,3兩點(diǎn)，連接。4、OB.若4403=90。，貝!|tan/=.

24.如圖，直線V=2x+2與V軸交于A點(diǎn)，與反比例函數(shù)>="(％>0)的圖象交于點(diǎn)",過(guò)M作軸

x

⑴求反比例函數(shù)表達(dá)式；

⑵點(diǎn)N(a,l)是反比例函數(shù)y=：(x>0)圖象上的點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)尸，使得PM+PN最??？若存在,

求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線>=2x+6與反比例函數(shù)y=勺的圖象交于/(-1,加)，8兩點(diǎn)，C

為反比例函數(shù)圖象第四象限上的一點(diǎn).

備用圖

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)5的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)與△/0C的面積相等時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)我們把對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形稱為“垂等四邊形”.設(shè)點(diǎn)。是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的C,D

兩點(diǎn)，使四邊形"CD是"垂等四邊形”，且該四邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)。，若存在,

求出C,。兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

26.如圖，一次函數(shù)y=G+2的圖象與反比例函數(shù)＞=與的圖象相交于/(切,4),8兩點(diǎn)，與X,y軸分別

X

相交于點(diǎn)c,D.且tan//CO=2.

(1)分別求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(2)以點(diǎn)。為圓心，線段。3的長(zhǎng)為半徑作弧與無(wú)軸正半軸相交于點(diǎn)E,連接4E,BE.求的面積;

(3)根據(jù)函數(shù)的圖象直接寫出關(guān)于x的不等式左x+2＞與的解集.

考點(diǎn)五、三角形與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題

14

27.如圖，在等邊三角形/8C中，。是A8上的點(diǎn)，連接C￡>,CD=~,P在CO上，連接

14I-

AP,ZAPC=120°fAP=2,若SABCD=>3，則tanNP/C=

28.如圖，兩個(gè)大小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點(diǎn)重合于C,點(diǎn)。在邊48上，NBAC=NDEC=30°,

EF

4c與DE交于點(diǎn)、F,連接4E,如果AD=1,ND=5,那么=

N/=60°,點(diǎn)。,￡分別是邊48,/C上一動(dòng)點(diǎn)，連接成交直線CD于點(diǎn)尸.

(2)如圖2,若45=/C,且BD=AE,在平面內(nèi)，將線段/C繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到線段，連

接板，點(diǎn)N是板的中點(diǎn)，連接CN.在點(diǎn)。，￡運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，猜想線段班CF,CN之間存在的數(shù)量

關(guān)系，并證明你的猜想.

(3)若4B=/C,^BD^AE,將△4BC沿直線AB翻折至ZUBC所在平面內(nèi)得到,點(diǎn)〃是心的中點(diǎn),

點(diǎn)K是線段P尸上一點(diǎn)，將△尸沿直線翻折至△P/K所在平面內(nèi)得到△。上次，連接PQ.在點(diǎn)￡),E

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)tan//PK=去，且。KC尸時(shí)，請(qǐng)直接寫出罷的值.

73BC

30.如圖，△4BC中，AB=AC=3,BC=4.動(dòng)點(diǎn)尸、。分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每1個(gè)單位長(zhǎng)

度的速度沿NC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。沿折線C2-A4向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，在CB上的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，在

A4上的速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，連結(jié)尸。.設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，卜乂/>0).

(1)用含t的代數(shù)式表示2。的長(zhǎng).

(2)求點(diǎn)A到邊8c的距離.

(3)cosZACB=.

(4)當(dāng)NCP0W9O。時(shí)，以尸。為對(duì)角線作矩形尸￡0尸，且點(diǎn)E在NC邊上，當(dāng)=時(shí)，求t的值.

31.ZX/BC中，8c=12,。、石分別在"a4C上，NACB=NADE,連接DC,作NMEN=NDCB交DC千

M,交BC于N,EN交DC于O.

⑴如圖1,AB=AC,BD=2AD,DC=IO.

①求/DC3的正弦值；

②若。M:MO=7:18,求DW；

(2)如圖2,/MEN=/ABC=45。,EC=&E,連接MN,若四邊形MNCE為梯形，請(qǐng)直接寫出DM的長(zhǎng).

考點(diǎn)六、四邊形與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題

32.如圖，點(diǎn)E為正方形N3CD對(duì)角線/C上一點(diǎn)，連接DE,作E尸，?！?交8C于點(diǎn)尸，作BHLEF交

CD于點(diǎn)、H,垂足為G,若BF=FC,GF=l,則。H的長(zhǎng)為.

33.如圖，已知在矩形/BCD中，E是4B上一點(diǎn)，連接CE,將ABCE沿CE翻折，使3落到廠處，延長(zhǎng)E尸

交CD延長(zhǎng)線于G.

⑴求證：EG=CG.

（2）若BC=8,tan/BEC=2,則GF的長(zhǎng)為.

34.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上同學(xué)們進(jìn)行探究活動(dòng)，先將兩個(gè)相似的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后

將其中一個(gè)三角形紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來(lái)探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【初步感知】（1）如圖1,在ZUBC和△極）中，若——=——=-,/BAC=/EAD=a,連接班、CD,

一ACAD2

BE

直線BE、CD相交于點(diǎn)K,試探究五=,ZBKC=；

A/?1

【深入探究】（2）如圖2,NA4C=NE4Q=90。，點(diǎn)￡為線段3C上一點(diǎn)（不與點(diǎn)3重

ACAD3

1CD

合），連接CD,若tan/A4E=彳，探究二的值；

2ED

【拓展創(chuàng)新】（3）如圖3,在△/3C中，AC=BC=S,點(diǎn)。為2c邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作射線使

/ADH=/ACB.當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到3c邊中點(diǎn)時(shí)，射線。H交48于點(diǎn)N,此時(shí)空=：.過(guò)點(diǎn)A作4GJ_N。

AN3

交射線?！庇贕,在點(diǎn)。從C運(yùn)動(dòng)到2的過(guò)程中，求折線GZ。掃過(guò)的面積.

35.小明和小剛走進(jìn)教室，跟隨李老師探究“矩形折疊中的相似三角形”問(wèn)題.請(qǐng)你一同作答：如圖，已知在

矩形4BC。中，48=4,BC=6,點(diǎn)E為邊4B上一點(diǎn)(不與點(diǎn)/、點(diǎn)8重合)，先將矩形4BCD沿CE折

疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，C尸交4D于點(diǎn)

(1)觀察發(fā)現(xiàn)

寫出圖1中一個(gè)與A/EG相似的三角形：

(2)遷移探究

當(dāng)C尸與的交點(diǎn)〃恰好是的中點(diǎn)時(shí)，如圖2.求陰影部分的面積.

(3)拓展應(yīng)用

當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸落在矩形48co的對(duì)稱軸上時(shí)，求BE的長(zhǎng).

36.如圖，在矩形/BCD中，點(diǎn)、E為邊DC上一點(diǎn)、,將△4DE沿4E翻折，使點(diǎn)。恰好落在邊上的點(diǎn)

F.

(1)如果48=26,/。=4,求EC的長(zhǎng);

(2)如果AE-DE=2EC,求tanNBAF+tanNFAE的值.

37.如圖，在菱形48C。中，48=10,AD為對(duì)角線，點(diǎn)E是邊22延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，連結(jié)DE交8C

于點(diǎn)凡BG平分NCBE交DE于點(diǎn)、G.

(1)求證/。86=90。；

(2)若BD=n,DG=2GE,求tanZBDE的值.

(3)若BE=AB,當(dāng)/D4B的大小發(fā)生變化時(shí)(0。</。48<180。)，在/E上找一點(diǎn)T,使GT為定值，說(shuō)明理由.

38.在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展探究活動(dòng).

(1)操作判斷

小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙ABC。和CEFG拼成形圖案，如圖①.試判斷：△NCF的形狀為.

(2)深入探究

小紅在保持矩形/BCD不動(dòng)的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若/B=2,AD=4.

圖②圖③

探究一：①若矩形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸恰好落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CG與。尸相交于點(diǎn)”,

如圖②，求ACMF的面積.

探究二：②若矩形CEFG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)俏。，邊CG與邊4D交于點(diǎn)、M,連接當(dāng)

/8MC+//MC=180。時(shí)，如圖③.請(qǐng)直接寫出用的值.

考點(diǎn)七、圓與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題

39.如圖，ON經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸的。、C、D三點(diǎn),C（4,0）、￡＞（0,3）,5。是的一條弦，貝UsinNOAD的值為

40.如圖，四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形，4、B、。是小正方形頂點(diǎn)，。。的半徑為1,P是

。。上的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，貝Ijsin//P5等于（）

A.走B.—C.-D.1

222

41.如圖，己知。。經(jīng)過(guò)△/BC頂點(diǎn)N、B,交3C邊于點(diǎn)。，交/C邊于點(diǎn)￡

2

（2）如果點(diǎn)Z是弧540的中點(diǎn)，8D=8,AC=\2,sinC=-,求。。的半徑.

42.如圖，。是。。的弦3C的中點(diǎn)，A是劣弧數(shù)上一點(diǎn)，半徑CM與線段5C交于點(diǎn)E,已知04=7,

BC=10.

A

B.

D

⑴求線段。。的長(zhǎng)；

⑵當(dāng)0￡:5E=5:4時(shí)，求NOED的余弦值.

43.C3為。。的直徑，弦N2LC。，垂足為尸，E為弧CD上一點(diǎn)，ZAEB=2ZEAB,連接3C交/E于

點(diǎn)G.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：AEA.BC；

(2)如圖2,連接CE,過(guò)點(diǎn)A作/aLCE,垂足為H,交8C于點(diǎn)求證：MG=BG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接DW,GO,若NDMB=ZOGC,BE=4,求。尸的長(zhǎng).

44.如圖，。。為△N8C的外接圓，弦CC/5,垂足為E,直徑8尸交8于點(diǎn)G,連接/尸，AD.若

4B=AC=5,BC=2也.

之

(1)證明：四邊形NOG廠為平行四邊形；

(2)求矍的值；

⑶求sinNC4。的值.

45.如圖，在。。中，48是直徑，CF是N/C2的平分線，分別交48于點(diǎn)E,于點(diǎn)尸，點(diǎn)D在加的

延長(zhǎng)線上，連接/C,CD,DC=DE.

⑴求乙4c尸的度數(shù).

(2)求證：DC是OO的切線.

(3)連接4月，過(guò)點(diǎn)、E作EH14尸于點(diǎn),H,若4。=3,tanNEFH=g,求斯的長(zhǎng).

考點(diǎn)八、相似三角形與三角函數(shù)的綜合

46.如圖，已知在△48C中，點(diǎn)。是2C邊上一點(diǎn)，且48=40,點(diǎn)￡是4。邊上一點(diǎn)，MZEBD=ZC.

12

(2)若cosZ.EDB——,tanC=—,求BD:BC的值.

47.如圖，在矩形45co中，￡是邊CD的中點(diǎn)，連接班，過(guò)點(diǎn)A作//，5￡于點(diǎn)尸，交邊BC于點(diǎn)、G,

連接。咒.給出下面四個(gè)結(jié)論：

①AABFS^BEC.

②在不添加輔助線和其它字母的前提下，圖中相似三角形只有6對(duì).

③若BF=1,AF=3,則AD=gV10.

④若絲=*,貝lJtan//ED=*.

AB42

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是.

48.【問(wèn)題引入】如圖1,等邊△4BC,。為5C邊上一點(diǎn)，￡為4c邊上一個(gè)點(diǎn)；且44。￡=60。，求證:

Z\ABDS/\DCE.

［模型運(yùn)用】如圖2,在/\ABC中，/C=60。，。為4c邊上一點(diǎn)，連接5。且ZABD=60°,已知BC=6,AD=7,

求CD的值.

3

【能力提升】如圖3,在△45。中，。為/。邊上一點(diǎn)，連接AD且N/m=NC=a,tan?=-,且

4

ADm,直接寫出窘的值.

CD

圖I圖2圖3

49.△/2C中，BC=\2,D,E分別在4B,AC±,ZACB=ZADE,連接DC,作NMEN=NDCB交DC

①求/DC5的正弦值;

②若DW:MO=7：18,求DM；

(2)如圖2,NMEN=NABC=45°,EC=夙E，連接MN,若四邊形"NCE為梯形，請(qǐng)直接寫出DM的長(zhǎng).

50.已知：正方形N3C。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E為2c邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為48邊上一動(dòng)點(diǎn)長(zhǎng)，沿尸E翻折AAPE得

到△FPE,直線尸產(chǎn)交8邊于點(diǎn)。，交直線ND于點(diǎn)G.

備用圖

(1)如圖，當(dāng)8尸=1.5時(shí)，求C。的長(zhǎng)；

(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)G在射線4。上時(shí)，設(shè)8P=x,DG=y,求了關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍;

(3)延長(zhǎng)E尸交直線ND于點(diǎn)27,若叢CQEs^FHG,求8P的長(zhǎng).

51.如圖，四邊形/5CD中，ZA=ZB=90°,AD=\,AB=2,BC=3.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，P為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是CD的中點(diǎn)，則0P的最小值是

(2)如圖②，若尸為42邊上一點(diǎn)，以PD,尸C為邊作平行四邊形尸C。。，請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線尸。的長(zhǎng)是否存在最小

值？如果存在，請(qǐng)求出最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖③，若尸為DC邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)尸4到E,使4E=nP4(〃為常數(shù))，以PE、依為邊作平行四

邊形尸請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線P。的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

考點(diǎn)九、網(wǎng)格圖背景下的三角函數(shù)應(yīng)用

52.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)/,B,C都在格點(diǎn)上，則/4BC的正切值是

53.如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)，△NBC的頂點(diǎn)/、

8、C都在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度的直尺，在網(wǎng)格中完成畫(huà)圖.

(1)在48邊上畫(huà)出點(diǎn)。，使tanaBC。=0.5；

(2)在(1)條件下，A4CD面積是.

54.在如圖的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)N、3在小正方形的格點(diǎn)上，在圖1,圖2中各畫(huà)

一個(gè)三角形，滿足下列要求：

(圖1)(圖2)

(1)在圖1中畫(huà)一個(gè)RtZ\A8C,點(diǎn)C在小正方形格點(diǎn)上，且A/BC的面積為5；

(2)在圖2中畫(huà)一個(gè)使A/BE中有一個(gè)角為45。，點(diǎn)￡在小正方形格點(diǎn)上，且AABE的面積為3,請(qǐng)

直接寫出sinN4的值.

55.圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,每個(gè)