正方形的性質(zhì)和判定（知識(shí)解讀+達(dá)標(biāo)檢測(cè)）-2024-2025學(xué)年蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)題型專練（含答案）

第06講正方形的性質(zhì)和判定

題型歸納________________________________________

【題型1利用正方形的性質(zhì)求解】

【題型2添一個(gè)條件使四邊形是正方形】

【題型3證明四邊形是正方形】

【題型4中點(diǎn)四邊形】

【題型5正方形的判定與性質(zhì)綜合】

基礎(chǔ)知識(shí),知識(shí)梳理理清教材

考點(diǎn)1：正方形的概念與性質(zhì)

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是

軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸）

題型分類深度剖析,）

【題型1利用正方形的性質(zhì)求解】

【典例1］（23-24八年級(jí)下?山東德州?期中）

1.如圖，在正方形"BCD的外側(cè)，作等邊三角形如用，則4ED的度數(shù)為（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【變式1-1］（23-24九年級(jí)下?遼寧鞍山?期中）

2.如圖，正方形NBCD的頂點(diǎn)A、8分別落在直角坐標(biāo)系的x軸、了軸上,

4（0,3）、8（1。則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

試卷第1頁，共12頁

A.（2,4）B.（4,2）C.（1,4）D.（4,1）

【變式1-2]（24-25九年級(jí)上?陜西榆林?期末）

3.如圖，點(diǎn)。為正方形428對(duì)角線/C的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)￡,連接

AE,CE.若為等邊三角形，AB=2,則的長(zhǎng)度為（）

E

A.V6B.四C.V6-V2D.2

2

【變式1-3]（23-24八年級(jí)下?河北滄州?階段練習(xí)）

4.如圖，點(diǎn)E在正方形內(nèi)，滿足N/E8=90。，AE=6,BE=8,則陰影部

基礎(chǔ)知識(shí),知識(shí)梳理理清教材

考點(diǎn)2：正方形的判定

※正方形常用的判定：

有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形；

鄰邊相等的矩形是正方形；

試卷第2頁，共12頁

對(duì)角線相等的菱形是正方形；

對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。

注意：正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系（如圖3所示）:

圖3

題型分類深度剖析,）

【題型2添一個(gè)條件使四邊形是正方形】

【典例2】（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?期中）

5.如果順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形，那么原來四邊形的

對(duì)角線一定滿足的條件是（）

A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直且相等

【變式2-1]（24-25九年級(jí)上?廣東佛山?階段練習(xí)）

6.如圖在中，NACB=90。,的垂直平分線跖交2C于點(diǎn)。，交于點(diǎn)

E,且=3尸，為了使四邊形3ECF是正方形.可以添加一個(gè)條件（）

A.CE=CFB.DE=DFC.乙4=45。D.E為的中點(diǎn)

【變式2-2]（24-25九年級(jí)上?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）

7.如圖，在矩形/BCD中，對(duì)角線NC、3。交于點(diǎn)。，添加下列一個(gè)條件，能使

矩形成為正方形的是（）

試卷第3頁，共12頁

A.BD=ACB.DC=ADC.ZAOB=60°D.OD=CD

【變式2-3]（24-25九年級(jí)上?廣東深圳?期中）

8.如圖，在中，N/=90。，點(diǎn)。，E,尸分別是邊8C，CA,的中點(diǎn)，

要使四邊形4FOE為正方形，不添加輔助線，可以添加的條件是（添加一個(gè)

條件即可）.

【題型3證明四邊形是正方形】

【典例3】（24-25九年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）

9.如圖，四邊形8CE。是平行四邊形，。為邊上的中點(diǎn)，AC=BC,連接

AE,CE.

（1）求證：四邊形WCE是矩形.

⑵若判斷四邊形"CE的形狀，并說明理由.

【變式3-1]（24-25九年級(jí)上?陜西咸陽?階段練習(xí)）

10.如圖，在正方形中，AOX.BD,垂足為。，過點(diǎn)。分別作8c于點(diǎn)

E,。尸，CD于點(diǎn)尸，求證：四邊形OEC尸是正方形.

試卷第4頁，共12頁

【變式3-2](2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))

11.如圖，在平行四邊形”88中，對(duì)角線/C與8。相交于點(diǎn)￡,ABAC=90°,

點(diǎn)G為4。的中點(diǎn)，連接CG,CG的延長(zhǎng)線交切的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R連接。尸.

⑴求證：AB=AF-

(2)請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件，使得四邊形/CDb為正方形.(不需要說明理由)

【變式3-31(24-25九年級(jí)上?遼寧盤錦?開學(xué)考試)

12.如圖，已知平行四邊形中，對(duì)角線NC、2。交于點(diǎn)。，￡是/C延長(zhǎng)線

上一點(diǎn)，若BE=DE.

(1)求證：四邊形"CO是菱形.

(2)若NBDC=ZACD,判斷四邊形/BCD的形狀，并說明理由.

【題型4中點(diǎn)四邊形】

【典例4】(22-23八年級(jí)下?江蘇泰州?階段練習(xí))

13.如圖，在四邊形中，E、E分別是40、8c的中點(diǎn)，G、H分別是3D、

/C的中點(diǎn).

⑴請(qǐng)判斷四邊形EGW的形狀，并說明理由.

(2)四邊形滿足什么條件時(shí)，四邊形EG/0是菱形，請(qǐng)說明理由.

(3)四邊形相。滿足什么條件時(shí)，四邊形EGF”是矩形，請(qǐng)說明理由.

試卷第5頁，共12頁

【變式4-1]（24-25九年級(jí)上?廣東佛山?期中）

14.如圖，點(diǎn)E,F,G,a分別為四邊形/BCD的邊BC,CD,。的中點(diǎn),

下列說法中不正確的是（）

A.四邊形EPG〃一定是平行四邊形

B.若AC=BD,則四邊形斯G”是菱形

C.^ACIBD,則四邊形EPG"是矩形

D.若四邊形28。是矩形，則四邊形斯G”是正方形

【變式4-2]（23-24八年級(jí)下?浙江溫州?階段練習(xí)）

15.如圖，在四邊形/BCD中，對(duì)角線NC,8。互相垂直，點(diǎn)E、F、G、X分別是

邊盟2C,Q）,A4的中點(diǎn)，依次連接這四個(gè)中點(diǎn)得到四邊形斯GH.

（1）求證：四邊形EFG"是矩形；

（2）若/C=9,2。=7,求四邊形EFG8的周長(zhǎng).

【變式4-3]（23-24八年級(jí)下?湖北武漢?期末）

16.已知四邊形N2C。，

(1)(2)

試卷第6頁，共12頁

(1)如圖(1),^AC=BD,點(diǎn)￡、F、G、H分別為43、BC、CD、04的中點(diǎn),

判斷四邊形即GH的形狀，并說明理由.

(2)如圖(2),若于。，AB=4,8=6,求BC2+N￡>2的值.

【題型5正方形的判定與性質(zhì)綜合】

【典例5](23-24八年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試)

17.如圖，在正方形/3CD中，射線NE與邊8交于點(diǎn)E,將射線NE繞點(diǎn)Z順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)，與C3的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)RBF=DE,連接也.

(1)求證：是等腰直角三角形；

(2)若四邊形/EC尸的面積為36,DE=6,直接寫出NE的長(zhǎng).

【變式5-1](23-24八年級(jí)下?吉林松原?階段練習(xí))

18.在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：

第一步：將矩形紙片的一角，利用圖①所示的方法折疊，使點(diǎn)3落在4)上的點(diǎn)尸

處，得到折痕連接斯，然后把紙片展平；

第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)尸處，得到折痕如

圖②.

根據(jù)以上操作，解答下列各題.

(1)求證：四邊形4砧尸是正方形；

(2)若45=8,AD=n,求線段的長(zhǎng).

【變式5-2](23-24九年級(jí)上?陜西榆林?階段練習(xí))

19.如圖，在矩形中，/胡。的平分線交于點(diǎn)E,EF4D于點(diǎn)、F,DGJLAE

試卷第7頁，共12頁

于點(diǎn)G,DG與EF交于■點(diǎn)、O.

(1)求證：四邊形/BE尸是正方形；

(2)若=求證：4B=AG；

⑶在(2)的條件下，已知/8=1,求。下的長(zhǎng).

【變式5-3](2023八年級(jí)下?江蘇?專題練習(xí))

20.在ZUBC中，NACB=90°,N4BC、/A4c的平分線相交于點(diǎn)。，DE1BC,

DF1AC,垂足為E、F.

(1)求證：四邊形OEC尸為正方形；

⑵若3c=8,AC=6,求正方形DEC尸的面積.

、幅達(dá)標(biāo)測(cè)試，

(24-25九年級(jí)上?廣東清遠(yuǎn)?期末)

21.如圖，在正方形/8C。中，等邊三角形NE尸的頂點(diǎn)E,尸分別在邊3C和上,

則NCEF=()

A.75°B.60°C.50°D.45°

試卷第8頁，共12頁

（24-25八年級(jí)上?山東青島?期末）

22.如圖，正方形點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，4E=3,BE=1.NEDC的平分線

交2C于點(diǎn)尸，點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)，則GP的長(zhǎng)為（）

（24-25八年級(jí)下?山東聊城?開學(xué)考試）

23.順次連接一個(gè)四邊形四邊的中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，則原四邊形一定是

（）

A.矩形B.平行四邊形

C.對(duì)角線互相垂直的四邊形D.任意四邊形

（24-25八年級(jí)下?山東聊城?開學(xué)考試）

24.在四邊形NBCD中，點(diǎn)。是對(duì)角線的交點(diǎn).在下列條件中，能判定這個(gè)四邊

形為正方形的是（）.

A.AC=BD,AB//CD

B.AD//BC,ZA=NC

C.OA=OB=OC=OD,AC1BD

D.OA=OC,OB=OD,AB=BC

（2025?河北秦皇島?一模）

25.小明用四根長(zhǎng)度相同的木條首尾相接制作了能夠活動(dòng)的學(xué)具，他先活動(dòng)學(xué)具

成為圖1所示形狀，并測(cè)得乙8=60。，接著活動(dòng)學(xué)具成為圖2形狀所示，并測(cè)得

乙48c=90。，若圖2中對(duì)角線8。=10/cm,則圖1中對(duì)角線8。的長(zhǎng)為（）

A.10cmB.loCcmC.10V3cmD.10V6cm

試卷第9頁，共12頁

（24-25九年級(jí)上?山西運(yùn)城?期中）

26.如圖，在正方形中，P是對(duì)角線8。上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸分別作尸

于點(diǎn)瓦小_LC。于點(diǎn)尸，連接NP,放.在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，下列結(jié)論不成立的

是（）

A.AP=EFB.AP1EF

C.NPFE=NBAPD.NPEF=NABP

（24-25九年級(jí)下?河北保定?開學(xué)考試）

27.小明用四根長(zhǎng)度相同的木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先活動(dòng)學(xué)具成為

圖1所示的菱形，并測(cè)得/2=60。，對(duì)角線/C=8cm,接著活動(dòng)學(xué)具成為圖2所示

的正方形，則圖2中正方形對(duì)角線/C的長(zhǎng)為cm.

（23-24八年級(jí)下?重慶?期末）

28.如圖，正方形E,尸分別是加，8C的中點(diǎn)，AF,OE相交于點(diǎn)G,

連接CG,若｛8=2,則CG的長(zhǎng)為.

（24-25九年級(jí)上?山西晉中?期末）

29.如圖，在正方形延。中，E是對(duì)角線2。上的一點(diǎn)，且8E="，連接CE.若

AB=2,則△C8E的面積為.

試卷第10頁，共12頁

(24-25九年級(jí)下?福建福州?開學(xué)考試)

30.如圖，在中，ZACB=90°,48=10,BC=6.

(1)尺規(guī)作圖，求作正方形8所，使。，E,尸分別在/C,AB,BC±.

(2)求(1)的條件下，求正方形CDE尸的邊長(zhǎng).

(24-25八年級(jí)上?新疆喀什?期末)

31.正方形中，E為上一點(diǎn)，尸為C5延伸線上一點(diǎn)，且/回吆=45。.

(1)求證：AF=CE；

(2)你認(rèn)為/尸與CE有怎樣的位置關(guān)系？說明原因.

(24-25九年級(jí)上?湖南株洲?期末)

32.如圖，在正方形N2C。的外側(cè)，作等邊角形血汨，連接BE、CE.

(1)求證：4BAE會(huì)4CDE；

(2)求乙的度數(shù).

(24-25九年級(jí)上?江西吉安?期末)

試卷第11頁，共12頁

33.【課本再現(xiàn)】

(1)如圖1,正方形N8CD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)。又是正方形N￡G。的一個(gè)

頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為1,四邊形。匹尸為兩個(gè)正方形重疊部分，

正方形44C0可繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng).則下列結(jié)論正確的是(填序號(hào)即可)

①△4E02BF0；②)OE=OF；③四邊形?！?尸的面積總等于;；

④連接EF，總有AE2+CF2=EF2.

【類比遷移】

(2)如圖2,矩形的中心。是矩形4耳。。的一個(gè)頂點(diǎn)，4。與邊相交于

點(diǎn)E,G。與邊C8相交于點(diǎn)尸，連接EF,矩形44G?？衫@著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，猜想

AE,CF,￡尸之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明.

44N----7\D

BFBTFC

c,G

圖1圖2

試卷第12頁，共12頁

1.c

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形

的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，由等邊三角形的性質(zhì)可得ND4E=ZAED=60°,進(jìn)而可得N3/E=150。,

又因?yàn)?結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，可得NN班的大小，進(jìn)而可求出ZB即的度數(shù).

【詳解】解：???△4DE是等邊三角形，

:./DAE=zAED=60AD=AE,

???四邊形是正方形，

:./BAD=90°,AD=AB,

.?./民4￡=90。+60。=150。，AE=AB,

.?^^￡5=1(180°-150°)=15°,

ZBED=60°-15°=45°.

故選：C.

2.D

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等

三角形是解題的關(guān)鍵.

由“A4S”可證A/OBGABEC,可得O/=8E=3,OB=CE=1,可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)C作軸于E,

:4(0,3),5(1,0),

OA—3,OB=1,

???四邊形48cD是正方形，

AB=BC,AABC=9Q0,

："ABO+NCBE=9G。,

-ZABO+ZBAO=90°,

：?/CBE=/BAO,

答案第1頁，共27頁

???NAOB=NCEB=90。,

：oAOB%BEC（AAS）,

；.BE=OA=3,CE=OB=\,

OE=3+1=4,

故選：D.

3.A

【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì).由四邊形是正方

形，得4B=BC=2,ZABC=90°,OA=OC=^AC,利用勾股定理求出NC的長(zhǎng)度，再利

用等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段和差即可解決問題.

【詳解】解：???四邊形是正方形，

AB=BC=2,ZABC=90°,OA=OC=-AC,

2

???由勾股定理得：AC=yjAB2+BC2=V8=2>/2>

???△/CE為等邊三角形，

???AC=AE=EC=2日

Ar1—

,-.AO=OC=OD=——=V2,OELAC,

2

???N/OE=90。，

???由勾股定理得：OE=[AE2-AO?=在，

故選：A.

4.C

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)

鍵.計(jì)算出正方形與三角形的面積即可得到答案.

【詳解】解：???/4石5=90。，AE=6,BE=8,

AB=jAE2+BE2=A/62+82=10,

/.Sdp*=—2xA2ExBE=—x6x8=24,

S陰-S正方形NBC。-S“EB=10x10-24=76.

答案第2頁，共27頁

故選c.

5.D

【分析】此題主要考查了正方形的性質(zhì)定理，中位線定理，熟練應(yīng)用中位線定理和正方形的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意畫圖，利用中位線定理得即〃尸G〃/C,EF//BD//HG,EF=^BD=GH,

FG=；AC=FG,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)得四個(gè)角是直角，四條邊相等，然后，根據(jù)平行

線的性質(zhì)即可解答.

【詳解】根據(jù)題意畫出圖形如下：

???E、F、G、〃分別是四邊形/BCD各邊/2、BC、CD、4D的中點(diǎn)，

：.EH//FG//AC,EF//BD//HG,

：.EF=-BD=GH,FG=-AC=FG,

22

?.?四邊形EbG"是正方形，

EF=FG=GH=HE,ZEFG=ZFGH=ZGHE=ZFEH=90°,

；.AC=BD,AC1BD,

故選：D.

6.C

【分析】根據(jù)菱形的判定定理，正方形的判定定理解答即可.

本題考查了菱形的判定，正方形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?8C的垂直平分線跖交于點(diǎn)。，交4B于點(diǎn)E,

BD=DC,EFIBC,EB=EC,FB=FC,

■■CE=CF,

BE=BF=EC=FC,

.??四邊形8EC尸是菱形，

故A不符合題意；

答案第3頁，共27頁

當(dāng)添加尸時(shí)，則四邊形BECP是平行四邊形，

BE=BF,

二四邊形3EC「是菱形，

故B不符合題意；

當(dāng)乙4=45。時(shí),

NACB=90°,

；.NABC=ZECB=45°,

ZBEC=90°,

二菱形3ECF是正方形，

故C符合題意；

當(dāng)￡為48的中點(diǎn)時(shí)，得到BE=CE

無法判定菱形8ECF是正方形，

故D不符合題意；

故選：C.

7.B

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及正方形的判定來添加合適的條件.本題考查了矩形的性質(zhì)，正方

形的判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能熟記正方形的判定定理.

【詳解】解：要使矩形成為正方形，可根據(jù)正方形的判定定理解答：

（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，

（2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.

，添加。C=/。，能使矩形N8CZ）成為正方形.

故選：B.

8.AB=AC（答案不唯一）

【分析】此題重點(diǎn)考查正方形的判定、三角形中位線定理等知識(shí)，推導(dǎo)出四邊形NFDE是矩

形是解題的關(guān)鍵.由中位線定理得到。E〃//，DF//AE,DE：AB,DF=\AC,結(jié)

合乙4=90°得四邊形4FDE是矩形，當(dāng)尸時(shí)，四邊形/EDE是正方形，據(jù)此可添加

條件ZB=/C.

【詳解】解：,點(diǎn)，E,尸分別是邊8C,CA,的中點(diǎn)，

DE//AB,^.DE=-AB,DF//AC,^.DF=-AC,

22

答案第4頁，共27頁

DE//AF,DF//AE,

，四邊形/EDE是平行四邊形，

NN=90°,

四邊形/EDE是矩形，

當(dāng)DE=。尸時(shí)，四邊形AFDE是正方形，

添加的條件可以是48=/C,

故答案為：AB=AC.（答案不唯一）

9.（1）見解析

⑵四邊形/DCE是正方形，理由見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半，熟知相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得/D_LCD,再利用平行四邊的性質(zhì)得到〃CE,且

=證明四邊形/DCE是平行四邊形，即可解答；

（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到=解答.

【詳解】（1）證明：,??四邊形3CED是平行四邊形，

:.BD=CE,BD//CE.

?.?。為邊上的中點(diǎn)，

/.AD=BD,

/.AD=CE,AD//CE,

四邊形/DCE是平行四邊形.

???D為邊上的中點(diǎn)，AC=BC,

CDAB,

.1/ADC=90°,

四邊形4JCE是矩形.

（2）解：四邊形/OCE是正方形，

理由：：AC1BC,AC=BC,

.?.A/C8是等腰直角三角形.

為邊48上的中點(diǎn).

CD=AD.

由（1）,可知四邊形/DCE是矩形，

答案第5頁，共27頁

二四邊形4DCE是正方形.

10.見解析

【分析】本題主要考查正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)

可得40=48,ZC=90°,ACDB=ACBD=45°,再證明A。。尸會(huì)AO8E(AAS),可得

OF=OE,四邊形OECF是矩形，再根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形即可求證.

【詳解】證明：???四邊形/BCD是正方形，

AD=AB,ZC=90°,ZCDB=ZCBD=45°,

■：AOIBD,

DO=BO,

?/OF1CD,OEIBC,

ZOFD=ZOEB=NOFC=ZOEC=90°,

:.AODF知OBE(AAS),

OF=OE,

■：NOFC=ZOEC=ZC=90°,

四邊形O￡C尸是矩形，

又?:AD=AB,

四邊形OEC尸是正方形.

11.(1)見解析

⑵AB=AC

【分析】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的

判定方法.

(1)利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；

(2)證明四邊形4co尸是平行四邊形，進(jìn)而證得=/尸，根據(jù)正方形的判定即可得到結(jié)

論.

【詳解】(1)證明：,??四邊形/BCD是平行四邊形，

AB=CD,AB//CD,

ZAFG=NGCD,

???點(diǎn)G是4D的中點(diǎn)，

AG=DG,

答案第6頁，共27頁

在44G尸和ADGC中,

ZAGF=ZDGC

<NAFG=NDCG,

AG=DG

.?.△/GF絲ADGC（AAS）,

AF=CD,

AB=AF；

（2）解：當(dāng)=時(shí)，四邊形/CD尸是正方形.

證明：由（1）知，AF=CD,

又；AB//CD,

：.AF//CD,

四邊形NCDR是平行四邊形，

由（1）知，AB=AF,

AB=AC,

AF=AC,

四邊形/CD尸是菱形，

ABAC=90°,

ZCAE=90°,

四邊形/CD尸是正方形.

故答案為：AB=AC.

12.⑴見解析

（2）四邊形/2CD是正方形，理由見解析

【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的

判定等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明四邊形為菱形是解題的關(guān)鍵.

（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得80=。。，再由等腰三角形的性質(zhì)可證8。_L/C,即可得出

結(jié)論；

（2）由（1）知，四邊形/BCD是菱形得到。4=OC,OD=OB,然后證明出OC=。。，

得至！=則平行四邊形N8CD是正方形.

【詳解】（1）證明：???四邊形N8CD是平行四邊形，

BO=DO,

答案第7頁，共27頁

BE=DE,

；.BDLAC,

???平行四邊形/5C。是菱形；

(2)解：四邊形45C。是正方形，理由如下：

由(1)知，四邊形是菱形，

：.OA=OC,OD=OB

???/BDC=/ACD,

：.OC=OD,

AC=BD,

???四邊形45CD是正方形.

13.(1)四邊形EG五〃是平行四邊形，理由見解析

(2)/8=CD,理由見解析

(^ABICD,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)三角形的中位線定理，進(jìn)行判斷即可；

(2)根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，進(jìn)行判斷即可；

(3)根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】(1)解：???￡、產(chǎn)分別是8C的中點(diǎn)，G、H分別是BD、NC的中點(diǎn)，

EG//AB,HF//AB,EH//CD,GF//CD,EG=-AB,HF=-AB,EH=-CD,GF=-CD,

2222

.-.EG//HF,EH//GF,

???四邊形EGFH是平行四邊形；

(2)當(dāng)四邊形/BCD滿足/8=C。時(shí)，四邊形EG"/是菱形，理由如下：

EG=—AB,EH=—CD,AB=CD,

22

EG=EH,

???平行四邊形EG尸H是菱形；

(3)當(dāng)四邊形48C。滿足時(shí)，四邊形EG五〃是矩形，理由如下：

?/ABLCD,EG//AB,EH//CD,

：.EG1EH,

ZGEH=90°,

四邊形EGFH是矩形.

答案第8頁，共27頁

【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)四邊形.解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線定理，以及菱形和矩形的

判定定理.

14.D

【分析】本題考查了中點(diǎn)四邊形，中位線的性質(zhì)，特殊四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形，菱

形，矩形，正方形的判定定理逐項(xiàng)分析判斷，即可求解.

【詳解】解：；點(diǎn)E,F,G,b分別為四邊形A8CD的邊48,BC,CD,￡%的中點(diǎn)，

:.EF、FG、G4分別為A/8C、ABCD、ANDC的中位線，

:.EF=-AC,EF//AC,FG=-BD,FG//BD,GH=-AC,GH//AC,

222

EF=GH,EF//GH,

四邊形EFG”為平行四邊形，

當(dāng)4c=AD時(shí)，EF=FG,則平行四邊形EFG”為菱形，

當(dāng)時(shí)，EFLFG,則平行四邊形EFGH是矩形，

若四邊形4BCD是矩形，則四邊形E/G〃是菱形，不一定是正方形，

故不正確的選項(xiàng)是D,

故選：D.

15.⑴見解析

⑵16

【分析】本題考查了中點(diǎn)四邊形，三角形中位線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定.

(1)設(shè)GP,/C交于點(diǎn)K,/。,5。交于點(diǎn)。，先根據(jù)三角形的中位線定理，得到

HG=EF,HG//EF,HE=GF,HE//GF,證明四邊形EFG”是平行四邊形，再根據(jù)

AC1BD可得ZAKF=ZEFG=ZFGH=ZEHG=90°,即可證明四邊形EFGH是矩形；

(2)由(1)得HG=EF=gAC,HE=GF=gBD,結(jié)合4C=9,KD=7,即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，設(shè)G￡/C交于點(diǎn)K,AC,BD交于點(diǎn)O,

答案第9頁，共27頁

點(diǎn)、E、F、G、〃分別是邊曲8Gs刃的中點(diǎn),

.［即是△4BC的中位線，即￡尸=工/C,砂〃NC,

2

同理，是△NDC的中位線，^HG=^AC,HG//AC,

G尸是△BCD的中位線，即GF=；AD,G尸〃AD,

總是的中位線，即HE=gBD,HE〃BD,

HG=EF,HG//EF,HE=GF,HE//GF,

四邊形EFGX是平行四邊形，

???AC1BD,

ZAOB=ZAKF=90°,

NAKF=ZEFG=NFGH=4EHG=90°,

四邊形EFGH是矩形；

（2）解:由（1）知四邊形EFG"是矩形，

HG=EF=-AC,HE=GF=-BD,

22

???AC=9,BD=1,

1917

HG=EF=-AC=-,HE=GF=-BD=-,

2222

二四邊形的周長(zhǎng)為：HG+EF+HE+GF=16.

16.（1）四邊形EFGH是菱形，證明見解析

⑵52

【分析】本題考查的是中點(diǎn)四邊形、勾股定理、三角形中位線定理，熟記四條邊相等的四邊

形是菱形是解題的關(guān)鍵.

答案第10頁，共27頁

(1)根據(jù)三角形中位線定理得到斯=g/c,FG=；BD,GH=^AC,EH=^BD,得到

EF=FG=GH=EH,根據(jù)菱形的判定定理證明；

(2)根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：四邊形斯G”是菱形，

理由如下：,點(diǎn)￡、F、G、//分別為NB、BC、CD、W的中點(diǎn)，

EF>FG、GH、EH分別為MBC、八BCD、△/DC、的中位線，

:.EF^-AC,FG=-BD,GH=-AC,EH=-BD,

2222

AC=BD,

EF=FG=GH=EH,

四邊形EFGH是菱形；

(2)解：???AC1BD,

ZAOB=ZBOC=ZCOD=ZAOD=90°,

在RtA/Q8中，AB=4,

由勾股定理得：OA2+OB2=AB2=16,

在RtvCOZ)中，CD=6,

由勾股定理得：OC2+OD2=CD2=36,

BC2+AD2=OB2+OC2+OA2+OD2=16+36=52.

17.(1)見解析

(2)672

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等的性質(zhì)和判定，還涉及到勾股定理等知識(shí)，解決本

題的關(guān)鍵是能熟練運(yùn)用相關(guān)的幾何定理.

(1)由四邊形4BCD是正方形易得NAB尸=/。，AB=AD,再根據(jù)班'可證得

△48尸會(huì)△4DE,即可導(dǎo)得NK4E=90。，進(jìn)而證得△/斯是等腰直角三角形；

(2)由(1)得44BF2AADE,進(jìn)而得到正方形的面積為36,計(jì)算出4。=6,再

利用勾股定理計(jì)算出AE的長(zhǎng)度.

【詳解】(1)證明：,??四邊形428是正方形，

AAB=AD,NABC=ZD=ABAD=90°,

ZABF=180°-ZABC=90°,

???NABF=ND,

答案第11頁，共27頁

vBF=DE,

在/和"DE中,

AB=AD

<ZADE=ZABF

DE=BF

,“ABFRADE（SAS）,

AF=AE,/FAB=/EAD.

/.ZFAB+/BAE=/LEAD+NBAE=90°,

，/\AEF是等腰直線三角形；

（2）解：由（1）得LABF%AADE,則明，

v四邊形/ECF的面積為36,

==

而S^ECFS/\ABF+SABCE^AADE+ABCE=ABCD，

???正方形ABCD的面積為36,

AD=6,

在RMADE中，AE2=AD2+DE2,

■-AE=V62+62=6五?

18.（1）詳見解析

Q）BM=2

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)；

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得48=/尸，BE=EF,NBAE=NFAE=45。,從而

得到ZDAE=ZAEB=ZBAE,進(jìn)而得到AB=BE=EF=AF,繼而得到四邊形ABEF是菱形，

即可求證；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得尸加=。1/=8（7-8/=12-8河.在RtZ\FA"中，利

用勾股定理建立方程即可求得的值，從而求解.

【詳解】（1）證明：???四邊形/8C。是矩形，

ABAD=NABC=90°,

???將矩形紙片/BCD折疊，使點(diǎn)8落在上的點(diǎn)尸處，

AB=AF,BE=EF,NBAE=NFAE=45°,

???AD\\BC,

答案第12頁，共27頁

/./DAE=ZAEB=ZBAE,

/.AB=BE,

AB=BE=EF=AF,

四邊形/BE尸是菱形，

???NB=90°,

菱形/B跖是正方形.

(2)解：???四邊形ABCD和四邊形CDFE都是矩形,

EF=AB=S,BC=AD=12,EC=FD=AD-AF=U-S=4,

:.ME=BC-BM-EC=12-BM-4=8-BM,

■：AMNF是由AMNC折疊得到的，

:.FM=CM=BC-BM=12-BM.

在中，由勾股定理，得：ME2+EF2=FM2>

gP(8-W)2+82=(12-W)2,

解得2M=2.

19.(1)見解析

(2)見解析

(3)V2-1

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)證得￡F=仍，根據(jù)正方形的判定即可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形全等的判定證得△NG。絲△NBE(AAS),由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)

論；

(3)根據(jù)△/GD也ZX/BE可得。G=4B=/尸=/G=l,即可求得=

DF=y/2-l>再由^FDO=ZFOD=45°OF=DF=42-1.

【詳解】(1)?.?矩形48cD,

■.ZBAF=ZABE=90°.

?-?EF1AD,

.??四邊形ABE尸是矩形.

?；AE平分NB4D,

*'?EF=EB,

二四邊形4BE尸是正方形；

答案第13頁，共27頁

(2)-；AE平分NBAD,

：.ZDAG=ZBAE.

在△NGZ>和中，

ADAG=ABAE

<4AGD=ZABE,

AD=AE

AAGDg△T!5￡'(AAS),

.-.AB=AG；

(3)由(1)知，四邊形/BE尸是正方形；

???AB=AF=\.

由(2)知△/GD也ZX/BE,

：.DG=AB=AF=AG=1,

AD=AE=Vl2+12=V2，

?：EF-LAD,ZDAG=ZADG=45°,

NFDO=ZFOD=45°,

OF=DF=42-1.

【點(diǎn)睛】】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)和判定,

角平分線的性質(zhì)，熟悉正方形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵是解決問題的關(guān)鍵.

20.(1)見解析

⑵4

【分析】(1)根據(jù)N/C8=9O。，DE1BC,。/工/C可得四邊形DECF是矩形，結(jié)合角

平分線性質(zhì)即可得到DF=DE,即可得到證明；

(2)根據(jù)勾股定求出根據(jù)等積法求出。尸，即可得到答案；

【詳解】(1)證明：過。作。N1/3,連接CD,

答案第14頁，共27頁

B

-.■ZACB=90°,DEIBC,DF1AC,

，四邊形DECF是矩形，

?:N4BC、N8/C的平分線相交于點(diǎn)。，DEA.BC,DF1AC,DN1AB,

：.DF=DN,DE=DN,

DF=DE,

???四邊形DEC尸是正方形；

(2)解：v5C=8,AC=6,

AB—+8。=10，

-.-S=-xBC-DE+-xAC-DF+-xABDN,

“BC222

...1x6x8=1x(6+8+10)xZ)F,

???DF=2,

S正方形=DF2=4；

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)及正方形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線及利用

等積法求出正方形的邊長(zhǎng).

21.D

【分析】根據(jù)題意直接證明mRt44D尸(HL),進(jìn)而得CE=C尸，根據(jù)等腰直角三

角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：???四邊形/BCD是正方形，

AB=AD=BC=CD,ZB=ND=ZC=90°,

???△/斯是等邊三角形，

AE=AF,

：.VX^xABE=RtA^F(HL),

答案第15頁，共27頁

*'?BE=DF,

CE=CF,

.?.△CEF是等腰直角三角形，

:.NCEF=45°,

故選：D.

22.B

【分析】延長(zhǎng)/尸交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)打，根據(jù)正方形的性質(zhì)得=

ZA=ZABC=ZC=90°,AB//CD,則。￡=5,根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得

/CDF=/EDF=/H,則EH=DE=5,進(jìn)而得CD=8〃=4,證明AC￡>b和AAF/斤全

等得CF=BE,則GF是硒的中位線，然后根據(jù)三角形中位線定理可得出GF的長(zhǎng).

【詳解】解:延長(zhǎng)。尸交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)b,如圖所示：

AB=AE+BE=4,

???四邊形力BCD為正方形，

AD=AB=BC=CD=4,N4=N4BC=NC=90。,AB//CD.

??.在RL4D￡中，由勾股定理得:DE=」AD?+AE?=5，

,：DF平分NECD.

???/CDF=NEDF

vAB\\CD.

???NCDF=/H,NC=NCBH=90。

???ZEDF=NH

:,EH=DE=5.

：.BH=EH—BE=5—1=4,

??.CD=BH=4.

在尸和ABHF中

答案第16頁，共27頁

NC=NCBH=9。。

CD=BH

NCDF=NH

.MCDF%BHF(ASA),

:.CF=BF.

???點(diǎn)G是。E的中點(diǎn)，

:.GF是?EH的中位線，

：.GF==EH=25.

2

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，理解正方形

的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理是解決問題關(guān)鍵.

23.C

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形利用三

角形的中位線定理解答.首先根據(jù)三角形中位線定理知：所得四邊形的對(duì)邊都平行且相等,

那么其必為平行四邊形，若所得四邊形是矩形，那么鄰邊互相垂直，故原四邊形的對(duì)角線必

互相垂直，即可解題.

【詳解】解：如圖，四邊形斯G8是矩形，且E、F、G、〃分別是48、BC、CD、AD

的中點(diǎn)，

根據(jù)中位線定理可得GF||DB\\HE,HG\\AC\\EF,

???四邊形跖G”是矩形,

HGLGF,

DBLAC,

故選：C.

24.C

答案第17頁，共27頁

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正方形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定方法.

根據(jù)正方形的判定:對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形進(jìn)行分析從而得到最后的

答案.

【詳解】解：A選項(xiàng)，不能，一組對(duì)邊平行，對(duì)角線相等，無法判斷是什么四邊形，故A

選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，不能，只能判定為平行四邊形，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，對(duì)角線相等而且平分的四邊形是矩形，對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故四

邊形可判定為正方形，C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，不能，只能判定為菱形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

25.C

【分析】根據(jù)勾股定理即可求得正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理即可求得圖1

中BD的長(zhǎng).

【詳解】解：由題意可知，AB=BC=CD=DA,

二四邊形A8CZ）是菱形（圖1）,

當(dāng)a1BC=9O。時(shí)，四邊形ABCL?是正方形（圖2）,

.?.圖2中，4=90。,

.,.在RtAABD中，AB2+AD2=BD2,

也

AB=AD=—BD=10cm,

2

AC1BD,OB=OD,OA=OC,N4BO=30。,

OA=AB=5cm,OB=CoA=5^cxn,

BD=2OB=1oV3cm;

故選：C.

答案第18頁，共27頁

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，勾股定理以及含30。的直角三角形

的性質(zhì)，利用勾股定理得出正方形的邊長(zhǎng)是關(guān)鍵.

26.D

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，延長(zhǎng)尸尸交于點(diǎn)N,延長(zhǎng)

AP交EF于點(diǎn)、M,證明四邊形3NPE是正方形，四邊形CEPE是矩形，然后得到

△ANP為FPE,即可判斷A、C選項(xiàng)；然后根據(jù)等量代換得到/P九r=//*=90。，判斷B

選項(xiàng)；然后利用正方形的性質(zhì)判斷D解題即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)EP交48于點(diǎn)N,延長(zhǎng)4P交E尸于點(diǎn)”，

?.?四邊形是正方形.

ZABP=ZCBD.

-.■NP±AB,PE1BC,

.??四邊形3NPE是正方形，四邊形CFPE是矩形，ZANP=ZEPF,

NP=EP,

AN=PF,

?:在AANP馬AFPE中,

NP=EP,ZANP=ZEPF,AN=PF,

:.AANP經(jīng)xFPE,

.-.AP=EF,ZPFE=ZBAP,故A、C正確；

???&APN與AFPM中,NAPN=NFPM,ZNAP=ZPFM,

ZPMF=ZANP=90°,

???AP1EF,故B正確.

P是BD上任意一點(diǎn)，

???只有當(dāng)尸EC尸是正方形時(shí)，ZPEF=ZABP=45°,故D不一定成立，

故選：D.

27.8-^2

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱

答案第19頁，共27頁

形和正方形的性質(zhì).

如圖1,圖2中，連接/C.在圖1中，證△NBC是等邊三角形，得出

AB=BC=AC=8cm.在圖2中，由勾股定理求出NC即可.

圖1圖2

圖1中，???四邊形N3CD是菱形,

AB=BC,

???28=60。,

:必ABC是等邊三角形，

AB=BC=AC^Scm,

在圖2中，???四邊形4BCD是正方形，

=BQAB=90°,

??.A48c是等腰直角三角形，

AC=6AB=86cm,

故答案為：872.

28.2

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確作出

輔助線是解題的關(guān)鍵.

延長(zhǎng)/尸、DC相交于X,先證明ANEGA/B/，得到=//，從而得到

ZDGH=ZADE+ADAG=NBAF+ADAG=ABAD=90°,再證明“BF知HCF,得至I]

AB=HC=2,從而得到OC="C,即可由直角三角形的性質(zhì)得出CG=；DH,即可求解.

【詳解】解：延長(zhǎng)/尸、0c相交于X,如圖，

答案第20頁，共27頁

???正方形48C。，AB=2

DA=CD=BC=AB=2,/BAD=/B=/BCD=90°,

ZB=ZHCF=90°,

■■E,廠分別是48,BC的中點(diǎn)，

AE=—AB,BF=CF=—BC,

22

AE=BF,

在與△，射中，

DA=AB

<NDAE=ZB,

AE=BF

??.ABF(SAS),

???ZADE=ZBAF,

ZDGH=/ADE+ZDAG=Z.BAF+/DAG=ABAD=90°,

在445廠與尸中，

AB=ZHCF

<BF=CF,

/AFB=ZHFC

：oABF知HCF(ASA),

AB=HC

:,HC=CD=2,

故答案為：2.

答案第21頁，共27頁

29.V2

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，連接NC,交AD于點(diǎn)O,由正方形的性質(zhì)

得到利用勾股定理求出/。=2近，進(jìn)而求出。。=0,即可解答.

【詳解】解：如圖，連接"C,交AD于點(diǎn)。，

?.?四邊形A8CD是正方形，

.-.AB=BC=2,AC±BD,ZABC=90°,OC=-AC,

2

???AC=NAB2+BC。=2V2,ZBOC=90°，

???oc=也，

BE=AB,

BE—2,

??.△C8E的面積為：；BECC=；x2乂航=也

故答案為：＞/2?

30.⑴見解析

24

(2)正方形CDEP的邊長(zhǎng)為了

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)等知

識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)并能正確作出圖形是解決此題的關(guān)鍵.

(1)利用角平線的性質(zhì)可得?！晔?，利用垂線的性質(zhì)可得NCDE=NC尸￡=90。=/。