數(shù)學古典概型教案-2024-2025學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

第十章概率10.1隨機事件與概率10.1.3古典概型

一、教學目標1.了解概率的基本算法及其意義.2.了解古典概型的兩大特征并能識別古典概型問題.3.掌握古典概型的概率計算方法.4.熟悉求解古典概型概率問題的一般思路并能適當拓展應用.

二、教學重難點重點：古典概型的兩大基本特征：有限性、等可能性.難點：求不放回類古典概型問題的概率．

三、教學過程（一）創(chuàng)設情境十七世紀時，意大利醫(yī)生兼數(shù)學家卡當曾參加過這樣一種賭法：把兩顆骰子擲出去，以每個骰子朝上的點數(shù)之和作為賭的內容，已知骰子的六個面上分別為1～6點，那么賭注下在多少點上最有利？卡當經過研究后預言押7最好，你知道這是為什么嗎？先談談你的想法，等學完后面的知識我們再來探討。師生活動：由學生簡單討論故事中為什么押7最好；感受概率的特點.設計意圖：通過直觀感受，調動課堂氣氛和學生積極性，同時也可以讓學生通過參與其中更明確的感受概率的特點，以及理解概率問題在生活中的應用.（二）探究新知任務1：探究古典概型的定義及其特征探究：標號分別為0~9的彩票搖號試驗、拋擲一枚均勻硬幣的試驗及投擲一枚質地均勻骰子的試驗，它們的基本事件包含哪些？樣本空間分別是什么樣的？樣本點有什么特點？它們的共同特征有哪些？答：搖號試驗中，基本事件指每一個搖中的號碼，其樣本空間內的樣本點為10個有限，且可能性相同；拋擲硬幣試驗中，基本事件包括正面向上、反面向上兩種結果，樣本空間內的樣本點有2個，是有限的，且樣本點發(fā)生的可能性相同；投擲骰子試驗中，基本事件包括6種不同的點數(shù)，其樣本點個數(shù)為6，每個樣本點發(fā)生的可能性相同.共同特征：1.樣本空間內的樣本點是有限個；也叫做有限性；2.每個樣本點發(fā)生的可能性是相同的；也叫做等可能性.設計意圖：通過對平時接觸比較多的事件，對比分析，歸納出共同特征；由于試驗都比較常見，對比分析時可以更清晰的感受到共同特點，由此可以鍛煉孩子們獨立思考、對比歸納的能力.總結：從前面的案例中我們可以總結出：我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.古典概型的兩大基本特征為：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率通常用P(A)進行表示.思考：下面的概率是否為古典概型？(1)某同學隨機向靶心射擊，命中10環(huán)的的概率(2)從區(qū)間[0，1]內任取一個數(shù)，取到2的概率(3)拋一枚不均勻硬幣，觀察其正面或反面出現(xiàn)的情況答：(1)不符合等可能性；所以不是古典概型.(2)中不符合有限性，所以不是古典概型.(3)不符合等可能性；所以不是古典概型.任務2：探究古典概型的概率算法探究：考慮下面兩個隨機試驗，如何度量事件A和事件B發(fā)生的可能性大?。?1)一個班級中有18名男生、22名女生．采用抽簽的方式，從中隨機選擇一名學生，事件A＝“抽到男生”；(2)拋擲一枚質地均勻的硬幣3次，事件B＝“恰好一次正面朝上”．提示：需要考慮兩個問題，它們是古典概型嗎？事件A、B發(fā)生的概率是多大？要求：合作探究：1.先獨立探究，再小組合作充分討論；2.每小組挑選一名代表展示小組討論結果；3.討論時間5分鐘.答：(1)班級中共有40名學生，從中選擇一名學生，因為是隨機選取的，所以選到每個學生的可能性都相等，這是一個古典概型. 這個隨機試驗的樣本空間中有40個樣本點，而事件A＝“抽到男生”包含18個樣本點．因此，事件A發(fā)生的可能性大小為920(2)用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則試驗的樣本空間,Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}，共有8個樣本點，且每個樣本點是等可能發(fā)生的，所以這是一個古典概型．因為B＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，所以事件B發(fā)生的可能性大小為38說一說：通過對上述兩個問題的分析討論，總結出古典概型的概率計算方法.答：古典概型的概率計算公式:一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝kn＝n(A)n(Ω)，其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間總結：求解古典概型問題的一般思路(1)明確試驗的條件及要觀察的結果，用適當?shù)姆?字母、數(shù)字、數(shù)組等)表示試驗的可能結果(借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結果).(2)根據(jù)實際問題情境判斷樣本點的等可能性；(3)計算樣本點總個數(shù)及事件A包含的樣本點個數(shù)，求出事件A的概率．設計意圖：通過比較完整的自主探究過程，引導學生歸納古典概型中概率的求取方法；而概率運算的規(guī)則方法是非常重要的，在合作討論、計算的過程中發(fā)現(xiàn)古典概型概率的一般算法.(三)應用舉例例1：單項選擇題是標準化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案.如果考生掌握了考查的內容，他可以選擇唯一正確的答案.假設考生有一題不會做，他隨機地選擇一個答案，答對的概率是多少？解：試驗有選A、選B、選C、選D共4種可能結果，試驗的樣本空間可以表示為?={A,B,C,D}.考生隨機選擇一個答案，表明每個樣本點發(fā)生的可能性相等，所以這是一個古典概型.設M=“選中正確答案”，因為正確答案是唯一的，所以n{M}=1.所以，考生隨機選擇一個答案，答對的概率P(M)=14思考：你認為單選題與多選題哪種更難做對？為什么？答：對4個選項的多選題而言，選法共有15種，而正確答案只有一種，占了115例2：拋擲兩枚質地均勻的骰子(標記為Ⅰ號和Ⅱ號)，觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結果.(1)寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；(2)求下列事件的概率：“兩個點數(shù)之和是5”；“兩個點數(shù)相等”；“Ⅰ號骰子的點數(shù)大于Ⅱ號骰子的點數(shù)”提示：判斷古典概型需要滿足的條件：有限性、等可能性.解：(1)拋擲一枚骰子有6種等可能的結果，Ⅰ號骰子的每一個結果都可與Ⅱ號骰子的任意一個結果配對，組成擲兩枚骰子試驗的一個結果.用數(shù)字m表示Ⅰ號骰子出現(xiàn)的點數(shù)是m，數(shù)字n表示Ⅱ號骰子出現(xiàn)的點數(shù)是n，則數(shù)組(m,n)表示這個試驗的一個樣本點.因此該試驗的樣本空間，?={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4，5，6}}其中共有36個樣本點.由于骰子的質地均勻，所以各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，因此這個試驗是古典概型。(2)由(1)可知，樣本空間為36，而點數(shù)為5的可能結果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)四種，因此P(A)=436=1設點數(shù)相等為事件B；則B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},所以P(B)=16設“Ⅰ號骰子的點數(shù)大于Ⅱ號骰子的點數(shù)”為事件C，則C={(2,1),(3,2),(3,1),(4,3),(4,2),(4,1),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1),(6,5),(6,5),(6,3),(6,2),(6,1)}所以P(C)=1536=5思考：上例中，為什么要把兩枚骰子標上記號？不標記號會出現(xiàn)什么情況？答：若不對兩枚骰子分別標號，則結果變?yōu)橐虼怂袠颖军c21個,事件A的結果僅有(2,3)，(1,4)兩個，所以此時：P(A)=2思考：同一個事件的概率，為什么會出現(xiàn)兩個不同的結果？答：合并為21個結果時，(1,1)，(1,2)發(fā)生的可能性的大小不等，不符合古典概型特征，就不能用古典概型公式計算概率，因此P(A)=221【總結】若試驗不是古典概型，則不能用古典概型的概率公式計算某事件發(fā)生的概率.計算古典概型概率的關鍵是求樣本總個數(shù)和所求事件包含的樣本點個數(shù).例3：袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，求下列事件的概率：A＝“第一次摸到紅球”；B＝“第二次摸到紅球”；AB＝“兩次都摸到紅球”．提示：將兩個紅球編號為1，2，三個黃球編號為3，4，5，組成20種等可能的結果第一次第二次123451×(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)2(2，1)×(2，3)(2，4)(2，5)3(3，1)(3，2)×(3，4)(3，5)4(4，1)(4，2)(4，3)×(4，5)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)×解：(1)第一次摸到紅球的可能結果有8種(表中第1，2行)，即A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}，所以P(A)=25(2)第二次摸到紅球的可能結果也有8種(表中第1、2列)，即B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)}，所以P(B)=25(3)事件AB包含2個可能結果，即AB＝{(1，2)，(2，1)}，所以P(AB)=110例4：從兩名男生(記為B1和B2)、兩名女生(記為G1和(1)分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間.(2)在三種抽樣方式下，分別計算抽到的兩人都是男生的概率．提示：放回抽取時總體單位數(shù)不變,個體被選取概率相同;不放回抽取時總體單位數(shù)減少,個體被選取概率不同.解：設第一次抽取的人記為x1，第二次抽取的人記為x2，則可用數(shù)組(x1，(1)根據(jù)相應的抽樣方法可知：有放回簡單隨機抽樣的樣本空間Ω1＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}．不放回簡單隨機抽樣的樣本空間Ω2＝{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}．按性別等比例分層抽樣，先從男生中抽一人，再從女生中抽一人，其樣本空間Ω3＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)}．(2)設事件A＝“抽到兩名男生”，則對于有放回簡單隨機抽樣，A＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B2，B1)，(B2，B2)}．因為抽中樣本空間Ω1中每一個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型．因此P(A)＝416對于不放回簡單隨機抽樣，A＝{(B1，B2)，(B2，B1)}．因為抽中樣本空間Ω2中每一個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型．因此P(A)＝212＝1因為按性別等比例分層抽樣，不可能抽到兩名男生，所以A＝?，因此P(A)＝0．例5：一個口袋內裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球，求：(1)樣本空間的樣本點的總數(shù)n；(2)事件“摸出2個黑球”包含的樣本點的個數(shù)；(3)摸出2個黑球的概率.提示：將黑球編不同的號是為了區(qū)分雖然都是黑球但是并不相同.解：由于4個球的大小相等，摸出的每個球的可能性是均等的，所以是古典概型.(1)將黑球編號為黑1，黑2，黑3，從裝有4個球的口袋內摸出2個球，樣本空間Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6個樣本點.(2)事件“摸出2個黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3個樣本點.(3)樣本點總數(shù)n＝6，事件“摸出兩個黑球”包含的樣本點個數(shù)m＝3，故P＝36＝12，即摸出2個黑球的概率為【總結】1.列舉法：主要適用于樣本點較少，容易一一列舉的問題；2.樹狀圖法：為了直接看到結果，且為了避免列舉時容易出現(xiàn)的重復或遺漏錯誤所使用的一種方法；3.表格法：利用表格清晰展示兩組對象之間的組合結果時使用.例6：從含有兩件正品a1，a2和一件次品(1)求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率；(2)如果將“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”，則取出的兩件產品中恰有一件次品的概率是多少？提示：恰有一件，表示有且只有一件，即兩次只有一次符合.解：(1)每次取一件，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結果組成的樣本空間Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(則A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，事件A由4個樣本點組成，所以(2)有放回地連續(xù)取出兩件，其一切可能的結果組成的樣本空間Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1用B表示“恰有一件次品”這一事件，則B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(事件B由4個樣本點組成，所以P(B)＝49【總結】(1)關于不放回抽樣，計算樣本點個數(shù)時，既可以看做是有順序的，也可以看做是無順序的，其最后結果是一致的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會產生錯誤.(2)關于有放回抽樣，應注意在連續(xù)取出兩次的過程中，因為先后順序不同，所以(x，y)，(y，x)不是同一個樣本點.解題的關鍵是要清楚無論是“不放回抽取”還是“有放回抽取”，每一件產品被取出的機會都是均等的.(四)課堂練習1.一個口袋內裝有1個白球和編號分別為1,2,3的3個黑球，它們的大小、質地相同，從中任意摸出2個球．(1)寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；(2)“摸出的2個球都是黑球”記為事件A，用集合表示事件A．解：(1)這個試驗的樣本空間Ω={(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，且每個樣本點是等可能出現(xiàn)的，這個試驗是古典概型；(2)由條件可得A={(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}．2.下列有關古典概型的四種說法：?①試驗中所有可能出現(xiàn)的樣本點只有有限個;?②每個事件出現(xiàn)的可能性相等;?③每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等;?④已知樣本點總數(shù)為n，若隨機事件A包含k個樣本點，則事件A發(fā)生的概率P(A)=k其中所有正確說法的序號是()A.?①?②?④ B.?①?③ C.?③?④ D.?①?③?④解：?②中所說的事件不一定是基本事件，所以?②不正確;根據(jù)古典概型的特點及計算公式可知?①?③?④正確.故選D．3.將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是__________.解：根據(jù)題意可得基本