自動控制原理 4.2 學(xué)習(xí)資料

4.2頻率特性的圖形表示法幅相曲線——Nyquist圖（或極坐標(biāo)圖）Bode圖——對數(shù)幅頻特性和相頻特性頻域分析是一種圖解方法，系統(tǒng)分析和設(shè)計都是建立在頻率特性的圖形基礎(chǔ)之上。4.2.1

幅相曲線——Nyquist圖在復(fù)平面上，隨ω（0~∞）的變化，向量G(jω)端點的變化曲線（軌跡），稱為系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線。得到的圖形稱為系統(tǒng)的奈奎斯特圖或極坐標(biāo)圖。易知，向量G(jω)的長度等于|G(jω)|；由正實軸方向沿逆時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)為正方向至向量G(jω)方向的角度等于

(ω)（∠G(jω)）極坐標(biāo)圖在頻域穩(wěn)定性判據(jù)中非常有用；如何繪制極坐標(biāo)圖？例：繪制一階慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線這是圓心在(0.5,0)半徑為0.5的半圓。若作出對應(yīng)

（－，0）的幅相曲線，則為上半圓，關(guān)于實軸對稱。時，＝arctg(-1)=－45°例：繪制二階環(huán)節(jié)的幅相曲線類似的方法，可畫出典型環(huán)節(jié)的幅相曲線。<0>0例：繪制的幅相曲線例：繪制的幅相曲線起點在虛軸左側(cè)起點在虛軸右側(cè)起點在虛軸上求曲線與負(fù)實軸的交點,令

得才有解有零點，Nyquist曲線可能出現(xiàn)凹凸。系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖的繪制將開環(huán)傳遞函數(shù)表示成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式：將頻率特性寫成幅值與相角的形式：求、、和補(bǔ)充必要的特征點(如與坐標(biāo)軸的交點)，根據(jù)和的變化趨勢，畫出Nyquist

圖的大致形狀。Nyquist圖的一般形狀考慮如下系統(tǒng)：0型系統(tǒng)（v=0）I型系統(tǒng)（v=1）II型系統(tǒng)（v=2）開環(huán)沒有積分環(huán)節(jié)，Nyquist曲線起點自實軸上的某一有限遠(yuǎn)點；開環(huán)含有v個積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，Nyquist曲線起點自幅角為－v90°的無窮遠(yuǎn)處。n=m時，Nyquist曲線終點止于實軸上的某一有限遠(yuǎn)點。n>m時，Nyquist曲線終點幅值為0，而相角為－(n－m)×90°。不含一階或二階微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，相角滯后量單調(diào)增加。含有一階或二階微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，由于相角非單調(diào)變化，Nyquist曲線可能出現(xiàn)凹凸。4.2.2

bode圖——對數(shù)幅頻特性和相頻特性波德(Bode)圖（對數(shù)頻率特性圖）對數(shù)幅頻特性橫坐標(biāo)：以10為底的對數(shù)分度表示的角頻率,單位

rad/s；單位為分貝（dB）對數(shù)相頻特性橫坐標(biāo)：與對數(shù)幅頻特性圖相同?？v坐標(biāo)：線性分度，頻率特性的相角

(ω)單位為度(°)縱坐標(biāo)：線性分度，表示幅值對數(shù)的20倍，即：24681020406080P1P2P31十倍頻程十倍頻程一倍頻程一倍頻程一倍頻程一倍頻程十倍頻程(a)01234567(b)幾點說明：在對數(shù)頻率特性圖中，由于橫坐標(biāo)采用了對數(shù)分度，因此ω=0不可能在橫坐標(biāo)上表示出來，橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定；此外，橫坐標(biāo)一般只標(biāo)注ω的自然數(shù)值；對數(shù)坐標(biāo)拓寬了圖形所能表示的頻率范圍。在對數(shù)頻率特性圖中，角頻率ω變化的倍數(shù)往往比其變化的數(shù)值更有意義。為此通常采用頻率比的概念：頻率變化十倍的區(qū)間稱為一個十倍頻程，記為decade或簡寫為dec；可以注意到，頻率變化10倍，在對數(shù)坐標(biāo)上是等距的，等于一個單位。幅值采用對數(shù)的優(yōu)點幅值相乘變?yōu)橄嗉?，簡化作圖；可以利用漸近直線繪制近似的對數(shù)幅頻特性曲線；

將實驗獲得的頻率特性數(shù)據(jù)繪制成對數(shù)頻率特性曲線，可以方便地確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；例：繪制一階慣性環(huán)節(jié)的bode圖低頻段

T<<1時，高頻段

T>>1時，0分貝線，稱低頻漸近線斜率為－20dB/dec的直線，稱高頻漸近線，與0分貝線交于1/T處；稱＝1/T為轉(zhuǎn)折頻率。相頻特性為單調(diào)下降＝0，（0）＝0°＝1/T,（）＝-45°=,（

）＝-90°此處誤差最大處，為－3分貝。例：繪制二階環(huán)節(jié)的bode圖低頻段<<n時，高頻段>>n時，0分貝線，稱低頻漸近線斜率為－40dB/dec的直線，稱高頻漸近線，與0分貝線交于=n處；稱=n為轉(zhuǎn)折頻率。當(dāng)比較小時，L(

)可以高出零分貝，即G(j

)的模大于1，輸出幅值高于輸入幅值，由于諧振造成的。令在產(chǎn)生極值稱r為諧振頻率；產(chǎn)生諧振的條件其峰值為Mr＝0，（0）＝0°＝n,（）＝-90°=,（

）＝-180°由圖可見，當(dāng)

較小時，由于在＝n附近存在諧振，幅頻特性漸近線與實際特性存在較大的誤差，

越小，誤差越大。當(dāng)0.38<

<0.7時，誤差不超過3dB。

越大，相位變化越平緩?；榈箶?shù)的系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性關(guān)于0分貝線對稱對數(shù)幅頻特性相同，相頻特性關(guān)于－180度對稱對數(shù)幅頻特性相同，相頻特性關(guān)于－90度對稱最小相位環(huán)節(jié)與最小相位系統(tǒng)極點和零點全部位于s左半平面的環(huán)節(jié)，稱其為最小相位環(huán)節(jié)。與其對應(yīng)的具有相同幅頻特性、在s右半平面具有零點或(和)極點的“不穩(wěn)定”環(huán)節(jié)相比，相頻特性的絕對值最小。相應(yīng)的在s右半平面具有零點或(和)極點的“不穩(wěn)定”環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。幅值相同極點和零點全部位于s左半平面系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。反之，稱為非最小相位系統(tǒng)。對于穩(wěn)定的非最小相位系統(tǒng)只存在位于s右半平面的零點。易知，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍一定小于相應(yīng)的非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍。Bode證明：最小相位系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性存在唯一確定的關(guān)系。0.10.21210201000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[-20]積分環(huán)節(jié)L(ω)0.10.21210201000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[+20]微分環(huán)節(jié)L(ω)

0.10.21210201000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[+20]8db慣性環(huán)節(jié)L(ω)0db20db40db-20db--40dbL(ω)ω0.1110100[-40]振蕩環(huán)節(jié)L(ω)

0db20db40db-20db--40dbL(ω)ω0.1110100[40]二階微分L(ω)

系統(tǒng)開環(huán)bode圖的繪制將開環(huán)傳遞函數(shù)表示成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式：將頻率特性寫成幅值與相角的形式：對數(shù)幅頻特性和相頻特性都可以由各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性疊加而成。比繪制開環(huán)系統(tǒng)的幅相曲線方便。例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖。解：易知系統(tǒng)開環(huán)包括了五個典型環(huán)節(jié)：轉(zhuǎn)折頻率：ω3=2rad/s轉(zhuǎn)折頻率：ω4=0.5rad/s轉(zhuǎn)折頻率：ω5=10rad/s開環(huán)對數(shù)幅頻及相頻特性為：轉(zhuǎn)折頻率：ω3=2rad/s轉(zhuǎn)折頻率：ω4=0.5rad/s轉(zhuǎn)折頻率：ω5=10rad/s低頻段由型別決定高頻段由(n-m)決定I型系統(tǒng)，起始相位為－90°×u=-90°，(n-m)=3，終止相位為－90°×(n-m)＝－270°與幅相曲線結(jié)論一致。Bode圖特點

最低頻段的斜率取決于積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v，斜率為－20vdB/dec。

注意到最低頻段的對數(shù)幅頻特性可近似為：當(dāng)ω＝1rad/s時，L(ω)=20lgK，即最低頻段的對數(shù)幅頻特性或其延長線在ω＝1rad/s時的數(shù)值等于20lgK。對數(shù)幅頻特性的漸近線每經(jīng)過一個轉(zhuǎn)折點，其斜率相應(yīng)發(fā)生變化，斜率變化量由當(dāng)前轉(zhuǎn)折頻率對應(yīng)的環(huán)節(jié)決定。對慣性環(huán)節(jié)，斜率下降20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)，下降40dB/dec；一階微分環(huán)節(jié)，上升20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)，上升40dB/dec。確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率：例題：繪制開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線解：開環(huán)傳遞函數(shù)為低頻段：時為38db轉(zhuǎn)折頻率：0.5230斜率：-40-20-40時為52db繪制L(ω)曲線例題0.10.51210301000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[-20][-40][-20][-40]低頻段：時為38db轉(zhuǎn)折頻率：0.5230斜率：-40-20-40時為52db

L(ω)曲線如果根據(jù)實驗測出頻率特性的對數(shù)幅頻特性和相頻特性，則可以求出相應(yīng)的傳遞函數(shù)。例：如圖