三角函數(shù)的應(yīng)用 利用三角函數(shù)測高（原卷版）

第03課三角函數(shù)的應(yīng)用利用三角函數(shù)測高

1.5-1.6

扁課后培優(yōu)練

一培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練

一、單選題

1.如圖，在坡角為。的斜坡上要栽兩棵樹，要求它們之間的水平距離AC為6m,tana=；,則這兩棵樹之

間的坡面AB的長為（）

A.ImB.9mC.2MmD.2#m

2.已知，斜坡的坡度i=l：2,小明沿斜坡的坡面走了100米，則小明上升的距離是（）

米

A.20小米B.20米C.40^/5米D*

3.如圖，某商場一樓與二樓之間的電梯示意圖.ZABC=150°,BC的長是8m,則乘電梯從點B到點C上

升的高度是（）

8

A.-A/3mB.473mC.8mD.4m

4.如圖，在A處測得點P在北偏東60。方向上，在2處測得點尸在北偏東30。方向上，若4尸=66千米,

則AB兩點的距離為（）千米.

A.4B.6C.2D.6

5.小藝同學(xué)在數(shù)學(xué)實踐活動中測量樹的高度，如圖，她站在A處看樹頂端B的仰角為35。，眼睛到地面的

距離CA為1.6米點A到樹的距離AD為7米，則樹的高8。為（）（已知sin35°?0.6,cos35°=0.8,tan35°=0.7）

6.某游樂場一個不等臂蹺蹺板AB長5.6米，支撐柱0H垂直地面，如圖1,當(dāng)A2的一端A著地時，

31

AB與地面的夾角的正切值為:；如圖2,當(dāng)?shù)牧硪欢薆著地時，AB與地面夾角的正弦值為則支

撐柱的長為（）

圖1圖2

A.0.4米B.0.8米c.土叵米D.1.2米

2

7.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹CD的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為45°,在點B處測得樹頂C

的仰角為60。，且A,B,。三點在同一直線上，若AB=16m,則這棵樹。的高度是（）

A.8(3-6)01B.8(3+V5)mC.6(3-V3)mD.6(3+V§)m

8.數(shù)學(xué)活動小組到某廣場測量標(biāo)志性建筑A3的高度.如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22。,

再向前70m至。點，又測得最高點A的仰角為58。，點C,D,8在同一直線上，則該建筑物A3的高度約

為（）（精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin22。。0.37,tan22°?0.40,sin58°?0.85,tan58°?1.60）

A.28mB.34mC.37mD.46m

9.如圖，已知樓高AB為50m,鐵塔基與樓房房基間的水平距離8。為50m,塔高。C為四世8m,下

3

列結(jié)論中，正確的是（

D=

呂

0

A.由樓頂望塔頂仰角為60°

B.由樓頂望塔基俯角為60°

C.由樓頂望塔頂仰角為30。

D.由樓頂望塔基俯角為30°

10.如圖，豎直放置的桿AB,在某一時刻形成的影子恰好落在斜坡的。處，而此時1米的桿影長恰好

為1米，現(xiàn)量得3c為10米，為8米，斜坡CD與地面成30。角，則桿的高度為（）

4⑹米C.8米D.10米

二、填空題

3

11如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為%sina二不堤壩高30m,則迎水坡面A3的長度為—m.

12.如圖，在高20米的建筑物CD的頂部C測得塔頂A的仰角為60°,測得塔底B的俯角為30°,貝【J塔高

AB=米；

13.某飛機在離地面30006米的上空測得地面控制點的俯角為60。，那么此時飛機與地面控制點之間的距

離是米.

14.如圖，一艘海輪位于燈塔尸的北偏東30。方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間

后，到達位于燈塔P的南偏東45。方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔尸的距離為海里.（結(jié)

果保留根號）

15.如圖，河對岸有古塔AB,小敏在C處測得塔頂A的仰角為a,向塔走s米到達D,在D處測得塔頂A

的仰角為伍則塔高是米.

16.如圖是某風(fēng)車示意圖，其相同的四個葉片均勻分布，水平地面上的點M在旋轉(zhuǎn)中心。的正下方.某一

時刻，太陽光線恰好垂直照射葉片OB,此時各葉片影子在點M右側(cè)成線段CQ測得MC=8.5mCD

=13/77,垂直于地面的木棒所與影子PG的比為2：3,則風(fēng)車葉片轉(zhuǎn)動時，葉片外端離地面的最大高度等

于米.

17.東太湖風(fēng)景區(qū)美麗怡人，如意橋似浮在太湖之上富有靈動起飛的光環(huán).小亮在如意橋上看到一艘游艇

迎面駛來，他在高出水面30m的A處測得在C處的游艇俯角為23°；他登高12m到正上方的8處測得駛至。

處的游艇俯角為50。，則兩次觀測期間游艇前進了米.（結(jié)果精確至Hm,參考數(shù)據(jù)：

tan23°?0.42,tan40°~0.84,tan50°?1.19,tan67°?2.36）

18.如圖1是勞動課上同學(xué)們組裝的一個智能機器臂.水平操作臺為/,底座AB固定，ABU長度為

24cm,連桿BC長度為30cm,手臂CD長度為28cm,點尻C是轉(zhuǎn)動點，且AB,BC與C。始終在同一平

面內(nèi).如圖2,轉(zhuǎn)動連桿BC和手臂C。當(dāng)/ABC=135。，NBCD=165。時，端點。離操作臺/的高度DE

為cm.

圖1圖2

三、解答題

19.如圖，無人機在空中C處測得地面A、3兩點的俯角分別為60。、45。，如果無人機距地面高度

。=1006米，點人、D、5在同水平直線上，求A、5兩點間的距離.（結(jié)果保留根號）

20.手機軟件（智能測量）是一款非常有創(chuàng)意且實用性很高的數(shù)碼測距工具.如圖，測量者

AB使用SmarfMeasz/re測量一棵大樹CZ）的高，軟件顯示AC=8m,AD=10m,ACAD=53°,請你根據(jù)數(shù)

學(xué)知識求出大樹CD的高.（結(jié)果可保留根號）（為了計算方便，約定sin53o=14,cos53°--3,tan530--4）

21.如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形ABC。，迎水坡BC的坡角為30。，背水坡AD的坡度為1：1.2,壩頂

寬。C為2.5米，壩高CF為4.5米.求：

⑴壩底AB的長；

(2)坡BC的長；

(3)迎水坡BC的坡度.

22.如圖，花城廣場對岸有廣州塔A3,小明同學(xué)站在花城廣場的C處看塔頂點A的仰角為32。，向塔前進

360米到達點。在D處看塔頂A的仰角為45°.

(1)求廣州塔的高度(sin32°?0.530,cos32°~0.848,tan32°~0.625)；

(2)一架無人機從廣州塔頂點A出發(fā)，沿水平方向AF飛行300米到A處，求此時從A，處看點D的俯角的正

切值.

培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練

一、單選題

1.小明在學(xué)完《解直角三角形》一章后，利用測角儀和校園旗桿的拉繩測量校園旗桿的高度，如圖，旗桿

PA的高度與拉繩9的長度相等，小明先將依拉到的位置，測得=a⑻C為水平線),測角儀

的高度為1米，則旗桿R4的高度為()

1

A.--—米B.---米c.---米D.米

1+sin。1-cosa1一sina1+cosa

2.如圖，一棵大樹被臺風(fēng)攔腰刮斷，樹根A到刮斷點P的距離是4米折斷部分與地面成40。的夾角,

那么原來這棵樹的高度是（）

P

A?4+高4

G米B.4+-pC.（4+4sin40。）米D.（4+4tan40。）米

sin40（

3.小林在放學(xué)路上，看到隧道上方有一塊宣傳“重慶--行千里，致廣大”豎直標(biāo)語牌CD.他在A點測得

標(biāo)語牌頂端D處的仰角為42。，由A點沿斜坡AB下到隧道底端B處（B,C,D在同一條直線上），AB=

10m,坡度為i=1：73,則標(biāo)語牌CD的長為（）m（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.（參考數(shù)據(jù)：sin42°?0.67,

cos42°=0.74,tan42°?0.90,73-1.73）

A.4.3B.4.5C.6.3D.7.8

4.如圖把兩張寬度均為3的紙條交錯疊在一起，相交成角a,則重疊部分的周長為（）

c.E12

A.1ItanaB.\2sinaD.--

sinatan。

5.如圖，小明想測量斜坡CD旁一棵垂直于地面AE的樹的高度，他們先在點C處測得樹頂8的仰角為

60°,然后在坡頂。測得樹頂8的仰角為30。，已知斜坡CD的長度為20根，斜坡頂點。到地面的垂直高度

DE=10m,則樹AB的高度是（）機

A.2073B.306C.30D.40

6.如圖，一只正方體箱子沿著斜面CG向上運動，ZC=a,箱高AB=1米，當(dāng)5c=2米時，點A離地面

CE的距離是（）米.

1211

A.+-------B.--------1----------

cosa--sinacosa2sin。

C.cosa+2sin。D.2cos二+sina

7.如圖，將矩形ABC。放置在一組等距的平行線中，恰好四個頂點都在平行線上，已知相鄰平行線間的距

離為1,若〃CE=￡,則矩形ABCD的周長可表示為（）

A

CE

tanpcosp

8.如圖，在一塊矩形ABC。區(qū)域內(nèi)，正好劃出5個全等的矩形停車位，其中EF=a米，F(xiàn)G=b米,ZAEF

=30°,則AD等于（）

B.（ga+述b）米

23

C.（"竽米D.（a++叵b）米

3

9.小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭（如圖1）,完全開啟后，把手AM的仰角d二37。，此時把手端

點A、出水口點3和落水點C在同一直線上，洗手盆及水龍頭的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2,則線段C8長是（）（參

,343

考數(shù)據(jù)：sin37°=—,cos37°=—,tan37°=—）

B.8C.10D.11

10.如圖，△ABC的面積為1.第一次操作：分別延長AB,BC,CA至點4,Bi,Q,使=BjC

=BC,GA=C4,順次連接4,Bi,Ci,得到AA/B心.第二次操作：分別延長A曲,B?G4至點4,

心,C2,使A2B/=A向，B2cl=BQ,CMLCN,順次連接4,&,C2,得到△A282c2,…按此規(guī)律，要

使得到的三角形的面積超過2020,最少經(jīng)過多少次操作（）

A.4B,5C.6D,7

二、填空題

11.如圖，從地面上的點A看一山坡上的電線桿PQ,測得桿頂端點P的仰角是45。，向前走6m到達8點，

測得桿頂端點P和桿底端點Q的仰角分別是60。和30。.則該電線桿PQ的高度是（結(jié)果可保留根

號）.

12.小超在周末利用無人機測量濱湖廣場上風(fēng)帆的高度.如圖所示，無人機在距離地面10&米的P處測得A

處的俯角為15。，8處的俯角為60。，若斜面A3的坡度為1:6，則風(fēng)帆的高AF是米.

13.如圖1為某智能洗拖一體掃地機，它正常工作及待機充電時的示意圖如圖2所示，四邊形A3CD為它

的手柄,為支撐桿,。M為拖把支架,且點。始終在A3的延長線上，當(dāng)待機時，BC//OM，已知AB=18cm,

BC=15cm,ZABC=ZC=90°,AD+CD=27cm,則CD=cm；OE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，

機器開始工作，當(dāng)。侖C,M在同一直線上時，點42分別繞。點旋轉(zhuǎn)到點A,B\且高度分別下降了

21.6cm和18cm,則此時點。倒OM距離為cm.

圖1

14.三折傘是我們生活中常用的一種傘，三折傘的骨架是一個“移動副”和多個“轉(zhuǎn)動副”組成的連桿機構(gòu)，如

圖1是三折傘一條骨架的結(jié)構(gòu)圖，當(dāng)“移動副”（標(biāo)號1）沿著傘柄移動時，折傘的每條骨架都可以繞“轉(zhuǎn)動

副”（標(biāo)號2-9）轉(zhuǎn)動：圖2是三折傘一條骨架的示意圖，其中四邊形CDE廠和四邊形。GAW都是平行四邊

形，AC=BC=13cm,DE=2cm,DN—1cm.

圖1

（1）若關(guān)閉折傘后，點A、E、”三點重合，點B與點M重合，則BN=cm.

（2）在⑴的條件下，折傘完全撐開時，NBAC=75。,則點“到傘柄相距離是cm（結(jié)果精確

到Olcm）.（參考數(shù)據(jù):sin75°?0.97,cos75°?0.26,tan75°?3.73）

15.如圖，岸邊堤壩和湖中分別佇立著甲、乙兩座電線塔，甲塔底8和堤壩E尸段均與水平面平行，B

為C。中點，CD=6EF=12米，DE=5米.某時刻甲塔頂A的影子恰好落在斜坡底端E處，此時小章測得

2米直立桿子的影長為1米.隨后小章乘船行駛至湖面點尸處，發(fā)現(xiàn)點。，F(xiàn),尸三點共線，并在尸處測得

甲塔底。和乙塔頂T的仰角均為。=26.7。，則塔高A8的長為米；若小章繼續(xù)向右行駛10米至點Q,

且在。處測得甲、乙兩塔頂A,T的仰角均為尸=36.8。.若點雙，P,Q,N在同一水平線上，TN±MN,

則甲、乙兩塔頂A,T的距離為米.（參考數(shù)據(jù)：tan26.7。a。5,sin26.7°?0.45,tan36.8。70.75,

cos36.8°?0.8）

16.如圖1是一款重型訂書機，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，其主體部分為矩形EPGH由支撐桿CD垂直固

定于底座上，且可以繞點。旋轉(zhuǎn)壓桿與伸縮片PG連接，點M在//G上,可繞點M旋轉(zhuǎn),PGLBC,

_3

。尸=8厘米，不使用時，EF//AB,G是P尸中點，tan/PMG=—,且點。在的延長線上，則GF的長

4

為_________厘米；使用時如圖3,按壓使得〃人5此時點尸落在AB上，若CD=2厘米，則壓桿

MV到底座AB的距離為__________厘米.

三、解答題

17.如圖，某風(fēng)景區(qū)內(nèi)有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在與瀑布底端同一水平位置的點。處測得瀑布

頂端A的仰角B為45。，沿坡度i=l：3的斜坡向上走100米，到達觀景臺C,在C處測得瀑布頂端A的仰

角a為37。，若點8、￡）、￡在同一水平線上.（參考數(shù)據(jù)：sin37%0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75,

J10x3.16）

(1)觀景臺的高度CE為米(結(jié)果保留準(zhǔn)確值)；

(2)求瀑布的落差A(yù)B(結(jié)果保留整數(shù)).

18.為方便市民通行，某廣場計劃對坡角為30。，坡長為60米的斜坡AB進行改造，在斜坡中點D處挖去

部分坡體(陰影表示)，修建一個平行于水平線CA的平臺DE和一條新的斜坡BE.

H

CAG

(1)若修建的斜坡BE的坡角為36。，則平臺DE的長約為多少米？

(2)在距離坡角A點27米遠的G處是商場主樓，小明在D點測得主樓頂部H的仰角為30。，那么主樓

GH高約為多少米？

(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin36°=0.6,cos36°=0.8,tan36°=0.7,W=1.7)

19.如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一座網(wǎng)絡(luò)信號塔BC,數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底尸處測得該塔

的塔頂8的仰角為45°,然后他們沿著坡度為1:2.4的斜坡AP攀行了26米到達坡頂，在坡頂A處又測得該

塔的塔頂8的仰角為76。.求：

(1)坡頂A到地面尸。的距離；

(2)網(wǎng)絡(luò)信號塔BC的高度(結(jié)果精確到0.1米).(參考數(shù)據(jù)：sin76。g0.97,cos76°?0.24,tan76°?4.01)

20.我們經(jīng)常會采用不同方法對某物體進行測量，請測量下列燈桿AB的長.

（1）如圖1所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點。處，測角儀高為6米，從C點測得A點

的仰角為。，求燈桿AB的高度.（用含a,b,3的代數(shù)式表示）

（2）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現(xiàn)將一高度為2

米的木桿CG放在燈桿前，測得其影長C”為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米至OE的位置，此

時測得其影長為3米，求燈桿AB的高度

/培優(yōu)第三階——中考沙場點兵

一、單選題

1.（2020?四川德陽?一模）如圖，沿AC方向修山路，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工，若

在AC上取一點%使145。，80=500米，40=55。.要使A、C、E成一條直線，開挖點E與點￡>

的距離是（）米.

A.500sin55°B,500cos55°C,500tan55°D,500cos35°

2.（2022.廣東深圳三模）如圖，在距離鐵軌200米的8處，觀察由深圳開往廣州的“和諧號”動車，當(dāng)動車

車頭在A處時，恰好位于B處的北偏東60。方向上；一段時間后，動車車頭到達C處，恰好位于B處的西

北方向上，則這時段動車的運動路程是（）米（結(jié)果保留根號）

A.100+100A/3B.200+20073C.100>/2+100A/3D.200A/2+200A/3

3.（2022.廣西.一模）如圖，小文準(zhǔn)備測量自己所住樓房與對面樓房的水平距離，他在對面樓房處放置一個

3米長的標(biāo)桿CD,然后他在A處測得C點的俯角￡為53。，再測得。點的俯角a為45。，則兩座樓房之間

434

的水平距離大約為（）米.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?-,cos53°?-,tan53°?-）

A.9B.9.25C,9.5D.9.75

4.（2022.山東濟南.三模）如圖，某學(xué)校準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能，把傾斜角由40。改為35。，已知原來

樓梯4B長4m,調(diào)整后的樓梯多占用了一段地面，這段地面的長為（）m（參考數(shù)據(jù)：sin40。。0.643,

cos40°?0.766,sin35°?0.574,tan35。。0.700,精確到0.01m）

5.（2022?四川?綿陽市桑棗中學(xué)一模）如圖，小華站在水庫的堤壩上的G點，看見水庫里有一小船沿垂直于

岸邊的方向劃過來.此時，測得小船C的俯角NEDC=30。，若小華的眼睛與底面的距離DG=L6米，

3G=0.7米.BG平行于AC所在的直線，迎水坡A3的坡度，=4:3,坡長AB為8米，點A、B、C、D、

F、G在同一平面內(nèi)，則此時小船C到岸邊的距離C4的長為（）米（百。1.732,結(jié)果精確到0.1米）

二、填空題

6.（2022?河北唐山?二模）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60。方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正

北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東45。方向上的8處，此時3處與燈塔P的距離為

海里；=海里（結(jié)果保留根號）.

7.（2022.山東.寧津縣教育和體育局教育科學(xué)研究所二模）如圖，燕尾槽的橫斷面是一個軸對稱圖形，則

的長為毫米.

8.（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，點。是游樂園摩天輪的圓心，其半徑。4垂直水平地面，在地面C點

處測得點A的仰角為34。，測得點。的仰角為21°,已知。4=60m,則點C到A。所在直線的距離約是

m（結(jié)果根據(jù)四舍五入法精確到個位，tan340=0.67,tan210=0.38）,

9.（2022.陜西?西安輔輪中學(xué)三模）商場弓I進消毒機器人每天進行全場消毒工作，該機器人采取精準(zhǔn)直線噴

射技術(shù)，實現(xiàn)了準(zhǔn)確、快速和節(jié)約的目標(biāo).在設(shè)置參數(shù)的時候，工作人員通過對商場門口身形高大的“大黃

蜂”進行多次消毒試驗發(fā)現(xiàn)：如圖，若對A點進行消毒，適當(dāng)調(diào)整機器人到A3的距離，使得sin（a-⑶的

值盡可能的大，能提高消毒的效率.已知“大黃蜂”A8身高2.5米，機器人8高0.4米.則當(dāng)sin（a"）最

大時，機器人CD和“大黃蜂”AB之間距離BC等于.

A

10.（2022