上海市松江某中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

松江二中2023學(xué)年第二學(xué)期期中考試

局一數(shù)學(xué)

考生注意：

1.試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，務(wù)必在答題紙貼二維碼并填寫考號(hào)、姓名、班級(jí).作答必須涂或?qū)懺诖痤}紙上，在試

卷上作答一律不得分.

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)

1.直線工+丁—1=°的傾斜角是.

37r

【答案】—

4

【解析】

【分析】根據(jù)直線方程可得斜率，進(jìn)而可得傾斜角

【詳解】解：由已知y=—x+1,則直線斜率左=—1,

又傾斜角的范圍為［0,2).

37r

故直線X+y-1=0的傾斜角是—.

4

3兀

故答案為：—.

4

2.已知等差數(shù)列｛?！埃凉M足q+4=12,%=7，則的=.

【答案】5

【解析】

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.

【詳解】因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，所以4+%=%+%，

則有12=7+%,解得。3=5.

故答案為:5.

3.已知函數(shù)〃x)=lnx,則lim〃2+")-八2)=_____.

、730Ax

【答案】g##0.5

【解析】

【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式可得結(jié)果.

【詳解】v/?=lnx

Af\x)=-

X

....當(dāng)

20Ax2

故答案為：

4.一個(gè)球的表面積為100萬，一個(gè)平面截該球得到截面圓直徑為6,則球心到這個(gè)平面的距離為

【答案】4

【解析】

【分析】先由球的表面積為100萬，求出球的半徑，再利用勾股定理可求得結(jié)果

【詳解】解：設(shè)球的半徑為「，由題可知4乃戶=100?，r=5.

所以球心到這個(gè)平面的距離為=4.

故答案為：4

5.已知〃=(x—百,y),6=(x+Q,y),且滿足同+忖=4,則點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程為

2

【答案】—+y2=l

4-

【解析】

【分析】利用條件和向量的模得出小卜―可+++,2=4,結(jié)合其幾何意義，再利用橢圓

的定義，即可求出軌跡方程.

由同+|q=4可得，｛(x—6)+y2+J(x+6)+y2=4，

上式的幾何意義是：

尸(x,y)與點(diǎn)耳(6,01鳥(―6。)的距離之和是4,且4>2百，

即歸耳|+|%|=4>|耳閭,

所以點(diǎn)P(九,y)的軌跡是以《，工為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=4,c=百,

貝!J〃=2,b1=a1-c1=\,

所以點(diǎn)P（x,y）的軌跡方程為：^+/=1.

故答案為：—+/=1.

4

6.已知物體的位移d（單位：m）與時(shí)間/（單位：S）滿足函數(shù)關(guān)系d=2sinf,則在時(shí)間段。e（2,6）內(nèi),

物體的瞬時(shí)速度為lm/s的時(shí)刻,=（單位：s）.

?小華.5兀

【答案】y

【解析】

【分析】可求出導(dǎo)函數(shù)儲(chǔ)=2cos/,根據(jù)d=l即可求解.

【詳解】由題可得：d'=2cos，=l,

可得cos/=,，又/￡（2,6）,

2

可得r=g.

5兀

故答案為：--.

3

7.函數(shù)y（x）=（x—2卜22的嚴(yán)格增區(qū)間是.

【答案】［|,+8）

【解析】

【分析】由導(dǎo)數(shù)刊^）＞。，即可解得.

【詳解】因?yàn)椤?（%—2戶"3,所以尸（力=（2九一3n2叫

由第X）＞0可得X〉；所以函數(shù)〃X）=（X—2/23的嚴(yán)格增區(qū)間是1|,+8：

故答案為：

X2V2

8.設(shè)a＞l,則雙曲線）——J=1的離心率的取值范圍是________.

a（。+1）

【答案】（V2,^5）

【解析】

【分析】由雙曲線方程得到°?即可表示出離心率e=+1，再由。的取值范圍計(jì)算可得.

【詳解】雙曲線之一一J=1,222

則0?=a+(?+1)=2a+2a+l,

?2（a+1）2

所以離心率e=±=\H=?礦+2a+l=|j_+2+24+1+L

a\aVa\aa

因?yàn)閍>l,所以0<工<1,所以1<，+1<2,則2<（工+1+1<5，

aaya）

所以后+1<6，

即ee（應(yīng)，石｝

故答案為：

22

9.已知點(diǎn)尸為雙曲線土-乙=1右支上一點(diǎn)，耳,工分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，/為4月的內(nèi)心，若

169

S4ipR=S4IPF?+1S叢IRF?成立，貝!IA的值為.

4

【答案】y##0.8

【解析】

【分析】由條件結(jié)合內(nèi)心的定義及三角形面積公式可得用"=3「耳卜廠+丸6，再根據(jù)雙曲線的定義

化簡(jiǎn)可求4.

【詳解】設(shè)耳的內(nèi)切圓半徑為小

由雙曲線的定義得歸國(guó)―儼閭=2a,閨閭=2c

S"PR=Q|P片卜廠總歐=-\PF2\-r,SJFIF2=--2c-r=cr

由題意得=+

又雙曲線上一匕=1的a=4力=3,

169

4

代入上式得：^=-,

10.己知圓。：必+,2=3,/為過的圓的切線，A為/上任一點(diǎn)，過A作圓N：

（x+2y+y2=4的切線，則切線長(zhǎng)的最小值是.

【答案】圾

3

【解析】

【分析】先求得/的方程，再根據(jù)圓心到切線的距離，半徑和切線長(zhǎng)的勾股定理求最小值即可

故直線/的斜率為—左,故/的方程為y—&=—￥（x—1）,

【詳解】由題，直線的斜率為0

卜2+0-3|5

即x+&y—3=0.又N至M的距離4=彳/丁=耳,故切線長(zhǎng)的最小值是

故答案為：叵

3

11.已知偶函數(shù)/（x）=Gsin（0x+9）—cos（0x+9）（0>O,|@<m；^（O,2）上有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn),

沒有極小值點(diǎn)，則。的取值范圍為.

【答案】[pTt

【解析】

【分析】首先利用輔助角公式得/（x）=2sin[0x+°—Wj,根據(jù)其奇偶性和9的范圍求出展—會(huì)則

f（x）=-2cos（（yx）,令t=GJX,利用余弦函數(shù)圖象得兀<2。42兀，解出即可.

^-sin(&)x+

9)一；cos(<7Zx+71]

【詳解】〃力二2夕)二2sin+為偶函數(shù),

21

IT7T2

所以0——=一+左刀■(左￡Z),即夕=一兀+左兀,左WZ,

623

因?yàn)榫W(wǎng)＜3,所以0=-三，所以/(x)=2sinox————1-—2cos,

令1=6UX,由0<%<2得，e(0,2(0)，所以/(%)轉(zhuǎn)化為f(t)=-2cost,tG(0,20),

如圖:/⑺=-2cost在(0,2。)上有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)沒有極小值點(diǎn)時(shí),

則兀＜2tyW2兀，所以、＜。＜兀,即。的取值范圍為[1，兀

212

r+11

12.己知函數(shù)，(x)=x+i,g(x)=x+-+a.若g(/(x))=0有三個(gè)不同的根，則。的取值范圍

11%

—+—,%＜-1

.尤2

為.

(10、

【答案】一叫一三

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，畫出草圖，然后數(shù)形結(jié)合解出結(jié)果.

3rex

【詳解】當(dāng)％〉—1時(shí)，r(x)=——T，所以『3在(—1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增,

(X+1)2

又/(0)=3,%f+8時(shí)，—-1時(shí)，/(x)-+oo,所以/'(x)e[3,+oo)；

當(dāng)xWT時(shí)，易知Ax)在(—8,—1]上單調(diào)遞減，所以/(x)e.

作出函數(shù)的大致圖象如圖所示.

令t=則數(shù)形結(jié)合可知方程g（/）=o有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別記為小馬，

且6e-1,1L{3},Z2e（3,+oo）,而方程g?）=0有兩個(gè)不同的根等價(jià)于函數(shù)y=f與>的圖象

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為九/2?

數(shù)形結(jié)合可知乙,2￡（3,+8）.令/?）=/+；1,令<(p<—U,

，解得a<----

3

/⑶<-a

10

故答案為:-OO---------

3

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）

13.已知平面￡,直線/、m,若加ua,則“〃/加”是“Illa”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】利用線面的位置關(guān)系結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】若〃/加，且加ua,貝"http://￡或/ua,即“〃/加”R“Illa”；

若///tz,且mua,則〃/機(jī)或/、冽異面，則“Uhn”生“///￡”.

因此，“〃/m”是“///e”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

14.（x+Ip’的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（）

A.第11項(xiàng)B.第12項(xiàng)C.第13項(xiàng)D.第14項(xiàng)

【答案】C

【解析】

［分析］根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.

2424r

【詳解】因?yàn)?x+1)的展開通項(xiàng)公式為Tr+l=C^4x-,

又當(dāng)r=12時(shí)，取最大值，

則系數(shù)最大的項(xiàng)是第13項(xiàng)看3=C；%".

故選：C.

兀71

15.設(shè)定義在-萬，'上的函數(shù)/(x)=xsiiu+cos%,則不等式/的解集是()

L43)(34」L23)(32」

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得/(%)為偶函數(shù)，然后求導(dǎo)可得"%)在(og單調(diào)遞增，再由函

數(shù)的單調(diào)性與奇偶性列出不等式求解，即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于函數(shù)/(%)=xsiwc+cosx,f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsiwc+cosx=f(x),并且定

義域一方《關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，/(X)是偶函數(shù)，

/'(%)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,當(dāng)X卜寸，COSX>0,X>0,/./'(X)>0,/(X)是增函數(shù)，

"X<?_i|…①

jrJT

.,?對(duì)于/(2x)〈/(x—l)有<V2x<—...(2)

由①得—1<X<—>

3

由②得---VxV—，

44

7171

由③得1——〈九《1+—,

22

.71.711兀.兀

*/-1<——<1——<-<—<1+—,

42342

1兀/1

23

故選：c

16.在平面上，若曲線r具有如下性質(zhì)：存在點(diǎn)〃，使得對(duì)于任意點(diǎn)Per,都有使得

1PM卜|加|=1.則稱這條曲線為“自相關(guān)曲線”.判斷下列兩個(gè)命題真假()

①所有橢圓都是“自相關(guān)曲線”.②存在是“自相關(guān)曲線”的雙曲線.

A①假命題；②真命題B.①真命題；②假命題

C.①真命題；②真命題D.①假命題；②假命題

【答案】B

【解析】

【分析】由新定義求解曲線上任一點(diǎn)P到定點(diǎn)M距離的取值范圍A,當(dāng)任意xeA,都有時(shí)，曲線

X

滿足定義，結(jié)合橢圓與雙曲線的性質(zhì)判斷，

22

【詳解】對(duì)于①，不妨設(shè)橢圓方程為=+當(dāng)=l(a〉6〉0),

ab

則橢圓上一點(diǎn)P到M距離為

IPM|=J(x-tn)2+J=J(%—tn)^+b2——%2=J(1—一21nx+w2+Z?2,—a<x<a，

m

,,—,x=-----7T>a

當(dāng)機(jī)〉。時(shí)，對(duì)稱軸b2可得|PM|e[m—a,m+a],

12

a

總存在加使得(〃La)(〃z+")=l，此時(shí)滿足題意，故任意橢圓都是“自相關(guān)曲線”，故①正確,

對(duì)于②，對(duì)于給定雙曲線和點(diǎn)P,顯然1PMi存在最小值，而M橫坐標(biāo)趨近于無窮大時(shí)，1PMi趨近于

無窮大，|PM|e[m,+8),故不滿足題意，不存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”故②錯(cuò)誤，

故選：B

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于新定義的理解，轉(zhuǎn)化為求曲線上任一點(diǎn)到定點(diǎn)/距離的取值范圍，再結(jié)合橢圓與雙

曲線的性質(zhì)判斷即可.

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須寫出必要的步驟.

17.本學(xué)期初，某校對(duì)全校高二學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)測(cè)試(滿分100),并從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，以

此為樣本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示頻率分布直方圖.

（1）估計(jì)該校高二學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和85%分位數(shù)；

（2）為進(jìn)一步了解學(xué)困生的學(xué)習(xí)情況，從數(shù)學(xué)成績(jī)低于70分的學(xué)生中，分層抽樣6人，再?gòu)?人中任取

2人，求此2人分?jǐn)?shù)都在［60,70）的概率.

【答案】（1）平均數(shù)為75.5,85%分位數(shù)為88；

⑵2

5

【解析】

【分析】（1）由頻率分布直方圖的面積和為1求出。后，再由平均數(shù)，百分?jǐn)?shù)的算法求出即可；

（2）利用分層抽樣和古典概率的算法求出即可；

【小問1詳解】

由（。+0.02+0.035+0.025+a）x10=1,解得a=0.01.

該校高三學(xué)生期初數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為55x0.1+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.1=75.5.

前3組頻率和為0.1+0.2+0.35=0.65,所以85%分位數(shù)為80+型優(yōu)4^x10=88.

0.25

【小問2詳解】

分層抽樣抽取的6人中，［50,60）的有6義0」=2人,記為L(zhǎng)2.

［60,70）的有6—2=4人，記為3,4,5,6,

從6人中任取2人，基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共15種,

其中2人分?jǐn)?shù)都在［60,70）的有34,35,36,45,46,56共6種，

所以從6人中任取2人，分?jǐn)?shù)都在［60,70）的概率為^=|,

18.已知拋物線=2py（p>0）焦點(diǎn)產(chǎn)在直線x—y+l=0上

（1）求拋物線C的方程

（2）設(shè)直線/經(jīng)過點(diǎn)4（-L-2）,且與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線/的方程

【答案】（1）x2=4y

（2）/的方程為x=_］、y=x-l.y=-2x-4

【解析】

【分析】（1）求得產(chǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得P,進(jìn)而求得拋物線。的方程.

（2）結(jié)合圖象以及判別式求得直線/的方程.

【小問1詳解】

拋物線C：f=2py（p>0）的焦點(diǎn)在y軸上，且開口向上，

直線X—y+l=。與y軸的交點(diǎn)為（0,1）,則尸（0,1）,

所以^=l,p=2,拋物線的方程為f=4y.

【小問2詳解】

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線x=-l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).

那個(gè)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y+2=%（X+1）,

y+2=k（x+l）x2

〈2“^>—+2=kx+k,x2—4Ax+8_4左=0，

x2=4y4

△=16左2—4（8—4左）=16左2+16左一32=0,左之十左_2=0解得左=1或左=—2.

所以直線/的方程為y=x-i或y=-2%-4

綜上所述，/的方程為x=—1、丫=尤-1、y=-2x-4.

19.某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底。在水平線MN上，橋AB與

平行，為鉛垂線（O'在A8上）.經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線A。上任一點(diǎn)。到的距離4（米）與。到

OO'的距離a（米）之間滿足關(guān)系式％=焉力；右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離為（米）與尸到的

距離b（米）之間滿足關(guān)系式飽=-工/+66.已知點(diǎn)B到OO'的距離為40米.

(1)求橋A8的長(zhǎng)度；

(2)計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩C。和EF,且CE為80米，其中C,E在A8上(不包括端

3

點(diǎn)).橋墩EF每米造價(jià)回萬元)、橋墩CD每米造價(jià)一上(萬元)(左>0).問O'E為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總

2

造價(jià)最低？

【答案】(1)120米(2)O'E=20米

【解析】

【分析】(1)根據(jù)A,B高度一致列方程求得結(jié)果；

(2)根據(jù)題意列總造價(jià)的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即得結(jié)果.

【詳解】(1)由題意得--—X403+6X40/.|O'A\=80

40800

:.\AB|=|O'A|+1O'B|=80+40=120米

(2)設(shè)總造價(jià)為了(尤)萬元，|。'。|=L><802=160,設(shè)|O'E|=x,

40

la31,

/(%)=Z:(l60+—X3-6%)+-A:[l60--(80-%)2],(0<X<40)

/W=^(160+^^x3f'(x)=%(^^公一卷x)=0：.x=20(0舍去)

當(dāng)0<x<20時(shí)，/'(x)<0；當(dāng)20<x<40時(shí)，f\x)>0,因此當(dāng)尤=20時(shí)，/⑺取最小值，

答：當(dāng)O'E=20米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低.

【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際成本問題、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

22,3、1

20.如圖，已知橢圓C:=+營(yíng)=1??〉6〉0)經(jīng)過點(diǎn)尸離心率e=].

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)橢圓C上任意點(diǎn)T,x軸上一點(diǎn)S(機(jī),0),若|75|的最小值為|加+2],求實(shí)數(shù)用的取值范圍;

(3)設(shè)A3是經(jīng)過右焦點(diǎn)尸的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)P),直線A3與直線/:X=4相交于點(diǎn)聞,記

PA,PB,PM的斜率分別為匕狀2,%，求證:3匕次2成等差數(shù)列.

22

【答案】(1)—+^-=1

43

(2)m<--

2

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率求出a=2,c=l,從而求出/=/—。2=3,得到橢圓方程；

2

(2)設(shè)T(蒼y),|TS『=5-2〃a+〃/+3,討論對(duì)稱軸與定義域的關(guān)系即可得出答案.

(3)先得到直線A3的斜率一定存在，設(shè)出直線A3的方程，求出河(4,3左)，直線A3的方程與橢圓方

程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，進(jìn)而表達(dá)出左，左2，匕，從而得證.

【小問1詳解】

由題意，點(diǎn)在橢圓W+5=l上得，可得:+京=1①

1C1

又由e=一,所以一二—②

2a2

由①②聯(lián)立且，=/—〃，可得,=1，/=4，〃=3,

22

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^=1.

43

【小問2詳解】

(2、2

設(shè)T(x,y),\TS^=(x-m)2+y2=(x-m)2+31-^-=^--2mx+m2+3,

2

令g(%)=?—2mx+m2+3,對(duì)稱軸為x=4相,因?yàn)椤?Wx?2,

當(dāng)4m<—2,即加<—,

2

g(")min—2)=l+4m+m2+3=4m+m2+4=(m+2)2,故符合題意;

當(dāng)4m>2,即加>：,

—222

g（x）mm=g（2）—14m+m+3=-4m+m+4=（m—2）,

所以（m—2）2=（根+2）2,解得羽=0,不符合題意；

當(dāng)一2<4m<2,即一,V加工』，

22

91

g=g（4m）=-3m2+3=（m+2）,解得機(jī)=一萬；

所以實(shí)數(shù)用的取值范圍為：加W-工.

2

【小問3詳解】

由（1）知，橢圓的方程為\+方=1,可得橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)/。,0）,

顯然直線AB斜率存在，設(shè)AB的斜率為左，則直線AB的方程為y=Z（九-1）,

y=左（％-1）

22

聯(lián)立方程組《22整理得（4左②+3）x-Skx+4（左2—3）=0,

土+匕=1

[43

8k°42-3

易知A>0,設(shè)A（%，x）,B（x2,y2）,則有西+馬

由直線A3的方程為丁=左（兀一1）,令尤=4,可得y=3左，即加（4,3人），

333

3O7k----

從而匕=-2--k2=-2-'k3____2

玉一1x2-14-1

又因?yàn)楣簿€，則有左=左”=演,，即有』7="h=左，

/一1%2-1

33

所以715%—2%%3（11'

m么匕+42=+=1+-2+

%一11玉-]%2—121%]—1

=2k------------.+12-2

2元送2—（玉+%2）+1

8k2

將西+“蕓？卬"*?'34左2+3-

代入得匕+左2=2左一了=2k-l

4『3）8k2

4/+34/+3+

又由&=左一g，所以4+&=2&,即匕，%,42成等差數(shù)列.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(七,%),(%2，%)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X(或y)的一元二次方程，注意A的判斷；

(3)列出韋達(dá)定理；

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為西+%2、(或%+上、%%)的形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

21.己知函數(shù)/(九)=Jinx

⑴求曲線y=/(%)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

(2)求證：函數(shù)y=/(x)的圖象位于直線V=x的下方；

(3)若函數(shù)g(x)=/(x)+a(%2—%)在區(qū)間(1,+8)上無零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】(1)y=x-l

(2)證明見解析(3)(一8,—1］。［0,+8)

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)要證明只需要證明lnx<Jl即證lnx-?<0，構(gòu)造//(%)=lnx—利用導(dǎo)數(shù)求出

函數(shù)的最大值即可得證；

(3)對(duì)。分情況討論，在。<0時(shí)，g'(x)=+倉(cāng)+。(2%—1),結(jié)合lnx<6即可求解，在0>a>—1

2y/x