三角形中的證明與計算問題（4類題型）-2025年中考數學二輪復習熱點題型專項訓練（原卷版）

專題07三角形中的證明與計算問題

目錄

熱點題型歸納.............................................................................................1

題型01三角形全等的判定及性質應用.......................................................................1

題型02相似三角形的判定及性質應用.......................................................................4

題型03結合全等與相似進行三角形中的線段的計算..........................................................8

題型04結合全等與相似進行三角形中的角度的計算.........................................................13

中考練場.................................................................................................15

題型01三角形全等的判定及性質應用

01題型綜述________________________________________

三角形全等的判定及性質應用是初中數學幾何領域的核心內容，是解決三角形相關問題、推導幾何結論的關鍵工具，

在中考數學中分值占比約5%-10%o

1.考查重點：重點考查依據不同幾何情境，精準選擇全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）證明三

角形全等，并熟練運用全等三角形對應邊相等、對應角相等的性質，進行線段和角度的證明與計算。

2.高頻題型：高頻題型包含直接給定三角形的部分條件，要求證明兩個三角形全等；利用全等三角形性質，證明線段

相等、角相等或計算線段長度、角度大??；在復雜圖形中，通過添加輔助線構造全等三角形，解決幾何問題。

3.高頻考點：考點集中在全等三角形判定定理的靈活運用，全等三角形性質在證明線段、角度關系及計算中的應用，

全等三角形與其他幾何圖形（如四邊形、圓）的綜合考查，以及全等三角形在實際問題（如測量距離）中的運用。

4.能力要求：要求學生具備較強的邏輯推理能力，能夠根據已知條件合理規(guī)劃全等證明路徑；擁有敏銳的圖形觀察能

力，從復雜圖形中識別全等三角形；掌握輔助線添加技巧，通過構造全等三角形突破解題難點；同時具備將實際問題

轉化為數學模型的能力。

5.易錯點：易錯點在于判定三角形全等時，錯用判定條件，如誤將“SSA”當作判定依據；在運用全等三角形性質

時，對應關系混淆，導致線段、角度計算錯誤；添加輔助線時缺乏針對性，無法有效構造全等三角形；在綜合問題中，

不能充分挖掘隱含條件，影響全等證明及后續(xù)計算。

02解題攻略

【提分秘籍】

全等三角形的判定:

①邊邊邊（SSS）：三條邊分別對應性相等的兩個三角形全等。

②邊角邊（SAS）：兩邊及其這兩邊的夾角對應相等的兩個三角形全等。

③角邊角（ASA）：兩角及其這兩角的夾邊對應相等的兩個三角形全等。

④角角邊（AAS）：兩角及其其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜邊與其中任意一直角邊分別對應相等的兩個直角三角形全等。

全等三角形的性質：

對應邊相等、對應角相等、對應線段（高、中線、角平分線等）相等

【典例分析】

例1.（2024?云南?中考真題）如圖，在VABC和△AED中，AB^AE,ZBAE=ZCAD,AC=AD.

求證：AABC^AAED.

例2.（2024.江蘇南通?中考真題）如圖，點。在VABC的邊AB上，。廠經過邊AC的中點E,且跖=DE.求證CF//AB.

例3.（2024?福建?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，點E、F分別在BC、CD邊上，ZBAF=ZDAE,求證：BE=DF.

D

例4.（2024?四川樂山?中考真題）知：如圖，平分NC4D,AC=AD.求證：NC=ND.

A

例5.（2024?江蘇鹽城?中考真題）已知：如圖，點A、B、C、。在同一條直線上，AE//BF,AE=BF.

請從①CE；②CE=DF；③4="這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結論成立，并說明理由.

【變式演練】

1.（2025?陜西西安?二模）如圖，E是A3上一點，AB=DE,CB=CE,EC平分NBED,求證：ND=NA.

2.（2025?福建泉州?一模）如圖，在矩形ABCD中，點E是8C上一點，連接DE,4￡>=。石，點尸是OE上一點,

ZAFD=90°.求證：AF=CD.

3.（2025?廣東廣州?模擬預測）如圖，點AC,D,歹在一條直線上，AB=EF,AC=ED,ZCAB=ZDEF,求證:

AC//DE.

4.（2025?陜西西安?二模）如圖，在VABC中，點。是48上一點，過點。作=點E在48上方，連接AE,

AE=AC,ZADE■與NE4c互補，求證：DE=BA.

5.（2024?山東泰安?模擬預測）如圖，在VABC中，ZACB=90°,AC=BC,E為AC邊的中點，過點A作AD工AB交

BE的延長線于點。，CG平分/ACB交80于點G,尸為邊上一點，連接CP,且NACF=NCBG.求證：

(1)AF=CG；

Q)CF=2DE.

題型02相似三角形的判定及性質應用

01題型綜述

相似三角形的判定及性質是初中數學幾何領域中極為重要的內容，它主要研究三角形之間的相似關系，通過判定定

理確定相似性，并利用性質解決線段比例、角度關系等幾何問題，在中考數學中分值占比約5%-10%o

1.考查重點：重點考查對相似三角形判定定理（如兩角對應相等、三邊對應成比例、兩邊對應成比例且夾角相等）的

準確運用，以及相似三角形性質（對應角相等、對應邊成比例、對應線段成比例、面積比等于相似比的平方）在各類

幾何情境中的應用。

2.高頻題型：高頻題型包含給定幾何圖形，判斷三角形是否相似并說明理由；利用相似三角形性質計算線段長度、角

度大小、圖形面積；通過構造相似三角形解決實際問題，如測量物體高度、距離等。

3.高頻考點：考點集中在相似三角形判定條件的靈活選擇，相似三角形性質在幾何證明和計算中的運用，相似三角形

與函數、圓等其他知識的綜合考查，以及相似模型（如“A”型、“X”型、母子相似型）的識別與應用。

4.能力要求：要求學生具備較強的邏輯推理能力，能夠根據已知條件合理選擇相似三角形的判定方法；擁有良好的圖

形分析能力，從復雜圖形中提煉出相似三角形；掌握一定的數學建模思想，能將實際問題轉化為相似三角形模型求解。

5.易錯點：易錯點在于判定相似時錯用條件，例如誤將兩邊對應成比例且其中一邊的對角相等當作判定依據；在運用

相似三角形性質時，對應關系混淆，導致線段比例、面積計算出錯；對相似模型的特征把握不準，無法準確識別與應

用，在綜合問題中不能有效整合相似三角形與其他知識解題。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.相似圖形的概念:

把形狀相同的圖形稱為相似圖形。

2.相似三角形的概念：

如果兩個三角形的對應邊的比相等，對應角相等，那么這兩個三角形相似。

3.相似三角形的判定：

①平行線法判定：

平行于三角形一邊的直線與三角形的另兩邊或另兩邊的延長線相交所構成的三角形與原三角形相似。

②對應邊判定：

三組對應邊的比相等的兩個三角形相似。

③兩邊及其夾角判定法：

兩組對應邊的比相等，且這兩組對應邊的夾角相等的兩個三角形相似。

④兩角判定：

有兩組角（三組角）對應相等的兩個三角形相似。

4.相似三角形的性質：

①相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等。對應邊的比叫做相似比。

②相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。相似三角形的對應線段（對應中線、對應角

平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比。

【典例分析】

例1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，點E,尸分別在正方形ABC。的邊BC,上，BE=3,EC=6,CF=2.求

證：△ABESAECF.

例2.（2024?新疆?中考真題）如圖，在中，43是。的直徑，弦CD交于點E,AD=BD-

⑴求證：AAC%△￡■＜力；

(2)若AC=3,6C=1,求CE的長.

例3.（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，48是。的直徑，ACD內接于,0,CD=DB，AB,CD的延長線相交于

點E,且DE=AD-

（1）求證：△C4r）saCE4；

⑵求NADC的度數.

例4.（2024?四川?中考真題）如圖，在四邊形ABC。中，ZA=90°,連接80,過點C作CE1AB,垂足為E,CE交BD

于點F,Z1=ZABC.

（1）求證：N2=/3；

（2）若N4=45°.

①請判斷線段2C,8。的數量關系，并證明你的結論;

②若3c=13,43=5,求所的長.

【變式演練】

1.（2025?廣東廣州?模擬預測）如圖，VABC中，ZACB=90°,CD是A8邊上的高，求證：AACD-ACBZ）.

2.（2024?湖北武漢.模擬預測）如圖，將VABC繞點8逆時針旋轉得到△MfiN,連接"A,CN.求證：_ABMs=CBN.

3.（2024.四川樂山.模擬預測）如圖，已知線段A5,CD相交于點0,ADCD,AO=2,AB=5.求等.

AD

CB

4.（2024.廣西?模擬預測）如圖，在等邊三角形ABC中，BD=CE,BE、AD相交于點E求證：AE2=EFEB.

5.（2025?上海虹口?一模）如圖，在中，ABC=90，點。在邊AC上，過點。作DE垂直AC交A8于點E,

連接EC、交于點廠.

⑴求證：ABD-ACE；

（2）如果3C=BE,求證：^CE2=BFBD.

6.（2025?重慶大渡口?模擬預測）如圖，在ABCD^P，對角線AC與瓦）相交于點。，NC4B=NACB,過點3作BE,

交AC于點E.

⑴求證：ABO^BEO；

(2)若AB=10,AC=16,求OE的長.

題型03結合全等與相似進行三角形中的線段的計算

01題型綜述

結合全等與相似進行三角形中的線段的計算是初中數學幾何知識綜合運用的關鍵內容，深度融合全等三角形與相似

三角形的核心性質，對學生綜合分析與解決問題能力要求較高，在中考數學中分值占比約5%-8%o

1.考查重點：重點考查靈活運用全等三角形對應邊相等、相似三角形對應邊成比例的性質，在復雜幾何情境下，通過

尋找、構造全等或相似三角形，實現對三角形中線段長度的精準計算。

2.高頻題型：高頻題型有在一個圖形中，先證明三角形全等得到部分線段相等關系，再借助相似三角形對應邊比例,

計算其他線段長度；或者先利用相似三角形求出部分線段比例，再通過證明全等三角形，確定關鍵線段長度，進而計

算所求線段。

3.高頻考點：考點集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA,AAS、HL）與相似三角形判定定理（兩角對應相

等、三邊對應成比例、兩邊對應成比例且夾角相等）的準確運用，以及全等與相似三角形性質在串聯線段關系、計算

線段長度過程中的綜合體現。

4.能力要求：要求學生具備敏銳的圖形觀察能力，能從復雜圖形中迅速識別全等與相似三角形的基本模型；擁有強大

的邏輯推理能力，依據已知條件合理規(guī)劃全等與相似的證明順序，搭建線段計算的橋梁；掌握扎實的運算能力，處理

復雜線段比例與長度計算。

5.易錯點：易錯點在于混淆全等與相似三角形的判定條件和性質，導致證明過程出錯；在構造全等或相似三角形時,

輔助線添加不合理，無法有效建立線段聯系；在利用相似三角形對應邊成比例計算時，對應關系混亂，造成計算錯誤；

對題目中隱含的全等或相似條件挖掘不充分，影響解題思路。

02解題攻略

【典例分析】

例1.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）如圖，AC,相交于點0,AB//DC,M是48的中點，MN//AC,交BD

于點N.若。0:03=1:2,AC=12,則MN的長為（）

A.2B.4C.6D.8

例2.（2023?遼寧丹東?中考真題）如圖，在正方形ABCL（中，AB=12,點、E,尸分別在邊BC,CD±,AE與所相交

于點G,若BE=CF=5,則3G的長為.

AD

例3.（2024.四川眉山?中考真題）如圖，VA8C內接于O,點。在上，A。平分，BAC交二。于D,連接BD.若

AB=10,BD=2y/5,則BC的長為.

例4.（2023?遼寧營口?中考真題）如圖，在VA8C中，ZBAC=90°,AB=AC,將AC繞著點C按順時針旋轉60。得到

4/7

m連接8。交AC于在E,則南=

例5.（2024.四川成都?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AD是VABC的一條角平分線，E為AD中點,

連接8E.若BE=BC,CD=2,則B￡>=.

例6.（2024.山東.中考真題）如圖，點E為ABCD的對角線AC上一點，AC=5,CE=l,連接DE并延長至點尸,

使得EF=DE,連接班1,則BF'為（）

【變式演練】

1.（2025?山西朔州?一模）如圖，AB//CD,AC與8D相交于點E,已知AE=4,CE=6,BE=5,則8。的長為

2.（2025?江蘇蘇州?模擬預測）如圖，ABC中，AB=AC,點。是ABC的外心，且。4=2,延長8。交AC于點￡）,

若AD2=ABxDC,貝！JOD=.

3.（2025?陜西西安?一模）如圖，在VABC中，NBAD=2NC,N1=N2,AD_LBD交BC于E,AB=5,BD=4,則CE

的長度為.

4.（2025?陜西西安?二模）如圖，VABC中，M是BC的中點，平分/B4C,于點。，若AB=4,AC=6,

則VD等于（）

A

5.（2025?廣東深圳?模擬預測）在等腰VABC中，AB=AC,。是BC上一點，過點。作DEIAD交AC延長線于點E,

,,小…24BD2,AC

tanZBAC=—,――=—,則n不7的值為一?

7AB5CE

6.（2025?重慶?模擬預測）如圖，正方形ABCD的邊長為20,AG=8=16,8G=E>H=12,連接G8,則線段GH的長

為（）

A.2A/2B.2A/3C.4D.40

7.（2025?重慶?模擬預測）如圖，正方形458的對角線8。上有一點E,滿足DE=2BE,連接CE,過。作DF_LCE于

F,連接BF,則B蕓F的值為（）

DC

A.—B.9C.述D.還

25510

題型04結合全等與相似進行三角形中的角度的計算

01題型綜述________________________________________

結合全等與相似進行三角形中的角度的計算是初中數學幾何板塊中對知識綜合運用能力要求頗高的內容，它緊密關

聯全等三角形對應角相等和相似三角形對應角相等的特性，旨在培養(yǎng)學生深度分析幾何圖形中角度關系的能力，在中

考數學里分值占比約5%-8%o

1.考查重點：重點考查學生靈活運用全等三角形對應角相等、相似三角形對應角相等這兩大核心性質，在復雜多變的

幾何圖形情境中，精準定位并通過構造全等或相似三角形，實現對三角形中未知角度的準確計算。

2.高頻題型：高頻題型有在給定圖形中，先證明三角形全等獲取部分角度相等關系，接著借助相似三角形對應角性質

來計算其他角度；或者先利用相似三角形得出一些角度信息，再通過證明三角形全等，確定關鍵角度數值，從而完成

所求角度的計算。

3.高頻考點：考點主要集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）與相似三角形判定定理（兩角對

應相等、三邊對應成比例、兩邊對應成比例且夾角相等）的恰當選用，以及全等與相似三角形對應角性質在構建角度

關系、求解角度數值過程中的綜合運用。

4.能力要求：要求學生具備敏銳的圖形感知能力，能快速從復雜圖形中識別出全等與相似三角形的基本模型；擁有較

強的邏輯推導能力，依據已知條件有條不紊地規(guī)劃全等與相似的證明流程，以此搭建起角度計算的邏輯鏈條；同時，

還需掌握扎實的角度運算能力，準確處理各類角度的計算問題。

5.易錯點：易錯點在于混淆全等與相似三角形的判定條件和對應角性質，致使證明過程出現錯誤；在構造全等或相似

三角形時，輔助線添加不當，無法成功建立起有效的角度關聯；在利用相似三角形對應角性質計算時，對應關系混亂，

造成角度計算失誤；對題目中潛藏的全等或相似條件察覺不敏銳，從而阻礙解題思路的順暢推進。

02解題攻略

【典例分析】

例1.（2024.山東濟南.中考真題）如圖，已知△ABC也△￡）￡6,NA=60。,/3=40。，則/DCE的度數為（）.

C.80°D.100°

例2.（2024?四川成都?中考真題）如圖，AABC^ACDE,若/O=35。，NACB=45°,則/DCE的度數為

【變式演練】

1.（2025?河南?模擬預測）如圖,已知△ABCs^ACD,NA=80。，ZADC=60°,貝U/3=

2.（2025?重慶?模擬預測）如圖,在VABC和V3DE中，點C在邊8。上，AC交8E于點下.若AC=BD,AB=ED,

BC=BE,ZACS=50°,則NAFB=

3.（2025?浙江寧波?一模）如圖，長方形A3CD沿AE折疊，使點。落在3C邊上的點尸處.如果N545=55。，那么

NDAE=,ZAEF=,NEFC=

03中考練場

一、單選題

1.（2025?重慶?模擬預測）若兩個三角形相似比為1:3,則這兩個三角形的周長比為（）

A.1:3B.1:9C.1:2D.1:4

2.（2025?河南安陽?一模）如圖，為某農村一古老的搗碎器，已知支撐柱A5的高為0.3m,踏板DE長為1.6m,支撐點

現在踏腳著地，則搗頭點E離地面的高度石。為（）

0.8mC.1mD.1.2m

3.（2025?重慶?模擬預測）如圖，VABC與/DEF位似，點。為位似中心，已知Q4:OD=2:3,VABC的面積為8,則

A.8B.12C.18D.24

4.（2025?陜西咸陽?一模）如圖，在VABC中，點。在上，連接AD,.EFG的頂點/、G分別是C。、AC的中點,

EG、跖分別交于點H、P,若點”是反？的中點，AD=6,則HP的長為（）

A.3B.2C.2.5D.1.5

5.（2025?廣東?模擬預測）如圖，在ABC中，ZA=90°,AB=AC=6,。為邊2c的中點，點E,歹分別在邊AB,AC

上，AE=CF,則四邊形的面積為（）

6.（2025?重慶?模擬預測）如圖，正方形A3C。，連接50,點E為8。上一點，連接CE,將線段CE繞點C順時針旋

GFFD

轉90。得到線段CF,連接EP交C。于點G,若蕓=3,則=的值為（）

A.乎B.|C當

二、填空題

7.（2025?重慶?模擬預測）如圖，VABC中，AB=10,AC=8,4。平分/54C,AC^AD,過C作CELAD于點E,

則DE長為.

8.（2025?湖南長沙?一模）如圖，在VABC中，A