中考數(shù)學-數(shù)形結(jié)合

第九講數(shù)形結(jié)合思想

【中考熱點分析】

數(shù)形結(jié)合思想就就是數(shù)學中重要得思想方法，她根據(jù)數(shù)學問題中得條件和結(jié)論之間得

內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意義,使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙得結(jié)合起來，并

充分利用這種結(jié)合,探求解決問題得思路，使問題得以解決得思考方法。幾何圖形得形象直觀,

便于理解;代數(shù)方法得一般性,解題過程得操作性強，便于把握。

【經(jīng)典考題講練】

3

例1、（2015衢州）如圖，已知直線丁=-^^+3分別交x軸、了軸于點/、8/就就是拋物

線y=-2f+2工+5得一個動點，其橫坐標為為過點P且平行于了軸得直線交直線

3°

y=-^X+3于點Q,則當PQ=BQ時，a得值就就是、

例2、（2014?廣州）已知平面直甭坐標系中兩定點/（-1,0）,8（4,0）,拋物線『=加+扭：_2

3工0）過點4、瓦頂點為。、點8鞏〃）缶<0）為拋物線上一點、

⑴求拋物線得解析式與頂點。得坐標、

（2）當NAPS為鈍角叱求m得取值范圍、

35

（3）若根>亍,當/4PS為直角時，將該拋物線向左或向右平移處m）個單位，點P、C

移動后對應得點分別記為，就就是否存在書使得，首尾依次連接/、B、p's所構(gòu)

成得多邊形得周長最短?若存在，求2值并說明拋物線平移得方向;若不存在，請說明理由、

解析：（1）待定系數(shù)法求解析式即可,求得解析式后轉(zhuǎn)換成頂點式即可、2?）因為AB為直徑,

所以當拋物線上得點P在OC得內(nèi)部時，滿足ZAPB為鈍角，所以-1Vm<0,或3<m<4、

（3）左右平移時，使A'D+DB"最短即可，那么作出點C'關(guān)于x軸對稱點得坐標為C”,得

到直線P"C"得解析式,然后把A點得坐標代入即可、

1

[^―i-2=0Ct——

答案：（1）解:依題意把AB得坐標代入得：\；解得：2

16。+48-4=0八二

2

1)3

拋物線解析式為y=5--QX-2

：,頂點橫坐標X=-2=2,將X=2代入拋物線得》=_工X(2)2_2X(N)_2=_W

2a2222228

■:哈令

13

(2)如圖，當/力郎=90?時，設(shè)。(而5與2-/%-2),

1、3

則&￡)=豌)+1,QF"=4-4，%F=之與一？，?！?

過3作,直線j||x軸，AEX/,BFX/

..LAED-LBFD

AE_DF

麗=而

(注意用整體代入法)

解得石=0,芻=3

￡1(0-2)^(3-2)

當P在他,之間時,＞904

二.一1＜切＜0或3＜加＜4時，乙4PB為鈍角、

(3)依題意切〉3,且/上尸8=90’

尸(3,-2)

設(shè)尸,C移動￡(1〉0向右,￡＜。向左)

:'P(3+L2)C(33+L2g5)

20

連接RC',PC',PB

則C曜pc=AB+8P+P'Cf+C'A

又43,FC'得長度不變

二.四邊形周長最小，只需BP+C%最小即可

將。％沿X軸向右平移5各單位到BC"處

F'沿工軸對稱為F"

13

...當且僅當F"、B、C*三點共線叱8P+G4最小，且最小為P*C*，此時C"(5+』,-

L13、，,25

.(—+z)k+8=——

產(chǎn)(3+1,2),設(shè)過得直線為、=以+3,代入，28;

(3+t)k+b=2

41

284141(3+2)

即?=----x+-------+2

2828

8=112^+2

28

將8(4,0)代入,得:-31x4+41。+0+2=0,解得I=-—

282841

:當，P、C向左移動”單位時，此時四邊形ABP'C'周長最小。

41

例3、(2012杭州)如圖，AE切。。于點E,AT交0O于點M,N,線段OE

交AT于點C,OB_LAT于點B,已知/EAT=30°,AE=3，5,AfM=2x/^、

(1)求ZCOB得度數(shù)；(2)求。。得半徑R；(3)點F在。。上(而寶就就

是劣弧)，且EF=5,把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使她得兩個

頂點分別與點E,F重合、在EF得同一側(cè)，這樣得三角形共有多少個？

您能在其中找出另一個頂點在。。上得三角形嗎？請在圖中畫出這個

三角形，并求出這個三角形與^OBC得周長之比、

A

解:⑴/E切。。于點E,：.OELAE,

-：08_1/7,，在401萬和4。。8中,/AEC=ZCBO=90

而/方。0=/4位，/CO8=/4=30°、(3分)

圖(1)

⑵在Rt^/CE■中,/萬=3//=30

.,.EC=AE-tan30°=3、

如圖⑴，連接0M

MN

在Rt4MoB中,OM=R,MB=~=J22,

：.OB=7喃一町=V^-22、

在RtZkCOS中,NCO8=30°,

OB_2A^2m_____

OC=cos300337斤—22、

-/OC+EC=R,：.3.7F—22+3=R

整理得欠2+18^—115=0,即（H+23）你一5）=0,

，區(qū)=-23（不符合題意,舍去），或R=5,：.R=5,（8分）

（3）在石廠得同一側(cè)，滿足題意得三角形共有6個，如圖（2）（3）（4）,每個圖有2個滿足題意得三

角形、

能找出另一個頂點也在。。上得三角形，如圖（1）,延長石。交O。于。，連接。6則△DFE

為符合條件得三角形、

由題意得,△AEE’s△。刀。、

2■CY產(chǎn)DE10

由（2）得,。石=2欠=10，。。=~^"22'=2CY\OBC=oc=2=5.（14分）

【解答策略提煉】

解題策略，數(shù)形結(jié)合思想包含"以形助教"和"以數(shù)助形"兩個方面，即用數(shù)形結(jié)合思想解題

可分兩類:一就就是依形判教，用形解決數(shù)得問題，常見于借助數(shù)軸、函數(shù)圖像、幾何圖形來求

解代數(shù)問題；二十就數(shù)論形，用數(shù)解決形得問題，常見于運用恒等變形、建立方程（組卜面積轉(zhuǎn)

換等求解幾何問題。

【專項達標訓練】

一、填空題

1.如圖所示,在梯形ABCD中,AD//BC,/ABC=90°,AD=AB=6,BC=14,點M就就是線段

BC上一定點，且MC=8,動點P從C點出發(fā)沿C—D—A-B得路線運動，運動到點B停止,

在點P得運動過程中，使APMC為等腰三角形得點P有（）個。

2.已知拋物線y=ax2-2ax-l+a（a>0）與直線x=2,x=3,y=1圍成得正方形有公共點，則a

得取值范圍就就是。

3.如圖，拋物線y=;x?+bx-2與X軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A(-l,0)，點M(m,O)

就就是x軸上得一個動點，當MC+MD得值最小時,m得值就就是24/41。

4.拋物線y=ax2+bx+c(aW0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，若AA

BC就就是直角三角形，則ac二、

5、如圖,半徑為rl得圓內(nèi)切于半徑為r2得圓，切點為P,過圓心01得直線與

rl

002交于A、B,與。O1交于C、D,已知AC:CD：DB=3:4:2,則廠2=、

二、解答題

6.(1)如圖,四邊形ABCD中,/區(qū)4少=72。°,/8=/D=90°，在BC、CD上分

別找一點M、N,使4AMN周長最小時，求/AMN+/ANM得度數(shù)。

k2

(2)如圖，直線y=左卜+b與雙曲線y=—交于A、B兩點，其橫坐標分別為1

x

和5,求不等式上l%v—+b得解集。

x

7、如圖,AC為。。疹在左，B就就是OO外一點八B交OO于E點，過E點作OO

得切線，交BC于D點,DE=DC,作瓦」AC于F點，交AD于M點。(1)求證:BC

就就是。O得切線。(2)EM=FM.

8、(2015?鄂州)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=i+2與x軸交于點A,與y軸交

于點C、拋物線y=ax2+bx+c得對稱軸就就是*=-弓且經(jīng)過A、C兩點，與x軸得另一交點

為點B、

(1XD直接寫出點B得坐標;②求拋物線解析式、

(2)若點P為直線AC上方得拋物線上得一點，連接PA,PC、求APAC得面積得最大值，并

求出此時點P得坐標、

(3)拋物線上就就是否存在點M,過點M作MN垂直x軸于點N,使得以點A、M、N為頂點

得三角形與AABC相似？若存在，求出點M得坐標；若不存在,請說明理由、

【基礎(chǔ)重點輪動】

選擇題

1.(—；尸+(L百)°+，(-2)2得值為()

A.-lB、-3C、1D、0

2.要使分式二一有意義，則x得取值范圍就就是（）

x-1

A.xWlB、x<lC、x>1D、xW—1

3.對于函數(shù)y=2下列說法錯誤得就就是（）

X

A、她得圖象分布在一、三象限

B、她得圖象既就就是軸對稱圖形又就就是

中心對稱圖形

C、當x>0時,y得值隨x得增大而增大

D、當X<0時,y得值隨x得增大而減小

4.如圖,PA、PB就就是OO得切線，切點就就是A、B,已知/P=60°,OA=3,那么/AOB

所對弧得長度為（）o

5.拋物線y=x2+bx+c（aro）圖像向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得得圖像解

析式為=x?-2x—3,則b,c得值為（）o

A.b=2,c=2B、b=2,c=0C、b=-2,c=-lD、b=-3,c=2

6.如圖，4ABC中,CD，AB,垂足為D。下列條件中，不能證明△ABC就就是直角三角形得

就就是（）

A、對角線互相垂直且相等得四邊形就就是正方形

B、有兩邊和一角對應相等得兩個三角形全等

C、兩條對角線相等得平行四邊形就就是矩形

D、兩邊相等得平行四邊形就就是菱形

8、如圖所示，正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線得交點稱為格點。已知A、B就就是兩格點，如果C

也就就是圖中得格點，且使得AABC為等腰三角形，則C點得個數(shù)就就是（C）

As6D、9

填空題

9.如圖，直線11II12II13,點A、B、C分別在在直線11、12、13上，若/1=70

22=50°，則/ABC=度。

第9題圖第10題圖

10、如圖某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB得坡比就就是1:、回,堤壩高BC=50m,則迎水坡面

AB得長度就就是。

11、某課外小組得同學們在社會實踐活動中調(diào)查了20戶家庭某月得用電量，如下表所示:

?用電量（度）120140160180200

戶數(shù)23672

則這20戶家庭該月用電量得眾數(shù)和中位數(shù)分別就就是

12.已知菱形ABCD得邊長就就是8,點E在直線AD上，若DE=3，連接BE與對角線AC

相交于點M,則SAABM得值為______________

第10講綜合性解答問題

【中考熱點分析】

代數(shù)型綜合題就就是指以代數(shù)知識為主得或以代數(shù)變形技巧為主得一類綜合

題，涉及知識:主要包括方程、函數(shù)、不等式等內(nèi)容。解題策略:用到得數(shù)學思想

方法有化歸思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想以及代入法、待定系數(shù)法、配方法

等。

幾何型綜合題就就是指以幾何知識為主或者以幾何變換為主得一類綜合題。涉

及知識:主要包括幾何得定義、公理、定理、幾何變換等內(nèi)容。解題策略:解決幾

何型綜合題得關(guān)鍵就就是把代數(shù)知識與幾何圖形得性質(zhì)以及計算與證明有機融

合起來，進行分析、推理，從而達到解決問題得目得。

代數(shù)和幾何型綜合題就就是指以代數(shù)知識與幾何知識綜合運用得一類綜合題。

涉及知識:代數(shù)與幾何得重要知識點和多種數(shù)學思想方法。

【經(jīng)典考題講練】

例1、如圖，已知矩形048c中，04=2,4咫4,雙曲線y=&(k>0)與矩形兩邊AB.

X

8c分別交于石、Fo

(1)若“就就是得中點，求產(chǎn)點得坐標；

(2)若將沿直線石尸對折陷點落在x軸上得D點，作EGLOC,垂足為G,證明△后

并求上得值。

例2、(2014?十堰)已知拋前線Ci：y=a(x+1)2-2得頂點為A,且經(jīng)過點B(-2,-l)、

(1)求A點得坐標和拋物線

⑵如圖1,將拋物線Ci向m-

D兩點，求S^OAC：SZSOAD得值

(3)如圖2,若過P(-4,0),Q(0,2)彳°七"E在(2)中拋物線C2對稱軸右側(cè)部分(含頂點)

例1題圖

運動，直線m過點C和點E、問:就嬴仁令-付紅直線m,使直線l,m與x軸圍成得三角形和直線

分析：(1)由拋物線得頂點式易得頂點A坐標，把點B得坐標代入拋物線得解析式即可解決

問題、

(2)根據(jù)平移法則求出拋物線C2得解析式，用待定系數(shù)法求出直線AB得解析式，再通過解方程

組求出拋物線C2與直線AB得交點C、D得坐標，就可以求出SZ\OAC:SZ\OAD得值、

(3)設(shè)直線m與y軸交于點G,直線l,m與x軸圍成得三角形和直線1,m與y軸圍成得三角

形形狀、位置隨著點G得變化而變化，故需對點G得位置進行討論，借助于相似三角形得判

定與性質(zhì)、三角函數(shù)得增減性等知識求出符合條件得點G得坐標，從而求出相應得直線m得

解析式、

例3、(10分)(2015?桂林)如圖，四邊形ABCD就就是OO得內(nèi)接正方形,AB=4,PC、P

D就就是<30得兩條切線，C、D為切點、

⑴如圖1,求。。得半徑；

(2)如圖1,若點E就就是BC得中點，連接PE,求PE得長度；

(3)如圖2,若點M就就是BC邊上任意一點(不含B、C),以點M為直角頂點，在BC得上方作

ZAMN=90°，交直線CP于點N,求證：AM=MN、

分析:(1)利用切線得性質(zhì)以及正方形得判定與性質(zhì)得出OO得半徑即可；

(2)利用垂徑定理得出OE，BC,/OCE=45°,進而利用勾股定理得出即可；

(3)在AB上截取BF=BM,利用(1)中所求，得出NECP=135°,再利用全等三角形得判

定與性質(zhì)得出即可、

【解答策略提煉】

1、代數(shù)綜合題就就是以代數(shù)知識及代數(shù)變形為主得綜合題。主要包括方程、函

數(shù)、不等式等內(nèi)容。解題策略:用到得數(shù)學思想方法有化歸思想、分類思想、數(shù)

形結(jié)合思想以及代入法、待定系數(shù)法、配方法等。解代數(shù)綜合題要注意方程、

不等式和函數(shù)、統(tǒng)計等知識點之間得橫向聯(lián)系和數(shù)學思想方法、解題技巧得靈

活運用，要抓住題意，化整為零，層層深入，各個擊破，從而解決問題。

2、幾何綜合題考查得圖形種類多、條件隱晦，在觀察方法上要注意從三角形、四

邊形、圓得定義、性質(zhì)、判定來觀察分析圖形，通過尋找、分解、構(gòu)造基本圖形

以發(fā)現(xiàn)圖形特征;在思考方法上分析挖掘題目得隱含條件,注意結(jié)合代數(shù)知識與

幾何圖形得性質(zhì)思考，不斷得由已知想未知，為解決問題創(chuàng)造條件。

【專項達標訓練】

一、填空題

1.如圖，在四邊形ABCD中,AB=4,BC=7,CD=2,AD=x，則x得取值范圍就就

是0

2.如圖，在4ABC中,AB=AC,D在AB上,BD=AB,則ZA得取值范圍就就是。

4

第2題圖

BC=4、若以C

點為圓心,r為半徑所作得圓與斜邊AB只有一個公共點，則r

得取值范圍就就是O

4.如圖，矩形ABCD中,E為DC得中點,AD：AB=M:2,CP:BP=1:2,連接EP并延長，交AB

得延長線于點F,AP、BE相交于點O、下列結(jié)論:①EP平分NCEB;②△EBPs^EFB;③

AABPcnAECP;④AOAP=OB2、其中正確得序號就就是、（把您認

為正確得序號都填上）

5.（2015南通）關(guān)于X得一元二次方程ax2-3x-l=0得兩個不相等得實數(shù)根都在-1和0之間（不

包括-1和0）,則a得取值范圍就就是o

二、解答題

6、（2014牡丹江）（2014年黑龍江牡丹江）如圖，在RtZiABC中,/ACB=90°,AC=8,B

C=6,CD_LAB于點D、點P從點D出發(fā),沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線

段CA向點A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度,當點P運動到C時，兩點都

停止、設(shè)運動時間為t秒、

（1）求線段CD得長；

（2）設(shè)ACPQ得面積為S,求S與t之間得函數(shù)關(guān)系式，并確定在運動過程中就就是否存在某

一時刻3使得SACPQC^ABCM9：100?若存在，求出t得值;若不存在，說明理由、

（3）當t為何值時，ACPCJ為等腰三甭形？

備用圖1備用圖

2

分析.?設(shè)AD=px,AB=2x，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD=BC=W

x,AB=CD=x,/D=/C=/ABC=90。，DCIIAB,求出DE=CE=x,CP=^x,BP=^x,根據(jù)

PCCE

tanzCEP=^7,tan/EBC而，求出/CEP=30。，zEBC=30°,zCEB=60°,即可判斷①；證出

/F=/EBPKLPEB=/PEB,即可推出△EBP-AEFB,判斷②即可；證△ECP-^FBKl

△ABPsAFBP,即可判斷①，證出△AOB-ABOP,得出第=絳,推出OB2=AO?OP,即可

UrUH

判斷③.

AB=2x,

?：四邊形ABCD是矩形,

.*.AD=BC=-j3x,AB=CD=x,zD=xC=z,ABC=90°tDCIIAB,

.?E為CD中點,

.'.DE=CE=x,

/CP：BP=1：2,

.?.CP再x,BP=^x,

、再

---tanxCEP=f|J…CEx小

tanzEBC=^=瓦=y

---------D

.-.xCEP=30°,zEBC=30",

-.?xC=90°,

.".xCEB=60°,

.-.xBEP=3O°=^CEP,

即EP平分/CEB一??①正確；

?/DCIIAB,

.-.xCEP=zF=3O°,

---xEBP=3O°,

.-.xF=zEBP,

zPEB=/PEB,

/.△EBP-AEFB，:②正確；

?■?DCIIAB,

.-.△ECP-AFBP,

ECCP1

"BF=5P=2，

??.ECJBF,

?；E為CD中點,

AB=CD,

.".EC=1CD=1AB,

.-.AB=BF,

在AAB麗4FBP中

'AB=BF

<乙4BP=4FBP=9Q。,

BP=BP

.'.△ABPsAFBP,

,■?△ECP>-AFBP,

?AADD-Acro??

7.(2013?連云港)如圖，已知一次函數(shù)y=2x+2得圖像與y軸交于點B,與反比

例函數(shù)y=kl/x得圖像得一個交點為A(l,m),過點B作AB得垂線BD,與反比例

函數(shù)y=k2/x交于點D(n,-2)、1(*)求kl和k2得值；

(2)若直線48、BD分別交x軸于點C、E,試問在y軸上就就是否存在一個點

F,使得△BDFs^ACE?若存在，求出點F得坐標;若不存在,請說明理由、

分析：。)將A坐標代入一次函數(shù)解析式中求出m的值，確定出A的坐標，將A坐標代入反

比例函數(shù)y=%中即可求出kl的值；過A作AM垂直于y軸，過D作DN垂直于y軸，可得出一對

X

直角相等,再由AC垂直于BD,利用同角的余角相等得到一對角相等，利用兩對對應角相

等的兩三角形相似得到三角形ABM與三角形BDN相似，由相似得比例,求出DN的長，確定

出D的坐標，代入反比例函數(shù)y=±中即可求出k2的值；

X

(2)在y軸上存在一個點F,使得△BDF-4ACE,此時F(0,-8),理由為：由y=2x+2求出

C坐標，由0B=0N=2,DN=8,可得出0E為三角形BDN的中位線,求出0E的長，進而利用

兩點間的朝公"出AE,CE,AC,BD的長，吸，EBO=，ACE=，EAC,若

△BDF-ZiACE,得到比例式，求出BF的長，即可確定出此時F的坐標，

再利用BD=DF時，進而得出即可.

解答：解：(1)將A(1,m)代入一次函數(shù)y=2x+2中，得：m=2+2=4，即A(1,4),

將A(1,4)代入反比例解析式y(tǒng)2得：kl=4；

X

過A作AM,淵,過酢DN"?,

??./AMB=/DNB=90°,

.?.NBAM+ZABM=90°,

?;AC±BD,KJzABD=90°,

LABM+/DBN=90°,

zBAM=/DBN,

.?.△ABMMBDN,

.4AfBM__12

'"BN=DN'叫=DN'

.??DN=8,

???D(8,-2),

將D坐標代入y=”得：k2=-16；

X

(2)符合條件的F坐標為(0,-8),理由為：

由y=2x+2,求出C坐標為（-1,0）,

-OB=ON=2,DN=8,

.-.0E=4,

可得AE=5,CE=5,AC=2j5,BD=4j5,zEBO=zACE=zEAC,

SABDF-AACE,?！龉{,即若寫,

解得：BF=10,

則F(0,-8).

綜上所述：F點坐標為(0,-8)時，△BDF-^ACE.

融.?此題考查了反比例綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì),待定系數(shù)法

確定函數(shù)解析式，坐標與圖形性質(zhì),熟練掌握待定系數(shù)法是解本尊的關(guān)健.

8、(2015溫州)如圖八B就就是半圓。得直徑,CDJ_AB于點C,交半.圓于點E,DF切半

圓于點F、已次口/AEF=135°、

⑴求證：DF//AB；

(2)若OC=CE,BF=2后，求DE得長、

9、(2015?海南)如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+3得圖象與x軸相交于

點A(-3,0)、B(1,0),與y軸相交于點C,點G就就是二次函數(shù)圖象得頂點，直線GC交x

軸于點H(3,0),AD平行GC交y軸于點D、

(1)求該二次函數(shù)得表達式;

⑵求證:四邊形ACHD就就是正方形;

(3)如圖2,點M(t,p)就就是該二次函數(shù)圖象上得動點,并且點M在第二象限內(nèi)，過點M得直線

y=kx交二次函數(shù)得圖象于另一點N、

①若四邊形ADCM得面積為S,請求出S關(guān)于t得函數(shù)表達式，并寫出t得取值范圍;

21

②若ACMN得面積等于4,請求出此時①中S得值、

一、選擇題

2%+2

1、(2013、山西)解分式方程——+----=3時，去分母后變形為()