一次函數(shù)與反比例函數(shù)（12大題型+高分技法+限時提升練）-2025年廣東中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專練（原卷版）

熱點(diǎn)03一次函數(shù)與反比例函數(shù)

明考情.知方向

中考數(shù)學(xué)中《一次函數(shù)與反比例函數(shù)》在廣東地區(qū)主要考向分為五類：

一、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)（每年1~2道，3~6分）

二、一次函數(shù)的應(yīng)用（每年1~2道，3~6分）

三、反比例函數(shù)的性質(zhì)（每年1~2題，3~76分）

四、反比例函數(shù)的應(yīng)用（每年1~2題，3~6分）

五、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的結(jié)合（每年1~2題，3~12分）

一次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合題是廣東中考命題熱點(diǎn)。選擇、填空題和解答題皆可出現(xiàn)。常見兩種題

型的考察方式：一是根據(jù)函數(shù)值的大小，求自變量的取值范圍，一般先找交點(diǎn)，再分區(qū)域，根據(jù)函數(shù)圖象

上方的值總比下方的值大，在各區(qū)域內(nèi)找相應(yīng)的尤的取值范圍；二是求幾何圖形面積，要充分利用“數(shù)形結(jié)

合”的思想，使“坐標(biāo)”與“線段”互相轉(zhuǎn)化，從而解決問題。但是在最近幾年這部分考題常結(jié)合其他規(guī)則幾何

圖形的性質(zhì)一起出題，多數(shù)題目的技巧性較強(qiáng)，復(fù)習(xí)中需要多加注意。

熱點(diǎn)題型解讀

題型01動點(diǎn)與函數(shù)圖象問題

考向一：函數(shù)的圖象題型02畫函數(shù)圖象及根據(jù)函數(shù)圖象得出結(jié)論

-題型03一次函數(shù)的圖象

次

題型04一次函數(shù)的性質(zhì)

函

題型05一次函數(shù)解析式的求法

數(shù)考向二：一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

題型06一次函數(shù)和方程組不等式的關(guān)系

與

反題型07一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

比

題型08反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)

例

（題型09反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

函

考向三：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

\題型10反比例函數(shù)實(shí)際應(yīng)用

數(shù)

題型11反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合

考向四：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜

合問題<題型12反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合解決問題

考向一：函數(shù)的圖象

【題型01動點(diǎn)與函數(shù)圖象問題】

函數(shù)圖象與動點(diǎn)問題，從函數(shù)圖象中看出增減性，找到關(guān)鍵點(diǎn)和關(guān)鍵的數(shù)據(jù)；

1.（2024?廣東江門?模擬預(yù)測）"漏壺"是一種古代計(jì)時器，在它內(nèi)部盛一定量的水，水從壺下的小孔漏出.壺

內(nèi)壁有刻度，人們根據(jù)壺中水面的位置計(jì)算時間.用x表示漏水時間，y表示壺底到水面的高度.下列哪個

圖象適合表示y與x的對應(yīng)關(guān)系？（不考慮水量變化對壓力的影響）（）

2.（2025?廣東深圳?一模）如圖1,在RtZVIBC中，ZC=90°,一動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位的速

度沿著AfB—C的路徑運(yùn)動，過點(diǎn)尸作尸。，AC,垂足為。.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動的路程為x,PB與尸。的差為，，

y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，點(diǎn)N是線段DE,與尤軸的交點(diǎn)，則圖2中點(diǎn)M對應(yīng)的點(diǎn)尸位置到

點(diǎn)N對應(yīng)的點(diǎn)尸位置所經(jīng)歷的時長為（）

A.2秒艮4秒C.5秒D.瓦秒

3.（2024?廣東深圳?三模）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=8,。和E分別是48和AC的

中點(diǎn)，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別從點(diǎn)A和點(diǎn)E出發(fā)，沿著AfCfB方向運(yùn)動，運(yùn)動速度都是每秒1個單位長度，

當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)8時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動.設(shè)-ZWN的面積為S,運(yùn)動時間為f,貝|S與/之間的函數(shù)圖像大

致為（）

4.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，動點(diǎn)尸、。在平行四邊形ABCD的邊和對角線上運(yùn)動，動點(diǎn)P的運(yùn)動

軌跡為折線O-A-O-O,動點(diǎn)。的運(yùn)動軌跡為折線O-C-3-0,兩動點(diǎn)同時開始運(yùn)動，且運(yùn)動速度均為

lcm/s.設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動時間為x秒，兩動點(diǎn)間距離為Am,無與y的函數(shù)關(guān)系式如圖所示.當(dāng)點(diǎn)尸在平行四邊

A.BB.幣C.辿D.-

222

5.（2024?廣東深圳?二模）在RtAABC中，ZC=90°,。為AC上一點(diǎn)，C￡）=0,動點(diǎn)P以每秒1個單位

的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿-A勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A時停止，以DP為邊作正方形APEF.設(shè)

點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為7S,正方形DPEF的面積為S,當(dāng)點(diǎn)尸由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于f的二

次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象.由圖象可知線段A3的長為（）

A.7B.6C.5D.4

6.（2024?廣東珠海?三模）如圖1,E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，動點(diǎn)尸，。同時從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)尸沿折

線鹿-ED-DC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，點(diǎn)。沿2C運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，它們運(yùn)動的速度都是1cm/s,設(shè)尸，Q

同時出發(fā)，s時，V3PQ的面積為yen?.已知y與/的函數(shù)關(guān)系如圖2所示（曲線ON為拋物線的一部分），

則下列結(jié)論錯誤的是（）

圖2

B.當(dāng)5＜，＜7時，V3QQ的面積是lOcm?

八K15葉PQ_7

C.當(dāng)0＜，45時，y=-t2D-當(dāng)時，而一記

4

7.（2024?廣東廣州?二模）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在y軸和x軸上，AB//XM，COSB=-.^

P從3點(diǎn)出發(fā)，以lcm/s的速度沿邊54勻速運(yùn)動，點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AO-OC-CB勻速運(yùn)動.點(diǎn)尸與

點(diǎn)。同時出發(fā)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為f（s）,VBPQ的面積為

5（cm2）,已知S與/之間的函數(shù)關(guān)系如圖2中的曲線段OE、線段砂與曲線段FG.下列說法正確的是（）

①點(diǎn)。的運(yùn)動速度為3cm/s；

②點(diǎn)8的坐標(biāo)為（9,18）；

③線段所段的函數(shù)解析式為S=］；

Q

④曲線FG段的函數(shù)解析式為S=-臺2+%；

⑤若YBPQ的面積是四邊形OABC的面積的1,則時間，=2血.

A.①②③??B.①③④C.①③⑤D.①③④⑤

【題型02畫函數(shù)圖象及根據(jù)函數(shù)圖象得出結(jié)論】

-0

函數(shù)圖象、用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象、求自變量的值或函數(shù)值、求自變量的取值范圍

1.（2024?廣東惠州?三模）綜合探究

請根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，將下列探究函數(shù)＞=—1的圖象與性質(zhì)的過程補(bǔ)充完整：

x-1

⑴函數(shù)y的自變量x的取值范圍是__________.

x-1

⑵下表列出了y與x的幾組對應(yīng)值，請寫出其中孤〃的值加=，?=

XL-2-10n234L

j_1

yLm-1-221L

~323

⑶在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，描出以（2）表中各組對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象;

2.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）初中階段研究新函數(shù)的性質(zhì)往往需要先確定函數(shù)的解析式，再經(jīng)歷列表、描

點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象、觀察分析函數(shù)圖象特征等過程.下表是函數(shù)的部分信息:

請結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，探究上述函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并解決問題:

（1）求“=，b=,c=,并補(bǔ)全函數(shù)圖象;

⑵在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，用你喜歡的方法補(bǔ)全函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象，并請寫出該

函數(shù)的一條性質(zhì)：;

(3)已知關(guān)于x的方程心上=%+2無實(shí)數(shù)解，根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出左的取值范圍.

2X2+1

3.(2024?廣東深圳?三模)在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá)式玲利用函數(shù)圖象研究其

性質(zhì)玲運(yùn)用函數(shù)解決問題”的學(xué)習(xí)過程.結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探究函數(shù)y=|x-的圖象與性質(zhì)，探究過

程如下，請補(bǔ)充完整.

(1)列表：

X-101234

y-2-3-4b-2-1

(2)描點(diǎn)并連線.

(3)觀察圖象并填空：

①a=_,b=_

②寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：_

③圖象與無軸圍成的三角形面積為_

④當(dāng)>>1時，直接寫出x的取值范圍

考向二：一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【題型03一次函數(shù)的圖象】

00目雹

(1)一次函數(shù)的圖象的畫法：經(jīng)過兩點(diǎn)(0,b)、(0)或(1,k+b)作直線尸區(qū)+6.

注意：①使用兩點(diǎn)法畫一次函數(shù)的圖象，不一定就選擇上面的兩點(diǎn)，而要根據(jù)具體情況，所選取的點(diǎn)的

橫、縱坐標(biāo)盡量取整數(shù)，以便于描點(diǎn)準(zhǔn)確.②一次函數(shù)的圖象是與坐標(biāo)軸不平行的一條直線（正比例函

數(shù)是過原點(diǎn)的直線），但直線不一定是一次函數(shù)的圖象.如尤=a,y=6分別是與y軸，x軸平行的直線，

就不是一次函數(shù)的圖象.

（2）一次函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系：直線>=丘+6,可以看做由直線>=近平移|例個單位而得到.

當(dāng)6>0時，向上平移；6<0時，向下平移.

注意：①如果兩條直線平行，則其比例系數(shù)相等；反之亦然；

②將直線平移，其規(guī)律是：上加下減，左加右減；

③兩條直線相交，其交點(diǎn)都適合這兩條直線.

1.（2024?廣東廣州?一模）關(guān)于函數(shù)y=-2x+l,下列結(jié)論成立的是（）.

A.函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（U）B.y隨x的增大而增大

C.當(dāng)x<0時，y>oD.函數(shù)圖象不經(jīng)過第一象限

2.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）關(guān)于一次函數(shù)>=-3尤+2,下列說法正確的是（）

A.圖象過點(diǎn)（U）

B.其圖象可由y=-3x的圖象向下平移2個單位長度得到

C.y隨著X的增大而增大

D.圖象經(jīng)過第一、二、四象限

3.（2025,廣東廣州?一模）若直線y=經(jīng)過一，二，四象限，則直線y=41左的圖象只能是圖中的（）

4.（2024?廣東汕頭?模擬預(yù)測）如圖，兩直線％=履+〃和%=云+左（左#0且8力0）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的

圖象位置可能是（）

6.（2024?廣東深圳?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直線4：y=3x+2向右平移5個單位長度得到直線

'2?

⑴直接畫出直線，2；

（2）4的解析式為

⑶直線4與k之間的距離為個單位長度.

【題型04一次函數(shù)的性質(zhì)】

一次函數(shù)的性質(zhì)：

k>Q,y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k<0,y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降.

由于y=fcr+b與y軸交于（0,b）,當(dāng)b>0時，（0,b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)

6<0時，（0,b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸.

2.一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

一次函數(shù)丫=h+從（際0,且左，b為常數(shù)）的圖象是一條直線.它與無軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-塵，0）；與y

k

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0,b）.

直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=fci+瓦

1.（2024?廣東河源?模擬預(yù)測）下列各函數(shù)中，,隨1的增大而增大的是（）

11

A,y=-B.y=-3xC.y=-x29D.y=-x

%2

2.（2024?廣東廣州?三模）下列函數(shù)中：@y=kx-2（k<0）.（2）j=-（Z：<0）；③y=>0）；④

y=a（x-l）2-3（a>0）,當(dāng)x>0時，,隨x的增大而增大的有（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

3.（2023?廣東廣州?模擬預(yù)測）若4（2,乂），B（-l,必）是一次函數(shù)丫+1卜+2圖象上的兩點(diǎn)，則（）

A.%<當(dāng)B.%<%C.%>%D.%>%

4.（2024?廣東廣州?二模）如圖，拋物線G:%=〃（尤+1P+2與拋物線=-（尤-2>-1交于點(diǎn)項(xiàng),-2）,

且分別與，軸交于點(diǎn)D,E.過點(diǎn)8作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)A,C.則以下結(jié)論：

①拋物線H可由拋物線G向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；

②無論無取何值，力總是負(fù)數(shù)；

③當(dāng)-3Vx<1時，隨著x的增大，X-%的值先增大后減??；

④四邊形AE8為正方形.其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2024,廣東東莞?三模）已知點(diǎn)A（2,yJ,點(diǎn)3（-1,%）在直線>=-3X+5上，則％y2.（填

或"="）

6.（2024?廣東惠州?一模）已知一次函數(shù)y=-3x+2,當(dāng)-!Wx45時，一次函數(shù)的最大值是.

7.（2024?廣東惠州?模擬預(yù)測）如圖在函數(shù)y="v圖象上，4的橫坐標(biāo)為1,A4垂直x軸于4，垂直

函數(shù)圖象，交x軸與層，過作x軸的垂線與函數(shù)圖象于點(diǎn)4，4與垂直于函數(shù)圖象交x軸與鳥.以此類

【題型05一次函數(shù)解析式的求法】

待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是：

（1）先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設(shè)>=丘+6；

（2）將自變量尤的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組;

（3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式.

注意：求正比例函數(shù)，只要一對無，y的值就可以，因?yàn)樗挥幸粋€待定系數(shù)；而求一次函數(shù)y=fcc+b,

則需要兩組x,y的值.

1.（2024?廣東?模擬預(yù)測）已知y是關(guān)于x的一次函數(shù)，點(diǎn)（0,-4）在該一次函數(shù)的圖象上，且y隨x的增大

而減小，請寫出一個滿足上述條件的函數(shù)表達(dá)式：.

2.（2023?廣東河源?三模）函數(shù)》=-3/+；的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象的解析式為.

3.（2024?廣東云浮,一模）已知直線/經(jīng)過點(diǎn)4（2,3）和點(diǎn)3（-1,6）,求直線/的解析式.

4.（2024?廣東韶關(guān)?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=履+6的圖象過點(diǎn)。,3）,（2,2）.求這

個一次函數(shù)的解析式；

5.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）如圖，平面直角坐標(biāo)系中,直線y=f+12與直線Q4相交于點(diǎn)4（8,4）,與x

軸、y軸分別交于點(diǎn)3、C.

⑴求點(diǎn)3、點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵求直線。4的解析式；

⑶點(diǎn)M在射線AC上，是否存在點(diǎn)使—OMC的面積是，Q4c的面積的g?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

6.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）已知直線/過點(diǎn)4（4,-6）,B（8,-3）.

⑴求直線/的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)（。力）在/上,拋物線G：y=M尤-與X軸交于點(diǎn)c,D（點(diǎn)C在點(diǎn)。右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)

E.

①當(dāng)左=1時，試用含。的代數(shù)式表示四邊形ABCD的面積；

②當(dāng)C,D,E中有兩點(diǎn)與點(diǎn)A,B圍成的四邊形是平行四邊形時，求G的函數(shù)解析式.

【題型06一次函數(shù)和方程組不等式的關(guān)系】

（1）一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系

從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=&+b的值大于（或小于）0的自變量尤的取值范圍；

從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線>=日+6在無軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合.

（2）用畫函數(shù)圖象的方法解不等式依+b>0（或<0）

對應(yīng)一次函數(shù)y=fcc+b,它與x軸交點(diǎn)為（-2,0）.

k

當(dāng)上>0時，不等式kx+b>0的解為：x>衛(wèi)，不等式kx+b<0的解為：尤〈也；

kk

當(dāng)上<0,不等式fcv+6>0的解為：x<衛(wèi)，不等式依+6<0的解為：衛(wèi).

kk

1.（2024?廣東?模擬預(yù)測）若關(guān)于尤的方程3尤+6=0的解是x=l,則直線一定經(jīng)過點(diǎn)（~—一

A.（3,0）B.（0,-1）C.（1,0）D.（0,1）

2.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，一次函數(shù)'=依和y=+〃的圖象如圖所示，則

關(guān)于x的一元一次不等式（左-加卜〈〃的解集是.

3.（21-22八年級上?四川巴中?期末）如圖，已知直線4：y=3x+l和直線/2：y=mx+〃交于點(diǎn)則關(guān)

fy=mx+n

于x,y的二元一次方程組廠,[的解是—.

[y=3x+l

【題型07一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】

1、行程問題中，一次函數(shù)y=（左H0）中因通常對應(yīng)行程問題中的速度

2、準(zhǔn)確理解函數(shù)圖象中出現(xiàn)的起點(diǎn)、拐點(diǎn)、終點(diǎn)的意義

3、常用等量關(guān)系：總利潤=單件利潤x數(shù)量

4、利用函數(shù)的增減性得到最大利潤

1.(2024?廣東?模擬預(yù)測)漏刻是我國古代的一種計(jì)時工具.小軒依據(jù)漏刻的原理制作了一個簡單的漏刻計(jì)

時工具模型，研究中發(fā)現(xiàn)其水位"(cm)與時間t(min)之間成一次函數(shù)關(guān)系.小軒通過多次計(jì)時并測量水位

的高度，得到如下表數(shù)據(jù)：

(min)1235

Mem)2.42.83.24.0

⑴求〃關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式；

⑵若小軒開始測量的時間為早上9:30,當(dāng)水位讀數(shù)為14cm時，求此時的時間.

2.(2024?廣東佛山?一模)某?？谇偕鐖F(tuán)準(zhǔn)備購買48兩種型號的口琴，通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：買2支A型

口琴和1支8型口琴共需100元；買1支A型口琴和2支2型口琴共需110元.

(1)每支A型口琴和B型口琴各多少元？

(2)若該?？谇偕鐖F(tuán)需購買A,8兩種型號的口琴共30支，其中A型口琴不超過16支，購買口琴的總費(fèi)用是

否有最小值？如果有，請求出這個最小值；如果沒有，請說明理由.

3.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)寶安公明臘腸是深受當(dāng)?shù)孛癖娤矏鄣囊环N美食，其制作技藝至今已有百余年

歷史，該項(xiàng)目2017年被列入寶安區(qū)區(qū)級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)保護(hù)名錄.某臘腸制作坊計(jì)劃購買A,B兩種香料

制作臘腸.已知購買1千克A種香料和1千克B種香料共需60元，購買3千克A種香料和4千克8種香料

共需220元.

⑴求A,8兩種香料的單價(jià)；

⑵該小吃店計(jì)劃購買兩種香料共20千克，其中購買A種香料的重量不超過8種香料重量的3倍，當(dāng)A,8

兩種香料分別購買多少千克時，總費(fèi)用最少？并求出最少總費(fèi)用.

4.(2024?廣東汕頭?二模)2023年7月，第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會在成都舉辦，其中大運(yùn)會吉祥物蓉

寶廣受歡迎，成為熱銷商品.某商家以每套40元的價(jià)格購進(jìn)一批蓉寶.當(dāng)該商品每套的售價(jià)是50元時，

每天可售出180套，若每套的售價(jià)每提高2元，則每天少賣4套.設(shè)蓉寶每套的售價(jià)定為x元，該商品銷

售景y套

⑴求y與龍之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若每天銷售所獲的利潤為4800元，求尤的值.

5.(2024,廣東?模擬預(yù)測)綜合與實(shí)踐

生活中的數(shù)學(xué)：如何確定單肩包的最佳背帶長度？

素材1：如圖是一款單肩包，背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成.使用時可以通過調(diào)節(jié)扣加長或縮短

單層部分的長度，使背帶的總長度加長或縮短.總長度為單層部分與雙層部分的長度和，其中調(diào)節(jié)扣的長

度忽略不計(jì).

雌層部分

調(diào)埼扣

素材2：對該款單肩包的背帶長度進(jìn)行測量，設(shè)雙層部分的長度是xcm,單層部分的長度是Am,得到幾組

數(shù)據(jù)如下表所示.

雙層部分的長度

2610

x(cm)

單層部分的長度

116108100

y(cm)

素材3：單肩包的最佳背帶總長度與身高的比為2:3.

素材4：小明爸爸準(zhǔn)備購買此款單肩包.爸爸自然站立，將該單肩包的背帶調(diào)節(jié)到最短提在手上(背帶的傾

斜忽略不計(jì))，背帶的懸掛點(diǎn)離地面的高度為53.5cm；如圖，已知爸爸的臂展和身高一樣，且肩寬為38cm,

頭頂?shù)郊绨虻拇怪备叨葹樯砀叩?.

O

請根據(jù)以上素材，解答下列問題：

⑴如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以所測得數(shù)據(jù)中的X為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)，描出所表示的點(diǎn)，并用光滑曲

線連接；根據(jù)圖象思考與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出x的取值范圍；

⑵設(shè)人的身高為/?,當(dāng)單肩包的背帶長度調(diào)整為最佳背帶總長度時，此時人的身高人與這款單肩包背帶的雙

層部分的長度x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（3）當(dāng)小明爸爸的單肩包的背帶長度調(diào)整為最佳背帶總長度時，求此時雙層部分的長度.

6.（2024?廣東廣州?中考真題）一個人的腳印信息往往對應(yīng)著這個人某些方面的基本特征.某數(shù)學(xué)興趣小組

收集了大量不同人群的身高和腳長數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的整理和分析，發(fā)現(xiàn)身高y和腳長x之間近似存在一個

圖I圖2

⑴在圖1中描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)a，，）；

⑵根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從〉=辦+仇“=0）和＞="（4片0）中選擇一個函數(shù)模型，使它能近似地反映身高和腳長的

函數(shù)關(guān)系，并求出這個函數(shù)的解析式（不要求寫出X的取值范圍）；

（3）如圖2,某場所發(fā)現(xiàn)了一個人的腳印，腳長約為25.8cm,請根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，估計(jì)這個人

的身高.

考向三：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【題型08反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)】

反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

反比例函數(shù)y=〃尤（左為常數(shù)，際0）的圖象是雙曲線，

①圖象上的點(diǎn)（無，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值比即盯=%

②雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，兩個分支上的點(diǎn)也是關(guān)于原點(diǎn)對稱；

③在＞=以圖象中任取一點(diǎn),過這一個點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值因.

1.（2024?廣東?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A（-3,a）,8（1,b）,C（5,c）在反比例函數(shù)y=：（左＜0）的圖像上，下列結(jié)

論正確的是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.c<b<a

2.（2024?廣東?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A（T,a）,C（2,c）在反比例函數(shù)y==（左為常數(shù)）的圖象上,

則下列判斷正確的是（）

A,a<b<cB.b<a<cC,a<c<bD.c<b<a

k

3.（2023?廣東清遠(yuǎn)?二模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)〉=-履+左與反比例函數(shù)y=左/0）的圖

x

5.（2024?廣東汕頭?一模）若點(diǎn)（孫兀），（N，/）都在反比例函數(shù)"平的圖象上，且王<。<3，則%

y2.（填"或"="）

6.（2025?廣東深圳?一模）已知反比例函數(shù)y=上出■在其圖象所在的各象限內(nèi)，,隨x的增大而減小.

X

⑴求人的最小整數(shù)值.

（2）判斷直線y=2無與該反比例函數(shù)圖象是否有交點(diǎn)，并說明理由.

【題型09反比例函數(shù)系數(shù)人的幾何意義】

1.（2024,廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOC的邊在丫軸上，點(diǎn)C在第二象限內(nèi),

k

BC=2AB,反比例函數(shù)y=—（%<0）的圖象經(jīng)過5,。兩點(diǎn).若△AOC的面積是6,則上的值為

x

k

2.（2023?廣東深圳?三模）如圖，點(diǎn)8在反比例函數(shù)y=7（Aw0,x>0）的圖象上，連接將30繞B點(diǎn)順

時針旋轉(zhuǎn)90。得到54,且=30,54交y軸于點(diǎn)C,若AC:BC=1:2,ABO的面積為三，則人的值為

3.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊VAOB和菱形03CD的邊AO、OD都在x

軸上，反比例函數(shù)y=&七0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C.已知VABC的面積為4g,則k的值為.

35

4.（2024?廣東惠州?三模）如圖，點(diǎn)A在函數(shù)y=—（%〉0）的圖像上，點(diǎn)8在函數(shù)y=—（%>0）的圖像上，且

xx

k

5.（2024?廣東深圳?三模）如圖，A、B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=—的圖象上，過點(diǎn)A作AC,無軸于點(diǎn)C,交OB

于點(diǎn)。，若BD=2DO,AAOD的面積為1,則上的值為

6.（2024?廣東深圳?二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，3為第二象限內(nèi)一點(diǎn)，連接03,在線段03上取點(diǎn)C,

使得BC=2OC,過點(diǎn)C所作x軸的平行線與過點(diǎn)B所作V軸的平行線交于點(diǎn)A.若反比例函數(shù)>=乙（AW0）

尤

的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,已知5△旗c=2,則上的值為.

7.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，△OAB的邊。4在y軸上，反比例函數(shù)y=￡（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)8,

X

與邊AB交于點(diǎn)C,若3C=3AC,5AAOB=1°，則左的值為.

【題型10反比例函數(shù)實(shí)際應(yīng)用】

1.反比例函數(shù)綜合題

（1）應(yīng)用類綜合題

能夠從實(shí)際的問題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵一步，培養(yǎng)了學(xué)生的建模

能力和從實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的能力.在解決這些問題的時候我們還用到了反比例函數(shù)的圖象和性

質(zhì)、待定系數(shù)法和其他學(xué)科中的知識.

（2）數(shù)形結(jié)合類綜合題

利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在.已知點(diǎn)在圖象上，那么點(diǎn)一定滿足這

個函數(shù)解析式，反過來如果這點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式，那么這個點(diǎn)也一定在函數(shù)圖象上.還能利用圖象直

接比較函數(shù)值或是自變量的大小.將數(shù)形結(jié)合在一起，是分析解決問題的一種好方法.

1.（2023?廣東陽江?一模）杠桿原理也稱為"杠桿平衡條件”，要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個力矩（力

與力臂的乘積）大小必須相等，即阻力x阻力臂=動力x動力臂.如圖，已知石頭的重力（阻力）為3200N,

阻力臂為0.25m.

⑴求動力E與動力臂/的函數(shù)關(guān)系式.

⑵小華想用一根撬棍撬起這塊石頭，但他最多能使出500N的力，問他用撬棍撬起這塊石頭時的動力臂長度

最短為多少？

2.（2024?廣東廣州?二模）一艘載滿貨物的輪船到達(dá)南沙港碼頭后開始卸貨.平均卸貨速度y（單位：噸/天）

與卸貨天數(shù)/是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示.

⑴求y與f之間的函數(shù)解析式；

⑵南沙港碼頭收到氣象部門的緊急通知，在某海域形成新的臺風(fēng)，預(yù)計(jì)7天后影響碼頭卸貨，因此要求船

上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸？

3.（2024?廣東廣州?一模）越來越多的人選擇騎自行車這種低碳又健康的方式出行.某日，家住東涌的李老

師決定用騎行代替開車去天后宮.當(dāng)路程一定時，李老師騎行的平均速度v（單位：千米/小時）是騎行時

間t（單位：小時）的反比例函數(shù).根據(jù)以往的騎行兩地的經(jīng)驗(yàn)，v、f的一些對應(yīng)值如下表：

r（小時）21.51.21

V（千米/小時）12162024

⑴根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求李老師騎行的平均速度v關(guān)于行駛時間f的函數(shù)解析式;

（2）安全起見，騎行速度一般不超過30千米/小時.李老師上午8:30從家出發(fā)，請判斷李老師能否在上午9:10

之前到達(dá)天后宮，并說明理由；

（3）據(jù)統(tǒng)計(jì)，汽車行駛1千米會產(chǎn)生約0.2千克的二氧化碳.請計(jì)算李老師從東涌騎行到天后宮的過程中二氧

化碳的減排量.

4.（2024?廣東佛山?三模）某二手車管理站，用一種一氧化碳（CO）檢測儀測量二手家用汽油小轎車尾氣

中一氧化碳的含量，這種檢測儀的電路圖如圖1所示，其工作原理為：當(dāng)尾氣中一氧化碳的濃度增加，氣

敏電阻的阻值變小，電流隨之增大，即所顯示的一氧化碳含量就越高.已知?dú)饷綦娮璩撸ā＃┑淖柚惦S著尾氣

中一氧化碳的含量以g/km）變化的關(guān)系圖象如圖2所示，&（。）為定值電阻，電源電壓恒定不變.

（1）請根據(jù)圖2,判斷氣敏電阻砥。）與尾氣中一氧化碳的含量之間成函數(shù)，并求出它的函數(shù)解析式；

（2）該管理站對家用汽油小轎車尾氣中一氧化碳檢測數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)要求為不高于LOg/km.若某輛小轎車的尾

氣檢測阻值為Q5O,則該小轎車尾氣中一氧化碳的含量是否達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)？請說明理由.

5.（2024?廣東江門?三模）綜合與實(shí)踐

如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組取一根長為100a”的勻質(zhì)木桿，把細(xì)繩綁在木桿的中點(diǎn)。處并將其吊起.在中點(diǎn)。

左側(cè)距離中點(diǎn)30cMi處掛一個重9.8N的物體，在中點(diǎn)。右側(cè)用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態(tài).改

變彈簧秤與中點(diǎn)。的距離乙（單位：cm）,觀察彈簧秤的示數(shù)尸（單位：N）有什么變化，得到下表：

LIcm510152025303540

F/N58.829.419.614.7169.88.47.35

指導(dǎo)老師發(fā)現(xiàn)其中有一組數(shù)據(jù)明顯是錯誤的.

（1）當(dāng)L=時，所對應(yīng)的歹的值明顯是錯誤的；

（2）寫出尸與L之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)彈簧秤的示數(shù)尸是12N時，彈簧秤與中點(diǎn)。之間的距離L.

考向四：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題

【題型11反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合】

1.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者

有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn).

k

(2)判斷正比例函數(shù)〉=依1和反比例函數(shù)y=-Z9在同一直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)個數(shù)可總結(jié)為：

x

kn一

①當(dāng)k\與k2同號時，正比例函數(shù)丁=匕%和反比例函數(shù)y=—2在同一直角坐標(biāo)系中有2個交點(diǎn)；

x

kn_

②當(dāng)k\與左2異號時，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)y=—上在同一直角坐標(biāo)系中有0個交點(diǎn).

x

k

1.(2024?廣東?模擬預(yù)測)如圖，已知反比例函數(shù)％=—的圖象與正比例函數(shù)%=以(。。。)的圖象相交于點(diǎn)

A(2,2)和點(diǎn)b

⑴寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)，并求上。的值；

(2)根據(jù)圖象，比較％和%的大小.

k

2.(2024?廣東?模擬預(yù)測)如圖所示，一次函數(shù)y=x+3的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象交于A,B兩點(diǎn),

尤

與x軸、y軸分別交于C,。兩點(diǎn)，連接02,S0=3.

⑴求美的值.

(2)無軸上是否存在一點(diǎn)E,使二ABE為等腰三角形?若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3

3.(2024?廣東汕頭?模擬預(yù)測)如圖，一次函數(shù)>=丘+。的圖像與反比例函數(shù)>=-最的圖像相交于^(-3,1),

兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于c,。兩點(diǎn).

⑴求一次函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)尸是線段C。的中點(diǎn)，連接OP,求/尸OC的正切值.

4.(2024?廣東?模擬預(yù)測)已知一次函數(shù)>=6+6與反比例函數(shù)>=1的圖象交于A(-3,〃)，*2,-6)兩點(diǎn).

⑴①求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

②求的面積.

⑵在無軸的負(fù)半軸上，是否存在點(diǎn)P,使得240為等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

5.(2024?廣東惠州?模擬預(yù)測)如圖，直線％=8+4與雙曲線%=2在第二象限內(nèi)交于A,B兩點(diǎn)，已知

X

B(—l,m).

⑴求k2的值及直線AB的解析式;

⑵點(diǎn)C是線段上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD，y軸于點(diǎn)。，交雙曲線于點(diǎn)憶石是入軸上一點(diǎn)，當(dāng)△CED

的面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

6.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)已知一次函數(shù)、=丘+匕的圖象直線與反比例函數(shù)＞=—的圖象雙曲線相交于

點(diǎn)A(-2,-3)和點(diǎn)3(1,〃)，且直線與X軸、y軸相交于點(diǎn)C、點(diǎn)。.

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;

(2)點(diǎn)為直線4B上的動點(diǎn)，過尸作x軸垂線，交雙曲線于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)尸，請選擇下面其中一題

完成解答：

①連接。E,若S2DE=6SADC。，求痣的值;

②點(diǎn)尸在點(diǎn)E上方時，判斷關(guān)于x的方程(0+1)Y+(p_l)x--=0的解的個數(shù).

【題型12反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合解決問題】

1.反比例函數(shù)綜合題

(1)應(yīng)用類綜合題

能夠從實(shí)際的問題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵一步，培養(yǎng)了學(xué)生的建模

能力和從實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的能力.在解決這些問題的時候我們還用到了反比例函數(shù)的圖象和性

質(zhì)、待定系數(shù)法和其他學(xué)科中的知識.

(2)數(shù)形結(jié)合類綜合題

利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在.已知點(diǎn)在圖象上，那么點(diǎn)一定滿足這

個函數(shù)解析式，反過來如果這點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式，那么這個點(diǎn)也一定在函數(shù)圖象上.還能利用圖象直

接比較函數(shù)值或是自變量的大小.將數(shù)形結(jié)合在一起，是分析解決問題的一種好方法.

1.(2023?廣東佛山?三模)為防止病菌滋生，某校定期對教室進(jìn)行噴霧消毒，某次消毒作業(yè)時，噴霧階段教

室內(nèi)每立方米空氣中含藥量y(mg)是時間x(min)的正比例函數(shù)，噴霧完成后,是尤的反比例函數(shù)(如圖).

>1mg)

K

O5jXmin）

（1）當(dāng)x>5時，求y關(guān)于*的函數(shù)解析式；

⑵已知每立方米空氣中含藥量不低于4mg時，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空氣中含藥量不低于4mg

的時長.

2.（2024?廣東廣州?三模）某校根據(jù)《學(xué)校衛(wèi)生工作條例》，為預(yù)防"蚊蟲叮咬"，對教室進(jìn)行"薰藥消毒已

知藥物在燃燒釋放過程中，室內(nèi)空氣中每立方米含藥量y（mg）與燃燒時間x（min）之間的關(guān)系如圖所示.根

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）據(jù)測定，當(dāng)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量低于3mg時，對人體無毒害作用.從消毒開始，至少在多少分

鐘內(nèi)，師生不能待在教室？

限時提升練

一、單選題

1.（2024?廣東?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,2）,把點(diǎn)A先向右平移1個單位，再向下

平移2個單位得到點(diǎn)B,則直線AB的表達(dá)式為（）

A.y=2x+4B.y--2x+4C.y=2尤—4D.y=-2x-4

2.（2024?廣東廣州?二模）下列說法不正確的是（）

A.函數(shù)y=-3x的圖象必過原點(diǎn)

B.函數(shù)y=3x-l的圖象不經(jīng)過第二象限

C.函數(shù)y=’的圖象位于第一、三象限

X

D.函數(shù)>=（尤-以+2的圖象中，當(dāng)x<l時，y隨X增大而增大

3.（2024?廣東河源?一模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)%=依+伏。H。）與%="吠+〃（〃件0）的圖象

如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

此=ar+b

y^mxx^n/

A.bn<0

B.%隨x的增大而增大

C.當(dāng)xv2時，yx<y2

D關(guān)于X'y的方程[ax組—y的=-b解為「[x—3

4.（2025?廣東?模擬預(yù)測）一次函數(shù)、=依+。與反比例函數(shù)>（〃w0,Z?w0）在同一坐標(biāo)系中的圖象

X

可能是（）

十千

1K

—*

5.（2024,廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，O的直徑48為4,AC=，BC,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿路線

AfC運(yùn)動，連接CP,DP,設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動的路程為x,則△CPD的面積，隨x變化的函數(shù)圖象大致為（）

c

a

二、填空題

k

6.（